CC BY
26
Vasyukov Dmitry Yurievich, candidate of technical sciences, docent, spb dimavasamail. ru, Russia, St. Petersburg, Military Academy of Communications named after Marshal of the Soviet Union S.M. Budyonny,
Lauta Oleg Sergeevich, candidate of technical sciences, docent, laos-82@yandex. ru, Russia, St. Petersburg, Military Academy of Communications named after Marshal of the Soviet Union S.M. Budyonny
УДК 539.3; 534.26
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ПОКРЫТИЯ УПРУГОГО ШАРА С ОПТИМАЛЬНЫМИ ЗВУКООТРАЖАЮЩИМИ СВОЙСТВАМИ, НАХОДЯЩЕГОСЯ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Л.А. Толоконников, Д.Р. Бирюков
Рассматривается обратная задача дифракции об определении законов неоднородности покрытия упругого шара, находящегося вблизи плоской поверхности, обеспечивающих наименьшее отражение плоской звуковой волны в определенном угловом секторе и в заданном диапазоне частот.
Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, упругий шар, неоднородное упругое покрытие, законы неоднородности.
Исследованию дифракции звуковых волн на упругих сферических телах с неоднородными упругими покрытиями, находящихся в безграничном пространстве, посвящен ряд работ. В работах [1 - 3] решены задачи дифракции плоской, сферической и цилиндрической звуковых волн на упругом шаре с радиально-неоднородным покрытием. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с непрерывно-неоднородным покрытием и произвольно расположенной сферической полостью рассмотрена в [4]. В [5] осуществлено моделирование неоднородного покрытия упругого шара с требуемыми звукоотражающими свойствами. В [6] показана возможность моделирования непрерывно-неоднородного по толщине покрытия шара системой однородных упругих слоев. Задача дифракции плоской звуковой волны на упругом шаре с непрерывно-неоднородным упругим покрытием, находящемся вблизи идеальной (абсолютно жесткой и акустически мягкой) плоской поверхности решена в [7].
В настоящей работе рассматривается обратная задача дифракции об определении законов неоднородности покрытия упругого шара, находящегося вблизи плоской поверхности, обеспечивающих наименьшее отражение плоской звуковой волны в определенном угловом секторе и в заданном диапазоне частот.
Постановка задачи. Рассмотрим однородный изотропный упругий шар радиусом г0, материал которого характеризуется плотностью р0 и упругими постоянными lо и mo - Шар имеет покрытие в виде радиально-неоднородного изотропного упругого слоя с плотностью р и модулями упругости l и m - Внешний радиус покрытия ri. Шар находится в полупространстве, заполненном идеальной жидкостью с плотностью pi и скоростью звука c, вблизи плоской поверхности Г, которая является абсолютно жесткой или акустически мягкой. Расстояние от центра шара до плоскости равно d. На шар падает плоская гармоническая звуковая волна.
В качестве основной системы отсчета возьмем прямоугольную де-картову систему координат (х, y, z) с началом в точке O, лежащей на плоскости Г. При этом оси х и y располагаются на плоскости, ось z -перпендикулярна Г, центр шара находится на оси z.
Наряду с основной системой координат (х, y, z) введем локальную прямоугольную декартову систему координат (х+1, y+1, z+1), связанную с шаром. Оси локальной координатной системы одинаково ориентированы с соответствующими осями основной системы координат. При этом центр локальной системы координат O+i находится в центре шара, ось z+i совпадает с осью z.
Свяжем с основной и локальной прямоугольными системами координат сферические системы координат (r, 0, j) и (r+i, 0+i, j+i) соответственно. Причем j+i =j. В локальной сферической координатой системе уравнения внутренней и внешней поверхностей покрытия шара имеют вид r+i = ro и r+i = r соответственно.
Полагаем, что модули упругости l и m материала покрытия шара описываются дифференцируемыми функциями сферической радиальной координаты r+i, а плотность р - непрерывной функцией координаты r+i:
i = i(r+i), m = m(r+i), p = p(r+i).
Потенциал скорости падающей плоской волны, распространяющейся в направлении волнового вектора ki, в основной системе координат имеет вид
Y0i = A exp[/(ki • r) - wt)], где A - амплитуда волны; w - круговая частота; ki={k sin 0ocos jo, k sin 0 o sin jo, k cos 0o}; r = {х, y, z} - радиус-вектор; k = w/c - волновое число жидкости; 0o и jo - полярный и азимутальный углы падения плоской волны; t - время.
