CC BY
16
1 0 0 1
-1 -1 -1 1
5 2 -1 9
1 0 0 1
I2 +
-1 -1 -1 1
5 2 -1 9
которое, очевидно, эквивалентно линеинои системе дифференциальных уравнении четвертого порядка, что полностью согласуется с результатами [3]. Далее составим характеристическое уравнение
которое имеет вид:
14 - 1612 + 31 + 47 = 0.
Его корни: 1 к 3,2684, 1 к 2,1834, 1 к 3,6449, 1 к -1,8069, откуда следует за-
ключение об ^-неустойчивости системы. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
В
1. и. 2. 3.
В. и. 2010.
Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных Воротников. М. : Наука, 1991. 288 с.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. М. : Наука, Никонов В. И. Об устойчивости линеИных систем относительно // Вестн. Мордов. ун-та. Сер. Физико-математические С. 62 65.
Никонов № 4.
1967. 576 с.
части переменных науки [Саранск].
Поступила 14.03.2012.
УДК 517.9:531.26
О ТЕОРЕМАХ ПРИТЯЖЕНИЯ
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ
Р. Б. Лапшина
Доказаны аналоги теорем о притяжении [1 4] для функционально-дифференциальных уравнении, уточняющие результаты работ [3 4].
Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение вида
X (г) = /(х), / : X ^ Я", X с С. (1)
Будем предполагать, что / есть непрерывная функция из X в Яп, отображающая ограниченные множества из X в ограниченные множества из С. Эти предположения будут выполнены, если функция / локально Липшиц-непрерывна на X.
Примем следующие обозначения:
1) ФО-уравнение — функционально-дифференциальное уравнение;
2) С — пространство непрерывных функции ф : [—г, 0] ^ Яп с нормои
Н = 9тах01 к (е)1; (2)
3) х : [—г, 0] ^ Яп такая, что
хЬ (0) = х (Ь + 0), -г < 0 < 0, 0 < Ь < а.
Очевидно, что х1. е С — ограничение функции на [Ь — г, Ь].
Определение 1. Функция Х1 : [—г, а] ^ Яп называется решением ФО-уравнения (1), если для некоторого а > 0 функция х удовлетворяет (1) для всех Ь е [0, а).
Определение 2. Решением х(Ь, ф) на-чальнои задачи ФО-уравнения
х' (г) = / (хг), хо = ф е С (4)
называется непрерывная функция х(Ь), определенная в интервале [—г, а], такая, что
х(Ь) = ф(Ь) "Ь е [-г,0], (5)
ф(Ь) е X с С, (6)
и удовлетворяющая ФО-уравнению (4) для всех 0 < t < а.
© Лапшина Р. Б., 2012
Известно [3 — 4], что при указанных выше предположениях на функцию / начальная задача ФО-уравнения (4) имеет единственное решение х(Ь, ф), определенное в максимальном интервале [-г,ю (ф)), ю (ф) > 0.
Определение 3. Пусть х(Ь, ф) есть решение начальной задачи (4), определенное на максимальном интервале 1(ю) = [-г, ю(ф)).
Отображение
л (Ь, ф) = {(Ь, ф) : Ь е I (ф), ф е X} с Л+ х X, (7) определенное соотношением
р(Ь, ф) = хЬ(ф) = х(Ь + ф), (8)
называется движением на X.
Отметим, что
х(Ь) = хЬ(0) = р(Ь, ф) (0). (9)
Определение 4. Пусть есть решение начальной задачи (4). Положительной траекторией, проходящей через точку ф, называется множество
у+(ф) = я(Яф), ф) = {хЬ: Ь е 1(ф)}.
Определение 5. Функция ¥ е С называется ю-предельной точкой движения р(Ь, ф), если
(11)
е 1 (ф)> ¿к ^ ю(ф)> л (¿к, ф) ^ У, к ^
Множество всех ю-предельных точек движения р(Ь, ф) называется ю-предельным множеством этого движения и обозначается ф)) (или — короче — Оф)).
Определение 6. Решение х(Ь, ф) начальной задачи (4) называется предкомпактным относительно X, если замыкание у+(ф) положительной траектории у+(ф) компактно и У+ (ф) с X.
Определение 7. Пусть У с X. Функция V : У ^ Л" называется функцией Ляпунова на множестве У относительно ФО-уравнения (1) (обозначается V е Z(Y)), если:
1) V(ф) непрерывна на У;
2) V (ф) < 0 "ф е У.
Определим производную V (ф) функции Ляпунова V:
(ф) = 1 ^ (л (к' ф)) - У (ф)]'
два множества Z и Е:
Z = {ф : V(ф)} = 0, ф е У}, (12)
E — наибольшее инвариантное множество в Z.
