РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА УПРУГОМ СЛОИСТОМ ШАРЕ С НЕКОНЦЕНТРИЧЕСКОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ Текст научной статьи по специальности «Физика»

The main architectural principles and technical solutions adopted during the development of the hardware and software complex for operational diagnostics of the ionosphere and ionospheric radio lines are presented. A brief description of measurement techniques and measuring equipment is given. The problems of automation of the measurement process itself and data registration have been solved, allowing to organize the work of the complex according to a given schedule without direct human participation. The problems of extracting information from the obtained experimental data, including working with the hierarchy of experimental data, including the possibilities of degeneration of derived data, as well as the possibilities of batch processing of large data arrays for the study of their statistical characteristics.

Key words: ionosphere, ionosphere radiosonding, ionograms, ionogram processing, multipath propagation of short radio waves, measurement automation.

Schiriy Andrey Olegovich, candidate of technical sciences, senior scientist, NIIDAR, docent, Timirya-zev RGAU-MSHA, scientist, andreyschiriy@smail.com, Russia, Moscow, HSE university

УДК 534.26:539.3

DOI: 10.24412/2071-6168-2023-1-315-325

РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА УПРУГОМ СЛОИСТОМ ШАРЕ С НЕКОНЦЕНТРИЧЕСКОЙ

СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ

М.В. Окороков

Получено аналитическое решение задачи дифракции плоских звуковых волн на упругом, находящемся в идеальной жидкости, слоистом шаре с произвольно расположенной сферической полостью, в которой вакуум. На основе аналитического решения задачи в дальней зоне акустического поля были построены диаграммы направленности рассеянного поля для разных случаев расположения полости в теле. Проанализировано изменение отражения звука во всех направлениях при изменении расположения полости в шаре.

Ключевые слова: дифракция звука, упругий шар, неконцентрическая полость, диаграммы направленности.

В настоящее время известны решения широкого круга задач дифракции акустических волн на упругих однородных сферических телах и сферических оболочках. Работа [1] посвящена изучению обратного рассеяния плоской звуковой волны на металлической сфере, помещенной в жидкость. В работе [2] анализируется акустическое поле, рассеянное алюминиевой сферической оболочкой, наполненной воздухом и находящейся в воде. В [3] изучена возможность моделирования непрерывно-неоднородного покрытия упругого однородного шара системой однородных упругих слоев. Отражение звука от полых упругих сфер, находящихся в воде и в воздухе, исследовано в [4, 5]. В [6] проведено сравнение численных и экспериментальных результатов исследования эхо-сигналов от полых алюминиевых сфер в воде.

Дифракция звука на упругих однородных телах с произвольно расположенными полостями изучена недостаточно. С математической точки зрения такие задачи являются более сложными. Известно лишь небольшое число работ по этой тематике, например [7]. Рассеяние звука на упругих слоистых телах с произвольно расположенными полостями ранее не исследовалось.

Данная статья посвящена изучению звукоотражающих свойств слоистых упругих сферических тел с произвольно расположенными полостями. Ниже приведено аналитическое решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны упругим шаром, покрытом слоем материала (далее «упругим слоистым шаром») и имеющем неконцентрическую полость, и представлены диаграммы направленности рассеянного поля, построенные на основе полученного решения.

Рассмотрим однородный упругий шар радиуса Rl. Пусть он имеет произвольно расположенную сферическую полость радиуса Ro, в которой находится вакуум. Материал упругого шара имеет плотность р1 и модули упругости А.1 и ц^. Шар покрыт однородным упругим слоем радиусом R2, плотность слоя - р2, модули упругости - X2 и ц2. Сферическое тело окружает идеальная жидкость плотностью р. Скорость звука в жидкости равна c. Свяжем со сферическим телом и его полостью прямоугольные системы координат Х1, У1, ^ и д^, У2, Z2 так, чтобы соответствующие оси обеих систем координат были одинаково ориентированы, а начала координат находились в центрах шара и полости соответственно. Пусть из внешнего пространства на упругое тело падает плоская гармоническая звуковая волна, которая распространяется в направлении оси Zl.

