О ВЛИЯНИИ НЕОДНОРОДНОГО ПОКРЫТИЯ УПРУГОГО ЦИЛИНДРА НА РАССЕЯНИЕ ЗВУКА В ПРИСУТСТВИИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3; 534.26

О ВЛИЯНИИ НЕОДНОРОДНОГО ПОКРЫТИЯ УПРУГОГО ЦИЛИНДРА НА РАССЕЯНИЕ ЗВУКА В ПРИСУТСТВИИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Л. А. Толоконников, Н.В. Ларин

Исследуется дифракция плоской звуковой волны на упругом цилиндре с непрерывно-слоистым покрытием, находящимся вблизи абсолютно твердой или акустически мягкой подстилающей поверхности. Рассчитаны полярные диаграммы направленности рассеянного акустического поля и показано влияние на них неоднородности покрытия и акустических свойств поверхности. В классе квадратичных функций найдены плотность и модули упругости покрытия, обеспечивающие минимальную интенсивность рассеяния звука в заданном секторе углов наблюдения в случае, когда цилиндр с покрытием находится вблизи акустически мягкой поверхности.

Ключевые слова: звуковые волны, рассеяние, упругий цилиндр, неоднородное покрытие, плоская поверхность.

В работах [1 - 3] показана возможность изменения звукоотражаю-щих свойств тел, имеющих форму бесконечного кругового цилиндра, с помощью покрытий в виде непрерывно-слоистого упругого цилиндрического слоя путем изменения его законов неоднородности. При этом предполагалось, что тела находятся в безграничном пространстве.

В настоящей работе такая возможность исследуется при условии наличия вблизи цилиндра плоской поверхности.

1. Постановка обратной дифракционной задачи. Рассматривается однородный упругий бесконечный цилиндр радиуса tq с покрытием в виде коаксиального неоднородного упругого цилиндрического слоя с внешним радиусом r (см. рис. 1). Материал цилиндра имеет плотность Pq и упругие постоянные Ламе l q, m q. Плотность p и модули упругости l, m материала покрытия непрерывно распределены по его толщине. Цилиндрическое тело находится в полупространстве, заполненном идеальной сжимаемой жидкостью с плотностью pi и скоростью звука c, вблизи плоской поверхности Г, которая является абсолютно жесткой или акустически мягкой. Ось цилиндра параллельна плоскости Г и отстоит от нее на расстоянии d. В жидкости распространяется плоская монохроматическая звуковая волна с круговой частотой w и волновым вектором ki, направленным по нормали к поверхности цилиндрического тела под углом к плоскости Г .

Требуется найти распределение материальных параметров p, l, m по толщине покрытия, обеспечивающее минимальное рассеяние звука телом в присутствии плоскости в заданном угловом секторе дальней зоны акустического поля.

Решение этой обратной дифракционной задачи основано на полученном в [4] и кратко приведенном ниже решении прямой задачи.

111

2. Решение прямой дифракционной задачи. Вводятся в рассмотрение две одинаково ориентированные прямоугольные системы координат. Одна из них (основная) связана с плоскостью Г, другая (дополнительная) - с рассеивателем. Плоскость xz основной системы координат (x, y, z) с началом в точке O совмещена с плоскостью Г (рис. 1). Координатная ось z+1 дополнительной системы координат (x+1, y+1, z+1) с началом в точке O+1 совпадает с осью вращения цилиндра. Точка O определяется как проекция точки O+1 на плоскость Г .

Положение произвольной точки пространства M вне тела (точки наблюдения) задается цилиндрическими координатами (r, ф, z) и (r+b Ф+i, z+1), которые связаны с введенными выше прямоугольными координатами известными соотношениями.

Введение цилиндрических координат, связанных с рассеивателем, позволяет рассматривать плотность и модули упругости неоднородного покрытия как непрерывные функции, зависящие от радиальной координаты r+1:

р = p(r+1), l = 1(r+1), m = m(r+1), Г0 < r+1 < Г1. (1)

Кроме того, полагается, что функции 1(r+1), m(r+1) являются дифференцируемыми.

