Развитие метода функций Ляпунова-Разумихина для неавтономных дискретных систем с неограниченным запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929.21

А. Ю. Богданов

РАЗВИТИЕ МЕТОДА ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА-РАЗУМИХИНА ДЛЯ НЕАВТОНОМНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ*

В статье рассматриваются вопросы, связанные с исследованием устойчивости решений неавтономных дискретных систем с неограниченным (бесконечным) запаздыванием. Благодаря использованию понятий допустимого фазового пространства дискретной системы с бесконечным запаздыванием, топологической динамики неавтономной системы изучается свойство инвариантности положительного предельного множества решения. Получены теоремы об асимптотической устойчивости нулевого решения на основе развития метода функций Ляпунова-Разумихина и метода предельных уравнений. Рассмотрен пример.

Введение

При математическом моделировании процессов различной природы дискретно-временными системами часто возникает необходимость учета зависимости текущего состояния не стандартно от фиксированного числа непосредственно предшествующих состояний, а от всей предыстории. При этом приходится обращаться к системам с неограниченным (бесконечным, нефиксированным) запаздыванием (последействием), представителями которых, в частности, являются дискретные системы Вольтерра. Следствием этого явилось значительное внимание исследователей к изучению свойств решений этих уравнений, среди которых значительное место занимают работы, посвященные устойчивости (см. ссылки в [1]).

Имеет место принципиальное отличие дискретного уравнения Воль-терра (или общего уравнения с бесконечным запаздыванием) от дискретного уравнения с фиксированным конечным запаздыванием. Последнее всегда может быть сведено к системе одношаговых дискретных процессов фиксированной размерности, что позволяет сформулировать общие теоремы в терминах существования функций Ляпунова и получить конкретные условия устойчивости. Невозможность такой редукции для дискретных уравнений Вольтерра приводит к формулировкам общих теорем об устойчивости (подобным соответствующим результатам для непрерывных систем с бесконечным запаздыванием) в терминах существования подходящих функционалов, определенных на решениях рассматриваемых уравнений и зависящих от всей предыстории (подход Н. Н. Красовского (1956)) или функции вспомогательного функционала (подход Б. С. Разумихина (1956)).

В настоящей работе подход Б. С. Разумихина [2] развит для неавтономных дискретных систем с неограниченным запаздыванием и осуществлен синтез этого метода с методом предельных уравнений. Несмотря на возникающее ограничение в виде так называемого условия предкомпактности, класс рассматриваемых уравнений с практической точки зрения сужается несущественно. При этом значительно ослабляются классические требования к функции Ляпунова и ее первой разности в силу системы.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 05-01-00765-а. 28

1. Постановка задачи. Основные определения и предположения

Пусть ^ - действительное ш -мерное евклидово пространство с нормой | • |; В - векторное пространство дискретных функций |ф}, отображающих X~ = {-«>,..., 0} в Rш. Пусть в пространстве В определена норма || • |В такая, что линейное нормированное пространство (В, || • ||в ) является полным.

Для дискретной функции х: X ^ Rш определим функцию хп : X- ^ Rш для произвольного фиксированного п е X по формуле хп (к) = х(п + к), к < 0.

Определение 1.1 [1]. Пространство В назовем допустимым, если существуют постоянные К > 0, J > 0 и функция М : X+ ^ R+ такие, что выполняются следующие условия. Если х: X ^ ^ ограничена на [п0 , + тс) и хпо е В, то для всех пе [п0, + тс) выполнено:

1) хп е В ;

2) || хп ||В< КтаХп0<к<п 1 х(к) |+М(п - n0)|| хп0 ||В ;

3) |ф(0) |< J || ф||В для всех фе В ;

4) М (п) ^ 0 при п ^+го;

5) если ф ограничена на X- , то фе В и все функции ф-п, п > 0, ограничены по норме пространства В , || ф-п ||в < Ь для некоторого Ь > 0 .

