ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНО-НЕОДНОРОДНОГО ПОКРЫТИЯ ЦИЛИНДРА ДИСКРЕТНО-НЕОДНОРОДНЫМ ПРИ РАССЕЯНИИ ЗВУКА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3; 534.26

ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНО-НЕОДНОРОДНОГО ПОКРЫТИЯ ЦИЛИНДРА ДИСКРЕТНО-НЕОДНОРОДНЫМ ПРИ РАССЕЯНИИ ЗВУКА

В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

Д.Ю. Ефимов

Исследуется возможность моделирования непрерывно-неоднородного упругого покрытия системой дискретных однородных упругих слоев при произвольном падении плоской звуковой волны на абсолютно жесткий цилиндр с покрытием, находящийся вблизи идеальной поверхности. Проведены расчеты амплитуды рассеяния и частотной зависимости для случаев непрерывно-неоднородного и дискретно-неоднородного покрытий. Вычислены соответствующие погрешности при таком приближении.

Ключевые слова: дифракция, звуковая волна, полупространство, непрерывно-неоднородное покрытие, дискретно-неоднородное покрытие.

Рассеяние звука телами, находящимися вблизи границы полупространства, исследуется в ряде работ. Так, в [1, 2] получены аналитические решения задач дифракции звуковых волн неоднородными упругими рассеивателями, находящимися вблизи плоской подстилающей поверхности, где в качестве рассеивателей рассматривались цилиндр и шар соответственно.

В работах [3, 4] освещен вопрос моделирования радиально-неоднородного непрерывного упругого покрытия системой однородных упругих слоев в задачах дифракции звука в безграничном пространстве для цилиндра и шара соответственно.

В данной работе рассмотрим вопрос о возможности замены непрерывно-неоднородного покрытия дискретно-неоднородным в случае произвольного падения плоской звуковой волны на абсолютно жесткий цилиндр с покрытием в присутствии идеальной подстилающей поверхности.

1. Физическая постановка задачи. Введем в рассмотрение абсолютно жесткий цилиндр бесконечной длины с радиусом ro, имеющий покрытие в виде N коаксиальных упругих изотропных слоев, каждый из которых имеет внешний радиус rj (j = 1,2,..., N) и характеризуется упругими постоянными lj, mj и плотностью рj . Цилиндр располагается вблизи границы полупространства, заполненного идеальной сжимаемой жидкостью с равновесной плотностью ро и скоростью звука c . Граница полупространства представляет собой плоскую поверхность П (акустически мягкую или абсолютно жесткую), параллельную оси цилиндра и отстоящую от неё на расстоянии d.

Из внешнего полупространства на цилиндр под произвольным углом падает плоская гармоническая звуковая волна, потенциал скоростей которой равен

У01 = A exp(/[(k1 • r )-wt ]}, где A - амплитуда волны; ki = (ksin0ocosfo,ksinQosinfo,kcos0о) - волновой вектор падающей волны; r = (x, y,z) - радиус-вектор падающей волны; k = w/ c - постоянная распространения внешней области; 0о и fo - полярный и азимутальный углы падения волны; w - круговая частота; t - время. В дальнейшем будем опускать временной множитель exp(- iwt).

2. Аналитическое решение. Аналогично работам [1, 2] поставленную задачу будем решать методом мнимых источников. Исключим из рассмотрения подстилающую поверхность П введением второго цилиндра и второй падающей плоской волны с

333

волновым вектором k2 = (ksin60 cosfo,-ksin60 sinф0,kcos0q), являющимися зеркальным отражением исходных объектов относительно плоскости П .

Введём три одинаково ориентированные декартовы системы координат x, y,z,

x+i,y+1,z, x-i,y-i,z-j такие, что координатные оси z+¡ и z—i совпадают с осями вращения первого и второго цилиндров соответственно, плоскость xz совмещена с плоскостью П и выполняется соотношение

(x+i, y+1 - d, z+i) = (x, y ,z) = (x-i, y-1 + d, z-1).