Найдем акустическое поле, рассеянное сферическим телом с полостью, и поля смещений в упругом шаре и однородном упругом слое. Свяжем с декартовыми системами координат xj, yj, zj и

х2, У2, Z2 сферические координаты rj, 0j, ф и Г2,02, Ф2. В сферической системе координат rj, 0j, Ф1 потенциал скоростей падающей волны ^q представим в виде [7]

ж n

П =Z X YnmJn )Pnm(cos0^, (1)

n=Q m=-n

где уnm = <| AQin (2n+j) при m = Q Aq - амплитуда падающей волны; jn (x) - сферическая функ-

0 при m Ф 0;

1 5r1

ция Бесселя порядка n ; к = ю / c - волновое число во внешней среде; ю - круговая частота; Pn (х) -присоединенная функция Лежандра степени n порядка m .

В установившемся режиме колебаний задача определения акустических полей вне сферического тела заключается в нахождении решения уравнения Гельмгольца:

+ к 2Y = 0, (2)

где Y - потенциал скоростей полного акустического поля во внешней среде, который записывается в виде [8]

где Ys - потенциал скоростей рассеянной волны. Тогда из (2) с учетом того, что Y0 удовлетворяет уравнению Гельмгольца, получаем уравнение Гельмгольца для нахождения Y s, записанное в сферической системе координат 10i, Ф1:

1 5 f 2 5Ys ^ 1 5 f. 0 5Ys ^ 1 52Ys 7 2y _ (3)

1 -- + --sin 01—s +—2-2--2s- + ккs = 0. (3)

дг1 ) rfsin 01 д01 ^ 501 ) ry sin2 01 дф2 Рассмотрим уравнения, характеризующие распространение малых возмущений в упругом шаре и в покрывающем его, однородном упругом слое. Вектор смещения частиц u в шаре (j = 1) и в упругом

слое (j = 2) запишем в виде [8]

u( j) = grad Y( j) + rot Ф( j), j = 1,2,

где Y(j) и Ф( j) - скалярный и векторный потенциалы смещения, которые в случае гармонического движения являются решениями волновых уравнений Гельмгольца:

ДY(j) + к(j )2Y( j) = 0, (4)

ДФ( j) + kx( j )2Ф( j) = 0,

где волновые числа к(j) k(j), а также скорости продольных (c(j)) и поперечных (c(j)) упругих волн l ' ^ l 1

рассчитываются по следующим формулам:

к(j) =ю/ c(j), k(j) = ю/c(j),

c(j) ^(A, j + 2|j )/ р j, c(j) 7Pi ,(j)

]'

Представим векторный потенциал Ф^ в сферической системе координат в виде [9, 10]

Ф(/) = rer Ф^) + rot i rer Ф^1)

где ег - единичный вектор сферической оси г ; ф(^ и Ф^ - скалярные функции, являющиеся решениями скалярных уравнений Гельмгольца:

Аф(]) + к* У)2Ф{]) = 0, (5)

Дф2у) + к* У)2Ф 2) = 0. (6)

Рассмотрим граничные условия, которым должно удовлетворять решение поставленной задачи. На внешней поверхности тела должны быть равны нормальные скорости частиц упругой среды (иг)

и жидкости (\>г), нормальное напряжение (стгг) и акустическое давление (р), а также отсутствовать

касательные напряжения (с^, °r<p

г1 = Я2 : - /ши(2) = уг, = -р, = 0, ст^ = 0. (7)

При переходе через границу раздела поверхности шара и покрывающего его, однородного упругого слоя граничные условия заключаются в непрерывности составляющих вектора смещения частиц, а также нормальных и тангенциальных напряжений:

1 = А:

,(2) _ 0 g(2) _,

w(, ) _ u( \ U^ _ uQ ), u) ) _ u<(;> ), G(l) _g(2) _(1) __(2) _(1) (2)

(8)

Граничные условия при r> _ Rq состоят в отсутствии напряжений, т.к. в полости находится вакуум:

(> _ Rq: g(() _ 0, о({) = 0, о?) = 0. (9)

Решив уравнение (3) методом разделения переменных, получим, что потенциал скоростей рассеянной волны с учетом условий излучения на бесконечности будем искать в следующем виде:

ж n

^ _I I Anmhn (()Pnm (cos01Утф1, (10)

n _0 m _-n

где hn (x) - сферическая функция Ханкеля порядка n .

