Асимптотические свойства решений функционально-дифференциальной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Выпишем матрицу квадратичной формы из правой части равенства (13)

I

(—4 sint + 2 + cosí Л ( v

sint + 2-fcosí —2(sin£ + 2) )' W

Бе главные последовательные миноры будут равны d\ = —4, <¿2 = 8(sin t + 2) — (sin t + -f 2 4- cosí)2 При этом можно убедиться, что ¿2 > 6 при всех t Е R. Тогда согласно критерию Сильвестра [1] квадратичная форма с

матрицей (14) будет определенно отрица-

_ 2 _ 2 тельной. Выражение 2хе х +2уе у можно

рассматривать как линейную форму с ограниченными коэффициентами. Значит знак выражения (13) будет определяться знаком квадратичной формы с матрицей (14) при ж2-!-?/2 > г, где г > 0 достаточно велико, т. е. будет отрицательным. Значит, согласно теореме 1 решения системы (12) действительно будут равномерно ограничены.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. - М. : Наука, 1967. - 576 с.

2. Иосидзава Т. Функция Ляпунова и ограниченность решений / Т. Йосидзава // Сб. переводов «Математика». - Мир. - 1955. - С. 95-127.

3. Климушев А. И. Равномерная асимптотическая устойчивость систем уравнений с малым параметром перед производными / А. И. Климушев, Н. Н. Красовский // ПрикЛ. математика и механика. - 1962. - Т. 25. - С. 1011-1025.

Поступила 27.10.10.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Р. Б. Лапшина

Распространяется теорема Йосидзавы - Л а Салля об асимптотической устойчивости на системы функционально-дифференциальных уравнений общего вида.

Рассмотрим систему

х\Ь) = №х{*))> (1)

где а < з < Ь, £ € Я+ = [0,4-оо), / -функционал, непрерывный при Ь £ Я+ и принимающий значения в Яп; х : В,а —> Яп есть непрерывная функция, где = [а, £). Если а = — оо, то будем считать, что х : (—оо,£) -» К1 Предположим, что функционал / локально Липшицев по х, т. е. для каждого г > 0 и каждого компакта (2 С К1 существует постоянная с, вообще говоря, зависящая от г и (} такая, что

\№,х(-))-№,у(-))\<с\\х-у\\, (2а) V« £ [0,т],х,у:[а,т)->а. (26) Введем обозначения:

|ж| ::= тахг|жг|, х е Яп; (За)

||0Ц::=8ир|0(*)|У«еМ]; (36)

Я* = [Ьо,оо). (Зв)

Пусть ¿о > 0 и начальная функция Ф : [а, Ьо] Яп непрерывна. Известно [1], что существует решение ж(£,£о,Ф) системы (1) на интервале [¿о,/?), удовлетворяющее условию

Серия «Физико-математические науки»

59

© Р. Б. Лапшина, 2010

я(£,£о,Ф) = Ф(£), а < £ < £0.

(4)

Это решение может быть продолжено на интервале [а,/3), где /3 = оо или

Птж(£, £о,Ф) = оо, £ -» /3.

(5)

Предположим, что / является достаточно гладким функционалом, для которого существует решение для каждой непрерывной начальной функции Ф, и что если решение остается ограниченным, то оно может быть продолжено на все значения положительной полуоси.

Определение 1 [1]. Непрерывный функционал

г>(£,х(з)), а < 5 < £, £ 6

(6)

называется функционалом Ляпунова, если:

1) У(£,х(з)) непрерывен при £ Е Я+, где х : [а, £) -> Яп есть непрерывная функция;

2) г>(£, х(з)) локально Липшицев по х;

3) г>(£,ж(-)) ограничен снизу для ограниченных функций х (■); (7а)

4) £Ц£, ж(-)) <0, (76)

где производная Бу вдоль решения х(-) системы (1) определяется соотношением

Нш

А—>0

Д£

(8а)

где

х(я), если а < я < £

х(5)+ /(£,*(•))(*-£),

если £ < 5 < £ 4- А£.

(86)

Имеет место следующее предложение, явля-

__

ющееся аналогом теоремы Иосидзавы - Ла Салля для обыкновенной дифференциальной системы (1).