Свяжем прямоугольные системы координат с цилиндрическими системами координат r, f,z, r+i, f+i, z+1, r-i, f-i, z-i соответственно индексации.

Согласно линейной теории акустики идеальных сред в случае гармонического движения звуковой волны потенциал полного акустического поля удовлетворяет уравнению Гельмгольца

Dy(1) + k 2y(1) = 0.

При этом скорость частиц v и давление жидкости p определяются по формулам v = grad y(l), p = /юр 0y(l).

Исходя из линейности постановки задачи, а также выбранного метода решения, потенциал полного акустического поля запишется как

У(1)=У01 +У02 +ysi +ys 2, где y 01 и y 02 - потенциалы двух падающих плоских звуковых волн; y si и y s 2 - потенциалы двух рассеянных двумя цилиндрическими телами звуковых волн.

Выражение для потенциала результирующего рассеянного акустического поля будет иметь вид

y s = у 02 +y si +y s 2. (1)

Представим потенциалы падающих и рассеянных звуковых волн, записанные в координатной системе r+i, f+i, z+¡, в виде разложений по цилиндрическим волновым функциям [5]

y01 = Aebsinf0eiaz+i £inJn(^>^+1 ), y si = eiaz+1 £(аП+Ч (br+i)+ + £ ^H—m (2bd)Jm (br+i )e/(n—m )(p/2—f+1 iW1-*0),

m=—¥ у

У s 2 = eiaz+1 £^4 (br+i) +

£ E^Hn—m (2bd Jm (br+1 )ei(n—m)(p/2—f+1) le/n(f+1+f0),

= ±Ae~'bdsinf0e/az+i £inJn (br+1)e/n(f+i+f),

m=—¥

¥

У02 =±Ae i-0eaz"

n =—¥

где Jn (x) и Hn (x) - цилиндрические функции Бесселя и Ханкеля порядка n соответственно; a = k cos 60; b = k sin 60; A(+i) и аП_1) - коэффициенты разложений рассеянного акустического поля, соответствующего падающей звуковой волне y0i ; En+i) и En—i) - коэффициенты разложений рассеянного акустического поля, соответствующего

падающей звуковой волне y 02 • При этом в выражении для y 02 знак «плюс» соответствует абсолютно жесткой подстилающей поверхности, а знак «минус» - акустически мягкой.

Представим вектор смещения частиц ^ j -ого упругого однородного слоя в l -м (l = ±l) цилиндре в виде [6]

u(j,Z )= grad Y(j,1 ) + rot Ф( ), j = 1,2,..., N, l = ±1, (2)

где ) и Ф^) - скалярный и векторный потенциалы смещения соответственно.

Используя аппарат линейной теории упругости, выражение (2) распадается на два уравнения Гельмгольца

^) + к£/ ) V j'l) = 0, Дф' ) + к{' )2Ф( ) = 0,

где кСу) = Ю/ е!у ) и к^ = ю / е^ ) - постоянные распространения продольных и поперечных упругих волн; е^) =^(1' + 2т')/ р' и е^) = ' / р' - скорости продольных и поперечных волн.

В общем случае в цилиндрической системе координат уравнение Гельмгольца для вектора ф') не распадается на три независимых скалярных уравнения относительно его проекций. Представим вектор ф') в виде [7]

Ф' ) = го^',1^)+ к{', ' = 1,2,...,N, I = ±1,

где ) и М(',1)- некоторые скалярные функции пространственных координат Г,Ф1 , I = ±1; ё21 - единичный вектор оси XI, I = ±1. В результате такого представления векторное уравнение Гельмгольца относительно ф') распадается на два скалярных относительно ',1) и М(''1). Тогда поле смещений в ' -ом слое I -го цилиндра характеризуется следующей системой уравнений

ДУ(',1) + кУ )2^(',1 )= 0,

v%

DL( j,1) + k{ j)2 L( j,1 ) = 0,

DM(j,1) + ktj ^M(j,1 ) = 0, j = 1,2,..., N, l = ±1. Решения уравнений (3) будем искать в виде [5]