Такие допустимые пространства в литературе обычно называются пространствами «с исчезающей памятью». Итак, пусть В - допустимое сепарабельное пространство. Пусть Ва = {фе В :|| ф||в< а}.

Рассмотрим систему нелинейных неавтономных уравнений с бесконечным запаздыванием:

х(п +1) = / (п, хп), / (п,0) = 0, (1.1)

где /(п, ф): X+ хВн ^ для некоторого 0 < Н < +^ есть непрерывное по ф при каждом п е X + отображение, ограниченное на каждом множестве 7+ X О, где О = Вн , | / (п, ф) |< ш(Н) для всех (п,ф) еZ + Х£^, 0 <Н < Н. Тогда для каждой начальной точки (п0, ф) е X + хВн существует решение (1.1) х(п; п0, ф), хп0 = ф.

Предположение 1.1. Функционал / (п, ф) равномерно непрерывен на каждом множестве X + X О, где О с Вн - компакт, т.е. для каждого е> 0 существует 8 = 8(е, О) такое, что для всех ф1; ф2 е О из неравенства || ф1 - ф2 ||в <8 следует | /(п, ф1) - /(п, ф2) |< е для всех п е X +.

Пусть F = {/ : X +х Вн ^ Rш} - пространство непрерывных вектор-

функций. Для / е F определим семейство сдвигов Т (/) = {/к (п, ф) =

= / (п + к, ф), к е X +} и обозначим Н (/) - замыкание множества Т(/) в пространстве F . В силу предположения 1.1 множество Н (/) компактно в про-

странстве F . Обозначим й(/) = |/* е F : Зпк ^ +тс, ^ /* в F}. Очевид-

но, Н (/) = Т(/) и ^(/). Уравнению (1.1) сопоставим семейство предельных уравнений

х(п +1) = /*(п, хп), (1.2)

где /* (п,ф) еЙ( /) есть предельный к / (п,ф) функционал, определяемый некоторой последовательностью щ ^+°°, т.е. /*(п,ф) = Нтк },.. /(п + щ ,ф) для (п, ф) е X + х Вн (при этом сходимость равномерна на каждом множестве [0, N]хО, где N > 0, О с Вн - компакт).

Лемма 1.1 (дискретный аналог [3]). Пусть последовательности Ч ^+°°, {фк}е О с Вн,фк ^фе Вн при к ^+°о, и х(п; пк + п0, фк) - решения (1.1). Тогда {х(к^(п) = х(п + пк; пк + пд, фк)} содержится в некотором компакте Ох с Вн, и если отображение /* (п, хп) является предельным к /(п, хп) относительно пк ^+°° и Ох, х* (п; п0, ф) - решение уравнения (1.2), определенное на X, то {х(к^(п)} сходится к х*(п; п0, ф), а хп^ ^ х* равномерно по п е [п0, п0 + N] для каждого N е N.

Для решения х(п) = х(п; п0, ф) системы (1.1) положительное предельное множество П+ (хп (п0, ф)) определяется как

й+ (хп п,ф)) = I {хк : к > п}

п>щ

и состоит из пределов последовательностей {хп } при пк ^ +(Х>. Непустота и

компактность положительного предельного множества П+ (хп (щ, ф)) для ограниченного решения х(п; п0, ф) устанавливается стандартным образом.

Лемма 1.2. Пусть решение системы (1.1) х(п; п0, ф) ограничено при

п е X+, | х(п; п0, ф) |< г < Н. Тогда множество П+ (хп п, ф)) положительно квазиинвариантно относительно семейства предельных систем (1.2), т.е. для каждой точки уей+ (хп (щ, ф)) существует предельное уравнение х(п +1) = /*(п, хп) и его решение х*(п; 0,^), удовлетворяющее {х*(0,^)е

е 0+ (хп п, ф)), Уп еZ +}.

