Равномерная ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных колебаний связанных механических осцилляторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.052.42

РАВНОМЕРНАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ ПО СКОРОСТИ С КОНТРОЛЕМ НАЧАЛЬНЫХ СКОРОСТЕЙ НЕЛИНЕАРИЗОВАННЫХ КОЛЕБАНИЙ СВЯЗАННЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

К. С. Лапин

В данной работе проведено исследование на частичную равномерную ограниченность с контролем начальных скоростей математической модели нелинеаризованных колебаний связанных механических осцилляторов.

В данной работе при помощи достаточного признака равномерной ограниченности решений по части переменных с контролируемой частью начальных условий работы «Равномерная ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей нелинеари-зованных механических колебательных процессов в вязкой среде» (с. 46 — 50) исследуются нелинеаризованные колебания связанных механических осцилляторов на равномерную ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей.

Напомним сначала необходимые определения и утверждения из работы, опубликованной в этом номере журнала на с. 46 — 50. Пусть задана произвольная система дифференциальных уравнений от n переменных:

x = F(t, x), F(t,x) = F1(t,x), ..., Fn(t,x), (1)

x = (xi, ..., Xn) е R ,

правая часть которой задана и непрерывна в R+ x Rn, где R+ = {t e R |t > 0}. Далее везде будет предполагаться, что каждое решение системы (1) продолжимо на всю полуось R+.

Для любого вектора x = (y, z) е Rn = = Rk x Rn-k, где 1 < k < n, обозначим через y| обычную евклидову норму вектора y е Rk. Кроме того, для произвольной дифференцируемой функции V(t, x) обозначим через V (t, x) производную функции V(t, x) в силу системы (1).

Напомним, что решения системы (1) называются равномерно ограниченными по части переменных y = (xi, ..., x-k) c контролируемой частью начальных условий

У0 = ((x0)i, ..., (x0)-) или, более кратко, равномерно y-ограничены с у0-контролем, если для каждого неотрицательного числа a e R существует такое положительное число ß(a) e R, что для любой точки (tQ, x0), Уо < a выполнено условие |y(t, xo,to)| < ß при t > 0, где x = x(t,x0, to) — любое решение системы (1), проходящее через точку

x0).

Напомним теперь следующий достаточный признак равномерной ^-ограниченности с у0-контролем решений системы (1) из нашей предыдущей работы (с. 46 — 50).

Теорема 1. Пусть для системы (1) имеется неотрицательная дифференцируемая функция V(t, x), определенная в области t > 0, x = (y, z) е Rn, y е Rk, \y\ > Rq, где RQ > 0 — некоторое фиксированное число, для которой выполнены следующие условия:

1) b(Iy\) < V(t, x) < a(\y\), где a(r) > 0 и b(r) > 0 — непрерывные возрастающие функции и b(r) ^ с» при r ^ ю;

2) V(t, x) < 0 внутри области t > 0, x £ Rn, x|k > R0.

Тогда решения системы (1) равномерно ^-ограничены с yQ-контролем.

Исследуем при помощи теоремы 1 нели-неаризованные колебания системы связанных механических осцилляторов на равномерную ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей.

Хорошо известно, что математическая модель нелинеаризованных колебаний системы, состоящей из N > 1 связанных механических осцилляторов, описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка:

© Лапин К. С., 2012

196

ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2

- -k sin X1 - k Sin(X1 -X2)

X - - u2 sin(x2 - X1) - k3(x2 - x3)

II :>j1F -k sin(X¿- X¿-1) - k+1 sin(X¿- Xi+1)

XN-1 - -kN-1 sin(XN-1 -XN-2) -

- UN sin(XN-1 - XN )

Xn - -UN sin(XN - Xn-1) - kN+1 sin Xn,

где Xi, ..., Xn — смещения осциллирующих тел относительно своих положений равновесия и k > 0, ..., kN+i > 0 — коэффициенты упругости пружин, связывающих осциллирующие тела.

Ясно, что если для системы (2) подставить Xi = X2¿-1> Xi = x2¿, 1 < i < п, то система (2) запишется в виде системы уравнений первого порядка:

Xj = X2

±2 = -k sin Xj - ^2 sin(xt - X3)

X4 = -k2 sin(x3 - Xj) - кз sin(x3 - X5)

x2¿-1 - x2i

x2i - -Ui sin(x2i-1 - x2¿-3> -<-k¿+1 sin(x2i—1 - x2¿+1>

х2И-3 = х2И-2

х2Ы-2 = ~кЫ-1 81п(х2^-3 - -

з1п(х2^-з - Х2М-1)

х2И-1 = х2И

х2Ы = "ку я1п(х2^-1 - х2Ы-з) -

-кИ+1 х2И-1-

Теорема 2. Решения системы (3) равномерно у-ограничены с у0-контролем, где у = (%2, Х4, ..., Х2и).

Доказательство. Рассмотрим неотрицательную дифференцируемую функцию

У(х) = У(хь ..., х2Ы) = х| + х| + к

... + х22^-2 + х2Я + sin2 Г2 х11 +

+ 4^2 sin2 ^2(xi - Х3)j + 4кз sin2 ^2 (хз - Х5)j +

+ ... + 4kN sin2 ^| (x2N-3 - x2N-1)j + + 4kN+1 sin2 ^2 X2N-1 ) ■

Легко видеть, что для функции V(t, x) -= V(x) характерно двойное неравенство b(|y|) < V(t,x) < a(|y|), где b(r) - r2 и a(r) =

= r2 + 4(k + k + • •• + ^n+i). Ясно, что

b(r) > 0 и a(r) > 0 являются непрерывными возрастающими функциями и b(r) ^ да при r ^ да. Таким образом, условие 1 из теоремы 1 для V(t, x) - V(x) выполнено. Для производной V(t, x) - V(x) в силу системы (3) получаем:

V(x1, ..., Х2N) - 2x2(-^1 sinХ1 -- k sin(x1 - x3)) + 2x4(-k sin(x3 - x1) -

- k sin(x3 - x5)) + ... +

+ 2x2N-2(-UN-1 sin(x2N-3 - x2N-5) -

- kN sin(x2N-3 - x2N-1)) +

+x2N(-UN sin(x2N-1 - x2N-3) - UN+1 sin x2N-1) + + 2^1x2 sin x1 + 2^2x2 sin(x1 - x3) -- 2^2x4 sin(x1 - x3) + +2^3x4 sin(x3 - x5) - 2kx6 sin(x3 - x5) + к + + 2kNx2N-2 sin(x2N-3 - x2N-1) -- 2kNx2N sin(x2N-3 - x2N-1) + + 2&n+1x2nx2n-1 = 0 < 0.

Таким образом, условие 2 из теоремы 1 для V(t, x) = V(x) выполнено и, следовательно, решения системы (3) равномерно ^-ограничены c у0-контролем. Теорема доказана.

Так как y = (x2, x4, ..., x2N ) = (£4, X2, • • •, к, Xn), теорема 2 позволяет сказать, что решения системы (2) являются равномерно ограниченными по скорости с контролем начальных скоростей.

Поступила 19.03.2012.

Серия «Физико-математические науки»

197