Y(j,l) = eioz J(k1j)r)+ ВШ)Nn(k1j)r)jein(f-f0)

(3)

П=—¥ ¥

L(j,l) = eiaz (k2j V)+ Cj )Nn (k2j V )]ein(f—f0),

П=—¥

M(j,l) = eiaz ^pjJ (k2jV)+ cjl]Dn (k2jV)]ein(f—f0),

где Nn (x) - цилиндрическая функция Неймана порядка n; k1 = Л/kXj)2

V1 a

2 .

k2 = д/ ktj )2 —a2 ; В2-П,/), с1(П,1) , С2'П,/), , Dj, j = 1,2,..., N, l = ±1 - коэффициен-

ты, подлежащие определению из граничных условий.

335

Граничные условия на внешней поверхности I -го цилиндра заключаются в равенстве нормальных скоростей упругого тела и жидкости, равенстве нормального напряжения и давления жидкости, взятого с обратным знаком, отсутствии касательных напряжений [8]:

г = гн: = Д = , а^') = 0, а^ = 0; I = ±1, (4)

где а^' ^ - нормальное напряжение у -го упругого слоя I -го цилиндра (у = 1,2,...,Ы, I = ±1); а^' ^ и а^' ^ - касательные (тангенциальные) напряжения; ыГJ,' ) -

компонента вектора смещения „(>■') = ^),ы^), ы^ Ц .

На внутренних поверхностях при переходе между у -м и (у +1) -м упругими слоями (у = 1,2,..., N -1) на границах должно выполняться попарное равенство составляющих вектора смещения, нормального и тангенциального напряжений:

г = г у : ыГ1,1) = ыСу+1,/), ы^'1) = +1,/), „ у )= ы Р'+>,'),

а(у,' )=а( у+1,') а(у,1 )_а( у+1,') а(у,' )_а( у+1,'). (5)

Огг -Огг , "гф - <~>гф , Г2 Г2 5

(у _ 1,2,...,N -1), I = ±1.

При переходе через границу раздела упругой и абсолютно жёсткой сред необходимо потребовать равенство нулю вектора смещения частиц упругой среды

г _ г0 : ы)_ 0, ы§')_ 0, ы!},')_ 0; I = ±1. (6)

Выражения для компонентов тензора напряжений а^''), а^' ^, а^'') и вектора смещения „(у,' ^ в случае однородной изотропной упругой среды присутствуют в работе [3]. Здесь приведем окончательный вид системы линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов АП), вЩ''), ), С^'''), С^),

П\п], ^}, у = 1,2,..., N, I = ±1.

Введем вектор коэффициентов

к(у,') = (в(у,')в(у,') С(у,') С(у,') в(у,') ^(у,')Т у = 12 Ы ' = ±1

кп = \в1п ,в2п ,С1п ,С2п ,и1п ,^2п ) , у = 1,2,...,Ы , ' = ±^

тогда граничные условия при переходе между упругими слоями (5) удобно записать в виде

Б^' )(гу )кПу,') = Б^/+1,' )(гу )кПу+1,'), у = 1,..., N -1, ! = ±1, (7)

где Б^' )(г) = (¡УрЦ ))бхб - матрица шестого порядка со следующими компонентами:

.(уу) = ^(уу) = к(у)7> (к(у)г) ) = Ауу) = ,ак(у)7> (к(у)г)

¡п11 = и12 = к1 7 п\ь1 г/, ¡п13 = ¡п14 = ШК2 7 п\к2 гЬ

¡(у,')=¡(у,')=7 (к(у)г) ¡(у,')=¡(у,')=к(у)г) ¡(у,')=¡(у,')=-^па7 (к(у)г)

¡п15 = ¡п16 = г 7п к2 г/, ¡п21 = ¡п22 = г 7и\к1 г/, ¡п23 = ¡п24 = г 7и\к2 г/,

¡(у') = ¡ОУ) = -к(у)к(у)7/ (к(у)г) ¡СА') = ¡(у,') = ,а7 (к(у)г)