В дальнейшем временной множитель e~mt будем опускать. На основе решения прямой задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием в присутствии плоской поверхности осуществим математическое моделирование неоднородного покрытия, позволяющего обеспечить наименьшее отражение звука телом.
Прямая задача дифракции звука на шаре с неоднородным покрытием, находящемся вблизи плоской поверхности. Задача дифракции плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи плоскости (абсолютно жесткой и акустически мягкой) решена в [7] путем ее сведения к задаче дифракции звука на двух идентичных телах в поле двух падающих плоских волн с потенциалами скорости Yqi и Yq2 .
Потенциал скорости второй падающей волны, распространяющейся в направлении волнового вектора k 2 имеет вид
Yq2= ±Aexp[i(k2 • r)], где k 2 = [k sin 0q cos jo, k sin 0q sin jQ, - k cos 0q }; знак «+» соответствует абсолютно жесткой подстилающей плоскости, а знак «-» - акустически мягкой плоскости.
Потенциал скорости полного акустического поля
Y = Yq! +Y,
где Ys — потенциал скорости волны, рассеянной шаром и плоскостью.
Потенциал скорости рассеянной волны определяется выражением
Ys = Y02 + Ys1 + Ys 2, где Ysi и Ys2 - потенциалы скорости рассеянных двумя шарами первой и второй плоских волн соответственно.
Потенциалы Yqi, Yq2 и Ysi в сферических координатах r+i, 0+i, j+i представляется разложениями
ikd cos 0 ^ n
Yoi(r+i,0+1, j+i) = Ae cos 0 X Z gmnjn(kr+i)Pm(cos0+i)cosm(j-jQ^
n=0m=0 ikd cos 0 ¥ n
Yo2(r+i,0+1, j+i) = ±Ae-i cos 0 X X gmnjn(kr+i)Pnm(cos0+i)cosm(j-jo)
n=0m=0 ¥ n Г , 1Л
Ysi = Z Z Lyxmn "n (kr+i) Pm (cos 0+i) +
n=0m=0
¥
+ Amn ) Z Qmqmn ) Jq (kr+1)Pq (cos 0+1)
q=m
cos m( j- jo).
где
gmn = (2n +1)(2 - §Qm )in (nP^ (cos 0q);
(n + m)!
ЙЙ+1}=14-ПО" + ^Т^ ^ 1 (2^)Р0(1);
(Я + т)\*={д _
]п (х) - сферическая функция Бесселя порядка п; кп (х) -
сферическая функция Ганкеля порядка п; Р" (х) - присоединенный многочлен Лежандра степени п порядка т; 80т - символ Кронекера;
Ь^тдт) _ коэффициенты, выражаемые через коэффициенты
Клебша-Гордана [8]. Выражения для коэффициентов А^т1 и А^т1 приведены в [7].
Выражение для потенциала ^2 получаем из выражения для путем замены 0О на р - 00 и А на ± А (в том числе и в коэффициентах
Ат1 и Ат-1)). Причем знак «+» соответствует случаю, когда плоскость является абсолютно жесткой, а знак «-» имеет место в случае акустически мягкой плоскости.
Обратная задача дифракции. На основании решения прямой задачи дифракции получим решение обратной задачи дифракции об определении законов неоднородности покрытия шара, обеспечивающих минимальное звукоотражение в заданной области пространства и заданном частотном диапазоне.
Будем считать, что функции р = р(г+1), 1 = 1(г+1) и т = ц(г+1) аппроксимированы многочленами второй степени относительно переменной г+1, то есть будем рассматривать следующие квадратические законы неоднородности материала покрытия:
р(гц) = р р*(г+!),
1(г+!) = 11* (г+!), (1)
т(г+1)=~ т* (г+1),
где
р (г+1)= Е р^'г
д=0
(д) гд +1
1* (г+1)= Е 1(д) г+д1,
д=0
т (г+1)= Е ^/г
д=0
(д) гд +1
(2)
р , 1. ~ - характерные величины механических свойств материала покрытия.
Полагаем, что функции р*(г+1), 1*(г+1) и т*(г+1) удовлетворяют ограничениям
а0 <р (г) <аь Р0 £1(г) <Ръ Уо <т (г) <У1, ге[го,г^, (3) где а у, Р у, у у (у = 0,1) - некоторые положительные константы.