Доказательство. Пусть пк ^ - последовательность, для которой

х^к^ = хп (п0, ф) ^ V при к ^ +°°. Из предкомпактности (1.1) следует существование подпоследовательности п^ такой, что /: (п,ф) = / (п + пк. ,ф)

сходится к /* (п, ф) е F при 7 Поэтому, согласно лемме 1.1, последова-

тельность функций х(7)(п) = х(пк. + п, пк., хп ) = х(пк. + п, п0, ф) сходится к

7 7 к 7 7

решению х* (п; 0, V) уравнения х(п +1) = /* (п, хп) равномерно на каждом множестве {0,1,..., N}. Поэтому решение х*(п; 0, V) ограничено для всех п е X+, причем каждая точка х* (0^) является предельной для последовательности {хп +п (п0,ф), п >0} при 7 ^+°°. Следовательно, х* (0,у) е

к7

е й+ (хп п, ф)), Уп > 0. Лемма доказана.

Замечание 1.1. Так как сдвиг /к (п,ф) = /(п + к,ф) при большом к > N > 0 определен для значений (п, ф) е [-N, + ^) х Вн, то по построению уравнения (1.2) его областью определения можно принять множество

X х Вн. Решение х* (п; 0, V)) в лемме 1.1 также по построению продолжимо

для всех п е X, при этом {х* (0^) :п еZ} еП+ (хп (щ,ф)) для всех п е X. Тем самым мы можем говорить о квазиинвариантности положительного предельного множества П+ (хп (п0, ф)) по отношению к семейству предельных уравнений {х(п +1) = /*(п, хп)}.

2. Функции Ляпунова-Разумихина, основные предположения

Пусть V = V(п, х) е С(X +х Он, R+) есть функция Ляпунова, где Он = {хе Rш :| х |< Н}. Ее первая разность в силу уравнения (1.1) есть функционал V : X + х Вн ^ R, V(n, хп) = V(п +1, /(п, хп)) - V(п, х(п)). На множестве X + х Вн определим непрерывный функционал W со значениями в R+.

Определение 2.1. Пара (V, W) называется парой Ляпунова-Разумихина, если для каждого к > 0, п > к и функции ф е Вн такой, что ф-к е Вн, ф ограничена на [-к, 0], выполняется

V (п,ф(0)) <W (п,ф) <тах{ тах V (п + ш,ф(ш))^ (п-к,ф_£)}; (2.1)

-к <ш<0

если 0 < V(п, ф(0)) = W(п, ф), то V(п, ф) < 0. (2.2)

Предположение 2.1. Функция V(п, х) равномерно непрерывна и ограничена, т.е. для любого г, 0 < г < Н, существует ш = ш(г) такое, что для всех

(п, х) е Z+X ог, где ог = {х е :| х |< г < Н}, выполняется условие | V(п, х) |< ш(г), и для каждого е> 0 существует 8 = 8(е) такое, что для всех х1, х2 е Ог из неравенства | х1 - х2 |< 8 следует | V(п, х1) - V(п, х2) |< е для всех п е X +.

Предположение 2.2. Функционалы W(п, ф) и и (п, х) = V(п, ф) равномерно непрерывны и ограничены на каждом множестве X + х О, где

О с Вн - компакт.

В данных предположениях семейства сдвигов {Ук (п, х) = V (п + к, х), к е X +}, {ик (п,ф) = и(п + к, ф), к е X +} и (п,ф) =W(п + к,ф), к еX +} пред-

компактны в пространствах C(Z +х GH, R+), C(Z +х D, R) и C(Z +х D, R+) (здесь D - компакт из пространства Бн ) с компактно-открытой топологией.

Определение 2.2. Функция V* : Z х GH ^ R называется предельной к функции V (n, x), если существует последовательность nk ^ +°° такая, что последовательность V (n, x) = V(n + nk), x)} сходится равномерно на множествах [-N, N] х Gr к функции V*. Функционалы, предельные к W(п,ф) и U (п,ф), определяются по аналогии с f * (п,ф) .