¡п25 = ¡п26 = кХ к2 7 п к2 ^, ¡п31 = ¡п32 = /а7и\к1 г),

¡(у,')= ¡(у,') = 7 (к(у)г' (к(у))2 -а2

¡п33 = ¡п34 = 7п \к2 г; \кт / а

¡(у,') = ¡(у,') = 0

¡п35 =¡п36 = 0'

&!)=¡Ш) = 2ту ку))2 7"„кСу)г)-1 у кСу))2 г„ ку)г)

¡п4,:3) = ¡п4,'1) = 2^ату(к2у)^7' ' п (к2у)г),

Д/',I) = Л/',I)

п45

п46

м г

21пк,

(/)

„( ',1 ) = „( ',1 )=. *п55 ~ лп56 _

Гк2' 7 'п (к2' V)- 7п (к2' V)]

г

' ) = 4''2 ) = (к!' 7 'п (к!' )г)- ^ к' )г)),

г

' )=»П54 ) =^ 7 (Ж )г)- к' )г 'п (к2' )г)),

г

м,

г2 к

(к2')) г "п (к2/ )г)- гк2'' )г-п )г)+ п2 гп (к2/ V)

.Сл') = „(/,1) = 2/ам к(/)7/ (к(/)г) *Сл') = Л-Л') = т к(')7/ (к(')г' (к('))2 - 2а2

п61 = sn62 =2/аМ/к1 7 п\к1 г1, 5п63 = 5п64 =м/к2 7 п\к2 г, \кХ / 2а

апк!' )М

' ) = ' )=_апкгм/гп (кО' )г),

п65

п66

где штрих означает дифференцирование по аргументу; 7п (х ) = 3п (х) в том случае, если индекс q нечетный, и 7п (х) = Nn (х), если индекс q четный.

В соответствие с уже введенными обозначениями граничные условия при переходе между упругой и абсолютно жесткой средами (6) удобно записать в виде

8!1 )(го )4М ) = 0, ' = ±1, (8)

где 8

(N ,1 )(г )=(5(У ,1)) п V) \Лnpq /3х6>

р = 1,2,3, q = 1,2,...,6.

п v ' /3х6

Условия отсутствия касательных напряжений на внешней поверхности цилин дра можно записать как

§пл',' ^ )4У'' ) = 0, '=±1,

где §п"' )(г ))2х6, р = 5,6, q = 1,2,...,6.

Оставшиеся граничные условия в (4) дадут уравнения

(9)

А(') + уа(',-')А(-') = р(') ' = ±1 с = 12

а

Ш = -¥

(п

(10)

где

а(',-') = 3 и (РгУ ) Н (2пИ)е/(ш-п)(ф-','-ф0) аШш = И'п (ЬгЛ ) Нш-п ^* '

,(',-' )= 3п (ргу)

а2пШ = Ш) Нш-п Ш У

(ш-п )(ф-',' -ф0 )

К

(') = -А/п 3 п (РгУ)

1п

81П Ф

/ю

Н'п (Ьгу)

ЬН 'п (ргу)

(У,' )в (У,')

+

+

(У,' )В(У,') + (У,' )с (У,') + 5(У,' )с (У,') + 5(У,' )п(У,') + (У,' )п(У,') п12 в2п + лп13 с1п + лп14 с2п + лп15 и\п + лп16 и2п

К(') = -А/п 3п (ЬгУ ) ¿№1 б1ПФ 2п Нп (Ьгу )

+

рюНп (Ьгу )

5 (У,' )В(У,')

+

_(У,' )В(У,')+ _(У,' )с (У,')+ _(У,' )с (У,')+ _(У,' )п(У,')+ _(У,' )п(У,') Ф (2 + ') /2 5п42 В2п + 5п43 Чп + 5п44 С2п + 5п45 D\n + 5п46 ^2п -I' Ф',-' = р2 + V/2.

