Стоячие электромагнитные волны без узлов и пучностей Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭНЕРГЕТИКА И ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

УДК 621.372

В.С. Ильин, А.Н. Скляр СТОЯЧИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ БЕЗ УЗЛОВ И ПУЧНОСТЕЙ

Показана возможность существования и реализации одномерных одночастотных стоячих волн без узлов и пучностей.

V.S. Il’in, A.N. Sklyar STANDING ELECTROMAGNETIC WAVES WITHOUT NODES AND CRESTS

The opportunity of existence and realization of one-dimensional singlefrequency standing waves without nodes and crests is shown here.

Традиционное описание стоячих электромагнитных волн сводится к рассмотрению суперпозиции векторнык полей Ё = Ё1 + Ё11 = n0 (Ё1 (z, t) + ЁП (z, t)), Й = Й1 + Й11 =

= ((z, t) + Й" (z, t)), двух встречный плоских, плоскополяризованнык бегущих волн I и

II, с равными частотами и амплитудами. Как известно, в этом случае в плоскостях

z2n = z0 + 2nk/ 4 будут располагаться пучности (max| Ё|), а в плоскостях

z2n+1 = z0 + (2n +1)^/4 - узлы (Ё| = 0) напряжённости электрического поля (n = 0, ± 1, ±2,...) . Соответственно, в z2n будут узлы (Й| = о), а в z2n+1 - пучности (max|Й|) напряжённости магнитного поля.

В электродинамике поверхности, на который тангенциальные компоненты вектора E обращаются в ноль, принято называть Э-стенками, а поверхности обнуления

тангенциальнык компонент вектора Й - М-стенками. В обсуждаемой стоячей волне, очевидно, плоскости z2n+1 будут Э-стенками, а плоскости z2n - М-стенками.

Электрические стенки без возмущения поля допускают «материализацию» хорошо проводящими металлами. Вводя в плоскостях z2n+1 и z2n+1 (n^n') проводящие «зеркала», можно пространственно ограничить объём электромагнитного поля. Это эквивалентно рассмотрению одномерного по z резонатора с двумя плоскими зеркалами, промежуток между которыми L = |n - n' |^/ 2 = 2| n - n' \Х/ 4 равен чётному числу четвертей длины волны.

Переход к резонаторной системе фактически означает рассмотрение уже не волновых, а колебательных состояний поля. По этой причине исторически принятый термин «стоячие волны» (одномерные или, в обобщённом подходе, двумерные и трёхмерные) нельзя признать удачным.

Возможность легкореализуемого пространственно-ограниченного «удержания» поля плоской, плоскополяризованной стоячей волны двумя плоскоизотропными ЭЭ-

зеркалами, по-видимому, затормозила появление более расширенных представлений о возможных типах стоячих волн. Во всяком случае в учебной и научной литературе под «стоячими волнами» обычно понимаются узлопучностные полевые образования. В настоящей статье демонстрируется возможность существования и реализации одномерных одночастотных стоячих волн без узлопучностного пространственного распределения.

1. Винтовые бегущие волны

Рассмотрим в бездисперсной среде с проницаемостями в ид электромагнитное поле с напряжённостями

Ех (г, г) = Е08т Ф(г, г), Е (г, г) = -эрЕ0оов Ф(г, г), Ег (г, г) = 0,

Нх (z, t ) = s

-E0 cos Ф(г, t), H (z, t) = p

|Д

-E0 sin Ф(z, t), Hz (z, t) = 0,

(1)

(2)

где Ф(1,t) = 0(z,t) + 00 =(pkz-шt) + 00 - фазовый аргумент; к(ш) = Шд/еД - волновое число (ш > 0, s > 0, д > 0); p = +1, s = +1.

Векторы (1) и (2) удовлетворяют уравнениям Максвелла:

rot E(z, t ) = -ддН(,^), rot H (z, t ) = +s-dE(zt), div sE (z, t) = 0, div дН (z, t ) = 0. (3)

dt

dt

Выражения (1) и (2) описывают бегущую волну круговой (циркулярной) поляризации. При индексе направления движения p=+1 волна распространяется в направлении оси z, а при р= -1 - против z. В случае s=+1 в произвольной фиксированной плос кости наблюдения z=const вращение взаимно ортогональных

векторов E и H (, H)= о) при «взгляде навстречу волне», будет происходить по часовой стрелке, а при Í= -1 - против часовой стрелки.

