Равномерная ограниченность систем сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Следовательно, устойчивый фокус, ние х = 2u + v, у —

начало координат ~ Используя преобразова-и + 3v, получим

и

и- 2v~~ 2и3 - 2uv2 + uv + V3,

V

2и — V

и

uv2 - 2 и у - 2v3

Перейдем к разностной схеме Эйлера и(п + 1) = (1 - h)u{n) - 2hv(n) + h(-2u(n)~

- 2u(n)v2(n) 4- u2(n)y(n) 4- v3(n)),

v(n 4-1) = 2hu(n) 4- (1 - h)v{n) 4- h{-u{n)-

- u(n)v2(n) - 2u2(n)v(n) - 2v3(n)).

Собственные значения матрицы линейного приближения равны £1,2 = (1 — h) ± ï2h

Исследуем на устойчивость нулевое решение на границе области устойчивости, т. е. при

Н — 2/5. Осуществив замену по формулам и = (щ 4- Ух)/2, V = - У\)/2, получим

О

Ui(n+ 1) = ezipui(n) -f h(-2 - i)ui(n)vi(n),

О

(72 4-1) = е~г<рУх(п) 4- /&(—2 4- {)иг(п)уг(п).

Здесь аз1 = — 2 — г, соз<£>Не(аз1) 4- вшу х х 1ш(а31) = —2 сов— эпир, <^ = аг§(3/5 + + г4/5) т. е. сову? = 3/5, внк/? = 4/5 и неравенство (9) выполняется. Значит, положение равновесия исходной системы дифференциальных уравнений сохраняет свой тип при решении методом Эйлера.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Фишман JI. 3. О сохранении состояний равновесия и их устойчивости при замене непрерывной системы дискретной, построенной по методу Рунге-Кутты / Л. 3. Фишман // Мат. заметки. - 1996. -Т. 59, № 5. - С. 784-787.

2. Cristian Mira. Sur un cas critique d'une recurrence ou transformati ponctuelle non linéaire / Cristian Mira // Zagadnienia drgan nieliniowych. - 1973. - № 14. - P. 205-224.

Поступила 15.10.10.

РАВНОМЕРНАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ СИСТЕМ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

М. В. Козлов, В. Н. Щенников

В данной статье рассматривается один вид систем дифференциальных уравнений, сингулярно возмущенных по части переменных. Найдены достаточные условия для равномерной ограниченности решений данных систем.

1. Основные определения и теоремы, связанные с равномерной ограниченностью решений систем дифференциальных уравнений, дадим в соответствии с [2].

Пусть дана система дифференциальных уравнений

® = *•(*,*), (1)

где х Е #п, х) - заданное векторное поле, определенное и непрерывное в пространстве

Еп+1

Определение. Решения системы (1) называются равномерно ограниченными, если для любого а > 0 существует такое

Р = 0(а) > 0, что ||®(Мо,жо)|| < £ ПРИ

||Жо|| < ОС, г > ¿0-

Для свойств функций Ляпунова У(Ь,х) введем несколько обозначений. Будем говорить, что функция У(1,х) обладает свойством А, если существует положительная непрерывная возрастающая функция а (г), такая, что

1

© М. В. Козлов, В. Н. Щенников, 2010

56

ВЕСТНИК Мордовского университета j 2010 | № 4

У(Ьух) < а(||х||). Также скажем, что функция У(£, х) обладает свойством В, если существует неотрицательная непрерывная возрастающая функция 6(г), такая, что Ь(||х||) < х).

Теорема 1. Если существует положительная функция Ляпунова У(£,х); определенная на некотором множестве

А* = {(¿,х) : t > 0, ||х|| > Я, R > 0} и обла-

дающая свойствами А и В, и если

dV dt

(i)

<0

внутри Д *; то решения системы (1) равномерно ограничены.

2. В работе [3] авторами рассматривались линейная неоднородная система и система общего вида, сингулярно возмущенные по части переменных. Были получены достаточные условия для равномерной асимптотической устойчивости. При этом оценивалась связь решения исходной системы и решения соответствующей вырожденной системы. Для этого на асимптотическую устойчивость исследовалась система дифференциальных уравнений относительно разностей между этими решениями. В данной работе используется аналогичный прием.

Рассмотрим систему сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений вида

X = A(t)x + B(t)y + h (t, X, y), fiy = C(t)x -h D{t)y + /2(t, X, y),

(2)

где x G Rk,y e Rm, A{t), B(t), C(t), D(t) -

непрерывно дифференцируемые матрицы соответствующих размерностей, ограниченные вместе со своими первыми производными, \D(t)\2 > а > 0, fi{t,х, у) и f2(t,x,y) - непрерывные ограничешгые отображения, /л > 0.

