Рассеяние плоской электромагнитной волны незамкнутым коническим отражателем Текст научной статьи по специальности «Физика»

поверхности и неоднозначность линейного размера резонатора также будет приводить к размытию максимума резонансной характеристики, а профилирование соответствующих поверхностей — к изменению формы АЧХ.

Предложенные в работе подходы позволяют: более детально рассмотреть переходные процессы в резонаторах стоячих волн и связать их с формированием АЧХ, изучить характер изменения за время переходных процессов сигнала, проходящего через высокодобротный резонатор, разработать методы синтеза фильтрующих устройств на основе одиночных высокодобротных резонаторов с заданными АЧХ.

Существующие в настоящее время фильтры СВЧ создаются на основе принципов, изложенных в работах [7-9], и являются, как правило, многоэлементные и, соответственно, имеют все недостатки, упомянутые в начале статьи. Предложенный путь построения устройств с заданными АЧХ ведет к значительному упрощению их конструкции и улучшению основных характеристик по избирательности за счет сохранения высокой добротности на рабочих частотах.

Таким образом, проведенное в работе рассмотрение процесса формирования АЧХ в резонаторах стоячих волн позволяет выявить дополнительные возможно-

сти для анализа процесса установления колебаний в высокодобротных резонаторах и синтеза избирательных устройств с улучшенными характеристиками.

Литература: 1. Федоров И.Н. Основы электродинамики. М.: Высш. шк., 1980. 399с. 2. Менде Ф.Ф., Спицын А.И. Поверхностный импеданс сверхпроводников. К.: Наук. думка, 1985. 240с. 3. Альтман Дж. Устройства сверхвысоких частот. М.: Мир, 1968. 487с. 4. Лебедев И.В. Техника и приборы СВЧ. Т.1. М.: Высш. шк., 1970. 440с. 5. Барановский М.А., Молочков А.В. Справочник токаря. Минск: Госиздат БССР,1962. 492с. 6. Щиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений. М.: ГИФМЛ, 1962. 344с. 7. Модель А.М. Фильтры СВЧ в радиорелейных системах. М.: Связь, 1967. 352с. 8. Маттей Д.Л., Янг Л., Джонс Е.М. Т. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи. Т.1. М.: Связь, 1971. 440с. 9. МаттейДЛ, Янг Л., Джонс Е.М. Т. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи. Т.2. М.: Связь, 1971.496с.

Поступила в редколлегию 24.02.2003

Рецензент: д-р техн. наук Менде Ф.Ф.

Бондаренко Игорь Николаевич, канд. техн. наук, доцент кафедры авиационных средств связи Харьковского института ВВС. Научные интересы: криогенная радиофизика, техника СВЧ, системы радиосвязи. Адрес: Украина, 61165, Харьков, ул. Клочковская, 228, каф. №306, тел. 30-82-16.

УДК 517.958:537.8

РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НЕЗАМКНУТЫМ КОНИЧЕСКИМ ОТРАЖАТЕЛЕМ

ДОРОШЕНКО В.А, СЕМЕНОВА ЕЖ.__________

Рассматривается задача дифракции плоской электромагнитной волны на конусе с периодическими продольными щелями. Описывается численное решение этой задачи и строятся диаграммы рассеяния в горизонтальной плоскости. Изучается влияние щелей на основные характеристики.

1. Введение

Неоднородные конические структуры применяются не только в антенной технике, но и в радиолокации. На их основе могут создаваться отражатели с определенными свойствами [1, 2]. Рассматриваемая коническая поверхность имеет неоднородности в виде продольных щелей и является моделью конического отражателя с управляемыми характеристиками в зависимости от угла раскрыва конуса, размеров щелей и их количества. Результаты теоретических исследований граничных электродинамических задач для соответствующих структур необходимы на стадии проектирования и разработки систем, которые содержат эти структуры в качестве элементов.

В работах [3, 4] предложен и развит подход для решения задач рассеяния поля сосредоточенного источника на конусе с продольными щелями, а в [5] найдено аналитическое решение задачи дифракции плоской электромагнитной волны на конусе с продольными щелями в частных случаях большого числа щелей; конуса с узкими щелями и узких конических секторов (лент). На основе полученного асимптотического решения проведен качественный анализ спектра граничной задачи, структуры рассеянного поля и его поведения вблизи вершины конуса в этих предельных случаях.

Целью данной работы является численное решение задачи рассеяния поля плоской волны конусом с продольными щелями произвольных размеров и изучение их влияния на основные характеристики рассеяния.