Определение 2.3. Функционалы f *, V*, W*, U* образуют предельную совокупность, обозначаемую далее (f *, V*, W*, U*)d, если они являются предельными для одной и той же последовательности nk ^ +00 и компакта D с Бн.

Далее будем считать выполненным для функции V(n, x) и функционала W(n, ф) следующее предположение.

Предположение 2.3. Для любого с > 0 существует N = N (с) такое, что

для каждой функции фeD и nе Z таких, что supV*(n + к,ф(к)) <

к <0

< W*(n, ф) = с (где W* определен на Z х D), выполняется условие W*(n, ф) =

*

= max V (n + к, ф(к)).

- N <к <0

Для со е R и последовательности щ ^ +00 определим множества

~ * *

N(n, со, N, V ) = {фе Бн : max V (n + к, ф(к)) = со};

- N <к <0

~ ^ ~ ^ :к M(n, с0, N, V ) = {фе N(n, с0, N, V ): V (п,ф(0)) = с0};

L(n, D, U*) = {фе D : U*(n, ф) = 0}.

Заметим, что если допустимое пространство Б сепарабельно, то семейства сдвигов для f, W, U являются предкомпактными в

C(Zх Бн, Rm(R)), т.е. соответствующее предельное отображение определено во всем пространстве Z х Бн и зависит лишь от последовательности щ ^ +00 [4]. В случае сепарабельного пространства множество

L(n, D, U *) = L(n, U *). Поскольку положительная орбита ограниченного решения системы (1.1) предкомпактна в Бн, то результаты, установленные для Бн в случае сепарабельного пространства, переносятся и на случай несепарабельного пространства с изменениями в формулировках, учитывающих зависимость от компакта Dx с Бн.

Пусть для системы (1.1) существует пара Ляпунова-Разумихина (V, W). Тогда имеет место следующий результат.

Теорема 2.1. Предположим, что:

1) решение системы (1.1) определено и ограничено для всех n > «q,

| x(n; n0, ф) |< r < н;

2) выполняются предположения 1.1 и 2.1-2.3.

Тогда существует с0 = const такое, что для любой функции

уеП+ (xn («q, ф)) существует предельная совокупность (f *, V*, W*, U*)d

и решения x*(n; 0, у) предельной системы x(n +1) = f *(n, xn) такие, что

xn ей (xn («0, Ф)), xn е N (n, с0, N, V ) для всех n, и если

x* е M(n, с0, N, V*), то x* е L(n, D, U*).

Доказательство. В силу ограниченности решения x(n; n0, Ф) его положительная орбита содержится в некотором компакте D с Бн. Из определения 2.1 и ограниченности решения следует, что функционал W(n, xn) определен для всех n > 0 и не возрастает вдоль решения. Отсюда, в силу ограниченности функционала W снизу, следует существование предела

lim W(n, xn(n0, Ф)) = с0 > 0. (2.3)

П^+<х

Пусть точка уеП+ (xn («о, ф)) определяется последовательностью «к ^ +00, у(к^ = x«k (n0, ф) ^Ф при к ^ +<*>. Из предкомпактности семейства

сдвигов {fk (n, ф) = f (n + к,ф), к еZ +}, V (n, x), к е Z +}, W (п,ф), к е Z +}

следует, что можно выбрать «к. ^+°° такую, что Vn ^ V* на Z х Gн,

1 к1

^ f*, Wn, ^ W* на Z х D, D с Бн. Тогда по лемме 1.1 последователь-

к1 к1

ность дискретных функций

{x( 1 }(n)} = {x(n^ + n; щ ,у( kj})} = {x(nkl + n; «о ,ф)}

сходится к решению x* (n; 0, у) уравнения x(n +1) = f * (n, xn) равномерно на каждом множестве {-N,..., N}. При этом каждая точка x*(0,у) является предельной для последовательности {x^+« (uq ,Ф)} при nк ^+°°. Следовательно, x* е П+ (xn («о, Ф)) для всех n е Z.