При начальных условиях z=0 и t=0, вектор (1) принимает вид

Ex (z = 0, t = 0) = E0sin 00, Ey (z = 0, t = 0) = -spE0cos 00, Ez (z = 0, t = 0) = 0. (4)

Электрический вектор (1) представим как результат действия на вектор (4) унитарной вещественной матрицей поворота вокруг оси z на угол sp0(z, t) = sp(pkz -rat) :

E0 sin 00

cos sp0(z, t), - sin sp0(z, t) 0

sin sp0(z, t), cos sp0(z, t) 0

0 0 1

E0 sin(0(z, t) + 00)

- spE0 cos(0(z, t) + 00)

0 0 0

- ÍpE0 cos 00 0

E0 sin Ф(z, t)

- spE0 cos Ф^, t) 00

(5)

Унитарная матрица поворота на угол sp0(z,t) = sp(pkz) + (-sprat), представима в

виде произведения двух унитарных коммутирующих матриц углы (- &р га г) и sp(pkz) = skz, т.е. в виде

T

и

поворотов на

* Здесь ввиду sp = +1 имеют место соотношения cos sp0 = cos 0, sin sp0 = sp sin 0.

cos sp©( z, t), - sin sp©(z, t) 0

sin sp©(z, t), cos sp©(z, t) 0

0 0 1

cos(- sprat), - sin(- sprat) 0" cos skz, - sin skz 0

sin(- sprat), cos(- sprat) 0 sin skz, cos skz 0

0 0 1 0 0 1

Л Л Л Л -I

T (- sp rat)

Z(skz)

Z(skz)

T (- sprat)

Унитарный оператор T, ответственный за развитие электрического поля во

Л

времени, следует определить как эволюционный. В плоскости наблюдения z=const T поворачивает вектор E на угол (-sprat) с угловой скоростью ш = -n0spra (со > 0).

Л

При действии унитарного оператора поворота Z на начальный вектор (4), имеем

E0 sin(pkz + ©0)

- spE0 cos ©0

cosskz, - sin skz 0

sin skz, cos skz 0

0 0 1

0

- spE0 cos(pkz + ©0)

0 0 0

(7)

Результат (7) указывает на пространственное вращение E на угол, равный параметру z-осевого сдвига pkz.

Это означает, что E-поверхность поляризации является винтовой (шнековой) поверхностью. Ввиду cospkz=cos kz, sinpkz=p sin kz характер винтовой поверхности зависит только от индекса спиральности s = +1. В правой системе координат (x,y,z), значение s=+1 определяет правовинтовую, а s= -1 - левовинтовую поверхности r *

поляризации E.

Действие матричного оператора

T

на начальный магнитный вектор

Hx = sj—E0cos ©0

—E0 sin ©0.

|Д

(8)

приводит к (2). Вектор Н также будет поляризован по винтовой поверхности, ортогональной, ввиду Н ± Е, к винтовой Е-поверхности. Электромагнитную волну с поляризованными по винтовым поверхностям векторами напряжённостей (1) и (2) иногда называют бегущей винтовой электромагнитной волной [1]. Если необходимо подчеркнуть ещё и геометрический характер поверхностей фронтов, то применяют термин «постоянная, поляризованная по винтовой поверхности (по винту) волна». Использование термина «винтовая волна» физически целесообразно, ибо в нём подчеркиваются внутренние поляризационные свойства волны - её винтовая симметрия, спиральности 5. Действительно, поскольку векторы Е и Н находятся на линиях пересечения Е ^ Н винтовых поверхностей поляризации с плоскостями фазовых фронтов, при непрерывном последовательном прохождении со скоростью Уфаз = П0Уфаз фазовых фронтов через выбранную плоскость наблюдения z=const в последней, как уже отмечалось, будут

* При графическом построении функций Е = п0 Ех (г, ї) + п° Еу (г, ї) и

И = п0 Их (г, ї) + п0 Иу (г, ї) необходимо использовать правую систему ортогональных декартовых

координат, в которой и записаны уравнения Максвелла (3). Выбор правой системы координат удобно производить по правилу «правой руки»: большой палец - по х, указательный - по у, средний - по г.

наблюдаться вращения с угловой скоростью ш = -n0spo . Подобное вращение векторов E

и H в плоскости z=const можно «организовать» и на плоской, плоскополяризованной волне, если вращать линейно-поляризованный источник излучения относительно оси z со скоростью ш.

Таким образом, традиционный термин «плоская, поляризованная по кругу волна», введённый «по способу наблюдения», а не на основе учёта внутренней симметрии волнового объекта, может приводить не только к неоднозначностям в логическом описании, но и к затруднениям в идентификации результатов соответствующих наблюдений.