Потенциал падающей плоской звуковой волны в основной системе координат имеет вид

Y01 = A exp[/(k1r - rot)], где A - амплитуда волны; k1 = (k cos jo, k sin jo,0); r = (x, y, z) - радиус-вектор; k = w/ c - волновое число в жидкости; jo - угол, образованный вектором k1 с положительным направлением оси x. Далее временной множитель exp(- iwt) опускается.

Потенциал полного акустического поля представляется в виде

Y = Y01 + Y, где - потенциал рассеянного поля.

112

Поскольку подстилающая поверхность является идеальной (абсолютно жесткой или акустически мягкой), то она исключается из рассмотрения путем введения второго цилиндрического тела и второй падающей плоской звуковой волны с волновым вектором k 2 = (k cos jo, - k sin jo, 0), которые являются зеркальным отражением относительно плоскости Г исходного рассеивателя и первичной падающей волны. При этом потенциал скорости второй падающей волны записывается в виде

Yq2= ± A exp(ik 2Г), (2)

где знак плюс соответствует жесткой плоскости, а знак минус - мягкой.

Таким образом, задача дифракции плоской волны на теле в присутствии идеальной плоскости заменяется задачей дифракции звука на двух взаимодействующих рассеивателях, находящихся в поле двух падающих плоских волн. При такой замене следует найти решения двух дифракционных задач, соответствующих случаям падения каждой из плоских волн. Затем в силу линейной постановки задачи, полученные результаты суммируются.

Потенциал скорости рассеянного поля Ys представляется в виде

Y = Y02 +Ys1 2, (3)

где Ysj - потенциал поля, рассеянного двумя взаимодействующими телами при падении на них плоской волны с потенциалом Yqj (j = 1,2).

Решение задачи дифракции плоской звуковой волны с потенциалом Y01 на двух идентичных упругих цилиндрах с неоднородными покрытиями получено в работе [5].

С использованием теоремы сложения для волновых цилиндрических функций потенциал Ys1 в полярных координатах, связанных с исходным рассеивателем, записывается в виде

>(Ф+1 —Фо), (4)

Ys1= I (АП+1) Hn (kr+1) +

n = —¥

+ аП_1) I Hn—m (2kd) Jm (kr+1) e(n—m) '2—Ф+1)

m=—¥

где Зп (х) и Нп (х) - цилиндрические функции Бесселя и Ганкеля первого

рода порядка п соответственно; коэффициенты аП+1), А-1 (п = 0,±1,±2,...) определяются из выражений, приведенных в [5].

Для нахождения решения задачи дифракции звука на двух телах в случае падения волны с потенциалом Yo2, следует в решении, полученном [5], заменить компоненты вектора к1 на компоненты вектора к2. Кроме того, если поверхность Г является акустически мягкой, то дополнительно следует заменить А на - А.

Выражение для потенциала Ys2 получим из (4), заменяя фо на 2р - фо. Будем иметь

¥ /

Y 2= I К+1) Hn (kr+1) +

nx

n = —¥

Л >(ф+1 +Фо )

n—m'

m=—¥

+ ВП~1) IHn—m(2kd)Jm(kr+1) ¿(n—m)(p/2—Ф+1)

^ ф+i +joJ, (5)

где коэффициенты вП+1), вП 1 (n = 0,±1,±2,...) определяются из выражений для коэффициентов A^1, 1) с учетом указанных выше замен для волнового вектора и амплитуды падающей волны.

Если точка наблюдения M находится на большом расстоянии от рассеивателя, то есть kr+i >> 1, то ее полярные координаты в основной и дополнительной цилиндрических системах координат связаны соотношениями

r+1 » r — d sin ф, ф+1 » ф, (6)

причем дополнительно требуется выполнение условия r >> d .

Подставляя соотношения (6) в выражения (4), (5), и используя для потенциала (2) известное разложение плоской волны по цилиндрическим волновым функциям

Y02= ±A I inJn (kr)еш(ф+фо),

п

п*

п = —¥

на основании формулы (3) получим выражение для ^ в основной системе координат, которое будем использовать при исследовании дальней зоны рассеянного акустического поля. Введем функцию F (г, ф)

F (r, ф) =

—Y (r, ф). (7)

r1

При достаточно большом г равном г* модуль этой функции является аналогом амплитуды потенциала рассеянного акустического поля в дальней зоне при дифракции звука на цилиндрическом теле радиуса г^, находящемся в свободном пространстве (см., например, [1-3]).

