Дифракция плоской электромагнитной волны на щелевой конической структуре Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.396

ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА ЩЕЛЕВОЙ КОНИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ

ДОРОШЕНКО В.А., КЛИМОВА Н.П.

Рассматривается стационарная задача дифракции плоской электромагнитной волны на полубесконечном идеально проводящем конусе с периодическими продольными щелями. Метод решения основывается на использовании интегрального преобразования Конто-ровича-Лебедева и задачи Римана-Гильберта. Исследуется спектр граничной задачи, структура поля и его поведение вблизи нерегулярностей границы (кромки щели, вершина конуса).

1. Введение

Щелевые структуры широко используются в современных радиотехнических системах. Класс щелевых антенн достаточно большой как по конструктивным особенностям выполнения, так и по областям применения. Конические структуры (в силу своей геометрии) обладают ненаправленными свойствами и сверхширокополосностью по диаграммам направленности и по согласованию [1]. Однако расчёт их электродинамических характери -стик даже для изотропных идеально проводящих экранов далеко не простой и связан с математическими трудностями. Наличие же неоднородностей (например, щелей) на поверхности конуса значительно усложняет решение соответствующей электродинамической граничной задачи, для чего и требуется создание и развитие эффективных алгоритмов. В монографиях [2, 3] приведены результаты исследования задачи дифракции электромагнитных волн на радиально проводящем конусе (модель проволочной антенны и отражателя), где проводимость предполагалась только вдоль образующих (в радиальном направлении) конуса без учёта размеров проводников и их количества. Цель настоящей работы — решение дифракционной задачи в строгой постановке для неограниченного кругового идеально проводящего конуса с периодически прорезанными вдоль образующих щелями. Такая поверхность является моделью конической щелевой антенны (отражателя) с управляемой диаграммой направленности и поляризацией излучения.

2. Постановка задачи и метод решения

Пусть на идеально проводящий бесконечный круговой конус с периодически прорезанными вдоль образующих N щелями падает распространяющаяся вдоль его оси плоская электромагнитная волна (рисунок).

Временная зависимость взята в виде exp(-irot). Во введенной сферической системе координат г, 0, ф коническая поверхность задаётся уравнением 0 = у. Период рассматриваемой структуры l = 2П / N и «ширина» щелей d—угловые величины (d — величина

двугранного угла, образованного плоскостями, которые проведены через ось конуса и рёбра соседних конических лент). Присутствие конуса с продольными щелями приводит к появлению дифрагированного поля Ed, Hd. Полное поле E, Й представим в виде

Ё = Ё‘ +Ed, ^ х

E = E‘+Ed, Г

где Ei =(о,Е‘у,о); Геометрия структуры

Йi = (й‘х,0, о) — поле плоской волны в свободном

пространстве (падающее поле); йХ = —Ey = eikz,

k = / c . Выразим компоненты электромагнитного

поля через электрический V(l) и магнитный V(2) потенциалы Дебая [4], которые удовлетворяют однородному уравнению Гельмгольца всюду вне конуса, граничному условию обращения в нуль тангенциальной составляющей вектора полного электрического поля, условию конечности энергии, условию излучения. Электродинамическая задача в такой постановке имеет единственное решение. В соответствии со структурой полного поля записываем

V(s) = V(s) + Vs),s = 1,2 .

Для решения граничных задач с конической геометрией удобно пользоваться интегральным преобразованием Конторовича-Лебедева

, . +“ . -— H(l)(kr)

G()= J g(r) 2 ^dr

о Vr

1 + <»

g(r)=-- J Tshn 2 0

2 G(t)H",(kr) dT

vr

(1)

(2)

где H (T) (kr) — функция Ханкеля 1-го рода.

Потенциалы Дебая Vi(s), соответствующие диф-

v(s )

рагированному полю, ищем в виде суммы Vd расх и

V(s) • v(s) = vV ) + vV )

vd.CX. ■ d d.pacx. d.c:

помощью интеграла Конторовича-Лебедева (1), (2):

d cx. • 'd = Vd.pacx. + Vd.Cx. , кот°рые Представим с

V

(s) =J z

\ s—1

d.pacx.

vr

m=—1;1

m

— i1

m

d

s—1

-p

dy

s—1 — 1/2+ix

(cos Y)CmxUinldT ,

+ ^

mx = 2 xm+nN ,s_i n=—» ds 1

u(s) = +V x(s)

p °1+nN,(± cos 0) ei(

m+nN)ф

dy;

m+nN

sZf p—1/2+ix (± C0S Y)

X

X

РИ, 1998, № 4

25

V

(s)

d.cx.

i sinkr ds 1 2k2 r dys-1

« 2

X

X Z

m=-1;1

f I |V—1 - iH u(s)

A um -

v m J

(s)= Z Zs) N—P

m+nN ,s-1 n=—<x d

um' = z і

0

nN|

(± cos9)

i(m+nN)

dy

s—1 P°

nN|

(± cos y)

P™ (cos 9) — присоединённые функции Лежандра 1го рода; CfT — известные коэффициенты; x ^s) и lPs)—неизвестные коэффициенты, которые связаны

соотношением lls)= lim x P).

p іт^1/2

Таким образом, для определения дифрагированного поля необходимо найти коэффициенты x j?).