Важным, непосредственно устанавливаемым из (1) и (2) свойством

напряжённостей E(z, t) и H (z, t) винтовых волн является их подчинение условиям:

rot E + skE = 0, rot H + skH = 0, (9)

т.е. E и H являются собственными функциями оператора rot, с собственными значениями (-sk).

Очевидно, «обычные» уравнения второго порядка Гельмгольца

V 2E + k 2E = 0, V 2H + k2 H = 0, (k2 =ш2в|д), (10)

можно получить из (9), повторно действуя на них оператором rot, с использованием тождества rotrot = graddiv-V2 при divE = 0, divH = 0. Сравнение (9) с уравнениями Максвелла (3) приводит к важным соотношениям между электрическими и магнитными векторами винтовых волн:

- — dH „f} d'E

E = + s---, H = - s--------------------------, (11)

Sot Sot

где Ё = -у/s/ 2 E, H = -у/д/2H.

2. Плотности энергии, потока энергии и импульса поля бегущей винтовой волны

Для определения плотностей электрической, магнитной и полной

электромагнитной энергий поля (1), (2) будем использовать классические рекомендации :

s — s —

WE (f, t ) = 2 E 2 (r , t ^ WH (r , t ) = 2 H 2 ^ t), w(r, t ) = WE (r, t) + WH (7, t). (12)

Подстановка (1) и (2) в (12) приводит к равенству wE=wH:

2 EX +-| К = 2 E02 sin2 ф(z, t)+2 E02 cos" ф(z, t) = WE (z, t)+WE (z, t) = 2-

Wh = д H2 +f H = 2 E2cos2 Ф^, ,)+| E0 sin2 ф(г, t ) = WE (z, t)+WE (z, t ) = 2 E2. (14)

В [2, 3] приведены следующие формулы

d'Ev d'Ev'^

для

dovt 5ov,tyy

плотностей в

энергии:

которых

^ dovt ’ 5ov't yy v - индекс, нумерующий выбор

волны. Эти формулы отвечают современным кинематическим требованиям описания консервативных динамических систем. Заметим, что для векторов 'Еу = 'Еу' = 'Е = у/е/2 • Е, Н4 = Н= 'Н = 4^/2 • Н винтовой волны использование этих формул приводит к результату (13), (14).

*

WE =е

WH =е

Для определения скорости движения энергетических плотностей рассмотрим линии уровня функции чЕ (г, I), определяемые условием

чЕ (г, ¿) = а. (15)

Выбор численного значения постоянной а параметризует конкретную линию уровня.

Очевидно, что через любую точку (г,1) проходит соответствующая ей линия уровня с соответствующим значением а.

Полный дифференциал от (15) равен нулю:

ч (, ) = ¿ф(2>,) = & + дф(£>£) Л | = 0.

ЕУ ; ¿Ф(г, I) ¿Ф(г, I )1 дг Ы

Отсюда для скорости движения фазовых фронтов имеем

¿х дФ / дФ ш

1 с

= Р-= п

(16)

(17)

где 1Д/ё0;0 = с - скорость света в вакууме, п =

80;0 - показатель преломления.

Как видно, скорость Уфаз оказалась постоянной и не зависящей от численного выбора

а.

Интегрируя Уфаз=ёг!&, получаем уравнение для линий уровня в виде

ш

г = VI + Ь = р—t + Ь. к

(18)

Постоянная интегрирования Ь, параметризующая линии уровня, связана с а соотношением

а = чхЕ (г, 0 = — Е28т21 рк ■ р—t + кЬ-шt + 0О | = — Е02 Бт2 (кЬ + 0О). (19)

2 V к ) 2

Конкретный числовой выбор Ь соответствует одной определённой линии уровня -прямой на плоскости чхЕ(г, t) = а, координатного пространства (, t, чхЕ) (см. рис. 1). Из рисунка видно, что при изменении параметра движения t происходит перемещение функции чЕ (г, t) вдоль оси г (или против г - при (р= -1)) с постоянной скоростью

V = ПУфаз .

Рис. 1

Аналогично устанавливаем, что wE = (s/2)E02 cos2 Ф(z, t) движется по z с такой же скоростью V. К такому же результату приводит и рассмотрение слагаемых wH (z, t) и wH (z, t) плотности магнитной энергии wH (z, t). Это означает, что постоянные плотности wE и wH в (13) и (14) движутся с фазовой скоростью V = n0p(ш/к) = ПОp(c/n). С этой же скоростью перемещается и функция полной плотности энергии электромагнитного поля винтовой волны w = wE + wH = sE2

Таким образом, в бездисперсном приближении найденная скорость V = ПОv

z фаз

является скоростью движения электромагнитном энергии.