2. Постановка задачи и метод решения

Плоская электромагнитная волна, поле которой изменяется по гармоническому закону e_irot, падает на незамкнутую коническую структуру (рис. 1) и распространяется вдоль ее оси. Рассматриваемая коническая структура представляет собой полубесконечный идеально проводящий круговой конус с периодически прорезанными вдоль образующих N щелями. Обозначим через 2у угол раскрыва конуса, d —угловую ширину щелей, l = 2л / N — период конической структуры. Поскольку конус является координатной поверхностью сферической системы

18

РИ, 2003, № 4

координат (r, 9, ф), то для решения граничной задачи с конической геометрией удобно использовать эту систему координат (с началом в вершине конуса, r = 0 ), в которой коническая поверхность £ с продольными щелями определяется уравнением 0 = у .

Присутствие конуса в среде обусловл ивает появление искомого рассеянного поля E(sc ), H(sc), в связи с чем полное поле Ё, Й запишем в виде

E = E(in) + E(sc) , Й = й(‘п) + H(sc), (1)

где Ё(in) = (ёХ‘п) , 0,0), Й(in) = (0,йУ‘п),0) - поле

плоской волны,

ё(‘п) - x ЙЧ = eikz, (2)

k — волновое число.

Полное поле удовлетворяет системе уравнений Максвелла, граничному условию на конических секторах, условию на бесконечности и условию ограниченности энергии. Граничная электродинамическая задача в такой постановке имеет единственное решение [6]. Для решения граничных задач в сферической системе координат удобно использовать электрический Uj и магнитный U2 потенциалы Дебая [7], через которые выражаются составляющие электромагнитного поля по формулам:

Л ( „2 Л

Er =

'4+k2

var У

(rUi)

Hr =

Ч * k2

var ,

(rU2 ) ,

1 32

Efl =--

r 3r39

(rUi) +

ik

sin 9 Зф

— U2.

Й

ik 3

sin 9 Зф

Ui

1 32 +—

r 3r39

(rU4,

Ёф rsin 9 ЭгЭф (rUi) ik 39 U2,

H* = lk XX U1 + -4'4'( rU2)

39

rsin9 ЗгЗф

Таким образом, исходная векторная граничная задача свелась к первой и второй скалярным задачам математической физики [8] для нахождения соответственно потенциалов Uj и U2 , которые удовлетворяют:

1) однородному уравнению Гельмгольца AUj + k2Uj = 0 вне конических секторов и источника, j = 1,2 ;

2) краевому условию на конических секторах

jUj

3nj_1

= 0 ;

(3)

3) условию на бесконечности в пространстве;

4) условию ограниченности энергии.

В соответствии со структурой полного поля (1) потенциалы Дебая Uj, соответствующие этому полю, ищем в виде

где [2]

U = U(inc ) + U((sc ),

(4)

U(inc) = - sin( 2 ф) (coskr + icos9sinkr-eikrcos9) .(5) j k2rsin 9

Для решения соответствующих краевых задач 1) -4) используем интегральное преобразование Кон-торовича-Лебедева:

f(x) = j f(r)e“"x/2

0

Й-х) (kr) ‘тД ’ dr. Vr

(6)

17 ~ _^т /7H(4kr)

f(r) = - — Jxsh7rrf(x)e ——- dx, (7)

здесь Й^ (kr) — функция Ханкеля первого рода.

В соответствии с представлением потенциала U(mc) в виде

U(mc) = ^v2ke"/4sin( *j/2 _ф);

J xthme

ш /2 Й‘х (kr) P-і/ 2+‘х (cos 9)dx +

+isinCrcj/2^)tg

9 sinkr 2 k2r

потенциал U(sc) ищем в виде (6), (7) [5]:

U(sc-) = U(sc,) + U(sc,) j j,div. j,cnv. ,

(8)

U

(sc.) =- f

j,div. J

H(!)(kr)

4

< Z (-i—

ш=-1;Й m

x(j)

j-1 dj-1

jZ1P-1 /2+ix (cos Y)Urnxdx , (9)

dy

->m+nN

u(J) _ у x(j) P-1/2+ix(±cosQ) ei(m+nN)tp ,(10)

Umx- L xm+nN """7jp1 e

n=-“ d pm+nN (, ч

--TTP-1/2+‘x (± cos Y)

dyJ

U(sc.) =_ _^sinkr j Ґ /

,c"v " „.і-11

j,cnv.

2k2 r

< Z 1-і

m=-1;4 m

m

dyJ

j-1

U

Сі)

(11)

РИ, 2003, № 4

19

Z 5

сі)

m+nN

n=-^

т)—|m+nN| / і а\

P0 (± c0s Є) _i(m+nN)<p ,(12)

■ і e

d D-|m+nN| j і ч

^HP0 l(±cosT)

где p_mi / 2+ix (cos 9) — присоединенная функция Лежандра первого рода, а неизвестные коэффициенты xpi) и связаны соотношением |(j) = lim xCj) .