Интенсивность рассеяния звука шаром с покрытием будем характеризовать с помощью функционалов.
Построим функционал Ф1, определенный на классе функций (1) и выражающий усредненную интенсивность рассеяния звука в области {г+1 = г*, 01 <0+1 <02, Ф1 <ф+1 <ф2} при фиксированной частоте ю = ю*
Ф1[р, 1, т]=
1
А"(02 -01)(Ф2 -Ф1) Ф1 01
142
Ф202 / ,2
I I ^(г*, 0+1, Ф+1, ю*) d0+l dф+l
2
2
В случае, когда частота звуковой волны не является фиксированной, а изменяется в некотором диапазоне [ю^, Ю2], построим функционал Ф 2, выражающий усредненную интенсивность рассеяния звука в заданном диапазоне частот и в фиксированной точке наблюдения (г+1 = г*, 0+1 =0* , ф+1 =ф* )
1 ю2 2 Ф2[р, 1,= - | (г*,0*, ф* ю)| dw.
А (Ю2 -Ю1) Ю1
Для случая, когда требуется иметь минимальное звукоотражение в заданной области пространства и в некотором диапазоне частот, построим функционал Ф3
А-2 ю2 Ф202 ,
Ф з [р, 1, ¡1]=———----1 I I ^ (г*, 0+l, ф+1, ю) d0+l Ф+1dw
(02 -01)(Ф2 -Ф1)(ю2 -ю1) ю1 ф1 01 , 1
Для каждого функционала Ф у [р, 1, т] ( у = 1,2,3) найдем такие значения коэффициентов р
(д), 1(д) , (д = 0,1,2) функций (2), при которых он достигает минимального значения.
Алгоритм минимизации функционалов. Минимизацию функционалов проведем с помощью генетического алгоритма [9].
Рассмотрим какую-либо из функций р* (г+1), 1* (г+1), т* (г+1), обозначая её
2
о(г+1)= Е о(д)г+1, (4)
д=0
где а(г+1)е [Ъо,при г+1 е [го,п].
Для функции о(г+1) построим интерполяционный многочлен Ла-гранжа [10] второй степени ^(г+1) по трем точкам го, г = (го + г1)/2 и г1
отрезка [го,п]. Сравнивая /^(г+О с (4), найдем коэффициенты о(д), выраженные через значения го, г , о(го), о(г), о(г1).
В генетическом алгоритме функция о(г+1) может быть представлена в виде тройки закодированных значений о о = о(го), а1 = о(г), а2 = а(г). Каждое из этих значений представляется в виде
и Ъ1 - Ъ0 Ъ1 - Ъ0 Ъ1 - Ъ0
о0 = Ъ0 + т0—-, о1/2 = Ъ0 + т1/2—Р-, о1 = Ъ0 + т1—-•
2р -1 2р -1 2 р -1
Здесь числа то, ту 2, т1 - некоторые целочисленные значения из отрезка
[0,2р -1]. В дальнейшем значения то, т1/2, т1 генерируются случайно, что осуществляется с помощью задания их соответствующих значений в виде случайных р -разрядных двоичных последовательностей. При увели-
чении p экспоненциально возрастает максимальное количество возможных значений, которые может принимать функция s(r+1) в точках r0, r и
rl-
Двоичные последовательности, соответствующие mo, mi/2, mi, называются генами. Совокупность трёх генов, рассматриваемая как единое целое и однозначно определяющая функцию s(r+i), называется хромосомой. Три хромосомы, определяющие соответственно функции р* (r+i),
1*(r+i) и m*(r+i), называются генотипом и представляют собой какое-либо допустимое решение задачи минимизации функционала. Произвольное конечное множество генотипов, рассматриваемое в генетическом алгоритме, называется популяцией. Обычно под популяцией понимается динамическое множество, так как в процессе выполнения алгоритма оно меняется. Состояние популяции в какой-то конкретный момент времени называется поколением.
Каждому генотипу ставится в соответствие значение функции приспособленности, которая для каждого функционала Ф j [р, 1, m] (j = i,2,3)
определяется следующим образом:
Fj (р, 1, m)=const j -ф j [р, 1, m] (j=i,2,3),
где const j - некоторое значение, подбираемое таким образом, чтобы
функция приспособленности Fj всегда была положительной.