Кинематически правильное определение плотности импульса [3, 4] формулируется

J = V

w

(20)

где м>!с =о - массовая плотность поля.

Соответствующее (20) определение плотности потока энергии записывается

£ = УЖ

Для поля бегущей винтовой волны из (20) и (21) находим

S = 1 П0р- IsE2. n) c V n )

Рассмотрим классический вектор Пойнтинга от полей (1)-(2):

П = ( х H ) = п0 р

Д

-Ео2 =(nz0рС IsE2.

n

(21)

(22)

(23)

Как видно из (22) и (23), П = £. Это означает, что для рассматриваемого конкретного поля, описываемого (1) и (2), использование вектора Пойнтинга приводит к кинематически правильной зависимости между плотностью энергии и плотностью её потока.

3. Стоячая винтовая волна

Рассмотрим теперь простейший пакет Е = Е1 + Е11 и И = И1 + И11, составленный из двух бегущих винтовых волн I и II, напряжённости полей которых описываются соотношениями:

EX = ЕО sin Ф1,

ЕУ = —siP iE0 cos Ф1 E1 = 0,

EX = E0 sin Ф11,

Ey = -siiPiiE0cos Ф11,

E1 = 0,

HX = ну = р.

H I = 0,

—E0 cos Фі Ді

-^E0 cos Ф1

Діі

J1 Т7І

Ді

E0 sin Ф1

"II 17II

ДІІ

E0 sin Ф1

где

ф1 = pkz -шІ t+©0

Hf = 0,

к1 = шіЛ/-(шІ)д(шІ);

Ф11 = pnknz — ш Ht + ©0

кІ = шц V-(шіі )Д(шіі) .

Будем рассматривать встречные волны, для которых

Рі =+1, Ріі = —1

2

c

&j = шя = ш, s1 = sи = s, д1 = = д, k1 = к111 = k = Шд/еД, (25)

V = V = V E1 = E11 = E 01 = 011 =0

Л1 Л11 Л5 ^0 ^0 ^5 W0 W0 wo-

В этом случае напряжённости полных пакетных электрических и магнитных полей, удовлетворяющих уравнениям Максвелла (3), запишутся

Ex = Elj + Eljj = 2E0 cos kz • sin(- ш t + 00),

Ey = Ey + Ey = v2E0 sin kz • sin(- ш t + 00),

E = Ej + E11 = 0,

Hx = H¡x + H¡x = s2 E0^ 2 cos Az • cos(- ш í + 00), (26)

H = H1 + Hy = 2E0 /— sin Az • cos(^í + 00),

y y y V 2

H = H1 + H11 = 0.

z z z

Рассмотрим плотности энергий от пакетных полей E и H :

wE = — ( + Ея )2 = -(Е )2 + -(Е1 )2 + —(Е1, .ё11) = wE+< + wEJ/,

2 22 (27)

wH =i2 ( + H11 )2 =-2 (H1 )2 +2 (H11 )2 + ^(H1, H11 ) = wH + wH + wH11.

Плотность взаимной электромагнитной энергии встречных волн I и II равна нулю:

w1J1 = w1/ + wH11 = sE02 cos(ф1 - Ф11) + (- sE02 cos(ф1 - Ф11)) = 0. (28)

Поэтому полная плотность w=wE+wE электромагнитной энергии поля двух встречных односпиральных винтовых волн будет суммой только полных плотностей собственных энергий w1 = wE + wH = sE02 и w11 = wE + wH = sE02 этих волн:

w = w1 + w11 = 2— E02. (29)

Плотности импульсов J1 и J11 волн I и II записываются

r 1 r 1 w1 r 0 с —E0 r 11 r 11 w11 r 0 С —E02

J = V1 • —- = и“-----2L, J11 = v11 • —- = -nzu----2L. (30)

с и с с п с

Из (30) следует равенство нулю полной плотности импульса пакетного электромагнитного поля двух встречных винтовых волн:

J = J1 + .711 = 0. (31)

Соответственно, для полной плотности потока энергии имеем

S = S1 + S11 = Г1 • w1 + V11 • w11 = П0 с •sE2 +Í- п0 с •sE2 '1 = 0. (32)

п V п J

Равенство нулю полной плотности импульса и полной плотности потока энергии пакетного электромагнитного поля двух встречных винтовых односпиральных волн означает, что рассматриваемое поле является полем стоячей волны.