Решение каждого из уравнений (4), (5), (6) построим в виде линейной комбинации решений этих уравнений, найденных с помощью метода разделения переменных, в системах координат 9i, )i

и (2, 9>, )2. Получим:

, ^ и

j) _ I I

n_0 m_-n

Bmijn (k\j )(i) pnm (cos 9i),'m)i+j (h\j )(>

(ii)

X Pn" (cos 92)e

с Л ж n

фр) _ I I

n _0 m_-n

m)2

Dj Jn (J)()pnm (cos9i )eim)i + Enm)hn (J));

(i>)

X Pm (cos 92)eim)2

ф^ _ I I

(i3)

"F(mmjn (4j)ri)Pm(cos9i)eim)i + Gjhn (kT(j)r>) x

n _0 m_-nL X Pm (cos 92)eim)2".

Коэффициенты Anm, B^mi, cj , D^m, Enm , FhiH, G^ (j _ i,2) определим из гранич-

ных условий (7)-(9). Так как

u(j) _ grad¥(j) + rot(rerФ(j) + rot(rerФ^')

то для физических компонентов вектора смещения получаем:

-2

(л (j) д2ф2') дФ>') (/)? () u(j) _ —— + (-h- + 2—+ J)2Ф2),

,(j) _ i г

(

u9 _"

д( д(2 d^(J) дф2/)

Л

д9

д9

д(

i дф(j) sin 9 дф

д 2ф 2j )

д(д9

U(J) _

Ф _

i

sin 9

i д^(j) i дф^ дWj --+--— +-—

Л

дф(j) д9

г Зф г Зф ЗгЗф

V

Используя обобщенный закон Гука и связь компонентов тензора деформаций и компонентов

Л) ои) М)

'гг ' г6 5 гф

вектора смещения [11, 12], выразим компоненты тензора напряжений ) 0(а) оОгфф через функции

W(jф(L) и ф2) (j - 1,2):

(

¿J) =

2, j -x л«2

v C>r J

\

W(j) + 2, j

^ cr

2, j fd _ 1 ^CW( j) + ,j 1 ^СФ{j) r ^Cr rJ C0 sin9^Cr rJ Сф

G( j) -

a r9 -

( o2 л Л

'K + 3-^ + rú j)2 A + k( j)2

v Cr3 Cr2 T Cr ( j

ф (j) 2

+ 2,,

( C2 +1 + Cr2 r Cr r2

+

k( j)2 лсф 2j)

2 C0

J

- 2,j 1 ^CW(L)

гф rsin9^Cr rJ Cф

¿л= | Л _¿ ; ÍA_ +ÜL

J 1 Cr r J C0 sin 9

( C2 +1 + Cr2 r Cr r2

+-

k( l )2

02 Л

2

CФ

(L) 2

Cф

Запишем граничные условия (7)-(9) через потенциалы ¥, ¥(^ , ф(^) и ф2^') (] = 1,2). Граничные условия (7) на внешней границе (при ^ = ^2) записываются в виде

^ + г ^ + 2^ + г^ф^ г12

_/ш

C r1" „ 2 Cr1 Cr,2

Cr

1

Cr1 '

( 2,2 4 _^2kP2 'Iw(2) + 2,2 v Cr12 J

хф22) - _ip ю W,

1 ^+3 ^+ik(2)2 f+k<2'2

v Cj3 Cr12 Cr1

2,2 ( C

Cr1 r1

CW(2)

,2

C9 sin 9

C 1 ЛСф((

Cr1 r1 J Cф

(2)

• + 2,2

(4- («4)

Cr12 r1 Cr1

1 k(2)2 Лсф22) Л — - 0,

_ i2+

2

J

C9

2,2 ( C 1 ^CW(2) ( C 1 ЛСф((2) 2,2 (C2 1 C

,2 д------1 1

lCr1 r1

r1sin 91 Cr1 r1 J Cф

C9 sin 9

Cr12 r1 Cr1

1 k(2)2 Л

_ 7+

2

CФ

(2) ^ - 0.

Cф

Преобразуем два последних уравнения (14). Продифференцируем третье уравнение (14) по ф. Вычтем из полученного уравнения четвертое

уравнение (14), умноженное на sin 9 и продифференцированное по 9 . Получим уравнение, которое не содержит потенциалы W(2), ф^ :

где F (ф(2), k(2))- r12

(C 2

, 2

2C

vCr12 r1 Cr1

Cr1 r1 k(2)2

F (ф(2), k(2))-0,

ф(2).

