CC BY
50
2006
НА УЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА сер. Радиофизика и радиотехника
№ 107
УДК 621.396
Распространение поляризованной электромагнитной волны в неоднородной линейной среде
В.Ю. МАСЛОВ
Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Козловым А.И.
Исследуется задача распространения плоской поляризованной электромагнитной волны в анизотропной среде. Показано, что в такой среде могут распространяться две монохроматические плоские волны, поляризованные ортогонально друг другу, причем скорости изменения амплитуд и фазовые скорости этих двух волн будут различны.
Переход от одного ортогонального поляризационного базиса к другому осуществляется с помощью унитарной комплексно сопряженной матрицы Q [1]
Ен = QEC, (1)
где Ен - электромагнитная волна в новом базисе по отношению к исходному старому Ес и матрица перехода
ґ
cos g sin ge
- sin gej cosg
Матрица Q имеет собственные значения н1 = elg и н = e~lg, которым соответствуют орто-нормированные собственные векторы
Q =
(2)
Яі =
V2
-j
и
Я2 =
V2
Плоская электромагнитная волна Е имеет вид
Е =
i(wt-kr)
(3)
(4)
(5)
где Еі(г) - комплексные координаты вектора Е, медленно меняющиеся в масштабах среднего периода колебаний Т = 2р/ о и длины волны 1 = 2р/ к; г - координата.
Собственные векторы (3) и (4) соответствуют двум типам поляризации волны (5). При переходе от одного ортогонального поляризационного базиса к другому эти волны не изменяют вида своей поляризации
н141 = Qq1
и
н2 42 = Q42.
(6)
Как следует из уравнений (6) при таком переходе происходит лишь умножение векторов (3) и (4) на фазовые множители ё7и в~17. Две волны (3) и (4) ортогонально поляризованы, поэтому их эллипсы поляризации имеют одинаковую форму и большие оси этих эллипсов взаимно перпендикулярны, а направления вращения электрических векторов противоположны. Если расположить эллипсы поляризации волн в плоскости х и у декартовой системы координат, то углы наклона больших осей этих эллипсов относительно оси х будут равны соответственно р/4 и 3р/4. Волна (3) будет право поляризованной, так как при наблюдении по направлению распространения волны вектор Е будет обходить поляризационный эллипс против часовой стрелки. Вращение вектора Е волны (4) будет происходить по часовой стрелке, следовательно, волна (4)
будет лево поляризованной. При значении величины ф = 0 волны (3) и (4) становятся волнами круговой поляризации, имеющими соответственно правое и левое направления вращения вектора Е. Линейная поляризация волн (3) и (4) будет при значении величины ф = ±р/2. Углы наклона линейных поляризаций относительно оси х декартовой системы координат будут равны соответственно р/4 и 3р/4.
Рассмотрим задачу распространения плоской электромагнитной волны вида (5) в анизотропной среде с проницаемостью е(г). Проницаемость е(г) мало меняется на длине волны 1. Поэтому предполагаем, что поле Е в каждой точке приближенно имеет структуру плоской волны.
Если рассматривать матрицу О(г) в качестве оператора, параметры у(г) и ф(г) которого являются функциями проницаемости е(г) среды [70], тогда из уравнения (1) следует, что при распространении волны на расстояние Аг изменение вектора Е н (г) будет связано с изменениями
элементов матрицы О(г) соотношением
_ Ен (г + Аг) = 0(г + Аг)Ес (г), (7)
где 0(г + Аг) - матрица, определяющая изменение параметров поляризации волны при прохождении волной расстояния Аг. Вычитая из уравнения (7) уравнение (1), получаем
Ен (г + Аг) - Ен (г) = 0(г + Аг)Ес (г) - 0(г)Ес (г) . (8)
Разделив обе части уравнения (8) на |Аг| и переходя к пределу |Аг| ® 0, получаем
_dEн (г) = ¿0(г)Ес (г). (9)
Используя соотношение Ес (г) = О-1(г)Ен (г), из (9) получаем дифференциальное уравнение для вектора Е н (г) волны
dEн (г) = dQ(r)Q-1(r)Eн (г) = Щ(г)Ен (г), (10)
или опуская индекс н в Е н (г),
¿Е(г) = Щ(г)Е(г), (11)
где матрица Щ(г) = dQ(r)Q-1 (г), О-1 (г) - обратная матрица.
Дифференциальное уравнение (11) описывает распространение плоской электромагнитной волны в анизотропной среде. Матрица Щ(г) характеризует свойства этой среды.
Найдем решение линейного дифференциального уравнения (11)
dE
¿г = Щ(г)Е, (12)
где операторная функция Щ(г) определена на некотором промежутке изменения вещественного аргумента г и интегрируема на конечных подынтервалах.
Дифференциальному уравнению (12) будет эквивалентно интегральное уравнение для вектор-функции
г
Е(г) = Е0 +1Щ(с)Е(с)dс , (13)
г0
удовлетворяющей начальному условию
ЕЮ = Е0. (14)
Из теоремы существования известно [3], что уравнение (14) в каждом конечном промежутке изменения параметров имеет единственное непрерывное решение, которое может быть полу-
чено методом последовательных приближений.