Верхние знаки в (10), (12) соответствуют~о1:щасти

0 < 9 <у , а нижние — у < 9 < ж .

Таким образом, для определения потенциалов Дебая (4), (8)-( 12) требуется найти их коэффициенты Фурье xPj). Парные сумматорные уравнения для них получаются в результате применения краевого условия (3) на конических секторах и условия непрерывности поля в щелях, и имеют вид:

+<» ,...

Z x(m!neinN»= e,mo“P, иф <|N^s,, (13)

n=-^

+<X |n|

X [N(n + v)]aCi)l_l(i-8(^^n)xmj^neinNtp=0 , (14) n=-^

|N^ < ircd/1,

[N(n + V)]aci)ln-(i-sgn) = n

(_i)(n+v)n+j-lgh^x Г(1/2 + ix + (n + v)N) TC(sinу)1_a(j) Г(1/2 + ІТ- (n + V)n)

1

dj dyj'

i-1

-1 -1/

3(n+2lN (cos y) -j P^N (-cos y) (15)

dy

-N = m0 +v, -1/2 <v< 1/2, a(j) = (-1)j 1, m0 - ближайшее к m/N целое число; r(z) - гамма-функция. Коэффициенты системы 8(rij)n определены в (15), не зависят от волнового числа k и при

( \

(n + v)N >> 1 имеют оценку ■ = O

1

(n + v)2N2

Независимость emj)n от k влечет за собой независимость от частотного параметра и неизвестных коэффициентов xmj)n , что удобно для построения диаграмм рассеяния. Поскольку система (13), (14) первого рода, то она мало пригодна для нахождения xmj)n . Однако, используя алгоритм регуляризации, базирующийся на применении метода задачи Римана-Гильберта, систему (13), (14) удается свести к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) второго рода фредгольмовского типа. Приведем СЛАУ для xm2)n :

Bv (u)x

(2)

m,0

= Dm0Vm0(u) +

I n I

+ Z (xS2?p-sm0>|p|E<2.,PVp(u), (16)

p=-tt) p ’

x

(2,

m,0

z (xg,p-sm0)L|^^m2,pVnp:11(u)+

p=-^

Bv (u) =-

+x02,[Pn(u) +em2)0Vn-^1(u)], n * 0 , 1 2Pv_1(-u)

(17)

V Pv_1(-u) + Pv (-u)

Dm0 =-^(1 -Д2) )

’ m0 m0 m>m07,

^d |0,m ф p p_] p

u =cos—, sm0 =\ , Vjp_11(u) , Vp(u)

11,m = p

l

V^^u, — известные функции [10]. Так как матричный оператор системы (16), (17) вполне непрерывный, ее решение можно получить численно методом редукции. Этот метод и был использован для решения (16), (17).

3. Численные результаты

Проведем анализ зависимости коэффициентов x^j^ от ширины щели. Поскольку коническая структура симметрична по ф и переходит сама в себя при повороте вокруг оси на угол, равный периоду 1, рассмотрим случай конуса с одной щелью (N = 1). На рис.2-9 приведены кривые зависимости коэффициентов | xm2)n |, являющихся решением СЛАУ (16), (17), от угловой ширины щели d для различных индексов m и n , и т = 1.

Принимая во внимание симметрию структуры, направление распространения падающей волны и кривые на рис. 2-9, приходим к выводу, что

x(2) _ x(2) x(2) _ x(2)

Am,n A-m,-n ’ Am,-n A-m,n •

20

РИ, 2003, № 4

Рис.4. Кривые зависимости | (d) | для различных

значений У : 1— у = л /16,2 — у = я / 8 , 3 — у = я / 2

(2)

Рис. 5. Кривая зависимости | x13(d) | для у = %/8

значений у : 1— у = я /16,2— у = я / 8 , 3 — у = я / 2

Из рис. 2-9 видно, что | xm^ |, за исключением | x(2) | и | xi21)_11, убывают с уменьшением ширины щели ( d ^ 0). Их поведение в этом предельном случае хорошо согласуется с аналитическим решением (16), (17), полученным в [5]. При отсутствии щели (d = 0) x^ = 5^ , m = +1, получаем известное решение для сплошного конуса [11, 12]. С уменьшением ширины конического сектора (d ^ 2л) наблюдается уменьшение всех коэффициентов, что подтверждается анализом асимптотического решения (16), (17) для узкого конического сектора [5]. В отличие от | x(2) (d) | и | x^2^ (d) |, которые строго монотонно убывают на всем промежутке изменения параметра d, модули остальных коэффициентов имеют локальные минимумы и максимумы, число которых зависит от номера n . Этот факт определяет роль соответствующей волны в энергетических характеристиках рассеянного поля. Из рис. 4, 5 видно, что с ростом номера n модуль коэффициентов уменьшается, что согласуется со свойствами коэффициентов Фурье. При ширине

щели, меньшей 150°, значение |x^^)(d)| больше, чем для других номеров n .