Умножим третье уравнение (14) на sin 9 и продифференцируем по 9 . Сложим полученное уравнение с четвертым уравнением (14), продифференцированным по ф . Получим уравнение, в котором

будет исключена функция ф

(2). 1

,2 r1

Í

\

F

где

Cj i F (W(2), k/2) )- i

(w (2), k(2)) ( я2

,2

(С 2

1 С 1 k(2)2

Cr2 i Crj rj2

F(ф22),k(2))- 0,

1A + k (2)2

2 ■ « я« + kl

Л

Cr{ i Cr1 2C

W(2); F (ф22), k(2))- r12

(j2

Cr2

--—+ k(2)2 r1 Cj

Л

ф

(2)

Таким образом, вместо уравнений (14) будем иметь уравнения (при ^ = ^2):

(

_/ш

2,2^ _^f)2 W(2) + 2,2

v Cr1 J

хф—2) - _ip ю W,

cw (2) с 2ф —2)

-+ r1-—

Cr

Cr

Сф(2) Л

2 + 2 "С" + 1*(2)2ф<2)

( С3

J

C

Crr

CW

Cr1'

C

Л

+ 3— + rlk(2)2 — + k(2)2 Cr,2 Cr1

,2 r1

A_ 1

vCr1 r1 J

A_ I" Cr1 r1 ,

F (ф(2), k(2))-0,

F (W(2), k(2) ) + ,2

(с^ ^ _с___1_

~+rn +

k(2)2

V

Cr12 r1 Cr1 r12

xF (ф22), k(2))-0.

(15)

Граничные условия для перехода через границу раздела поверхности шара и покрывающего его, однородного упругого слоя (при г1 = имеют вид:

(1) 52ф21} 2 ¿Ю® , а)2ф(1) (2) 52ф22) _ ¿Ю<2> ■ + г1-+ 2-— + г1к.^1)2 ф 21; =-+ г1

Cr1 * Cr! +rkí2^ 22),

+ 2 , 2 + rv

Cr

1

Cr

b- + 2—2- +

Cr1

Cri

CW (1) + сф—1) ^

C9

C9

1 Сф1(1) с 2ф—1) 1 (cw (—) Сф—2) Л

+--^ +-

sin 9 Сф Cr1C9 r1

C9

C9

1 Сф(2) С2ф—2) +--^ +-

sin 9 Сф Cr1C9

sin 9

CW(1) 1 Сф —1) с2ф—1) Л Сф{1)

r1 Сф r1 Сф Сг1Сф

1

С9 sin 9

1 CW(2) 1 сф —2) --+--2_

r1 Сф r1 Сф

с 2ф—2) Л

сг1сф

Сф((2) С9

-Х^2 *(1) + 2|

(

до"

д3

+3

д2

к(1)2А+к(1)2

до?

Л

до

1

2 1 г1""( ' ""с

ф® =

У

2^2

до?

*(2) + 2| 2

Г д3 01 д?

+ 3^1+к?)2 ^

до

до

1

хФ

(2)

У

(16)

2| Г д

1

до

1 о1

д*(1)

11

Г

де sin 0

д 1 ^дФ1

до|

(1)

к(1)2

дф21) _ 2^2 ГА

до

1 д +—

о, до, - ^+

де о к(2)2 л

о1 у ^д*(2)

1

о1

дф , I 2

+ 2|

Г д2 1 + -

до12 о1 до1 о12

У

де

sin 0

д 1 ^дФ1

до

1

(2)

дф

■ + 2|Д2

У^2

1

дФ

(2)

2|1

(

о^П 0 к(1)2

+-—

Т1 до

_д_

дФ 21)

2

У

I У*(1)

о У дФ

2|2

де

дф 1

- о?+

о^П 0

|1

_д_

д

1

до

1 о1

дФ

(1) 1

2|1

Гд 2

де мп е

1 д

1

I ^д*(2)

о У дФ

12

д

до1 1

1 до- 7+

до

1 о1

1

2|2

Гд 2

У

де мп е

до12

V'!

к(2)21дФ22)

2

дф

Граничные условия при о» _ К записываются следующим образом:

о д

до2 2|1 Г д

(1)2

*

(1)

2|1

°2-

д3

о2

1 ^д*(1)

до2

°2.

11

дп

д 2 к!1»2 '

доо

де мп е

_д_ до2

о2

дФ

(1)

дф

- + 2|1

до2

V+

до22 +

Ф21) _ о,

д

о2 до2

о2

к(1)2

дФ

де

(1)

^ _ 0,

(17)

2|1 Г д 1 > д*(1) -11 Г д 1 > дф11) | 2ц

о2 sin е 1до2 о2 У дф 1до2 о2 У де sin е

до22

_д___1_+

о2 до2 о22

к(1)2

дф21)

дф

^ _ 0.