Используя граничное условие на конических лентах и условие непрерывности поля в щелях, получаем систему функциональных соотношений:

+ТО / \

V x(s) einN9 = eim0N9 zL Am,nc _ c

n=—«>

— < |N^ < П

(3)

+z x[n(.+v)pw. M 1—i)=0,

n

n=—<» A1

uT I nd |n9|< — ,

(4)

[N(n + v)]“(s). In 1 — 6(-)n )=

= (—i)+v)N+s 1chnx r(i/2 + ix + (n + v)n) n(sin y)1—“(s ) r(V2 +iT — (n + v)n)

x

1

js—1

Э (n+v

dY;

s—1 * —1/2+іт

lT(cos y)-

/4l 1, s = 1; m 1 1

a(s) = i — = m0 +v, — < v < — ,

V/ ' —1, s = 2, N 0 2 2

m0 — ближайшее к (N целое число; r(z) — гамма-функция. Используя метод задачи Римана-Гильберта, функциональные соотношения сведем к двум независимым системам линейных алгебраических уравнений

относительно x(f)n [5, 6], матричные элементы которых не зависят от волнового числа k, что является удобным для изучения поля как вблизи, так и вдали (дальняя зона) от вершин конуса. В силу того, что матричные операторы полученных систем являются компактными, в некоторых частных случаях конической структуры (полупрозрачный конус, конус с узкими щелями) удаётся получить аналитическое решение исходной электродинамической задачи.

3. Результаты

В случае полупрозрачного конуса, когда число щелей велико (N >> 1) и их ширина меньше периода структуры (d << l) при условии существования предела

W = lim

d/l^0

—-lnf d

N V l

электрический потенциал Дебая yd1) не испытывает

влияния неоднородностей на конической поверхности и такой, как у сплошного конуса [7], а магнитный определяется выражением

У2) = —2w • - I—e

d

k V2k

ПТ

+“ HAkrW 2

cos y J —^-----thnxx

0 Vf Ah

dYP—1/2+>sy) 1 .

----------- • P-1/2+iT( cos 9)t +

^dYP——1/2+iT(cos y) (5)

i 2w 2(y2 9 sinkr

+ —--------cosф.tg I —!•ctg---------,Y<9<n,

k2 i + 2w 6 V 2 J 2 r

где

, chnT

A іт = : x

п sin y

(t2 + V4)^ P—i/2+іт (cos Y). - p—1

- + 2w

'dY —1/2

dY —V2+iT

(- cos y)

Аналогичное представление для vd2) и при

0 < 9 < y . Азимутальная составляющая плотности поверхностного тока, наведенного на конусе, имеет вид

/2і

■>ф = 2w • кД^ke 4 cos ф*

H

S/>(kr)

-Tr

TshnT e 2

А і

d P—1

T(cos y)

dT .

dY —V2+iT'

Для анализа поведения поля вблизи вершины конуса перейдём от интегральных представлений для

vds) к представлениям в виде ряда по полюсам

подынтегральной функции, используя теорему Коши о вычетах[8]. Так, из (5) следует, что

V (2) = 2w ei4

k V kr

e 4 cosфx

xZ-

Р n

Jpn (kr) dYP;i/2+P(cos Y)

n=icosnpn ААР Ap—1 (cosy)

dp m=nn dY — v2+nv "

x P——/2+p(cos9) Y < 9 < П Apn = 0.

P=Pn

П

1

x

ПТ

X

26

РИ, 1998, № 4

Этот ряд быстро сходится, если точка наблюдения находится вблизи вершины (kr << 1 )• В некоторых

частных случаях исследуем корни уравнения Ар = 0 .

Множество корней рn этого уравнения представляет собой спектр граничной задачи Неймана для магнитного потенциала Дебая. Наименьшее собственное значение спектра определяет поведение магнитного поля у вершины конуса:

1) w << 1, у — произвольно,

рп = 1 + n + 2W sin2 у • (-1)1 n(n +1) >

х — Pn 1 (cos у)— Pn 1 (- cos y) + o(w2 )n

= 1,2,...;

d

dY n ' "dY

2) y << 1 (узкий конус), w — произвольно.