Бесконечную систему алгебраических уравнений (7) - (10) следует решать методом усечения. Пусть Q - порядок усечения: \п\ < Q , |ш| < Q. Тогда в результате имеем систему (12 У + 2)(2Q +1) уравнений относительно того же числа неизвестных.

2

г

Для решения задачи рассеяния плоской звуковой волны с потенциалом У02 двумя цилиндрами необходимо в описанных выше выражениях заменить компоненты вектора kj компонентами вектора k2, а также заменить знак амплитуды A на «минус» в случае акустически мягкой поверхности.

3. Численные исследования. Будем рассматривать дальнюю зону акустического поля. Результирующие выражение для амплитуды рассеянного поля |F (r^, ф| в цилиндрической системе координат, согласно (1) имеет вид

\FN (r, ф)| = |F1 (Л ф)+ F2 (r, ф) + F3 (r, ф)|, r > rN,

где

Fi(r,ф) = í2^ I I4H(b[r-ldsinф]Уп(ф-ф°),

V rN l=±1n=-¥

F2 (r, f) =

- I IEÍH (b[r - ld sin ф]Уп(ф+ф0),

rN l=±1n=-¥

F3(r, f) = ± A

— I inJn (br yn(f+fo).

V rN n=-¥

Было установлено, что при некотором критическом значении r* = 100 характеристики рассеянного акустического поля имеют ту же размерность, что и при решении аналогичной задачи в безграничном пространстве.

Оценим возможность моделирования непрерывно-неоднородного покрытия системой дискретных однородных упругих слоев. В случае непрерывно-неоднородного упругого покрытия модули упругости 1 и m являются дифференцируемыми функциями радиальной координаты, а плотность р - непрерывной функцией радиальной координаты. То есть с математической точки зрения постановка задачи заключается в аппроксимации непрерывных функций кусочно-постоянными. С подробным решением задачи для непрерывно-неоднородного покрытия можно ознакомиться, например, в работе [1].

Введем на отрезке [%rN] равномерную сетку W: ro < r1 < ... < rN с узлами rj

(j = 0,1,..., N) и шагом h = (rN - ro)/N. Пусть характеристики непрерывно-неоднородного покрытия заданы следующим образом

i(r )=i0i * (r), m(r)=m0m * (r), m(r)=m0m * (r),

где i0, m0, P0 - базовые свойства материала покрытия; 1 * (r), m * (r), р * (r) - некоторые функции радиальной координаты. Тогда соответствующее дискретно-неоднородное покрытие будет состоять из N слоёв с радиусами rj с характеристиками

Уj

J 1 * (r )dr,

' У j-1

1 j =1 1 i

m j =m0m j

p j =p0p j

Xj FJ-J) 1

m j =

1

üD yj-1

yj

J m * (r )dr

1

yj

Pj =7-) J P * (r )dr

J (yi - yi-11 yj-1

j = 1,2,...,N.

Для оценки погрешности приближения использовалась величина

2

p Fn (r*, ф)- F(r*, ф)

R = J

0

dф,

где (г*, ф) - амплитуда рассеянного акустического поля в случае непрерывно-неоднородного покрытия.

Численные эксперименты проводились для цилиндра, находящегося в воде с

3 3

физическими характеристиками Р0 = 10 кг/м , с = 1485 м/ с . Внутренняя часть цилиндра представляет собой абсолютно жесткий материал. Для неоднородного упругого

0 3 3

слоя характерная плотность р = 1.07 10 кг/м , характерные модули упругости 0 9 2 0 8 2

1 = 3.9-10 н/м , т = 9.8 10 н/м (поливинилбутираль). Внешний радиус гN = 1, внутренний радиус г0 = 0.75. Амплитуда падающей волны А = 1. Расстояния ё = 2, г* = 100 . Полагалось, что

1 * (г) = 1, т * (г) = 1, Р * (г)= 0.75[(г -г0)2/(гж -г0)2 +1. На рис. 1 изображена полярная диаграмма направленности амплитуды рассеянного поля для значений углов Ф0 = -Р/3 , 00 = Р/3 , волнового размера кг\ = 5 и абсолютно жесткой подстилающей поверхности. Сплошной линией построена диаграмма для непрерывно-неоднородного покрытия, штриховой - для дискретно-неоднородного при N = 3, штрихпунктиром - N = 6, пунктиром - N = 12. Стрелкой указано направление падающей плоской волны.