Из соотношения (2.3) следует, что limy }, „ W(n + nк., x«j)) =

= W*(n, x*) = со. Из условия (2.1) имеем V*(«, x*(«)) < W*(«, x*) = со для всех nе Z, следовательно

supV * (« + к, x* (« + к)) < со = W * («, x*). к <0

Используя предположение 2.3, получаем, что для некоторого N > 0

* ^

max V (« + к, x (« + к)) = со = const. (2.4)

- N <к <0

* ~ *

Таким образом, хп е N(п, Со, N, V ) для всех пе Т. Пусть теперь

* ~ * * * ( у)

хп е М(п, Со, N, V ), т.е. V (п, х (п)) = 11Шу ?„V(щ. + п, хиЧп)) = Со. Тогда

V*(п, х*(п)) = шах V*(п + к, х*(п + к)). (2.5)

- N <к <0

Предположим теперь, что и * (п, х*) = СОП81 Ф 0, а именно и * (п, х*) = —2е< 0. Тогда для некоторого N1 > 0 и всех у > N1 имеем | и(пк + п, хпу)) - и*(п, х*) |<Е, поэтому и(щ. + п, хпу)) < —£, пе{-Л~,...,0}.

Возьмем Щ) е {—N,..., 0}. Из оценки первой разности функции Ляпунова для достаточно больших к у имеем

V(пк. + п, х(у)(п)) < V(щ. + п + «0, х(у)(п + «0)) — е1 Щ I •

Отсюда, переходя к пределу при у ^ +°°, получаем V* (п, х*(п)) < V*(п + п0, х*(п + И0))> что противоречит соотношению (2.5).

Предположив, что и * (п, х*) = 2е > 0, аналогичным рассуждением придем к соотношению \&(п^ + п, хпУ)) >е для всех пе {0,..., N},у >N2• Следовательно,

V(пк. + п + п*, х(у)(п + п*)) — V(пк. + п, х(у)(п)) > еп*

для некоторого достаточно малого п* > 0. Переходя к пределу при у ^+°°, получаем С0 = V* (п, х* (п)) < V* (п + п*, х* (п + п*)), что противоречит соотношению (2.4). Таким образом, и * (п, х* (п)) = 0. Теорема доказана.

3. Теоремы об асимптотической устойчивости

Рассмотрим задачу об асимптотической устойчивости нулевого решения (1.1) в смысле данных в [1] определений. Пусть для системы (1.1) существует пара Ляпунова-Разумихина (V, W), удовлетворяющая предположениям 2.1 и 2.2. Будем также считать, что выполняется еще одно предположение. Предположение 3.1. V(п, 0) = 0 и существует 8>0 такое, что

V(п, х) > И1(| х |) на Т + х 08, где и (•) являются функциями типа Хана, и для всех (п, ф) е Т + х^8 справедливо предположение 2.3.

Заметим, что из предположения 2.1 следует, что V(п, х) < х |).

~ * *

Будем говорить, что множество М (п, С0, N, V ) I Дп, Д, и ) не содержит решений системы, если для каждого решения х(п; ^0, ф) этой систе-

Т'. * ^

мы, содержащегося в компакте Д, существует п > щ такое, что ~ * ^^ * * * ~

хп (п-0,ф) М (п, С0, N, V ) || Ь(п, Д, и ) для всех п е [п , п + N], где 34

N = N (со, D)- число, определяемое предположением 2.3. Такое определение вызвано тем, что асимптотически постоянной вдоль решения является не сама функция V(и, х), а ее максимальное значение на отрезке длины N , причем N зависит от этого максимального значения. Поэтому соотношение