Требуется найти условия на правую часть системы (2), при выполнении которых будет существовать такой интервал (0; /-¿о), что при всех /х € (0;/¿o) решения системы (2) будут равномерно ограниченными.

Для этого рассмотрим линейную однородную систему

X = A(t)x 4- B(t)y, ßjy = C(t)x + Dit)y

(3)

и соответствующую ей вырожденную систему, т. е. систему (3) при ß = 0

X

= A{t)x + Bit)y, C(t)x + D(t)y = 0.

(4)

Система (4) имеет алгебро-дифференциальную структуру. Второе ее уравнение разрешимо относительно переменной у

Делая подстановку этого равенства в первое уравнение системы (4), получаем систему дифференциальных уравнений более низкого

порядка

X

G{t)x,

(5)

TpßG(t) = A{t) + B{t)F{t).

Теперь введем в рассмотрение функции

£(£,//) =x{t,ß) -x(t), ß) = y(t, ß) - F(t)x(t, ß),

(6)

где х(£,/х) и - решения системы (2).

Дифференцируя эти функции и учитывая (2) и (5), получаем систему

è = G(t)í + B(t)n +

+ h ((U + X, F(t)£ + n + F{t)x),

V

[F{t) + F(t)JB(t)) €

+

(7)

-Ы -ö(t)-F(i)S(t))iy +/»(t,^»;, M),

где

/X

1

+ х, ^ + 77 4- ,Рх) — ,Рх —

-F.fi + + +

Теорема 2. Пусть выполняются следу ющие условия:

а) решения системы (5) равномерно огра ничены;

б) решения системы

у = Я(т)з/

(8)

равномерно ограничены при каждом т. Тогда найдется такое ßo > 0, что при всех ß £ (0; ßo) решения системы (1) будут равномерно ограничены.

Доказательство. Поскольку системы (5) и (8) являются линейными однородными, то равномерная ограниченность для них эквивалентна равномерной асимптотической устойчивости [2]. Поэтому существуют две положительно определенные симметричные матрицы U{t) 6 Rk'k и Vir) € Äm'm, для которых будут выполняться соотношения

d_ dt

< X, U(í)x >

(5)

У

D~lit)Cit)x = F(t)x.

< X, (Ú(t) + 2U{t)F(t))x

■Ui(x) < 0,

Серия «Физико-математические науки»

57

ÉL dt

< У1 V(T)X >

(9)

(8)

<y,2V(r)D(r)y

u2(y) < 0.

Рассмотрим положительно определенную функцию

Щ*,V) = , 17(00 + (V, УШ.

I

Ее полная производная по Ь в силу системы (7) имеет вид

dW dt

<i,6rWi> +

(7)

+ 2 < U(t)G(t)t > +2 < I7(t)e(t)97 >

+ < 77, > 4-1

(10)

+ < r?, V(t)(-D(t) - F(t)B(t))rj > + + 2 < f, U[t)h (t, { + x, F(i)£ + 7? 4- F(t)x) > 4-

+ 2 < 77, V(t)/3(t, f + x, F(i)i + 77 + F(t)®) >

Как видно, правая часть выражения (10) является суммой квадратичной и линейной форм относительно вектора (£,7/). Так как коэффициенты линейной формы ограничены, то знак выражения (10) вне некоторого шара достаточно большого радиуса будет определяться знаком квадратичной формы. Рассмотрим матрицу этой квадратичной формы, взятой с обратным знаком

Ù(t) - 2U(t)G(t)

2 V(t)(F(t) 4-+ F(t)B(t))

-2 U(t)B{t)

-V{t) -- ±V(t)D(t)+ 4- V(t)F(t)B(t)

• (H)

В силу соотношений (9) матрицы

-и(г)-2и(г)в(г) и --У(*)£>(£) соответствуют положительно определенным квадратичным формам, т. е. все главные последовательные миноры этих матриц положительны [1]. Поэтому, найдется такое до > 0, что при всех /х 6 (0;до) все главные последовательные миноры матрицы (11) будут также положительны. Квадратичная форма, соответствующая матрице (11), будет определенно положительной, а исходная квадратичная форма - определенно отрицательной. Тогда при некотором достаточно большом Я > 0 имеем

dW dt

<0, Il (£,77) Il > Я

Заметим к тому же, что функция

обладает свойствами А и В, а значит удовлетворяет условиям теоремы 1. Следовательно, решения системы (7) равномерно ограничены. В силу равенств (6) решения исходной системы (2) также равномерно ограничены. Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим сингулярно возмущенную систему второго порядка

х

-2х + (sin t H- 2)у -h е"х2,

4

cos tx — (sin£ 4- 2)y + e~v

(12)

С учетом обозначений, введенных ранее, имеем:

A(t)

2, B(t) = sin t + 2,

C(t) = cost, D(t)

(sin t 4- 2),

/1

— X

, h

-y

G(t) = A(t) - B(t)D~\t)C(t) = cos t- 2.

