РАССЕЯНИЕ НАКЛОННО ПАДАЮЩЕЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ НЕОДНОРОДНЫМ ЦИЛИНДРОМ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Vinogradov Evgeniy Leonidovich, doctor of technical sciences, professor, vinogra-do v-e l@ram bler. ru, Russia, St. Petersburg, St. Petersburg Polytechnic university of Peter the Great,

Vaganov Vyacheslav Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, prvaganov_spb@mail. ru, Russia, St. Petersburg, St. Petersburg Polytechnic university of Peter the Great

УДК 539.3; 534.26

РАССЕЯНИЕ НАКЛОННО ПАДАЮЩЕЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ НЕОДНОРОДНЫМ ЦИЛИНДРОМ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

Д.Ю. Ефимов

Рассматривается задача рассеяния плоской монохроматической звуковой волны неоднородным упругим цилиндром, находящимся вблизи идеальной абсолютно жесткой или акустически мягкой поверхности. Представлены численные расчеты угловых и частотных характеристик рассеянного акустического поля. В классе многочленов второго порядка были найдены функциональные законы неоднородности упругого покрытия, минимизирующие интенсивность звукоотражения в заданном угловом секторе, а также в некоторой трехмерной области, заданной декартовым произведением, образованным секторами полярных и азимутальных углов сферической системы координат.

Ключевые слова: дифракция звука, звуковая волна, полупространство, жесткий цилиндр, неоднородное покрытие.

Задачам дифракции на телах, находящихся в полупространстве вблизи идеальной поверхности посвящен ряд работ. Аналитическое решение задачи рассеяния звука упругим цилиндром с неоднородным покрытием вблизи подстилающей поверхности в случае нормального падения звуковой волны было получено в работе [1]. Аналогичная задача для шара была решена в [2]. В работе [3] с использованием метода конечных элементов были проведены расчеты для той же задачи, где в качестве рассеивателя предполагался эллиптический цилиндр.

Ранее дифракционные задачи в акустическом полупространстве в случае цилиндрического рассеивателя решались лишь для случая нормального распространения плоской звуковой волны. В такой постановке задача сводится к двумерной и не дает возможности полноты исследований для всех возможных физических состояний процесса. Данная работа посвящена случаю произвольного падения плоской гармонической звуковой волны на абсолютно жесткий цилиндр с неоднородным изотропным упругим покрытием, находящийся в полупространстве с идеальной жидкостью вблизи подстилающей идеальной поверхности.

1. Физическая постановка задачи. Рассмотрим абсолютно жесткое цилиндрическое тело радиуса ro, имеющее покрытие в виде неоднородного изотропного упругого слоя с внешним радиусом r1 , расположенное в идеальной сжимаемой жидкости вблизи плоской идеальной поверхности П, которая, в условиях поставленной задачи, может быть как акустически мягкой, так и абсолютно жесткой. Полагается, что материал неоднородного слоя характеризуется модулями упругости l и m, являющимися дифференцируемыми функциями цилиндрической радиальной координаты r, а его плотность р - непрерывная функция координаты r. Ось цилиндра параллельна поверхности П и отстоит от неё на расстоянии d. Окружающая цилиндр жидкость имеет плотность ро и скорость звука c .

Введем в рассмотрение две одинаково ориентированные системы координат x, y,z и x+1,y+i,z+i. Плоскость xz совмещена с поверхностью П , а координатная ось

z+i совпадает с осью вращения цилиндра. При этом (x+1, y+i,z+1 )= (x, y + d,z).

Из внешнего полупространства, заполненного идеальной жидкостью, на цилиндр произвольным образом падает плоская гармоническая звуковая волна, потенциал скоростей которой равен

У01 = A expj/Kkj • r) — wt]}, где A - амплитуда волны; kj = (ksin0ocosfo,ksinQosinfo,kcos0o) - волновой вектор падающей волны; r = (x, y,z) - радиус-вектор падающей волны; k = w/ c - постоянная распространения внешней области; 0o и fo - полярный и азимутальный углы падения волны; w - круговая частота; t - время. В дальнейшем будем опускать временной множитель exp(- iwt).

2. Решение прямой задачи дифракции. Решим поставленную задачу, используя метод мнимых источников. Исключим из рассмотрения подстилающую поверхность П . Введем в рассмотрение второй цилиндр, имеющий те же геометрические и физико-механические характеристики, что и первый цилиндр, а также вторую плоскую гармоническую звуковую волну с волновым вектором

k2 = (k sin 0o cos f o,—k sin 0o sin fo, k cos 0o).

