Равномерная ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных механических колебательных процессов в вязкой среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.13:004.052.42

РАВНОМЕРНАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ ПО СКОРОСТИ С КОНТРОЛЕМ НАЧАЛЬНЫХ СКОРОСТЕЙ НЕЛИНЕАРИЗОВАННЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ

К. С. Лапин

В работе введено понятие равномерной ограниченности решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с контролируемой частью начальных условий. Получено достаточное условие равномерной ограниченности решений по части переменных с контролируемой частью начальных условий. Как следствие, получен достаточный признак равномерной ограниченности по скорости с контролем начальных скоростей механических колебательных процессов без линеаризации в вязкой среде. Приведены примеры применения этого достаточного признака к конкретным механическим колебательным процессам.

В работе Т. Йосидзавы была развита теория различных видов ограниченности решений систем дифференциальных уравнений [4]. Исследования различных видов ограниченности решений по части переменных были проведены В. В. Румянцевым и А. С. Озиранером [3]. В работе В. И. Воротникова и Ю. Г. Мартышенко недавно было разработано новое направление в теории устойчивости по Ляпунову относительно части переменных, а именно: была развита теория частичной устойчивости частичного положения равновесия [1].

В данной работе введено определение равномерной ограниченности решений системы дифференциальных уравнений по части переменных с контролируемой частью начальных условий. Это определение является родственным определению частичной устойчивости частичного положения равновесия [1]. Получено достаточное условие равномерной ограниченности решений по части переменных с контролируемой частью начальных условий (теорема 1). Далее получен достаточный признак (теорема 2) равномерной ограниченности по скорости с контролем начальных скоростей механических колебательных процессов без линеаризации в вязкой среде. Приведены примеры применения теоремы 2 к конкретным нелинеаризован-ным механическим колебательным процессам, т. е. к реальным механическим колебательным процессам, в вязкой среде. Перейдем теперь к точным определениям и формулировкам.

Пусть задана произвольная система дифференциальных уравнений от п переменных:

— = Г (1, х), Г (1, х) = ( (1) = (г1 (1,х), ..., Гп (1,х)),

правая часть которой задана и непрерывна в области О = {(£,х) е Я+ х Я"}, где Я+ = = {1 е Я1 > 0}. Далее везде будет предполагаться, что каждое решение системы (1) про-должимо на всю полуось Я+.

Для любого вектора х = (у, z) е Я" = = Як х Я"-к, где 1 < k < п, обозначим через |хк число

|х| к = |у| = V (х1)2 + ••■ + (хк)2.

Кроме того, для произвольной дифференцируемой функции V(t,x) обозначим через V (1, х) производную функции V(t,x) в силу системы (1).

Определение 1. Будем говорить, что решения системы (1) равномерно ограничены

/1 к\ по части переменных у = (х , ..., х ) с контролируемой частью начальных условий у0 = = (х0, ..., х^) или, более кратко, равномерно у-ограничены с у0-контролем, если для каждого неотрицательного числа а е Я существует такое положительное число р(а) е Я, что для любой точки (1о, х0) е О, х0\к ^ а выполнено условие |х (1,х0,1))|^ < Р

© К. С. Лапин, 2012

при t > ¿о, гДе х = х(^х0,(0) — произвольное решение системы (1), проходящее через точку (¿о, Хо).

Стоит отметить, что если в определении 1

положить у = (х1, ..., хи) и Уо = (х0> ■■■>хП)> то получим определение равномерной ограниченности решений системы (1) из работы [4]. Если же в определении 1 положить Уо = (хо, ..., Хд), то получим определение равномерной у-ограниченности решений системы (1) из работы [3]. Легко видеть, что из равномерной ограниченности решений системы (1) следует их равномерная у-ограни-ченность. Также легко видеть, что из равномерной у-ограниченности с уд-контролем решений системы (1) следует их равномерная у-ограниченность.

Сформулируем и докажем достаточный признак равномерной у-ограниченности с уд-контролем решений системы (1).

Теорема 1. Пусть для системы (1) имеется неотрицательная дифференцируемая функция V(t,x), определенная в области

t > 0, х = (у,г) е Я", у е |у| > Я0, где

Я0 > 0 — некоторое фиксированное число, для которой выполнены следующие условия:

1) Ь (|у|) < Vх) < а (|у|), где а (г) > 0 и Ь (г) > 0 — непрерывные возрастающие функции и Ь (г) ^ да при г ^ да;

2) V х) < 0 внутри области t > 0,

х е Я", |х\к > Я0.