Подставим разложения (1), (10), (11)—(13) в (15)-(17). В полученных уравнениях будут присутствовать функции координат ту,е^Ф1 и т^,е2,Ф2. Для определения коэффициентов разложений необходимо, чтобы на границе о _ В^^ (_/ _ 1,2) использовались только функции координат 1 е^ ф1, а на

границе _ К - только функции координат У2, е2, Ф2. Для выполнения этого условия воспользуемся

теоремами сложения для сферических волновых функций [13, 14]. При использовании условий (15) и (16) будем применять теорему сложения вида

где

hn(J) (cose2y^2 = у у Л™ (/г,e',9',k(j)) (()x (l8)

p=0q=-p

xPq (cose1 )eiq(i,

Anm (R&(D'k(j) )_ py f + P-n (2s + l)(s - m + q)! b(n,m,s,m-q)x Apq\Re,(,k I „t! (s + m -q)! bp

s = p-n

(s + m - q)!

X js (k(j)Л)Psm-q (cos0')m-q)ф';

Л,0',ф' - координаты точки Oj (начала координат системы rj,0j,фр в системе r2,02,ф2. Коэффициенты ьПni,mi,n2,m2) [j4, j5] определяются по формуле

V

b(ni,mi,n2,m2 ) = (-i)m2

(i + mi )!(n2 + m2 )!(n - mi + m2 )!

! к2

x

(«1 -т^ )!( -т2)!(п + ш\ —т2)!

х(,«2,0,0|п,0)(,^2,—т|п,-^2), где символом (,«2,т^,т2|п,т1 + т2) обозначены коэффициенты Клебша - Гордана [14, 16], которые в данной статье рассчитываются следующим образом:

2п +1

(, n2, mi, m2| n, mi + m2 ) =

-(n2 + n -ni)!(n + ni -n2)!x

(n + ni + n2 +1)!

x( + n2 - n)! (ni - mi)! (ni + mi)! (n2 + m2 )! (n2 - m2 )! (n + mi + m2 )! x

i/2 M 2 k

x(n - mi - m2)!] x у (-i) [k!(ni + n2 - n - k)!(k + n - ni - m2 )!x

k =Mi

-i-i

x(n2 + m2 - k)!(k + n - n2 + mi )!(ni - mi - k)!] где Mi = max {0, m2 + ni - n, n2 - n - mi j; M2 = min {n + «2 - n, n2 + m2, ni -

mi).

Используя (i8), запишем функции ¥(j), ф(j) и ф1/) в системе координат r^,ei,(i

¥(j) = t t n=0 m=-n t Л n

ф1(j) = у у

и =0 m=-n

Bj Jn (k(J) ri) + C*m \ (k(J )ri)] Pm (cos ei)eim(i, [ Dm jn (kij )ri) + ^nmj 4, (ki j )ri )]pm (cos ei )em (i, [F(m jn (kij)ri) + G;mj)h„ (ki j)ri )]pm (cosei)eim(i,

гДе cm) = t У CjApm(R,e',('kj)); Em) = У У EjApm(R,e', ('j

(i9)

ф2J) = t у

n=0 m=-n да p

да n

p=0q=-p

да p ) = у у

wnm ^ ^

R, e', (',

;*(/') =

'пт ^ ^

р=0q=—р

При использовании условий (17) будем применять следующую теорему сложения:

да р

Jn (k(j)ri)Pnm (cosei)eim(i = у у- я™ (r,e0,(0,k(j)) ((2) xPpq (cos e2 )eiq(2,

p=oq=-p

32i

где H{,00,)=(2p{+1){-q)! pf f+pp,q) v ' {p+q)! s=p -n\

^prn-q {cos 0o )){m q (ф°. r, 0o, фо - координаты точки O? (начала координат системы ^2,02, Ф2) в системе r^, 01, ф^.