Вектор k 2 и второй цилиндр являются зеркальным отражением вектора k1 и исходного цилиндра относительно плоскости П. Таким образом исходная задача сводится к решению двух задач дифракции плоской звуковой волны двумя цилиндрическими рассеивателями, находящимися в некотором безграничном объеме идеальной жидкости.

Потенциал скоростей второй падающей волны следует записать как

Vo2 =±A exp{i(k2 • r)}

где k2 = (k sin 0o cos fo,-k sin 0o sin fo, k cos 0o). Знак « + » соответствует случаю, когда

подстилающая поверхность является абсолютно жесткой, а знак «—» - акустически мягкой.

Поскольку поставленная задача обладает свойством суперпозиционности, т.е. линейности, потенциал скоростей полного акустического поля запишется как

y = yoi + Vo2 + V si + V S 2, где y si - потенциал скоростей рассеянной двумя цилиндрическими телами первой звуковой волны; yS2 - потенциал второй рассеянной звуковой волны.

Результирующий потенциал полного рассеянного акустического поля будет соответственно равен

V S = У02 +V Si + V s 2. (1)

Подробно решение данной задачи изложено в работах [1, 4]. Здесь приведем только выражения для потенциалов падающих и рассеянных акустических волн, записанных в цилиндрической системе координат.

Введем еще одну прямоугольную систему координат x—1, y—1,z—1. Ось z—1 совпадает с осью вращения второго цилиндра, зеркально отраженного от поверхности П . Для данной системы координат справедливо (x+1, y+1,z+1 ) = (x, y — d,z). Тогда, связав прямоугольные системы координат x, y,z, x+1, y+1,z+1, x—1, y—1,z—1 с цилиндрическими системами координат r, f,z, r+\, f+1,z+1, r—\, f—1,z—1 соответственно, будут справедливы выражения

Vo1 = Aeibd sin fo eiaz+1 £ inJn (pr+1)ein(f+1—fo),

+

УБ1 = I U+l)Hn (Pr+1)+ I A¡—l]Hn—m (2bd )jm (pr+1 )el(n—m)(p/2f) le"^1—fo),

г=—¥ y

VS2 = eiaz+1 IB+Ч (br+1) +

П=—¥

Л

+ IBkl)Hn—m(2bd)Jm(br+1)ei(n—m)(p/2—f+1) \ein(f+1+fo),

y

y02 = ±Ae"ibd sin f0 eiaz+1 I inJn (br+1)ein(f+1),

где Jn (x) и Hn (x) - цилиндрические функции Бесселя и Ханкеля порядка n соответственно; а = k cos 0о ; b = к sin 0о; Ajn+l) и A"1) - коэффициенты разложений рассеянного акустического поля, соответствующего падающей звуковой волне Уо1, определяемые в [1]; вП1 и вП—1 - коэффициенты разложений рассеянного акустического поля, соответствующего падающей звуковой волне Уо2, определяемые аналогичным способом.

Рассмотрим дальнюю зону акустического поля. Учитывая, что на больших расстояниях от цилиндров (kr¡ > 1) справедливы соотношения

Г » r — id sin f, fi »f, ( r > d, l = ±1), zi = z, получим следующее выражение для потенциала рассеянной волны

y S1 =V r¡/2r exp(iaz )F1(r, f),

где

F1(r, I I A¡!)Hn (p[r — id sin f])ein(f—fo).

l=±1n=—¥

В результате численного моделирования было установлено, что при достаточно больших r = r * полученное выражение соответствует аналогичным выражениям, построенным для рассеянного акустического поля в безграничном пространстве, представленным в работе [5].

Общая функция F(r, f), позволяющая исследовать рассеянное акустическое поле в дальней зоне полупространства, в силу выражения (1) будет иметь вид:

F (r, f) = F1(r, f) + F2 (r, f)+F3 (r, f),

где

F1(r, f) = F2 (r, f) =

2r

I I $Hn(b[r —idsinf])ein(f—fo),

r1 l=±1 n=—¥

2r

I IBÜ)Hn(b[r —idsinf])ein(f+fo),

r1 l=±1 n=—¥

F3 (r, f) = ± A

2r

7(f+f0 )

I ^ (ьгу( .