^ ~ * Г Л ^

хи е M(и, со, N, V ) || L(n,U ) должно выполняться лишь для какого-то момента и на каждом интервале длины N, а не на всем множестве Z. Поэтому традиционный смысл понятия «множество не содержит решений системы», когда достаточно хотя бы одного и, для которого часть решения хи не содержится в множестве, необходимо заменить требованием, чтобы функция х* е В не содержалась в соответствующем предельном множестве при всех

и из интервала длины N

Теорема 3.1. Предположим, что для последовательности ик ^+°° каждого компакта D с Вн и малых со > 0 множество

M (и, с0, N, V*) I L(u, D, U*)

не содержит решений соответствующей предельной системы х(и +1) = = f * (и, хи). Тогда нулевое решение системы (1.1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Заметим, что из условий теоремы в силу предположения 3.1 следует устойчивость нулевого решения (1.1). Следовательно, решения х(и; ио, ф), хи (ио, ф), фе В§, ограничены для некоторого 8 = 8(ио) >0 и содержатся в некотором компакте Dx с Вн. По теореме 2.1 существует со > о, при

котором для каждой точки уеП+ (хи(ио, ф)), фе В8, существует предельная совокупность (f *, V*, W*, U*)d такая, что решение соответствующей предельной системы х (и; о, у) удовлетворяет хи е M(и1, со, N, V ) | | L(u1, Dx, U ) для некоторого П1 из любого интервала длины N . В условиях теоремы последнее соотношение означает, что V* (и, х* (и)) = о для всех и, где предельная функция Ляпунова соответствует последовательности ик ^ +^ из условия теоремы. Но тогда 11ши^+ю V(и, х(и)) = о, где х(и) = х(и; ио, ф) - решение системы (1.1), стартующее из В8. Отсюда получаем, что х(и; ио, ф) ^ о при и ^+°°. Теорема доказана.

Пример 3.1. Рассмотрим скалярное уравнение

—^

х(и +1) = а(и)х(и) + Ь(и)х(и — h) + ^ р(и, к)х(и + к), (3.1)

к=о

где функции а(и) и Ь(и) ограничены, р(и, к) равномерно ограничена по и, о < р(и, к) < рх( к), ^ й“о р^к) =Х< 1, (| а (и) | + | Ь(и) |+Х )2 < 1. Пусть для m > о, и > m

p («, к - m)

------К

к<0 p(n - m, к) к=-т

sup^—-7- + ^ p(n, к) < 1, sup

х Р1(к N) < L(N), lim L(N) = 0, к <0 р1(к) N^+^

и существуют последовательность пу ^ +<», числа N е N, 8 = 8(N1) > 0 та-

2

кие, что (| а(п) | + | Ь(п) | +Х) < 1 — 8 для п е [пу, пу + N1]. В качестве допустимого пространства В возьмем Вр (см. [1]). Возьмем пару (V, W):

V(«, x) = V(x) = x , W(«,Ф) = max<

max ф (к),

-И<к<0

^ p(n, к) | ф(к) |

V к=о

Проверим, что пара (V, W) является парой Ляпунова-Разумихина. Проверим условие (2.1):

\2]

^ р(п, к) | х(п + к) |

V(x(n)) = x (n) < max

x2(n),

= max

x2(n),

^ p(n, к) | x(n + к) | + ^ p(n, к) | x(n + к) |

V к=-m-1 к=-m

<

< max

x 2(n),

p (n, к - m) к=0 p (« - m, к)

I

p(n - m, к) | x(n - m + к) | +

+ max

-m^ <0

0 ^ | x(n + к) | ^ p(«, к)

к=-m

< max

x2(n),

A \2

/ —^ \

^ p(n - m, к) | x-m (« + к) |

V к =0

, max x (n + к)

-m^ <0

= max< max V(x(n + к)), W(n - m, xn-m)i. l-m^^ J

Проверим (2.2). При условии V(ф(0)) = W(«, ф) получаем

Ф2(0) > i ^ p(n, к) | ф(к) | j . То есть

| ф(0) |> У p(«, к) | ф(к) | и | ф(0) |> max | ф(к) |.

