Асимптотическая устойчивость решений сингулярно возмущенных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

рассматривать нелинеаризованные механические параметрические колебательные процессы, т. е. реальные механические параметрические колебательные процессы, в среде без сопротивления, то математическая модель таких колебательных процессов описывается, так сказать, физическим уравнением Хилла

х = g(t) sin х = 0. (5)

Так как уравнение (5) получается из уравнения (2), если положить х, х) = 0, то при выполнении условий теоремы 2 на функцию д(0 решения физического уравнения Хилла (5) всегда является равномерно ограниченным по скорости с контролем начальных скоростей.

В заключение для полноты картины рассмотрим уравнение, которое получается из уравнения (2), если положить д(0 = 0, т. е. рассмотрим дифференциальное уравнение

х + f(t, х, х)х = 0. (6)

Ясно, что это уравнение описывает уже не колебательный процесс, а моделирует процесс свободного движения тела, выведенного из состояния покоя, в вязкой среде с коэффициентом вязкости /х, X) > 0. Так как уравнение (6) является частным случаем уравнения (2), то из теоремы 2 получаем, что свободное движение тела, выведенного из состояния покоя, в вязкой среде, которое описывается уравнением (6), всегда является равномерно ограниченным по скорости с контролем начальных скоростей.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Воротников В. И. К теории частичной устойчивости нелинейных динамических систем / В. И. Воротников, Ю. Г. Мартышенко // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010.

№ 5. С. 23 31.

2. Голечков Ю. И. Асимптотические и качественные методы исследования технических систем, моделируемых обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка / Ю. И. Голечков. М. : РГОТУПС МПС РФ, 2003. 212 с.

3. Румянцев В. В. Устойчивость и стабилизация движения относительно части переменных / В. В. Румянцев, А. С. Озиранер. М. : Наука, 1987. 254 с.

4. Yoshizawa T. Liapunovs function and boundedness of solutions / T. Yoshizawa // Funkcialaj Ekvacioj. 1959. Vol. 2. P. 95 142.

Поступила 27.01.2012.

УДК 517.928.1

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ

М. В. Козлов

В работе рассматриваются сингулярно возмущенные системы, для которых получены достаточные условия асимптотической устойчивости по Ляпунову тривиального решения при достаточно малых значениях параметра.

В связи с широким применением в теории гороскопов сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и их систем задача об устойчивости по Ляпунову их тривиального решения имеет большое значение. Этому вопросу посвящено немало работ, которые базируются на применении второго

метода Ляпунова [1—4; 6]. При этом зачастую ищется «общая» функция Ляпунова, т. е. не зависящая от параметра. В данной статье предлагается подход, который позволяет свести поиск функции Ляпунова, зависящей от параметра, к поиску другой функции.

© Козлов М. В., 2012

(1)

Рассмотрим систему сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений

[х = /1 (£, х, у),

[ту = /2 (^ х у),

в которой X = (Х1, ... , Хк )Т , У = (У1, к ... ,Ут)Т, т > 0, отображения /1 (Ь,х,у),

/2 (Ь, х, у) непрерывно дифференцируемы в области

-О = {(*, х1 хЬ У1> Ут) : I > 0 ||(х, у| < Н, Н > 0},

где ||( х, у) = ^ х2 + . +

х2 +

У12 +

у = /2 (0,х, у).

2) «'о(х,у) = ^

< 0.

(1.3)

Рассмотрим систему дУ = дт дW

: Г (т, т, Х, У )

дГ

дт дг

+ VхУ /1 + т VХг, /1 +

+ Н V хУ / + Р уГ, /2) + т( VyУ, /

и начальные данные к ней

ГУ (0, т, х, у) = Уо (х, у), (0, т, х, у) = ^о (х, у).

Пусть система (1) имеет в О единственное положение равновесия х = 0, у = 0.

С помощью замены Ь = тт получим регулярно возмущенную систему

Гх = т/1 (тт х у),

1у = /2 (ИГ -Т у) , которая при т = 0 вырождается в автоном ную систему:

= 0,

(2)

Г (т, т, х, у) есть некоторая скалярная функция. Решение системы (4), определенное условиями (5), обозначим за У (т, т, х,у) и W (т, т, х, у).

Теорема 1. Пусть существует функция Г (т, т, х, у), удовлетворяющая условиям:

1) Г (т, т, х, у) непрерывно дифференцируема по переменным т,х1, ..., х^, у^, ..., ут;

2) Г (т, т, 0,0) = 0 при т > 0;

3) Г (т, т, х, у) допускает бесконечно малый высший предел в точке х = 0, у = 0;

4) Г (т, т, х, у) > - а (т) ®0 (х, у),

а (т) — непрерывная функция;

5) справедливо соотношение

дГ

где

G (^ т x, у) = ^ + т (V xF, А) +

+ ^ уГ, /2) + ^ хУ), А1 + тт

д/1 дЬ

(3)

+ ^ 0 Гс1з, /1 + тт/) + т( V у Уо, д/2) +

дЬ

Поставим следующую задачу: найти условия, при выполнении которых существуют число то > 0 и функция У(т, т, х, у), которая при каждом т е (0; то) удовлетворяет требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2).