Теорема 1. Пусть:

1) х(Ь) - ограниченное решение функционально-дифференциальной системы

а)-,

2) у{Ь,х{-)) есть функционал Ляпунова системы (1) такой, что

Г>у(Ь,х) < -И^1(х(£)),

(9а)

где - положительно определенная функция относительно замкнутого множества Z С Яп, т. е. для любого компактного множества <2 С Яп и любого е > 0 существует с\ > 0 такое, что

где - дополнение окрестности

множества Z;

3) существует неотрицательная функция : Я+ х N Я+, где N открытая окрестность множества Z, такая, что для каждого компактного подмножества <2 С N имеем:

а) Уех >0, Эр > 0, > /л

Уя е<ЭПАГс(£1,2); (10)

б) У/х > 0, 3е2>0, Ж2(£,^)<| \/xeQГ^N(e2,Zy, (11)

в) производная £>И/2(£,ж(£)) ограничена сверху, т. е.

Зс1, лж2(£,х(£)) < си е д.

• /

Тогда

(12)

х(£) —У Z, £ —У 4-оо.

(13)

Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда для функционально-дифференциальной системы (1) существует решение х(£), не приближающееся к Z.

Имеем

3<Э с К1, х(£) Д*0,

(14)

где С} компактное множество. Кроме того, имеем

3£ > 0, Щ2е, Z)r^Q<zN, 3{гк}, тк оо, р{х{тк)^) = е.

(15а) (156)

Обозначим М ::= где ЛГ(£, £) -

замыкание множества ДГ(£, ¿Г).

По условию теоремы для компактного множества М С N и числа £1 > 0 всегда можно найти такие числа // и £2, что 0 < 2^2 < £1. По условию (9) имеем

оо. (16)

З^ь}, оо, р(ж(вА;), £) -> 0, /с

Тогда

3{£ь}, 3{сг^},£^ оо,

СГк

оо, к

оо

>

= £1, р(х(<тк),Я)

е_2 2

£2 2

< р(х(ь),г) < а.

(17а) (176)

(17в)

В силу условий теоремы

\Уг(х)>си УхЕ<2ПЛГс(£,£),

(96)

Зс, £>И^(£5а;(£)) < с 3£ €

(18а)

60

ВЕСТНИК Мордовского университета | 2010 | 4

Интегрируя неравенство (18а) в интервале от сгк до £fc, получим

W2(tk,x(tk)) - W2(<rklx(ak)) <

(186)

< c(tk - СГк).

Так как

W2(tfc,®(tjb)) > М. W2(ok,x(ak)) < то получим

I < \w2{tk,x(tk)) < W2(tk,x(tk))-

-W2(ak,x(ok)) < c(tfc - (Jfc). Окончательно имеем

(19)

(20)

tk — СГк> ^цс 1

(21)

По условию теоремы

Dv(t,x{-)) < -Wi{x(t)), t > tk,

(22)

где является положительно определенной функцией относительно множества Z. В силу этого существует такое число с\, что

v(t,z(')) < "(to,*)

t

J Wi{x{u))du

<

to

к ti

<v(to,<P)-^T I W\(x{u))du

<

(23)

ti

<v(t0,<P)

1=1 ^ i74

1

c\du = v(to ,Ф) — -kficic

¿л

-l

Переходя к пределу в (23) при к -> оо, получим, что х(-)) —> оо. Это противоречит условию 3) определения 1 функционала Ляпунова. Теорема доказана.

Введем функции : Я+ —> Я+, которые обладают свойствами: К 1(0) = О, К^Ь) > 0, Ь > 0, Кг(Ь) строго возрастают с возрастанием

Из теоремы 1 вытекает

Теорема 2. Пусть:

1) я(£) есть ограниченное решение системы (1

2) у(1,х(з)) - функционал Ляпунова для системы (1), удовлетворяющий условию

Dv(t,x) < -Кг(\х\);

(24)

3) существует неотрицательная локально липшицева функция W : Я+ х Rn R+ такая, что

К2(\х\) < W(t, x(t)) < Кг(\х\); (25)

4) производная П\У(Ь,х(Ь)) ограничена сверху для любой непрерывной функции х{Ь), определенной на Я+. Тогда

х(Ь) (0,...,0), * оо. (26)

Доказательство. Легко проверяется, что для множества 2 — {0,0}, N = Яп выполнены условия теоремы 1. Значит все ограниченные решения системы (1) приближаются к ^ = {0,..., 0} при £ —> оо. Доказательство теоремы 2 завершено.