к=о ~к<к<0

Тогда

V («, Ф) =

a(n)x(n) + b(n)x(n - h) + ^ p(n, к)x(n + к)

- x (n)=

а(п)ф(0) + Ь(п)ф(—h) + ^ p(n, к)ф(к) к=0 —^

^ p(n, к)ф(к)

— ф2(0) =

= (а2 (n) — 1)ф2 (0) + Ь2 (п)ф2 (—h) +

+ 2а(п)Ь(п)ф(0)ф(—h) +

+2а(п)ф(0) ^ p(n, к)ф(к) + 2Ь(п)ф(—h) ^ p(n, к)ф(к):

к=0

к =0

<ф2(0)((|а(п)| + |Ь(п)|+Я)2 — 1)<0, если||ф||В<1.

Проверим, что выполняется предположение 2.3. Действительно, предельные к V и W функции имеют вид

V* (x) = x2, W* (п,ф) = max <

max ф (к),

—h<k<0

^—^ Л2

^ p* (п, к) I ф(к) I

V к=0

где р* (п, к) = limj }„ p(nj + п, к) для некоторой последовательности

п. ^+оо. Пусть supk<о V*(ф(к)) < W*(и,ф), где феВ = Bh . Тогда

J р1

W (п, ф)

^ p*(n, к) + ^ p* (п, к) = W*(п, ф) ^ p* (п, к) < W*(п,ф):

V к=—N —1 к =N ) к=0

<

X p* (п, к) I ф(к) I

V к=0

< sup ф (к)

к <0

f \ 2

' —^ \

X p* (п, к)

V к=0

< sup ф (к)

к <0

0

X p* (п, к)

V к =0

<

* ^ 1 * * % 1 *

< W («, ф) У p («, к) + max V (ф(к)) У p («, к).

к=-N-1 ~<к<0 к=-^~

* * ~ Отсюда следует, что W («, ф) < max-n<к<q V (ф(к)) для всех N > 0 (в

частности для N = N1). Заметим, что на множестве M (cq, Nj, V*) выполняется соотношение

2 2 ЇУ * (п,ф) = (а* (п) — 1)ф2(0) + Ь* (n)ф2(-h) +

/ \2 X p* (п, к)ф(к)

V к=0

+ 2а * (п)Ь * (п)ф(0)ф(—h) +

—^ ^

+2а* (п)ф(0) X p* (п, к)ф(к) + 2Ь* (п)ф(—h) X p* (п, к)ф(к) к=0 к=0

< ф2 (0)((| а* (п) | +1Ь* (п) I+X)2 — 1) <0.

<

Таким образом, на множестве М (С0, N1, V*), соответствующем после-

* 2

довательности пу, выполнено и (п,ф) <-ф (0)8<0 при п е [0, N1], поэтому

множество М (С0, N1, V *) п Дп, и *) не содержит решений соответствующей предельной системы при С0 > 0, следовательно, по теореме 3.1 нулевое решение уравнения (3.1) асимптотически устойчиво. В данном примере известные теоремы об асимптотической устойчивости [5, 6] неприменимы, т.к. первая разность функции Ляпунова не является определенно отрицательной.

Заключение

При исследовании задач об асимптотической устойчивости и неустойчивости для дискретных уравнений с запаздыванием широко используется другой прямой метод - метод функционалов, когда вместо вспомогательной функции строится функционал V(п, ф) и изучается его поведение вдоль решений [5, 6]. Этот метод является в некотором смысле более естественным для таких уравнений, однако в приложениях он иногда оказывается необоснованно сложным. Использование функций Ляпунова для уравнений с запаздыванием (в непрерывном времени) было впервые предложено Б. С. Разумихиным [2] для случая ограниченного запаздывания, и для случая бесконечного запаздывания обобщалось различными способами [3, 7-9]. Имеются соответствующие результаты и для дискретных систем (см. в [10] и др.) Многие из этих способов представляют собой частные случаи изложенного здесь подхода, где предлагаются различные варианты конкретных функционалов W, зависящих от функции Ляпунова V , например, аналогичных функционалу W = шах—ь<к<0 V(п + к, ф(к)), используемому для уравнений с ограниченным запаздыванием Н > 0 , или вид W определяется выбором фазового пространства.