Используя (20), запишем функции *(j), ф(j) и ф1/') в системе координат r2,02, Ф2 :

*(j)= L L \втjn {kjГ2)+ей)ъп {k(л

п=0 m=-nL

ФÍJ) = L L \Dim)Jn {2) + hn {{

n=0 m=-n

Fnm )Jn {k(J)r2 ) + Gnm hn {k(J)j

ф2/") = l L

n=0 m=-nL

где в^ = i i BMHpmq{R,00,Ф0ЛР); = L iL D(pq>HPg{r, 0o,Ф0^х

p=0q=-p p=0q=-p

ктр =l p p$hpm{r,00,ф0,k(j)).

p=0q=-p

Подставляя разложения (1), (10) и (19) в уравнения (15) и (16) при r1 = Rj (J = 1,2) и используя ортогональность сферических гармоник РП {cos01 )гтф1 [7], а также подставляя (21) в уравнения

(17) при Г2 = R0 и используя ортогональность сферических гармоник Р^7 {cos02)егтф2 [7], получим бесконечную систему уравнений для каждой пары (n, m) {n = 0,1,..., т = 0,±1, +2,...,±n) . Данная

система состоит из тринадцати групп уравнений. Для решения полученной бесконечной системы урав-

2

нений используем метод усечения. Сама система для порядка усечения N будет состоять из 13(N +1)

уравнений. Полученные для каждого N системы будем решать методом Крамера. Для решения систем методом Крамера была создана программа в пакете компьютерной математики Maple.

Определив коэффициенты Anm, получаем описание рассеянного акустического поля в виде

(10).

Используя асимптотическую формулу для сферической функции Ханкеля первого рода в дальней зоне акустического поля при больших значениях аргумента [17]:

ikr „•\n+1 f_

kr

Pmm (cos 02УПф2, pnm (cos 02y'm^, pnm (cos 02y'm^,

(21)

hn (kr) - КГ1— (kr »

из формулы (10) получим:

где

* s = R2 Fn (01, ф1), 2r1

ода n 1

Fn (01, ф1) = R L L (-i)n+1 AnmPnm (cos 01)^1. (22)

kR2 n=0 m =—n

С помощью выражения для амплитуды рассеяния в дальней зоне акустического поля |Fv (01, ф1)| построим в математическом пакете Maple диаграммы направленности рассеянного поля,

характеризующие звукоотражающие свойства рассеивателя в различных направлениях [7].

Пусть алюминиевый шар радиуса R1 = 1,2 м имеет полость радиуса R0 = 1м и покрыт слоем

меди радиусом R2 = 1,4 м. Расстояние от центра полости до центра шара равно R = 0,2 м. Значения

плотности рj и модулей упругости Xj и цj для алюминия и меди следующие: р1 = 2700 кг/м3,

р2 = 8960кг/м3, х1 = 5,3• 1010Н/м2, х2 = 7,4• 1010Н/м2, ц1 = 2,6• 1010Н/м2, ц2 = 4• 1010Н/м2.

322

Сферическое тело окружает вода плотностью р = 1000 кг/м3, скорость звука в ней с = 1485 м/с. Из внешнего пространства на тело падает плоская звуковая волна единичной амплитуды (Ад = 1).

Используя формулу (22), построим зависимости амплитуды рассеяния (61) от полярного угла 61 в интервале 0 <61 < 2л в полярной системе координат. При вычислении (61) по формуле

(22) суммирование членов ряда по п будем проводить до значения п = N, соответствующего выбранному порядку усечения.

На рисунке изображены диаграммы направленности рассеянного поля в дальней зоне, рассчитанные в плоскости ф1 = 0, ф = л для разных случаев расположения полости в теле при волновом

размере тела кЯ2 = 1,4. Полагалось, что N = 5. На графиках стрелкой показано направление распространения падающей плоской волны.

На рисунке пунктирной линией изображена зависимость амплитуды рассеяния (61) от полярного

л л

угла 61 при 60 = 0, ф0 = 0, 6' = л, ф' = 0; штриховой - при 60 = —, ф0 = 0, 6' = —, ф' = л; сплошной - при 60 = л, ф0 = 0, 6' = 0, ф' = 0.