Все эти функции ограничены вместе со своими первыми производными. При этом |D(t)\ = I sint -b 2| > 1. Система (5) для системы (12) будет иметь вид

х = (cos t — 2)*е.

Можно убедиться, что ее решения будут равномерно ограничены, взяв в качестве функции Ляпунова функцию V\ =х2.

Система (8) в данном случае будет иметь

вид

у = —(sint 4- 2)у.

Ее решения также будут равномерно ограничены, что можно проверить взяв функцию Ляпунова V2 = у2

w

Таким образом, условия теоремы 2 выполняются, и решения системы (12) должны быть равномерно ограничены при всех достаточно малых /х > 0.

Проверить это можно, подобрав функцию Ляпунова, которая удовлетворяла бы требованиям теоремы 1 при всех достаточно малых \х > 0. Таковой, например, будет функция V = х2 -hay2. Действительно, если 0 < д < 1, то fi(x2 4- у ) < V < х2 4- у2, т. е. она обладает свойствами А и В. Полная производная этой функции в силу системы (12) имеет вид

dV dt

— —4я2 + 2(sinf + 2 4- cost)xy (12) 2 2

2(sint 4- 2)у2 + 2хе"х + 2уе~у

(13)

58

ВЕСТНИК Мордовского университета | 2010 { JV» 4

Выпишем матрицу квадратичной формы из правой части равенства (13)

I

(—4 sint + 2 + cosí Л ( v

sint + 2-fcosí —2(sin£ + 2) )' W

Бе главные последовательные миноры будут равны d\ = —4, <¿2 = 8(sin t + 2) — (sin t + -f 2 4- cosí)2 При этом можно убедиться, что (¿2 > 6 при всех t Е R. Тогда согласно критерию Сильвестра [1] квадратичная форма с

матрицей (14) будет определенно отрица-

_ 2 _ 2 тельной. Выражение 2хе х + 2уе у можно

рассматривать как линейную форму с ограниченными коэффициентами. Значит знак выражения (13) будет определяться знаком квадратичной формы с матрицей (14) при ж2-!-?/2 > г, где г > 0 достаточно велико, т. е. будет отрицательным. Значит, согласно теореме 1 решения системы (12) действительно будут равномерно ограничены.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. - М. : Наука, 1967. - 576 с.

2. Иосидзава Т. Функция Ляпунова и ограниченность решений / Т. Йосидзава // Сб. переводов «Математика». - Мир. - 1955. - С. 95-127.

3. Климушев А. И. Равномерная асимптотическая устойчивость систем уравнений с малым параметром перед производными / А. И. Климушев, Н. Н. Красовский // Прикл. математика и механика. - 1962. - Т. 25. - С. 1011-1025.

Поступила 27.10.10.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Р. Б. Лапшина

Распространяется теорема Йосидзавы - Л а Салля об асимптотической устойчивости на системы функционально-дифференциальных уравнений общего вида.

Рассмотрим систему

х\Ь) = №х{*))> (1)

где а < з < Ь, £ € Я+ = [0,4-оо), / -функционал, непрерывный при Ь £ Я+ и принимающий значения в Яп; х : Яа —> Яп есть непрерывная функция, где Яа = [а, £). Если а = — оо, то будем считать, что х : (—оо, Ь) -> Яп Предположим, что функционал / локально Липшицев по х, т. е. для каждого г > 0 и каждого компакта (2 С Яп существует постоянная с, вообще говоря, зависящая от г и (} такая, что

\№,х(-))-№,у(-))\<с\\х-у\\, (2а) V« £ [0,т],х,у:[а,т)->а. (26) Введем обозначения:

|ж| ::= тахг|жг|, х е Яп; (За)

||0Ц::=8ир|0(*)|У«еМ]; (36)

Яь0 = [Ьо,оо). (Зв)

Пусть ¿о > 0 и начальная функция Ф : [а, ¿о] -> Яп непрерывна. Известно [1], что существует решение системы (1) на

интервале [¿о,/?), удовлетворяющее условию

Серия «Физико-математические наук и»

59