Используя асимптотики для dY Р—1/2+р (± C0s y) при Y << 1 [9], получаем

р n =1 + n — n(n + 1)д-^- V + o(Y 4ln2/ Y)ln = 1,2,.>

2 1 + 2w 2

В рассмотренных частных случаях (w << 1;y<< 1) магнитное поле вблизи вершины асимптотически

ведёт себя как (kr)8 , где

8 = <

— — w sin 2 Y,w << 1; 4

Y2, Y << 1.

1 + 2w

Принимая во внимание тот факт, что вблизи острия узкого сплошного конуса (y << 1) магнитное

w

поле имеет особенность порядка (kr)—т2/2, можно

сделать вывод, что у вершины узкого полупрозрачного конуса особенность магнитного поля «слабее», чем у сплошного. Характер поведения полного электрического поля (y << 1) асимптотически такой же, как и у сплошного конуса.

В случае конуса с одной узкой щелью (N = 1, d << 1) спектр электродинамической граничной задачи определяется значениями v n± , х q±, %:

vp± = аp± — г(У2+р p) х

vn аn 4п г(2 + р + р)>

±_ Rq± d2 г(12 + р-q) 1

xq ±=en ±-—

4п г(1/2 + р + q) sin2 y (— 1)q cos npq ±

dр

d „—,

d „—q

dYP:lq2+р(cos y) dYP—11д+р(— cos y)

+ o(d4 )q = 1,2,...,— P—q ±(± cos y) = 0;

W dY — 1/2+Pn±V U

р=рП±

+

X

% =1—

-o(ln—2 d).

2 2sin2 y-lnd ";. (6)

Электрическое поле вблизи вершины конуса с узкой

1

щелью характеризуется значением v 0 (y < п/2) и при kr << 1 ведёт себя так:

|Ё| ~ (kr)—3/2+v0 , где

v0 =а0 — + O(d4 ) P—

d2 cosпа

4п „ d

P , cos y)—P , I-cos y

—1j 2+а0 V —12+а0 ^ 17 р=а0

, — (- cos 1/ 2+а0 v y)=0.

+

Значения а 0 (y) приводятся в [10]. У вершины

сплошного конуса электрическое поле особенности не имеет, так как определяется слагаемым порядка

3

(kr)—3/2+а0— , — <а 0— (y),Y< V2 . Наличие же узкой

щели приводит к появлению особенности у электрического поля. Магнитное поле по мере приближения

к вершине сплошного растет как (kr)—Р5+Р 0 , 1,3 < р0— [10], в то время как у вершины конуса с узкой щелью имеет особенность порядка (kr)—1,5+% . Отсюда заключаем, что наличие узкой щели усиливает особенность магнитного поля.

Структура дифрагированного поля такова, что в ней, кроме возмущённых щелями волн сплошного конуса, содержится волна типа щелевой [11]. Поле этой волны сосредоточено вблизи щели и определяет его особенность у вершины конуса. Так, поведение

компоненты магнитного поля hQ у вершины харак-

(— 1)p cos пр

dр

/2+р

(- cos y)

+o

(4 )■

p±

р=а!

х

d

P p ±(± cos y)= 0,n,p = 0,1,2,...,

-1/2+аn~

где верхний (нижний) знак в аргументе функции Лежандра соответствует верхнему (нижнему) знаку в нижнем индексе;

теризуется доминирующим слагаемым hQ , которое соответствует волне типа щелевой с собственным значением % :

не=-

lnd cos2 (y/2)

.(kr)—32+%- F(e, ф)

П

—i

4

1

e

(7)

РИ, 1998, № 4

27

где

F(0, ф) = b(e) + —

sin у sin Є

-1 + Re

1 + Ь(е)е1ф

Jb2 (е)е2іф- 2Ь(е)еіф

d ,

cos— +1 2 у

x

ь(е)

e

tg - • ctg

е

ctg - • tg

- ,0 <e< y; 2

y

—, y < e < n. 2

Анализ поведения магнитного поля показал, что у вершины конуса по мере приближения к кромке

(ребру) у компоненты поля Не , перпендикулярной к кромке, обнаруживается «двойная» особенность

(7):

е = Т,Н е —. ' '(kr)-1-!')2”"2 Y'"d J

т/ф2 - (d/2)2

|ф = d,Hе ~Т=Ц'(krр-/(2sin2Y'lndJ

2 vm ,

что вполне согласуется с «классическими» результатами теории дифракции [12].