Тогда решения системы (1) равномерно у-ограничены с уд-контролем.

Доказательство. Требуется доказать, что для каждого а > 0 существует такое число р(а) > 0, что для любых t > 0, х £ Я", х0^ < а выполнено условие |х(£, х0,^))|^ - Ь при всех t > ¿0. Сразу отметим, что без ограничения общности доказательство достаточно провести только для тех решений

х = х(^х0,¿0), которые при |х> Я0 удовлетворяют условию |х(^ х0, ¿0)|к > ^0, и для тех а > 0, которые удовлетворяют условию

а > Rg. Приступим теперь к доказательству. Пользуясь условием 1 из формулировки доказываемой теоремы, получаем, что для любого решения x = x(t, xg, tg) системы (1) имеет место неравенство b(|x(t,xg,tg|fe) < V(t,x(t,xg,tg)) . Из условия 2 доказываемой теоремы следует, что для любого решения x = x(t,xg,tg) системы (1) функция V(t, x(t, xg,tg )) от переменной t является невозрастающей. Из этого при t > tg получаем неравенство V(t,x(t,xg, tg)) < V(tg,xg) . Так как при xg|k = |y| < а справедливо неравенство V(tg, xg ) < a(a), то имеем неравенства:

b(|y(t, x0,t0)|) < V(t, x(t, x0,t0)) < < V(t0, x0) < а(а).

Пользуясь теперь условием b(r) ^ œ при r ^ œ выберем такое число р, которое зависит от a, но не зависит от tg, что a(a) < b(p). Из этого получаем неравенство b (|y (t, xg,tg)) < b (b). Так как функция b(r) является непрерывной и возрастающей, то для этой функции имеется обратная функция, которая также является возрастающей функцией. Применяя эту обратную функцию к неравенству b (y (t, xg,tg )|) < b (b), получим неравенство |x(t,xg,tg)< р. Таким образом, показано, что решения системы (1) равномерно y-ограничены с yg-контролем. Теорема доказана.

Рассмотрим применение теоремы 1 к исследованию равномерной ограниченности по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных механических колебательных процессов в вязкой среде.

Хорошо известно, что математическая модель параметрического механического колебательного процесса без линеаризации, т. е. реального механического параметрического колебательного процесса, в некоторой вязкой среде описывается дифференциальным уравнением:

x + f(t, x, x )x + g(t)sin x = g (2) или, что эквивалентно, системой уравнений:

x = y

(3)

y = -f (t, x, y)y - g(t) sin x,

где f (t, x, x) > 0 — коэффициент вязкости среды и g(t) — некоторый параметр колебательного процесса, которые являются непрерывными функциями.

Исследуем при помощи теоремы 1 решения системы (3) на равномерную ограниченность по переменной y c у0-контролем.

Теорема 2. Пусть в уравнении (2) параметр колебательного процесса g(t) является дифференцируемой функцией, которая при t > 0 удовлетворяет условию 0 < g(t) < M, где M е R, и, кроме того, удовлетворяет либо условию g'(t) < 0 при всех t > 0, либо условию g '(t) > 0 при всех t > 0. Тогда решения системы (3) равномерно ограничены по переменной y c у0-контролем.

Доказательство. Исследуем сначала

случай, когда при t > 0 функция g(t) удовлетворяет условиям 0 < g(t) < M и g'(t) < 0. Рассмотрим неотрицательную дифференцируемую функцию

V(t, x, y) = y2 + 4g(t) sin2 i1 x

Легко видеть, что имеет место двойное неравенство b(|y|) < V(t,x,y) < ö(|y|), где b(r) = r2 и a(r) = r2 + 4M. Ясно, что b(r) > 0, a(r) > 0 являются непрерывными возрастающими функциями и Ь(г) ^ <х при r ^ да. Таким образом, условие 1 из теоремы 1 для V(t, x, y) выполнено. Для производной V (t, x, y) в силу системы (3), пользуясь условиями f (t, x, y) > 0 и g '(t) < 0, получаем:

V(t, x, y) = 4g'(t)sin2 [ 2 x I + 2y(-f (t, x, y)y -

- g(t) sin x) + 4g(t) sin [ 2 x J cos | 1 x = 4g'(t)sin2 [ 1 x I - 2f(t,x,y)y2 < 0.