V Г П =—¥

3. Решение обратной задачи дифракции. Используя выражение для амплитуды (г, ф)| исследуются угловые и частотные характеристики рассеянного акустического поля. Для этого строятся полярные диаграммы направленности и графики ча-

оо

m=—¥

00

стотных зависимостей. Найдем функциональные зависимости 1(7+1), т(г+1) и р(г+1) неоднородного упругого слоя, обеспечивающие требуемые звукоотражающие свойства цилиндрического рассеивателя.

Предположим, что функции 1(7+1), т(г+1), р(г+1) аппроксимированы полиномами до второй степени включительно относительно переменной г+1, то есть будут рассматриваться следующие законы неоднородности материала покрытия:

1(7+1)=101 * (г+1), тЫ=Л * (7+1), р(г+1)=р°р * (г+1),

где

1 * (г+1) = £1(г)г+ь т * (г+1)= £т(г)г+1, р * (г+1)= £ р(г)г+1, (2)

1=0 1=0 1=0

1°, т0, р0 - характерные величины физико-механических свойств неоднородного покрытия.

Для достижения требуемых звукоотражающих свойств при углах, расположенных в секторе [ф1,Ф2] на зафиксированной частоте ю=ю*, в качестве сравнительной характеристики различных распределений представим функционал, который дает усредненную интенсивность рассеяния звука в указанном угловом секторе:

г 1 1 ф2

Ф1[1, т р] = "-— |

ф2 -ф1 ф1

В том случае, если мы хотим получить оптимальное звукоотражение в некотором элементе объема полупространства при фиксированной частоте ю = ю *, то в качестве такого элемента могут выступать множество пар (ф, 00) из декартова произведения

Б = (ф1,ф2)х002)) и, учитывая геометрический смысл полярного угла, соответствующий функционал может быть записан как

F (w*, f)

2

df.

ф2 [1, ^ p] = Y--7Л--Г J Í

q02)f2 w..... Л ^2

F (w*, 0O, f)

sin 0odfd0o .

(cos 0W- cos 002))(ф2 -fi) 0(1) f Потребуем, чтобы функции (2) удовлетворяли ограничениям

a0 <1 *(r+i)<ai, po *(r+i)<Pi, go <P*(r+i)<gi, (3)

где aj, bj, gj (j = 0,i) - некоторые положительные константы.

В результате задача сводится к задаче минимизации функции девяти переменных:

Ф J (i(0), 1« 1(2), m<0>. m(l), m(2), p(0), p(1), p(2)] ® min . J = 1.2 .

При дальнейшем решении использовались преобразования. предложенные в [6]. а процесс минимизации производился при помощи алгоритма имитации отжига Коши [7].

4. Численные исследования. На основе полученного решения были проведены расчёты амплитуды рассеяния |F(r*.ф)|. Численные эксперименты проводились для

3 3

цилиндра. находящегося в воде с физическими характеристиками pi = 10 кг/м . c = 1485 м/ с . Внутренняя часть цилиндра представляет собой абсолютно жесткий ма-

0 3 3

териал. Для неоднородного упругого слоя характерная плотность р = 1.07 10 кг/м .

характерные модули упругости 10 = 3.9 109 н/м2. m° = 9.8 108 н/м2 (поливинилбути-

раль). Полагалось. что 1 = 1°. m = m° . р = р° • f (r+i). Внешний радиус r = i. внутренний радиус r° = 0.75 . Амплитуда падающей волны A = i. Расстояния d = 2. r* = 100 .

Для оценки влияния наличия упругого покрытия были построены полярные диаграммы направленности амплитуды рассеянного акустического поля (г*,ф) при

значении волнового размера Ъ\ = 5, углах падения плоской звуковой волны фо = -р /6,

00 = р/4 и линейном законе изменения плотности р = р° • [(г+ - го)/(г - го)+ 0.5].

Рис. 1 соответствует случаю, когда подстилающая поверхность является абсолютно жесткой, рис. 2 случаю акустически мягкой поверхности. На рисунках штриховыми линиями показаны диаграммы направленности амплитуды рассеянного поля для цилиндров с однородным покрытием, сплошными - для цилиндров с неоднородными покрытиями, пунктирными - для абсолютно жестких цилиндров без покрытий. Стрелкой показано направление падающей плоской волны.