Нетрудно видеть, что обыкновенная дифференциальная система

x'(t) = f(t,x(t))

(27)

является частным случаем функционально-дифференциальной системы (1).

Т. Йосидзава [3] и Ж. П. Л а Салль [2] доказали следующее предложение:

Теорема 3 [2-3]. Пусть V : Яа х Яп Я1 непрерывна, локально липшицева по х и ограничена снизу на каждом цилиндре Яа х Р с компактным основанием Р С Яп,

Dv{t,x) < -W(x) < 0.

(28)

Если |/(£,х)| ограничена для ограниченных х\, то каждое ограниченное решение дифференциальной системы (27) стремится при Ь —» +оо к множеству Z = {х : \¥{х) = 0}.

Замечание. Производная в (28) определяется соотношением

Dv(t,x)

lim/i

/г-)-О

-1

[v(t + h,x + hf(t,x))~ (29)

-v(t,x)].

Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы 3. Обозначим Wi(x) = p(x,Z), где p(x,Z) есть расстояние от х до множества Z. Функция Wi(x) удовлетворяет условию Липшица

\W!(xl) - W!(x2)\ <

X

X

Производная

DWi(x)

1

Yim-{Wi(x + hf(t, x)) - Wi(t,x)}

ограничена для ограниченных \x

1

т. к.

\DW\(x)\ < \im-\x + hf(t,x) -x

= \f(t,x)\.

(30)

Кроме того, функция И^х(х) удовлетворяет условиям (10)—(11), следовательно, условия теоремы 1 выполнены. Теорема 3 доказана.

Теорема Йосидзавы - Ла Салля для дифференциальной системы является частным случаем теоремы 1 для функционально-дифференциальной системы.

Серия «Физико-математические науки»

61

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Driver R. D. Existence and Stability of a Delay - Differential System / R. D. Driver. - Arch. Rational Mech. Anal. - 1962. - Vol. 10. - P. 401-426.

2. La Salle J. P. Stability theory for Ordinary Differential Equations / J. P. La Salle // Differential Equations. - 1968. - № 4. - P. 57-65.

3. Yoshizawa T. Asymptotic behavivor of solution of a system of differential equations / T. Yoshizawa // Contrib. to Differential Equations - 1963. - № 1. - P. 317-387.

Поступила 01.11.10.

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ОТНОСИТЕЛЬНО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ

В. И. Никонов

%

Даны условия устойчивости относительно части переменных линейных автономных систем дифференциальных уравнений, линейных дискретных систем и линейных систем с отклоняющимся аргументом.

1. Системы линейных дифференци-

альных уравнении

Пусть поведение объекта описывается системой дифференциальных уравнений вида

dx ~dt

A*x(t),

(1)

где х е А е ДпХп

К настоящему времени получены критерии устойчивости по заданной части координат фазового вектора линейной автономной системы вида (1) [1; 3]. Следует отметить, что этими результатами уже нельзя воспользоваться если предположить, что матрица А* системы (1) известна с определенной степенью точности, например, интервальная. Можно сказать, что эти методы чувствительны к изменениям коэффициентов матрицы системы.

В данной работе предлагается геометрический подход, позволяющий в некоторых случаях исследовать робастную устойчивость системы (1) по отношению к части переменных.

Предположим, что исследуется устойчивость по первой координате фазового вектора

х системы (1). Обозначим первую координату фазового вектора через у, а остальные компоненты составят вектор г. В связи с этим систему (1) представим в виде

dy dt

dz ~dt

ay -f bTz,

(2)

cy -j- Dz,

iti — 1

гдеу £ Я,г € Яп~\а € Я,Ъ в Дп_1,с€ Я1

В е я(п~1)х(п-:1),Т - знак операции транспонирования.

Предположим, что многочлен

<т(А) = А5 4- 71 А3-1 + • • • + 7,-1 А + 7з,

где 0 < 5 < п — 1 является минимальным аннулирующим многочленом вектора ЬТ относительно линейного оператора, заданного матрицей Б. Тогда справедливо соотношение

Ь1 Ds 4- 7ibTDs_1 4-

4- ъ~гЬ £> + ъЬ

+

(3)

0.

Следует отметить, что в этом случае век-

© В. И. Никонов, 2010

62

ВЕСТНИК Мордовского университета | 2010 | № 4