Первым шагом генетического алгоритма является инициализация -генерация начального поколения. Для этого случайным образом задаются N о генотипов. Как было указано выше, задание каждого генотипа эквивалентно заданию двоичной последовательности, формирующей три хромосомы.
Следует отметить, что при случайном задании наборов коэффициентов о(0), s(i), о(2) значения функции s(r+i) могут выходить за пределы отрезка [bo,bj. Для проверки выполнения условия s(r+i)е [bo,bi] при r+i е [ro, ri] достаточно оценить значение функции в точке экстремума
r/ = -о(1)/2о(2). Если r'е [ro,ri], но при этом s(r')£ [bo,bj, то сгенерированная функция s(r+i) не может использоваться в алгоритме и должна быть сгенерирована заново. Данную проверку необходимо выполнять как при создании начальной популяции, так и при получении новых генотипов в результате скрещивания и мутации. В частном случае, когда зависимость
(4) является линейной (о(2) = o), подобная проверка не производится.
После инициализации осуществляются итерации генетического алгоритма. Каждая итерация включает следующие шаги:
1) определение приспособленности каждой особи;
2) проверка критерия остановки алгоритма;
144
3) скрещивание;
4) мутация.
Каждому шагу алгоритма соответствует выделение из текущего поколения одной или нескольких групп генотипов.
Во время первого шага итерации - определения приспособленности особей - для каждого генотипа текущего поколения вычисляется соответствующее значение функции приспособленности. Из N1 генотипов, имеющих наибольшее значение, формируется группа 1. При этом N1 < N о .
На втором шаге, если относительное увеличение наибольшего получаемого значения функции приспособленности на протяжении К поколений (итераций) не превышало заданного уровня 5, то совершается остановка алгоритма. В качестве решения задачи выбирается генотип р*, 1*, т* такой, что ¥у (р*, 1*,т*) = Ру, где Ру - наибольшее значение функции
приспособленности в текущем поколении.
На третьем шаге итерации из N2 < N0 - N1 генотипов, не вошедших в группу 1, формируется группа 2. Генотипы, не вошедшие ни в одну из групп 1 и 2, формируют группу 3. Таким образом, группа 3 включает N0 - (N1 + N2) генотипов.
В скрещивании участвуют N3 < N2 / 2 неповторяющихся пар генотипов из объединения групп 1 и 2. При каждом скрещивании формируются новые генотипы в количестве, равном числу генотипов из группы 2, участвующих в данном скрещивании. Последние исключаются из группы 2. Новые генотипы формируют группу 4.
Рассмотрим формирование нового генотипа при скрещивании генотипов А и В. Скрещивание выполняется для каждой пары соответствующих хромосом. В хромосоме случайным образом выбирается точка скрещивания (она должна находиться на границе генов). Часть хромосомы до точки скрещивания наследуется у родителя А , после точки скрещивания -у В. Если формируется второй потомок, то для него часть хромосомы до точки скрещивания наследуется у родителя В, после точки скрещивания -
у А.
Для генотипов из группы 3 выполняется мутация, под которой понимается инвертирование двоичного кода некоторого гена. Число генотипов, для которых выполняется мутация, число мутирующих хромосом и генов в них определяется случайным образом. Также случаен выбор генотипов, хромосом и генов для мутации.
Новое поколение формируется как объединение групп 1, 2, 3 и 4. Заметим, что число генотипов в популяции остаётся неизменным. После формирования новой популяции происходит переход к первому шагу новой итерации.
Результаты расчетов. По предложенному алгоритму были проведены расчеты параметров законов неоднородности покрытия шара, обеспечивающих наименьшее рассеяние звука. Рассматривался алюминиевый
шар (р0 = 2,7 • 103 кг/м3, 10 = 5,3 ■ !°10 н/м2, Ц0 = 2,6 ■ !°10 Н/м2) радиусом г0 = 1 м с покрытием толщиной 0,1 м, находящийся в полупространстве, заполненном водой (р1 = 1000 кг/м3, c = 1485 м/с), вблизи абсолютно жесткой плоскости. Расстояние от центра шара до плоскости равно d = 10 м. Покрытие выполнено на основе полимерного материала неоднородного по плотности с характерной плотностью р = 1070 кг/м3 и характерными
модулями упругости ~ = 3.9 • 109 Н/м2, ~ = 9.8 • 108 Н/м2 (поливинилбути-раль). Амплитуда плоской волны A равна единице, а полярный и азимутальный углы падения плоской волны равны 00 = 3р /4, ф0 = 0.