Сравнение диаграмм на рис. 1 (2) показывает, что наличие упругого покрытия оказывает существенное влияние на рассеянное акустическое поле. Величина амплитуды рассеянного поля претерпевает изменения во всём диапазоне углов фе [о, р] . Заметим, что наибольшие изменения в значениях амплитуды рассеянного поля происходят в теневой зоне фе [о,р/3]. Следует отметить относительное сохранение формы диаграмм без покрытия, с однородным и с неоднородным покрытиями для обоих типов подстилающих поверхностей. Сравнивая пунктирные, штриховые и сплошные линии на рис. 1 и 2 соответственно можно видеть, что тип подстилающей поверхности также вносит существенные изменение в рассеянное акустическое поле. Следует отметить, что в случае акустически жесткой поверхности наблюдается большое количество «острых» лепестков, в то время как в случае акустически мягкой поверхности мы наблюдаем меньшее число лепестков более с более «плавной» формой.

Рис. 1. Диаграмма рассеяния

На рис. 3 представлены графики частотной зависимости коэффициента обратного рассеяния звука (р + Фо )| от волнового размера Ь\ в интервале 0 < Ь\ £ 5 для значений фо = -р /6, 0о =р /2. Сплошной линией построена частотная характеристика

для случая, когда подстилающая поверхность абсолютно жесткая и покрытие является однородным, штриховой для абсолютно жесткой поверхности и неоднородного покрытия, пунктиром - акустически мягкая поверхность и однородное покрытие.

Сравнивая сплошную и пунктирную линии можно видеть, что различные виды идеальной поверхности, вблизи которой находится цилиндрическое тело, оказывают совершенно разное влияние на рассеянное акустическое поле. В ходе вычислений было установлено, что положение резонансных точек (под резонансными точками подразумевается множество локальных экстремумов функции (р+Ф0 )) для случаев абсолютно жесткой и акустически мягкой поверхностей сохраняется со смещением не более 0.05, хоть и значения функции в данных точках различны.

1^(571/6)1 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1

0.5

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Ь\

Рис. 3. Зависимость коэффициента обратного рассеяния звука от волнового размера цилиндра

Сплошная и штриховая линии на рис. 3 позволяют сделать вывод о том, что при волновом размере кгу е (0,2) влияние неоднородности материала покрытия не проявляется. Незначительные изменения начинаются при кг\ е [2.5,3]. И при кт\ > 3 мы наблюдаем уже значительную разницу между значениями коэффициента обратного рассеяния звука.

Был проведен численный эксперимент поиска функций (2), обеспечивающих минимум функционала Ф j, ] = 1,2. В ограничениях (3) было положено

а о =Ьо =Уо = 0.5, ^ =р1 =У1 = 1.5. Для каждой из функций 1 * (г+1), т * (г+1), р * (г+1) исследовались одинаковые сетки из 15 точек. При этом подходили лишь функции непрерывные в области & = {(г, /) го £ г £ г1, 0.5 £ f £ 1.5}. Допустимых комбинаций законов неоднородности материала покрытия оказалось 1578125.

Эксперимент проводился при фиксированном значении волнового размера кг1 = 5, полярному и азимутальному углам падения волны 0о = р /2, фо = -р /6 и акустически мягкой плоской поверхности. Минимальное значение Ф1 = 5.734 было получено при следующих законах неоднородности упругого покрытия

1(г+1) = 3.9 • 109 (- 4.166666667г+2 + 3.75г+1 +1.166666667),

т(г+1 ) = 9.8 • 108 • 0.5 (4)

р(г+1) = 1.07 • 103 (о.9920634921+ - 0.5357142857г+1 +1.043650794).

При этом угол наблюдения изменялся в интервале 0 < ф < р/3 . Для однородного покрытия Ф^ = 15.989, а для абсолютно жесткого цилиндра без покрытия Ф^ = 6.443 . Таким образом удалось снизить интенсивность звукоотражения по сравнению с однородным покрытием на 64%, а также снизить на 11% звукоотражение по сравнению с цилиндром без покрытия.