Зависимость амплитуды рассеяния (61) от полярного угла 61

при 60 = 0, ф0 = 0, 6' = л, ф' = 0 - пунктирная линия, при 60 = —, ф0 = 0, 6' = —, ф' = л -штриховая, при 60 = л, ф0 = 0, 6' = 0, ф' = 0 - сплошная (к^2 = 1,4)

Проанализировав графические результаты, представленные на рисунке, можем сделать вывод, что при изменении расположения полости в теле изменение амплитуды рассеяния наблюдается вдоль направления распространения волны. Изменения амплитуды рассеяния в направлении, перпендикулярном направлению падения волны, т.е. при 61 « —, практически не происходит. Максимальное значение

1 2

как прямого (значение амплитуды рассеяния (61) при 61 = 0), так и обратного (значение амплитуды рассеяния (61) при 61 = л) рассеяния достигается тогда, когда центр полости смещен относительно центра шара вниз вдоль оси 21, т.е. 60 =л. Т.к. в случае 60 = — полость в шаре расположена

0 2

относительно оси асимметрично, то, как и предполагалось, диаграмма направленности, соответствующая этому случаю, также не является симметричной относительно направления падения звуковой волны. Заметим, что при волновом размере шара к^2 = 1,4 диаграммы направленности для разных случаев

расположения полости в теле остаются похожими по форме.

Построение диаграмм направленности рассеянного поля играет важную роль при решении задач дифракции звука на телах различной формы. Они помогают детально проанализировать изменение отражения звука во всех направлениях. Также по эталонному набору диаграмм рассеяния представляется

323

л

возможным определять конфигурацию облучаемого тела с применением сверточных нейронных сетей -одной из разновидностей моделей глубокого обучения, широко применяемой в приложениях компьютерного зрения для решения задач классификации изображений.

Результаты, которые возможно получить с помощью сверточных нейронных сетей, могут использоваться в различных областях знаний и быть востребованы для многих приложений:

- в гидроакустике: для решения задач подводной локации и связи;

- в судовой акустике: при изучении акустических характеристик судовых конструкций;

- в ультразвуковых технологиях (медицинская диагностика, дефектоскопия);

- в разнообразных исследованиях по освоению богатств дна Мирового океана. Исследование выполнено при финансовой поддержки гранта ректора ТулГУ для обучающихся

по образовательным программам высшего образования - программам магистратуры, № 8924ГРР_М.

Список литературы

1. Vogt R.H., Neubauer W.G. Relationship between acoustic reflection and vibrational modes of elastic spheres // J. Acoust. Soc. Amer. 1976. V. 60. N 1. Р. 15 - 22.

2. Isolation of the resonant component in acoustic scattering from fluid-loaded elastic spherical shells / J.D. Murphy, J. George, A. Nagl, H. Uberall // J. Acoust. Soc. Amer. 1979. V. 65. N 2. Р. 368 - 373.

3. Толоконников Л.А. Моделирование непрерывно-неоднородного покрытия упругого шара системой однородных упругих слоев в задаче рассеяния звука // Прикладная математика и механика. 2017. Т. 81, вып. 6. С. 699 - 707.

4. Hickling R. Analysis of echoes from a hollow metallic sphere in water // J. Acoust. Soc. Amer. 1964. V. 36. N 6.

5. Hickling R. Echoes from spherical shells in air // J. Acoust. Soc. Amer. 1967. V. 42. N 2. P. 388 -

390.

6. Diercks K.J., Hickling R. Echoes from hollow aluminum spheres in water // J. Acoust. Soc. Amer.

1967. V. 41. N 2. P. 380 - 393.

7. Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. Дифракция звуковых волн на упругих цилиндрических и сферических телах с неконцентрическими полостями: монография. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. 116 с.

8. Толоконников Л.А. Математическое моделирование неоднородного покрытия упругого шара со сферической полостью и оптимальными звукоотражающими свойствами // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2017. Вып. 3. С. 137 - 151.

9. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. Киев: Наукова думка, 1972. 256 с.

10. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: Изд. иностр. лит., 1960. Т. 2.

886 с.

11. Эхо-сигналы от упругих объектов / У.К. Нигул, Я.А. Метсавээр, Н.Д. Векслер, М.Э. Кут-сер. Таллин: Б.И., 1974. Т. 2. 346 с.

12. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

13. Ерофеенко В.Т. Теоремы сложения: Справочник. М.: Наука и техника, 1989. 255 с.

14. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника,

1968. 584 с.

15. Эфрос В.Д. О «линеаризации» произведений классических ортогональных многочленов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. Т. 19, № 5. С. 1322 - 1327.

16. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

588 с.

17. Справочник по специальным функциям / под ред. М.Абрамовица, И.М.Стигана. М: Наука, 1979. 832 с.