Таким образом, условие 2 из теоремы 1 для V(t,x,y) выполнено и, следовательно, решения системы (3) в рассматриваемом случае являются равномерно ограниченными по переменной y c у0-контролем.

Исследуем теперь случай, когда при t > 0 функция g(t) удовлетворяет условиям

0 < g(t) < M и g'(t) > 0. Рассмотрим неотрицательную дифференцируемую функцию

V(t, x,y) = y2 + 4g(t)sin2 11 x | + 4(M - g(t)).

Очевидно, что имеет место двойное неравенство b (y\) < V(t, x, y) < a (y\), где b(r) = r 2 и a(r) = r2 + 4M. Ясно, что b(r) > 0, a(r) > 0 являются непрерывными возрастающими функциями и b(r) ^ да при r ^ да. Таким образом, условие 1 из теоремы 1 для V(t, x, y) выполнено. Для производной V (t, x, y) в силу системы (3), пользуясь условиями f (t, x, y) > 0 и g'(t) > 0, получаем:

V(t, x, y) = 4g'(t) sin [ 2 x I - 4g'(t) + 2y x x (-/(t, x, y)y - g(t) sin x) + 4g(t) sin [2 x J x

x cos Г1 x Jy = 4g'(t)sin211 x J- 4g'(t) -

1

2f(t, x, y)y = - 4g'(t) cos [ 2 x 2f (t, x, y) < 0.

Таким образом, условие 2 из теоремы 1 для V(t, x, y) выполнено и, следовательно, решения системы (3) в рассматриваемом случае являются равномерно ограниченными по переменной y c у0-контролем. Теорема доказана.

Таким образом, все механические параметрические колебательные процессы без линеаризации, т. е. реальные механические параметрические колебательные процессы, в некоторой вязкой среде, поведение которых описывается уравнением (2), где параметр колебательного процесса g(t) удовлетворяет условиям теоремы 2, всегда являются равномерно ограниченными по скорости с контролем начальных скоростей.

Простейшим частным случаем уравнения (2) является уравнение колебаний физического маятника в среде без сопротивления

X + sin x = 0.

Из теоремы 2 следует, что колебания физического маятника в среде без сопротивления всегда будут равномерно ограниченными по скорости с контролем начальных скоро-

стей. В связи с этим важно и интересно отметить, что если рассмотреть уравнение колебаний математического маятника, т. е. колебаний маятника в малом, в среде без сопротивления

х + х = 0,

то оказывается, что решения этого уравнения не являются равномерно ограниченными по скорости с контролем начальных скоростей. Действительно, перепишем уравнение

х + х = 0 в виде системы

х = у у = -х.

Фазовыми кривыми заданной системы являются концентрические окружности радиуса Я > 0 с центром в начале системы координат переменных х и у. Пусть (х(0, у(0) —произвольное решение данной системы, проходящее при £ = £0 через точку (х0, у0). Тогда имеем неравенство

|у(0| < Я, где Я2 = (хо)2 + (уо)2,

справедливое при каждом £ > 0, поскольку

решение (х(£), у(£)) лежит на окружности радиуса Я с центром в начале системы координат. Важно отметить, что указанное выше

неравенство у(0| < Я при некоторых £ превращается в строгое равенство и, следовательно, число Я в этом неравенстве не может быть уменьшено. Предположим теперь от противного, что решения заданной системы являются равномерно ограниченными по переменной у с у0-контролем. Тогда по определению 1 любого а > 0 существует такое р = р(а) > 0, что для всех t > ^ имеет место

неравенство |у(0| < р(а). Так как в указанном выше неравенстве у(0| < Я, справедливом для всех £ е Я, число Я не может быть уменьшено, то получаем двойное неравенство

|у(0| < Я < р(а). Однако неравенство

>/(хо )2 + (уо )2 = Я < р(а) не может быть справедливым для любых (хо, уо) ■ Действительно, выбирая |хо| до-

статочно большим, получим для таких x0 неравенство

R = V(хо)2 + (уо)2 >P(a),

которое противоречит неравенству

R = y¡(х0)2 + (у0)2 < b(a). Таким образом,

сделанное выше предположение о том, что решения заданной системы равномерно ограничены по переменной у с у0-контролем, неверно и, следовательно, решения рассматриваемой системы не являются равномерно ограниченными по переменной y с у0-контролем.