3. Решение обратной дифракционной задачи. Пусть функции (1), описывающие законы неоднородности покрытия упругого цилиндра, аппроксимированы многочленами второй степени относительно переменной Г+1

р(г+1) = Р0Р(г+1), 1(г+1) = 101 (г+1), т(г+1)=т0т (г+1), (8)

где

р (г+1) =р(0) + р(1)г+1 + р(2 )г+21, 1 (г+1) = 1(0) + 1(1)г+1 + 1(2)г+21,

т (г+1)=т(0) + т(1)г+1 + ц(2)г2ь (9)

р0, 10, т0 - плотность и модули упругости однородного покрытия.

114

При этом на отрезке [r0, r ]

a о £ p(r+i) < ab Ьо £ 1 (r+1) < pb g 0 < P (r+1) < gi, (10) где a/, bl, g i (l = 0,1) - некоторые положительные константы.

В предположении, что частота падающей плоской волны фиксирована, построим функционал вида

1 j 2 2

Ф[р, 1, р] = -2-J \F(r*, j)|2 dj, (11)

A (j2 -j1) j1

определенный на классе функций (8) и выражающий усредненную интенсивность рассеяния в заданном угловом секторе наблюдения j1 < j < j2 дальней зоны акустического поля.

Нахождение решения обратной дифракционной состоит в определении функций (8), при которых функционал Ф достигает минимального значения.

В настоящей работе при проведении численных исследований, описанных ниже в п. 4, минимизация функционала Ф осуществлялась с использованием алгоритма, предложенного в работе [3]. Согласно этому алгоритму с учетом ограничений (10) в трех прямоугольных областях вида W = {(r+1, f): Г0 < r+1 < j\,h0 < f < h1} вводятся сетки, на которых строится конечное число зависимостей для законов неоднородности (8). Затем из этих зависимостей с помощью процедуры поиска минимума функции многих переменных, основанной на комбинации методов случайного поиска и покоординатного спуска, выбираются те зависимости, на которых функционал Ф достигает минимального значения.

4. Результаты расчетов. Были рассчитаны полярные диаграммы направленности рассеянного поля |F (r*, j) и найдены законы неоднородности материальных параметров покрытия, минимизирующие рассеяние звука в заданном секторе углов наблюдения. При расчетах полагали, что r* = 100 м, плоская звуковая волна с единичной амплитудой и частотой w, соответствующей волновому размеру тела kr1 = 5, падает в направлении

j0 =-60° на цилиндр радиусом r0 = 0.8 м, имеющий покрытие толщиной r1 - r0 = 0.2 м и отстоящий на расстоянии d = 2 м от подстилающей поверхности. Рассматривался цилиндр из алюминия (р0 = 2700 кг/м3,

10 = 5.3 • 1010 Н/м2, р0 = 2 6 • 1010 Н/м2) с покрытием на основе полимерного материала (р0 = 1070 кг/м3, 10 = 3.9 • 109 Н/м2, р0 = 9.8 • 108 Н/м2), помещенный в полупространство, заполненное водой (р1 =1000 кг/м3, с = 1485 м/с).

Для оценки влияния покрытия на звукоотражающие свойства цилиндра в присутствии подстилающей поверхности диаграммы рассеяния \F (r*, j| рассчитывались для цилиндра без покрытия, с однородным покрытием и с неоднородным покрытием, у которого плотность изменялась по линейному закону:

Р(г+1

Р

0.5 +

г+1 - г0

г0 < г+1 < П.

г1 - г0

Результаты расчетов величины ^ (г*, ф) представлены на рис. 2, где

рис. 2, а относится к случаю абсолютно жесткой подстилающей поверхности, а рис. 2, б - к случаю акустически мягкой поверхности. На рисунке сплошные линии соответствуют цилиндру с неоднородным покрытием, штриховые - цилиндру с однородным покрытием, пунктирные - цилиндру без покрытия, стрелкой показано направление распространения падающей плоской звуковой волны. Сравнение кривых на рис. 2, а с соответствующими кривыми на рис. 2, б показывает различие диаграмм рассеяния, построенных для одних и тех же тел, обусловленное разными акустическими свойствами подстилающей поверхности. Кроме того, из рис. 2 следует, что не только наличие или отсутствие покрытия у цилиндра, но и изменение законов неоднородности самого покрытия может привести к изменению звукоотражающих свойств цилиндра, расположенного около подстилающей поверхности. В частности, в случае абсолютно жесткой подстилающей поверхности (см. рис. 2, а) для многих углов наблюдения из сектора