Окороков Максим Витальевич, магистрант, maxik_okorokov@mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Научный руководитель: Толоконников Лев Алексеевич, д-р физ.-мат. наук, профессор, tolokon-nikovla@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

DIFFRACTION OF SOUND ON AN ELASTIC LAYERED SPHERE WITH A NON-CONCENTRIC SPHERICAL CAVITY

M.V. Okorokov

An analytical solution is obtained for the problem of diffraction of plane sound waves by an elastic layered sphere located in an ideal fluid with an arbitrarily located spherical cavity in which there is a vacuum. On the basis of the analytical solution of the problem in the far zone of the acoustic field, the radiation patterns

324

of the scattered field were plotted for different cases of the location of the cavity in the body. The change in the reflection of sound in all directions with a change in the location of the cavity in the sphere is analyzed.

Key words: sound diffraction, elastic sphere, non-concentric cavity, radiation patterns.

Okorokov Maxim Vitalievich, undergraduate, maxik_okorokov@mail.ru, Russia, Tula, Tula State

University,

Scientific adviser: Tolokonnikov Lev Alekseevich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, tolokonnikovla@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 629.076

DOI: 10.24412/2071-6168-2023-1-325-329

АНАЛИЗ СПОСОБНОСТИ ВОДИТЕЛЕЙ ОЦЕНИВАТЬ КОНФЛИКТНУЮ СИТУАЦИЮ ПРИ ТОРМОЖЕНИИ АВТОМОБИЛЯ НА ПЕРЕКРЕСТКЕ

В.Ф. Васильченков, А.В. Калыгин

В настоящей статье с позиции функционирования системы «водитель - автомобиль - условия движения» понимается реакция выбора управляющих действий в соответствии со сложившейся обстановкой на дороге. В нашем случае подразумевается «конфликтная дорожная ситуация» - нарушение или ошибка одного (или нескольких) участников дорожного движения, приведших к необходимости экстренного маневра или торможения другого участника дорожного движения. При уменьшении скорости лидера водитель базового автомобиля может уменьшить скорость в плоть до остановки или объехать внезапно возникшее препятствие. В этой ситуации важны скорость и точность реакции водителя, реакции приводов управления автомобиля и условия движения, особенно характеризующие условия сцепления колес с дорогой. Имеется ввиду, что эти факторы влияют на величину остановочного пути. Предполагается, что настоящий маневр автомобиля должен стать элементом обучающей системы и введен в современный курс вождения автомобилей.

Ключевые слова: системы «водитель - автомобиль - условия движения», конфликтная ситуация, реакции водителя, остановочный путь, «стимул-реакции», устойчивость и управляемость.

Настоящее исследование имеет отношение к характерной особенности работы водителя в критической ситуации, а именно «реакции выбора», при которой водитель должен принять решение остановить автомобиль или увеличить скорость для проезда перекрестка.

Существующие методы оценки тормозных свойств автомобилей по тормозному пути ST [1-5] и замедлению (рис. 1), и даже метод оценки остановочного пути по известной формуле (1), не учитывают факторы торможения в системе «водитель-автомобиль-дорога» (ВАД), а именно,

^ост = ^0 +11 + 0,5t2) + j- _ (1)

2 ]туст 24

Главное, не учитывается тот факт, что торможение не одиночного автомобиля, а автомобиля, следующего в транспортном потоке (ГЦ), наиболее характерного в условиях городского движения с сопутствующими «пробками», представляет собой реакцию выбора водителем. Наиболее показательным в этом плане является проезд регулируемого перекрестка (рис 2).

Водитель может в этой ситуации или тормозить, или продолжить движение, в колонне - объехать впереди идущий автомобиль с притормаживанием. Цринятие решения водителем зависит от его способности оценивать динамику торможения и прогнозировать дальнейшее движение, зависящие и от времени реакции водителя - ВРв, реакции автомобиля - ВРа с тормозным приводом и коэффициентом сцепления ( колес с дорогой, так ка jT max = pg. В этой ситуации важно правильное определение временного интервала между автомобилем и заданными участками торможения, в пределах которых реализуется торможение, при котором проявляют себя наиболее характерные условия торможения в системе В-А-Д. Одновременно в этой ситуации оценивается влияние ранее исследованного расстояния Зв (рис.1). Как известно, это расстояние, зависящее от индивидуальных способностей водителя прогнозировать дистанцию безопасности, которая, образно, следует впереди автомобиля и зависит от скорости движения (рис. 2).