Напомним теперь, что в работе [2] была рассмотрена математическая модель вертикальных колебаний в малом железнодорожного экипажа, которая описывается дифференциальным уравнением

x + p(£)/j(x)/2(x¿)x + gx = 0, (g > 0) e R, где p(£)/ (x)/2 (x)x — сила реакции демпфера рессорного подвешивания; gx — сила реакции листовой рессоры (g —коэффициент упругости рессоры); p(£), /¡(x), f(x) — неотрицательные непрерывные функции. Легко видеть, что если рассматривать вертикальные колебания железнодорожного экипажа без линеаризации, т. е. физические вертикальные колебания железнодорожного экипажа, то математическая модель таких колебаний будет описываться уравнением

X + p(t)fi(x)f2(x )Х + g sin x = 0, (g > 0) e R.

Так как это уравнение является частным случаем дифференциального уравнения (2), то из теоремы 2 получаем, что вертикальные колебания железнодорожного экипажа без линеаризации, т. е. физические вертикальные колебания этого экипажа, поведение которых описывается уравнением (4), всегда являются равномерно ограниченными по скорости с контролем начальных скоростей.

Рассмотрим теперь уравнение Хилла, а именно: рассмотрим дифференциальное уравнение x + g(£)x = 0, где g(t) — некоторая непрерывная функция. Ясно, что это уравнение описывает механические параметрические колебательные процессы в малом в среде без сопротивления. Легко видеть, что если

рассматривать нелинеаризованные механические параметрические колебательные процессы, т. е. реальные механические параметрические колебательные процессы, в среде без сопротивления, то математическая модель таких колебательных процессов описывается, так сказать, физическим уравнением Хилла

х = g(t) sin х = 0. (5)

Так как уравнение (5) получается из уравнения (2), если положить х, х) = 0, то при выполнении условий теоремы 2 на функцию д(0 решения физического уравнения Хилла (5) всегда является равномерно ограниченным по скорости с контролем начальных скоростей.

В заключение для полноты картины рассмотрим уравнение, которое получается из уравнения (2), если положить д(0 = 0, т. е. рассмотрим дифференциальное уравнение

х + f(t, х, х)х = 0. (6)

Ясно, что это уравнение описывает уже не колебательный процесс, а моделирует процесс свободного движения тела, выведенного из состояния покоя, в вязкой среде с коэффициентом вязкости /х, X) > 0. Так как уравнение (6) является частным случаем уравнения (2), то из теоремы 2 получаем, что свободное движение тела, выведенного из состояния покоя, в вязкой среде, которое описывается уравнением (6), всегда является равномерно ограниченным по скорости с контролем начальных скоростей.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Воротников В. И. К теории частичной устойчивости нелинейных динамических систем / В. И. Воротников, Ю. Г. Мартышенко // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010.

№ 5. С. 23 31.

2. Голечков Ю. И. Асимптотические и качественные методы исследования технических систем, моделируемых обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка / Ю. И. Голечков. М. : РГОТУПС МПС РФ, 2003. 212 с.

3. Румянцев В. В. Устойчивость и стабилизация движения относительно части переменных / В. В. Румянцев, А. С. Озиранер. М. : Наука, 1987. 254 с.

4. Yoshizawa T. Liapunovs function and boundedness of solutions / T. Yoshizawa // Funkcialaj Ekvacioj. 1959. Vol. 2. P. 95 142.

Поступила 27.01.2012.

УДК 517.928.1

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ

М. В. Козлов

В работе рассматриваются сингулярно возмущенные системы, для которых получены достаточные условия асимптотической устойчивости по Ляпунову тривиального решения при достаточно малых значениях параметра.

В связи с широким применением в теории гороскопов сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и их систем задача об устойчивости по Ляпунову их тривиального решения имеет большое значение. Этому вопросу посвящено немало работ, которые базируются на применении второго

метода Ляпунова [1—4; 6]. При этом зачастую ищется «общая» функция Ляпунова, т. е. не зависящая от параметра. В данной статье предлагается подход, который позволяет свести поиск функции Ляпунова, зависящей от параметра, к поиску другой функции.

© Козлов М. В., 2012