90° <ф< 150° (освещенная зона) с помощью покрытия удается снизить рассеянное поле. В случае же акустически мягкой поверхности (см. рис. 2, б) для большинства углов в освещенной зоне наличие покрытия у цилиндра приводит к существенному увеличению рассеянного поля. При этом в обоих случаях в рассматриваемом угловом секторе наблюдается различие диаграмм рассеяния соответствующих однородному и неоднородному по плотности покрытиям.

\

о 1

Рис. 2. Диаграммы рассеяния

116

0

Был проведен численный эксперимент, в котором определялись функции (8), обеспечивающие минимальную интенсивность рассеяния в освещенной зоне в случае акустически мягкой подстилающей поверхности. При этом рассматривались три одинаковые области О при % = 0.5, = 1.5 с заданными на них одинаковыми сетками из пятнадцати точек. Построенные на этих сетках зависимости для законов неоднородности покрытия изображены на рис. 3.

Расчеты показали, что минимум Ф со значением равным 1.842 достигается при следующих законах изменения плотности и модулей упругости материала покрытия:

р(г+1) = 1070 • (1.679 -1.964г+1 +1.786^), 1(г+1 ) = 3.9 • 109 • (1.262 -5.714г+1 + 5.952Г+1), (12)

т(г+1 ) = 9.8• 108 • 0.5.

Для сравнения, в освещенной зоне было рассчитано значение величины Ф для цилиндра без покрытия, которое оказалось равным 2.382.

0 0.8 О? 1.0

Рис. 3. Зависимости р(г+1), 1(г+1), р(г+1) в области О

Из расчетов следует, что в исследуемом секторе углов наблюдения дальней зоны акустического поля наличие у цилиндра неоднородного покрытия с материальными параметрами (12) позволяет на 22% уменьшить интенсивность рассеяния.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).

Список литературы

1. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850 - 857.

117

2. Ларин Н.В. О влиянии непрерывно-неоднородного покрытия на звукоотражающие свойства термоупругого цилиндра // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2017. Вып. 9. Ч. 1. С. 395-403.

3. Толоконников Л.А., Ларин Н.В., Скобельцын С.А. Моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукотра-жающими свойствами // Прикладная механика и техническая физика. 2017. Т. 58. №. 4. С.189-199.

4. Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, находящемся вблизи плоской поверхности // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2018. Вып. 9. С. 276-289.

5. Толоконников Л. А. Дифракции плоской звуковой волны на двух упругих цилиндрах с неоднородными покрытиями // Чебышевский сборник. 2018. № 1. C. 238-254.

Толоконников Лев Алексеевич, д-р физ.-мат. наук, профессор, tolokonnikovla@,mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Ларин Николай Владимирович, канд. физ.-мат. наук, доцент. [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет

ABOUT INFLUENCE OF AN INHOMOGENEOUS COATING OF AN ELASTIC CYLINDER

ON SOUND SCATTERING IN THE PRESENCE OF THE FLAT SURFACE

L.A. Tolokonnikov, N.V. Larin

The diffraction of a plane sound wave by an elastic cylinder with a continuously layered coating located near an absolutely hard or acoustically soft underlying surface is studied. The polar directivity patterns of the scattered acoustic field are calculated and the influence of the coating heterogeneity and acoustic properties of the surface on them is shown. In the class of quadratic functions the density and elastic moduli of the coating are found that provide the minimum intensity of sound scattering in a given sector of viewing angles when the coated cylinder is near an acoustically soft surface.

Key words: sound waves, scattering, elastic cylinder, inhomogeneous coating, flat

surface.

Tolokonnikov Lev Alexeevich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, tolokonnikovla@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Larin Nikolai Vlaqdimirovich, candidate of physical and mathematical sciences, do-cent, larinaelenamail. ru, Russia, Tula, Tula, State University