На рис. 10,11 даны диаграммы рассеяния в горизонтальной плоскости для конуса с одной щелью % % %

(У = — , 0 = —+—); ось щели совпадает с лучом

Ф = 0 . Для сравнения и выявления эффекта щели на рис. 12 приведена диаграмма рассеяния для

% % %

сплошного конуса (d = 0) при У = — и 0 = —+— .

РИ, 2003, № 4

21

Расширение щели приводит к изменению формы диаграммы рассеяния и появлению впадины, симметричной относительно оси щели. При ширине щели, большей 240°, впадина исчезает и диаграмма преобразуется в диаграмму одиночного рассеивателя в виде иглы (узкий сплошной конус), ось которого смещена по отношению к оси OZ на угол 9 = тс/8 •

90

270

Рис. 10. Диаграммы рассеяния в горизонтальной плоскости для конуса с одной щелью: 1— d = 5°, 2d = 30°, 3- d = 60° , 4- d = 90°

90

270

Рис. 11. Диаграммы рассеяния в горизонтальной плоскости для конуса с одной щелью: 1— d = 120° , 2d = 150° , з— d = 180° , 4— d = 210° , 5— d = 240° , 6-d = 270° , 7- d = 300°, 8- d = 330°

90

Рис. 12. Диаграмма рассеяния в горизонтальной плоскости для сплошного конуса

4. Заключение

Приведены результаты исследования задачи рассеяния поля плоской волны на конусе с периодическими щелями. На основе полученного численного решения изучено влияние щелей на коэффициенты Фурье. Изменением ширины щелей можно управлять как формой диаграммы рассеяния, так и степенью воздействия щели на рассеяние вдоль ее оси. Приведенные результаты хорошо согласуются с результатами, полученными другими авторами [2, 11, 12] в частных случаях данной конической структуры.

Литература:1.Кобах В.О. Радиолокационные отражатели. М.: Сов.радио, 1975. 248с. 2. Гошин Г.Г. Граничные задачи электродинамики в конических областях. Томск. Изд-во Томск. ун-та, 1987. 127с. 3. СологубВ.Г., Харчев-нихова Т.И. Дифракция сферических волн на конической поверхности специального вида // Радиотехника. Вып.20. 1972. С.52-58. 4. Дорошенхо В.А., Сологуб В.Г. Возбуждение незамкнутой конической поверхности электрическим радиальным диполем // Радиотехника и электроника. 1990. Т.35, №12. С. 2624-2626. 5. Doroshenko V.A., Kravchenko V.F. The scattering of plane electromagnetic waves from a cone with longitudinal slots // Journal of communications Technology and Electronics, 2001. Vol. 46, N.3. P.271-278. 6. Хенл Х, МауэЛ., Вестпфаль К. Теория дифракции. М: Мир, 1964. 428с. 7. Ильинсхий А.С., Кравцов В.В., Свешнихов А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высш.шк., 1991. 224с. 8. Соболев Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1992. 432с. 9. Конторович М.И, Лебедев Н.Н. ЖЭТФ, 1939. Т.9. Вып. 6. С.729-741. 10. Шестопалов В.П Сумматорные уравнения в современной теории дифракции. Киев: Наукова думка, 1983. 252с. 11. Горяинов А.С. Дифпакция плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси конуса // Радиотехника и электроника. 1961. Т.6, №4. С.47-57. 12. Беличенхо В.П., Гошин Г.Г., Дмитренхо А.Г. и др. Математические методы в граничных задачах электродинамики. Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1990. 171с.

Поступила в редколлегию 20.04.2003

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Нерух А.Г.

Дорошенко Владимир Алексеевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры ВМ ХНУРЭ. Научные интересы: электродинамика, математическая физика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр.Ленина, 14, тел.40-93-72. Email: vlad_doroshenko@yahoo.com

Семенова Елена Константиновна, аспирант кафедры ВМ ХНУРЭ. Научные интересы: электродинамика, математическая физика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр.Ленина, 14, тел. 711-65-09. Email: h_semenova@yahoo.com

22

РИ, 2003, № 4