4. Заключение

В работе развит подход к решению дифракционных задач для незамкнутых конических структур, основанный на использовании интегрального преобразования Конторовича-Лебедева и метода задачи Римана-Гильберта. В случае полупрозрачного конуса и конуса с узкой щелью получено аналитическое решение задачи дифракции плоской электромагнитной волны. Исследованы спектр соответствующих граничных задач, структура поля и его поведение вблизи нерегулярной границы (кромки щелей, вершина конуса). Показано, что в структуре поля для конуса с узкой щелью присутствует волна типа

щелевой. При значительном увеличении числа щелей (N >> 1) данная волна не наблюдается. Это связано со спецификой возбуждения рассматриваемой конической поверхности. Предложенный алгоритм может быть использован и для решения нестационарных электродинамических задач с более сложной геометрической конфигурацией.

Литература: 1. Айзенберг Г. 3., Белоусов С.П., Журбенко Э.М. Коротковолновые антенны. М.: Радио и связь, 1985. 536с.

2. Гошин Г.Г. Граничные задачи электродинамики в конических областях. Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1987. 127с.

3. Беличенко В.П., Гошин Г.Г., Дмитренко А.Г. Математические методы в граничных задачах электродинамики. Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1990. 171с. 4. Ильинский А. С., Кравцов В.В., Свешников А.Г Математические модели электродинамики. М.: Высш. шк., 1991. 224с. 5. Шестопалов В.П. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции. К.: Наук. думка, 1988. 252с. 6. Дорошенко В.А. Возбуждение конуса с продольными щелями магнитным радиальным диполем. Радиотехника. 1992, №97. С. 54-61. 7. Горяинов А. С. Дифракция плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси конуса. // Радиотехника и электроника. 1961. Т6, №1. С. 47-57. 8. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688с. 9. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: И.Л., 1952. 476с. 10. Ван Бладель Я. Сингулярности поля вблизи вершины конуса // ТИИЭР. 1983. Т.71. С. 146-147. 11. Велиев Э.И., Носич А.И., Шестопалов В.П. Распространение электромагнитных волн в круглом волноводе с продольной щелью // Радиотехника и электроника. 1977. Т.32,№3, С.466-473. 12. Хенл X, Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964. 428 с.

Поступила в редколлегию 17.12.1998 Рецензент: д-р физ.-мат. наук Николаев А.Г. Дорошенко Владимир Алексеевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: электродинамика, математическая физика. Адрес: Украина, 310202, Харьков, пр. Победы, 52-Б, кв.90, тел. 36-04-38.

Климова Наталья Павловна, канд. техн. наук, доцент кафедры высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: математическая физика. Адрес: Украина, 310726, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-96-19.

УДК 621.396.6

ВРЕМЯ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО ЗАЩИТНОГО УСТРОЙСТВА В РУПОРНОЙ АНТЕННЕ

ФЫКА.И., ВАСИЛЬЕВ Д.Г.

Рассчитывается время переключения защитного устройства на основе высокотемпературного сверхпроводника в рупорной антенне для защиты радиоэлектронной аппаратуры от проникновения мощных электромагнитных воздействий малой длительности.

Защита радиоэлектронной аппаратуры (РЭА) средств боевого управления и связи от проникновения электромагнитных воздействий через антенно-фцдерные устройства осуществляется использованием в качестве защитных устройств (ЗУ) газоразрядных и полупроводниковых приборов [1-5]. Обычно

такие ЗУ обеспечивают надежную защиту в случае, если длительность электромагнитного воздействия tE не менее их времени срабатывания Гу (для газоразрядных приборов Гу не менее 250' 10-9 с, для полупроводниковых — не менее 10-8 с). В случае, если ф<4зу, необходимо использование защитного устройства, построенного на другом физическом принципе и обладающего меньшим значением Гу.

С этой точки зрения наиболее перспективным является использование фазового перехода из сверхпроводящего (S) в несверхпроводящее (N) (или резистивное) состояние в высокотемпературных сверхпроводниках (ВТСП). Экспериментально было доказано, что такой переход осуществляется за время, не превышающее единицы пикосекунд [1].

Защитное устройство, построенное на основе ВТСП, располагается непосредственно в волноводе рупорной антенны. Для поддержания рабочей температуры (для ВТСП T«93 К) данное устройство должно быть помещено в жидкий азот.

Конструктивно ЗУ представляет собой сверхпроводящий стержень, расположенный в волноводе и осуществляющий переход от волновода к коаксиаль-

28

РИ, 1998, № 4