Пусть для системы (3) выполняются требования теоремы Ляпунова об устойчивости. Это означает, что существует функция У)(х,у), удовлетворяющая следующим условиям [5, с. 22]:

1) У) (х, у) > ®о (х, у), где ®о (х, у) — определенно положительная функция;

т

+ т( Vу /д/2) < -®1 (х,у),

(4)

дЬ

где ®1 (х, у) есть определенно положительная функция. Тогда найдется такое то > 0, что при каждом т <= (0; то) функция У(т, т, х, у) будет удовлетворять требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Доказательство. Проинтегрируем первое уравнение системы (4), используя начальные данные (5):

т

У (т, т, х, у ) = У) (х, у) + | Г (5, т, х, у ) о

Свойства функций У)(х, у) и _Р(т, т, х, у)

позволяют перейти к неравенству т

У (т, т, х, у) > ю0 (х, у) - | а (5) ю0 (х, у) йэ = 0

( т

= ®о (х, у) 1 - | а (э) йэ

I о

Обозначим через то минимальный положи-

Серия «Физико-математические науки»

51

т

тельный корень уравнения | а (5) йэ = 1, если

0

таковые имеются. Тогда при т е (0; то)

(или при всех т е (0; +да), если корней нет)

т

справедливо неравенство 1 - | а (5) > 0 , и

0

поэтому функция V (т, 1 х, у) — определенно-положительная. Также V (т, 1 х, у) допускает бесконечно малый высший предел при (х, у) ^ 0, так как является суммой функций, обладающих таким свойством. Осталось доказать, что производная функции V (т, 1, х, у) в силу системы (2) является определенно отрицательной. В самом деле, интегрирование второго уравнения системы (4) и использование свойств входящих в него функций дает нужное неравенство:

т

W (т, 1, х, у) = Wо (х, у) + | G (5,1, х, у) йэ < 0

< -т®1 (х, у).

Таким образом, функция V (т, 1 х, у) удовлетворяет всем требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Теорема доказана.

Рассмотрим один частный случай: пусть отображения / (£, х, у) и /2 (¿, х, у) не зависят

явно от переменной t, т. е. система (2) автономна. В этом случае функции V и Г не зависят от переменной 1, так что условия теоремы 1 упрощаются, и справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если существует функция Г (т, х, у) удовлетворяющая условиям:

1) Г (т, х, у) непрерывно дифференцируема по переменным Х\, ..., х^, у\, ..., ут;

2) Г (т, 0,0) = 0 при т ^ 0;

3) Г (т, х, у) > -а (т) ®о (х, у), где а (т) — непрерывная функция;

4) G (т, х, У) = т /1) + ^ уГ, /2) +

+ (^о,А) + (чх0А^ * -®1 (х,у), где ®1 (х, у) — определенно-положительная функция, то найдется такое то > 0, что при каждом т е (0; то) функция V (т, х, у) будет удовлетворять требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Переход от сингулярно возмущенной системы (1) к регулярно возмущенной системе (2) сохраняет для нулевого решения свойство устойчивости. Поэтому, теорему 1 можно применить при исследовании не только системы (2), но и системы (1), в том смысле, что если эта теорема выполнена для системы (2), то нулевое решение системы (1) будет асимптотически устойчиво.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Климушев А. И. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных / А. И. Климушев, Н. Н. Красовский // Прикл. математика и механика. 1961. Т. XXV. С. 680 690.

2. Косов А. А. Исследование устойчивости сингулярно возмущенных систем методом вектор-функций Ляпунова / А. А. Косов // Вестн. Санкт-Петерб. ун-та. 2005. Вып. 4, сер. 10.

С. 123 128.

3. Маркечко М. И. Об асимптотической устойчивости сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений / М. И. Маркечко // Дифференц. уравнения. 1989. № 10. С. 1698 1705.

4. Мартынюк А. А. Исследование устойчивости автономных сингулярно возмущенных систем на основе матриц-функций Ляпунова / А. А. Мартынюк, В. Г. Миладжанов // Дифференц. уравнения. 1988. № 3. С. 416 424.

5. Руш Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Н. Руш, П. Абетс, М. Лалуа. М. : Мир, 1980. 300 с.

6. Joe Hong Chow. Asymptotic stability of a class of non-linear singularly perturbed systems / Joe Hong Chow // Franklin Institute. 1978. Vol. 305, № 5. P. 275 281.

Поступила 28.01.2012.