Если ввести в рассмотрение линейный оператор
г
U(r) = I + J
+
¥ Г ч n
+Z Й -1 Щ(Гп )П| (rn-1 (Г1 )ddri -drn >
(15)
называемый оператором Коши уравнения (12), то ряд, входящий в определение оператора Коши (15), будет сходиться равномерно в промежутке изменения параметров по операторной норме[3]. Следовательно, решение интегрального уравнения (12) можно записать в виде
E(r) = U(r)E0. (16)
Для устойчивости решения уравнения (12) необходимо и достаточно, чтобы оператор Коши был равномерно ограничен: sup ||ü(r)|| < ¥ .
r>0
Считая, что вектор Е (r) и элементы матриц Щ(г), Q(r) являются функциями координаты
г, опустим в дальнейших уравнениях указание на эту зависимость.
В развернутой форме матрица Щ будет иметь вид
Щ
(17)
44q21 ™q22 J
Компоненты матрицы Щ представляют собой дифференциальные 1-формы щ. [2]
щ111 = -i sin2 gdj, щі12 = ^ dg-i dj e~'j,
4q21 = ^q12 , 4q22 =-Щщ- (18)
Дифференциальные выражения (18) остаются инвариантными при произвольной замене декартовой системы координат.
Матрица Щ имеет собственные значения
у1 = idg-singe~Igdç, (19)
у 2 = -id g+ sin geIgdç, (20)
которым соответствуют ортонормированные собственные векторы (3) и (4) матрицы Q
1 Г -i Ï
Я1 =^ j , (21)
V2
Я2 =
£)
Ve У
V2
j?
Ve У
(22)
Собственные векторы (21) и (22) соответствуют двум типам поляризации волны (5). При
распространении в анизотропной среде эти волны не изменяют вида своей поляризации
у шЧш = ЩЯш, (23)
где ш = 1,2.
С учетом уравнения (23) дифференциальное уравнение (11) для электромагнитных волн вида (21) и (22) будет иметь вид
^Яш = у шЯ,^ (24)
где
sin2g • . 2 • • ч
У1 =------Y~ j+ i(sin Yj+Ÿ),
r
sin2g ' ,_2
2
j+ /'(sin2 gj-g),
(26)
• Эр • дg
р = — и g =-------изменение параметров поляризации от расстояния г.
Эг Эг
Найдем решения уравнения (24) в приближении плоских волн вида
E =
m
(E Л
ml
E
V^m2 У
(27)
(28)
где фш(г) комплексная фаза (или эйконал) и определяется соотношением
$п(г) = Сш(г) + ym(r),
с ш(г), у ш(г) - амплитуда и фаза волны в точке г ( ш = 1,2.).
Решение уравнения (24) для электромагнитной волны с поляризацией (21) будет иметь вид
Е = Яо1^, (29)
1 Г -і ^
где Яс1 =
- волна при r = 0,
Я
sin2g •
(30)
y = sin2 gj+ d g (31)
Для электромагнитной волны с поляризацией (22) решение уравнения (24) будет иметь вид
E2 = qj*2, (32)
где Яс
1 ( / л
o' Vo
V0 У
- волна при r = 0,
sin2g •
Х = — j, у2 = sin2 gj- d g.
(33)
(34)
Из уравнений (29)-(31) и (32)-(34) следует, что в анизотропной среде (т.е. когда j^ 0 и
gФ 0) распространяются две монохроматические плоские волны (21) и (22), поляризованные ортогонально друг другу, причем фазовые скорости и скорости изменения амплитуд этих двух волн будут различны.
Распространение электромагнитных волн происходит в направлении нормали к поверхности у = const. Представим на малом участке пространства величину у в виде
Эу .
У~^т~ r = yr, Эг
(35)
тогда yr будет элементом длины оптического пути. В системе поляризационных координат элементом длины оптического пути будет величина
dl = у](dg)2 + cos2 g(d j)2 . (36)
у
2
Выражение, находящееся под корнем соотношения (36), представляет собой первую квадратичную форму поверхности сферы единичного радиуса (сферы Пуанкаре), задающей квадрат элемента длины на этой поверхности.
ЛИТЕРАТУРА
1.Козлов А.И., Логвин А.И., Сарычев В.А. Поляризация радиоволн. Поляризационная структура радиолокационных сигналов. М.: Радиотехника, 2005.
2.Маслов В.Ю. Дифференциальные свойства поляризационного коэффициента электромагнитной волны. // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Радиофизика и радиотехника, № 79, 2004.
3.Талдыкин А.Т. Элементы прикладного функционального анализа. М.: Высшая школа, 1982.
V.U. Maslov
Propagation of polarized electromagnetic wave in non-uniform linear medium
There is investigated the problem of propagation of plane polarized electromagnetic wave in anisotropic medium. It’s shown that two monochromatic plane waves can be propagated in such medium which are polarized orthogonally, and their rates of change of amplitude and phase rates will be different.
Сведения об авторе
Маслов Виктор Юрьевич, 1945 г.р., окончил МГУ (1968), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретических основ электротехники МГИРЭА (ТУ), автор 60 научных работ, область научных интересов -электродинамика и распространение радиоволн, математические методы моделирования.