Рассматривая пару - функция Ляпунова и функционал, - мы для функции просто вычисляем первую разность в силу уравнения, а при построении W учитываем особенности фазового пространства рассматриваемого уравнения. Использование такой пары в непрерывном времени было, по-видимому, впервые предложено в работе [11] для автономного уравнения. Еще раз отметим, что для случая ограниченного запаздывания Н е N мы можем положить W(п, ф) = шах—н<к<0 V(п + к, ф(к)), и тогда для этого функционала предположение 2.2 выполняется автоматически [12]. В этом смысле использование пары (V, W) является естественным обобщением метода функций Ляпунова на случай неограниченного запаздывания.

Список литературы

1. Богданов, А. Ю. Исследование равномерной асимптотической устойчивости неавтономных дискретных систем с неограниченным последействием / А. Ю. Богданов // Известия вузов. Поволжский регион. - 2006. - № 5. - С. 15. - (Естественные науки).

2. Разумихин, Б. С. Об устойчивости систем с запаздыванием / Б. С. Разумихин // ПММ. - 1956. - № 4. - 20 т. - С. 500-512.

3. Седова, Н. О. К методу Ляпунова-Разумихина для уравнений с бесконечным запаздыванием / Н. О. Седова // Дифференциальные уравнения. - 2002. - № 10. -38 т. - С. 1338-1347.

4. Atkinson, F. On determining phase spaces for functional differential equations / F. Atkinson, J. Haddock // Funkcialai Ekvacioj. - 1988. - V. 31. - Р. 331-348.

5. Колмановский, В. Б. О применении второго метода Ляпунова к разностным уравнениям Вольтерра / В. Б. Колмановский // Автоматика и телемеханика. -1995. - № 11. - С. 50-64.

6. Колмановский, В. Б. Устойчивость дискретных уравнений Вольтерра / В. Б. Колмановский // Доклады Академии наук. - 1996. - № 5. - 349 т. - C. 610-614.

7. Parrot, M. Convergence of solutions of infinite delay differential equations with an underlying space of continuous functions / M. Parrot // Lecture Notes in Mathematics. -N. Y. : Springer-Verlag. - 1981. - V. 846.

8. Seifert, G. Liapunov-Razumikhin conditions for asymptotic stability in functional differential equations of Volterra type / G. Seifert // J. Differential equations. - 1974. -V. 16. - Р. 289-297.

9. Terjeki, J. On the asymptotic stability of solutions of functional differential equations / J. Terjeki // Annalea Polonici Mathematici. - 1979. - V. 36. - Р. 299-314.

10. Анашкин, O. B. Функции Ляпунова в теории устойчивости нелинейных разностных уравнений с запаздыванием / O. B. Анашкин // Дифференциальные уравнения. - 2002. - № 7. - 38 т. - С. 1038-1041.

11. Haddock, J. On the location of positive limit sets for autonomous functional differential equations with infinite delay / J. Haddock, J. Terjeki // J. Differential Equations. -1990. - V. 86. - Р. 1-32.

12. Андреев, А. С. О сходимости нестационарного дискретного процесса / А. С. Андреев, С. В. Черников // Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов : труды Пятой Международной конференции. - Ульяновск, 2003. - С. 6-8.

13. Hino, Y. Stability properties of linear Volterra equations / Y. Hino, S. Murakami // J. Differential equations. - 1991. - V. 89. - Р. 121-137.

14. Murakami, S. Perturbation theorems for functional differential equations with infinite delay via limiting equations / S. Murakami // J. Differential Equations. - 1985. -V. 59. - Р. 314-335.