Можно видеть, что при увеличении числа слоев N диаграмма направленности для случая дискретной неоднородности всё сильнее стремится к диаграмме для случая непрерывной неоднородности. При N = 8 различия становятся практически неразли-

—2

чимы. Погрешность при этом составила для N = 3; 6; 12 - Я = 12.306; 0.252; 0.454 10 соответственно.

На рис. 2 построена частотная зависимость коэффициента обратного звукового рассеяния If (r*, p+f0 ) = If (p+f0 )| на промежутке krN e [3,5] для fo = -P/6, 0o = P/2.

Поверхность предполагалась абсолютно жесткой. Сплошная линия построена для непрерывно-неоднородного покрытия, пунктирная - для дискретно-неоднородного при N = 3 , штриховая - N = 6 .

Исследуя сплошную и пунктирную линии на рис. 2 можно видеть, что для цилиндра с тремя упругими слоями наблюдается сдвиг частотной характеристики в сторону больших частот на промежутке krN e [3.25,3.4] U [4 .5,51, а также наиболее сильные отклонения при krN e [3.8,3.9]. Достаточно точное приближение достигается при N = 6 . Учитывая, что k = w / c, а rN = const, погрешность удобно оценить выражением

^2 = A'2 J Fn(p-fo)-F(p-fo)|2dw. wi

_3

Для N = 3; 6 было получено = 0.166; 0.906 10 соответственно.

Во многих работах, просвещенных задачам рассеяния звука, ограничиваются рассмотрением нормального падения волны (00 = Р /2). В этом случае компоненты постановки задачи не зависят от г и задача сводится к двумерной. Так как в рассматриваемом случае угол 00 является произвольным, то необходимо оценить его вклад в исследуемый вопрос.

На рис. 3 представлен график угловой зависимости коэффициента обратного рассеяния звука (р + Ф0) от полярного угла падения волны 00 в интервале

Р /3 <00 < Р /2 для значений Ф0 = _Р /6, krN = 4 . Сплошной линией изображен график для случая непрерывно-неоднородного покрытия, штрихом для случая дискретно-неоднородного покрытия с N = 6 , пунктиром - N = 10.

1^(5)1/6)1

Рис. 2. Зависимость коэффициента обратного рассеяния звука от волнового размера цилиндра

|^(5л/б)|

К /

Ч, А г / \/

% р \/ \ / ^

\ р \ /7

11л 2 л 90 13л 7л л

30 5 30 15 2

Рис. 3. Зависимость коэффициента обратного рассеяния звука от полярного угла

Вводя на промежутке [р /3, р /2] соответствующую погрешность

Р/2 2

я3 = л"2 { (р_ф0 )_ ^(Р_ф0 )281Й 00^00,

Р/3

будем иметь Я3 = 0.247-10_2; 0.581 10_3 для N = 6; 10.

Полученные результаты имеют как практическое значение, так и в рамках развития теории дифракции. На практике изготовление функционально-градиентных покрытий с непрерывно изменяющимися физико-механическими параметрами сопряжено со значительными трудностями. Возможность замены такого покрытия системой упругих слоев с постоянными характеристиками значительно упрощает процесс производства.

С научно-исследовательской точки зрения, решения задач дифракции на телах с непрерывно-неоднородным покрытием в полупространстве приводит к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. С увеличением значения волнового размера kr\ размерность такой системы достаточно быстро растет и её решение связано с высокими объемной и временной вычислительными сложностями. С другой стороны, при дискретно-неоднородном покрытии мы имеем дело с системой линейных алгебраических уравнений, решение которых требует меньше ресурсов, а при очень больших размерностях системы можно обратиться, например, к пакетам CUDA - технологии параллельных вычислений, позволяющей существенно увеличить вычислительную продуктивность благодаря использованию графических процессоров NVIDIA, приоритетом которой являются матричные вычисления.