Полагалось, что а 0 = Ь 0 = у 0 = 0.5, а1 = Р1 = 71 = 1.5.
При расчетах были выбраны следующие параметры генетического
алгоритма: p = 4, K = 8, C = 10-1, 5 = 10-3, N0 = 12, N1 = 3, N2 = 5, N 3 = 2.
Минимизация функционала Ф^, 1, ц] осуществлена при г* = 30 м, 01 = р /4, 0 2 = р /3, ф1 = 0, ф 2 = р /6 и частоте падающей волны, соответствующей волновому числу Ьг00 = 5 .
Был получен следующий оптимальный закон неоднородности:
р*(г+1) = -212,91 + 406,76 г -193,16 г2.
При этом Ф1 = 5,04 • 10-6.
При минимизации функционала Ф 2 [р, 1, ц] полагалось, что г* = 30 м, 0*=р /3, ф*= 0, а диапазон частот соответствует изменению волнового размера цилиндра от 3 до 8.
Было найдено
р* (г+1) = -111,63 + 215,23 г -102,83 г2.
Этому оптимальному решению соответствует значение функционала Ф 2 = 3,01 • 10 - 7.
При минимизации функционала Ф3 [р, 1,ц] расчет проводился при г* = 30 м, 01 =р/4, 02 =р/3, ф1 = 0, ф2 =р/6, 3 £ Ьг0 £ 8.
-8
Минимальному значению функционала Ф3 = 9,97 • 10 соответствует закон неоднородности, имеющий вид
р*(г+1) = -63,43 +122,22 г - 58,06 г2.
На рисунке приведены зависимости оптимальных законов изменения плотности покрытия, при которых достигается минимум функционалов. Сплошной, пунктирной и штрихпунктирной линиями изображены зависимости р (г+1), полученные при минимизации функционалов Ф1, Ф 2 и Ф 3 соответственно.
р*
Таким образом, осуществив минимизацию соответствующих функционалов, получили аналитическое описание оптимальных параметров неоднородного покрытия упругого шара. Такое непрерывно-неоднородное покрытие может быть реализовано с помощью многослойной системы однородных упругих слоев. Замена радиально-неоднородного покрытия многослойной системой эквивалентна аппроксимации непрерывных функций, характеризующих переменные параметры неоднородного слоя, кусочно-постоянными функциями, описывающими механические параметры однородных слоев.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).
Список литературы
1. Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим шаром с неоднородным покрытием // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78. Вып. 4. С. 519 - 526.
2. Толоконников Л. А., Родионова Г. А. Дифракция сферической звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 131-137.
3. Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на упругой сфере с неоднородным покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 5. С. 663-673.
4. Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием и произвольно расположенной сферической полостью // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 181-193.
5. Толоконников Л.А., Ларин Н.В., Скобельцын С.А. Моделирование неоднородного покрытия упругого шара с требуемыми звукоотража-ющими свойствами // Математическое моделирование. 2017. Т. 29. № 11. С. 89-98.
6. Толоконников Л. А. Моделирование непрерывно-неоднородного покрытия упругого шара системой однородных упругих слоев в задаче рассеяния звука // Прикладная математика и механика. 2017. Т. 81. Вып. 6. С. 699 - 707.
7. Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи плоскости // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19. Вып. 2. С. 199-216.
8. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.
9. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. М.: Горячая линия - Телеком, 2006. 452 с.
10. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2008, 640 с.
Толоконников Лев Алексеевич, д-р физ.-мат. наук, профессор, tolokonnikovlaamail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Бирюков Данила Русланович, магистрант, danilahiriikovaramhler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
MODELING AN INHOMOGENEOUS COATING OF AN ELASTIC SPHERE
WITH THE OPTIMUM SOUND-REFLECTING PROPERTIES LOCATED
NEAR A PLANE SURFACE
L.A. Tolokonnikov
The return problem of laws determining of the covering inhomogeneity of the elastic sphere located near a plane surface characterized hy minimum reflection of a plane sound wave in a preset angular sector and frequency range is considered.
Key words: diffraction, sound waves, elastic sphere, non-uniform elastic coating, inhomogeneity laws.
Tolokonnikov Lev Alexeevich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, tolokonnikovlaa mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Biryukov Danila Ruslanovich, undergraduate, danilahiriikovaramhler.ru, Russia, Tula, Tula State University