Теорема 1 (о притяжении). Пусть:
1) V е Z(Y);
2) x(t, j) — прекомпактное решение ФО-уравнения;
3) xt(j) е Y "t > 0. Тогда
3c и (t, j) ^ E П V-1 (c), t (13)
где V-1(c) — множество с-уровня функции Ляпунова.
Доказательство. По условию (2) теоремы 1 существует такое L > 0, что
xt(j)| < L, xt(j) e Y "t > 0. (14)
Из (14) следует, что {p(t, j)} принадлежит компактному множеству пространства C и W(j) Ф 0. Значит, V(p(t, j)) не возрастает, ограничена снизу и имеет предел, равный C при t ^ +да. Так как функция V непрерывна на Y, то
V (д) = c "д e Q (j). (15) Так как W(j) инвариантно, то V (д) = 0. Но каждое решение приближается при t ^ к своему w-предельному множеству, что и доказывает теорему 1. Теорема 1 обобщает теорему, доказанную в [3].
Теорема 2. Пусть:
1) f отображает ограниченные множества в ограниченные;
2) x(t) — ограниченное решение ФО-уравнения;
3) xt(j) не имеет положительных предельных точек на границе 3X множества X.
Тогда решение x(t) уравнения (1) пре-компактно.
Доказательство. Обозначим
c = sup |f (xt| "t e I (j). (16)
Имеем следующую оценку:
||x (t + j) - x (t)|| =
t+j
I f (xs ) ds
t
< c| |j||, (17)
"t, t + j e I(j) = [0,w(j)). (18)
80
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
Из (17) следует, что решение x(t) равномерно непрерывно на интервале I(j). Кроме того, решение x(t) равномерно непрерывно на отрезке [-r, а). Поэтому решение x(t) равномерно непрерывна на интервале [-r, w(j)). Следовательно, семейство функций
g + (j) = {х^ : t e I (j)} равностепенно непрерывно на [—r, 0) и положительная траектория g+(j) прекомпактна в C. Так как g+ (j) с X, решение x(t) ФО-уравнения (1) прекомпактно. Теорема 2 доказана.
Пример. Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение
X (t) = ах3 (t) + bx3 (t — r), r > 0. (19) Рассмотрим функционал
1 0 V (e) = - — e4 (0) +Je6 (z) dz. (20)
2a — r
1 0 Так как V (xt) = — ^-x4 (t) + J x6 (t) dz,
производная V (9) определяется выражением
V (e) = - (о) + 2b e3 (0) ■ e3 (-r) + e6 (-r) j.
Если b| < J— , то функционал, определяемый соотношением (20), является функционалом Ляпунова в банаховом пространстве Cr = С([-r, 0], Rn) с нормой ||0|| = max |0 (y) "t e [-r, 0]. Если а < 0, то V является определенно-положительным и V ^ да при |e| ^ да. Тогда каждое решение ограничено и, следовательно, предкомпактно.
Рассмотрим следующие случаи:
1) а < 0, |Ъ| < |а|. Тогда нуль-множество
X ::= {б : V (9) = 0, 9 е Сг } есть множество
функций 9, непрерывных на [—г, 0] и удовлетворяющих условию 9(0) = 9(-г) = 0. Максимальное множество Е, содержащееся в X, есть функция, тождественно равная нулю на отрезке [-г, 0], т. е. начало в пространстве Сг. Следовательно, начало глобально асимптотически устойчиво;
2) а < 0, Ъ = а. Множество X состоит из функций 9 непрерывных на [-г, 0] и удовлетворяющих условию 9(0) = —9(-г). Если решение остается в X, то Х (Ь) = 0. Следовательно, множество Е соответствует постоянным функциям 9 = с, и тогда с = 0 и Е = {0}. Начало будет глобально асимптотически устойчивым;
3) а < 0, Ъ = —а. Здесь множество X соответствует непрерывным функциям 9, для которых 9(0) = —9(—г) и множество Е соответствует постоянным функциям 9 = С0. Каждая постоянная функция есть состояние
покоя. Пересечение Е I V-1 (с) состоит из конечного числа постоянных функций. Так как предельное множество ^(9) связно, каждое движение Х£ приближается к постоянной функции;
4) а > 0, \Ъ\ < а (или Ъ < а). Множество У ::= {9 : V (9) < 0} непусто и положительно
инвариантно, и Е есть начало. Каждое решение, начинающееся в У, не ограничено.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова / Е. А. Барбашин. М. : Наука, 1970. 239 с.
2. La Salle J. P. Stability Theory for Ordinary Differential Equations / J. P. La Salle. // J. of Differential Equations. 1968. № 4. P. 57 65.
3. Hale J. K. Sufficient Conditions for Stability and Instability of Autonomous Functional-different Equations / J. K. Hale // J. of Differential Equations. 1965. № 1. P. 462 946.
4. Hale J. K. A Stability Theorem for Functional-differential Equations // J. K. Hale. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 50, 5(1963). P. 942 946.
Лост^пилй 07.03.20/2.