В заключении следует отметить, что число слоев N прямо зависит от волнового размера kr\ и скорости изменения функций l * (r), m * (r), p * (r) на отрезке [r0, rj, где r - внешний радиус цилиндра с непрерывно-неоднородным покрытием. Заметим также, что в случае наклонного падения плоской звуковой волны требуется более мелкое разбиение сетки W, чем в случае нормального падения волны, для достижения одинаковой точности при равенстве всех остальных параметров задачи.

Для множества функций непрерывной неоднородности X(r), где под X(r) подразумевается любая из функций l * (r), m * (r), p * (r), для которых средняя скорость изменения по толщине слоя [ro, rj] удовлетворяет условиям

1 r I-

-Ы1 + (X'(r))2dr < 4, r1 - r0 < 0.3,

r1 - r0 ro

была получена следующая эмпирическая оценка [9]:

f0.5kr1, 90 /2;

N-2kr1 + \ 1 0 (11)

1 [0, е0 =p/2, V 7

Выбирая число N согласно оценке (11), можно получить достаточную точность приближения непрерывно-неоднородного покрытия дискретно-неоднородным.

Список литературы

1. Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, находящимся вблизи плоской поверхности // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2018. Вып. 9. С. 276 -289.

2. Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи плоскости // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19. Вып. 2. С. 199 - 216.

3. Ларин Н.В., Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием // ПММ. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 242 -250.

4. Толоконников Л.А. Моделирование непрерывно-неоднородного покрытия упругого шара системой однородных упругих слоев в задаче рассеяния звука // Прикладная математика и механика. 2017. Т. 81. Вып. 6. С. 699 - 707.

5. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука техника. 1968. 584 с.

6. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

7. Толоконников Л. А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Часть 2. С. 265 - 274.

8. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.

9. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул. М.: Высшая школа, 1988. 239 с.

Ефимов Дмитрий Юрьевич, магистр, инженер-программист, eof.dmitriy. ofa gmail. com, Россия, Тула, ООО «ПОЛИКРОВ»

APPROXIMATION OF A CONTINUOUSLY NON-UNIFORM COATING OF A CYLINDER WITH A DISCRETE INHOMOGENEOUS COATING FOR SOUND SCATTERING IN HALFSPACE

D. Y. Efimov

The possibility of modeling a continuously non-uniform elastic coating by a system of discrete homogeneous elastic layers with an arbitrary incidence of a plane sound wave on an absolutely rigid cylinder with a coating located near an ideal surface is investigated. The scattering amplitude and frequency dependence are calculated for the cases of continuously inhomogeneous and discretely inhomogeneous coatings. The corresponding errors are calcu-latedfor this approximation.

Key words: diffraction, sound wave, half-space, continuous non-uniform coating, discrete non-uniform coating.

Efimov Dmitry Yurievich, master, software engineer, eof.dmitriy.ofagmail.com, Russia, Tula, «POLIKROV, OOO» (limited liability company)

УДК 004.05

К ВОПРОСУ ОБ ИНФОРМАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ

В СЕТИ ИНТЕРНЕТ

Е.А. Плахина

В работе приведены примеры программного обеспечения, необходимые для увеличения уровня безопасности в сети Интернет, при работе с электронной почтой и при использовании браузеров. Описаны функции и положительные стороны таких программ.

Ключевые слова: информационная безопасность, спам, почта, рассылки, вирусы.

При использовании сети Интернет зачастую можно столкнуться с навязчивой рекламой, а также почтовыми рассылками от неизвестных отправителей. Все это является потенциальными угрозами информационной безопасности и могут содержать в себе вирусы. Поэтому для борьбы с такими угрозами применяют специализированное ПО [1 - 5].