Были проведены расчеты для функционала Ф2 при тех же исходных данных в области Б = (0,р/3)х(р/3,р/2). Оптимальному значению Ф2 = 7.78 соответствовали законы

1(г+1) = 3.9• 109(-5.5555555567+ + 5г+1 + 1.05555555б), т(г+1) = 9.8• 108 • 0.5,

р(г+1) = 1.07 • 103 (0.1984126984г+2! - 0.8928571429;+ + 0.4087301587). При этом в случае однородного покрытия значение функционала составило Ф 2 = 13.86. Для абсолютно жесткого цилиндра без покрытия было получено значение Ф 2 = 8.206. Полученное неоднородное покрытие снизило интенсивность звукоотражения на 44% по сравнению с однородным покрытием и на 5% по сравнению с абсолютно жестким цилиндром. Интересно отметить, что в случае неоднородного покрытия с законами (4) Ф 2 = 8.08.

В заключение следует отметить, что на практике изготовление функционально-градиентных покрытий с непрерывными физико-механическими свойствами вызывает значительные затруднения, а аналитическое решение задачи сводится к краевой задаче для системы + 2) обыкновенных дифференциальных уравнений, вычислительный

процесс для которой сопряжен с высокой объемной и временной сложностями. Альтернативой является система дискретных упругих однородных слоев [8]. В такой постановке решение задачи сводится к системе линейных алгебраических уравнений, а процесс производства значительно упрощается. В ходе вычислений было установлено, что при достаточно малом шаге разбиения толщины непрерывного неоднородного слоя А: Г0 = У0 < У1 < .. < Уы = 1, Ь = (г - Г)) / N функции неоднородности 1 *(г+1), т *(г+1), р * (г+1) могут быть с достаточно высокой точностью аппроксимированы системой кусочно-постоянных функций

1 У/+1

X+1(г+1 ) = т-. | С(г+1 , I = 0,1,...,N -1,

(У+1 - У) у

где через ^(г+1) обозначена любая из функций 1 *(г+1), т *(г+1), Р *(г+1). Каждой такой функции соответствует упругое однородное покрытие.

На рис. 4 сплошной линией построена диаграмма направленности рассеянного акустического поля для законов неоднородности (4) при тех же входных данных, при которых проводился поиск данных законов. Штриховой для системы из двух дискретных упругих слоев, пунктирной - пяти дискретных упругих слоев.

-2-10 1 2 Рис. 4. Диаграмма рассеяния 190

Результаты моделирования показывают, что при уменьшении шага сетки А различие между непрерывно-неоднородным и дискретно-неоднородным покрытиями становится незначительным.

Список литературы

1. Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, находящимся вблизи плоской поверхности // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2018. Вып. 9. С. 276 -289.

2. Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи плоскости // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19. Вып. 2. С. 199 - 216.

3. Скобельцын С. А., Пешков Н.Ю. Рассеяние звука неоднородным упругим эллиптическим цилиндром в акустическом полупространстве // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2018. Вып. 7. С. 183 - 200.

4. Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на двух упругих цилиндрах с неоднородными покрытиями // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19. Вып. 1. С. 238 - 254.

5. Толоконников Л. А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Часть 2. С. 265 - 274.

6. Толоконников Л.А., Ларин Н.В., Скобельцын С.А. Моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукоотражающими свойствами // ПМТФ. 2017. № 4. С. 189 - 199.

7. Лопатин А. С. Метод отжига // Стохастическая оптимизация в информатике / Под ред. О Н. Граничина. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005. Вып. 1. С. 133 - 149.

8. Ларин Н. В., Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 242 - 250.

Ефимов Дмитрий Юрьевич, магистр, инженер-программист, eof.dmitriy. of@,gmail. com, Россия, Тула, ООО «ПОЛИКРОВ»

SCATTERING OF AN OBLIQUELY INCIDENT SOUND WAVE BY AN NON-UNIFORM

CYLINDER IN HALF-SPACE

D.Y. Efimov

The problem of scattering a plane monochromatic sound wave by a non-uniform elastic cylinder located near an ideal absolutely rigid or acoustically soft surface is considered. Numerical calculations of the angular and frequency characteristics of the scattered acoustic field are presented. In the class of second-order polynomials, we found functional laws of inhomogeneity of the elastic coating that minimize the intensity of sound reflection in a given angular sector, as well as in a certain three-dimensional region defined by the Cartesian product formed by the sectors of the polar and azimuthal angles of the spherical coordinate system.

Key words: sound diffraction, acoustic wave, half-space, rigid cylinder, non-uniform covering.

Efimov Dmitry Yurievich, master, software engineer, eof.dmitriy.of@,gmail.com, Russia, Tula, LLC «POLIKROV»