Запишем выражение для вектора Пойнтинга от пакетного поля (24):

п = ( х H) = ((Е1 + Е11 )х (H1 + H11)) = (Е х H1)+ (Е11 х H11)+ ((Е1 х H11)+ (E11 х H1))=

= п1 +п11+п111. (33)

Непосредственной подстановкой полей (24) в (33), при учёте (25),убеждаемся, что

П111 = 0, П1 = S1 и П11 = S11. (34)

Тогда из (32) устанавливаем равенство нулю полного вектора Пойнтинга для поля стоячей волны:

П = (Е х Н ) = 0. (35)

Результат (35) можно получить и из непосредственной подстановки полей (26) в векторное произведение ( х Н)

Равенство нулю векторного произведения (Е х Н) означает коллинеарность

векторов Е и Н .

Из (31) следует

w1 w11 ^ rj w1 rjj w11

V — + — I = v1 • — + v • — = 0- (36)

^ c c J c c

Определённая по (36) скорость v является скоростью центра импульса полевой системы. Ввиду (/c2 + w11 ¡c2) > 0 для стоячей волны получаем v = 0 .

Присутствие в (26) множителя cos kz у компоненты Ex и (-s sin kz) - у Ey при одинаковом общем амплитудно-временном факторе 2E0sin(-Qí + ©0) указывает на

винтовую поляризацию вектора E. Ввиду установленной коллинеарности векторов E и H винтовая поверхность поляризации вектора E содержит и вектор H. Модуль вектора напряжённости электрического поля записывается как

|Е| = V EX + E2 + EZ = 2E0|sin(-raí + ©0 )|, (37)

а модуль вектора напряжённости магнитного поля

H = VH2 + H2y + H2 = 2E0

o

—|cos(-Qí + ©0)|. (38)

Это означает, что вектор Е, как и вектор И, не имеет пространственной зависимости по своей величине, а только лишь по направлению своей спиральной ориентации.

4. Резонатор с полем винтовой поляризации

Пространственная независимость модулей электрической и магнитной напряжённостей рассмотренной винтовой стоячей волны, описываемой соотношениями (26), приводит к отсутствию узлопучностного распределения поля вдоль г и, следовательно, к невозможности использования идеальных изотропных Э- и М-стенок для ограничения протяжённости поля по 2. Из рис. 2 видно, что на плоскости г=0, Еу-компонента поля имеет узел, а Ех - пучность. Соответственно, Нх имеет пучность в г=0, а Ну - узел. Действительно, векторное поле (26) представляет собой сумму векторных полей двух плоских, плоскополяризованных, взаимно ортогональных по поляризациям, стоячих волн 1 и 2:

E(X) = 2E0 cos kz • sin(- ш t + ©0), HУ) = 2EC

— sin kz • cos(-шt + ©0), (39)

E\(2 ) = s2E0 sin kz • sin(-шt + ©0), HX2) = s2E0 Í—cos kz • cos(-шt + ©0). (40)

V Д

Поля 1 и 2 удовлетворяют плоскостным симметриям [5]

EXl'(z, t ) = + Ei1)(- z,t), H;1)(z,t) = -H:;i(- z, t), (41)

E(r>(z,t) = -Ef(- z,t), Hf(z,t) = +Hf'(- z, t), (42)

соответствующим расположению в плоскости ¿=0 М-стенки для поля 1, и Э-стенки для поля 2. Очевидно, свойства Э и М не могут быть одновременно реализованы при использовании поверхностей с физической изотропией.

Рис. 2

Рассмотрим дроссельное устройство, представленное на рис. 3, а. Входная плоскость 2=0 данного устройства представляет собой решётку из тонких проводников, расстояние между которыми много меньше длины волны. Решётка будет обладать

высоким коэффициентом отражения для волн с вектором Е, поляризованным по направлению у, и высоким коэффициентом пропускания для волн с вектором Е, поляризованным по х. Последние будут отражаться проводящим зеркалом, расположенным на расстоянии А,/4 позади решётки. В результате входная плоскость 2=0 устройства, показанного на рис. 3, а, для электрического поля реализует узел Е(2) = пуЕ(у2^(2 = 0, і) и пучность Е(1) = ПОЕ(р(2 = 0, і), а для магнитного - пучность

И(2) = п0Н{2)(2 = 0, і) и узел И(1) = п°Н^^ = 0, і).

Таким образом, использование анизотропно-проводящей решётки в 2=0 с гладким проводящим экраном в 2=К/4 (рис. 2) позволяет приближённо реализовать

«непроницаемое для поля зеркало». Аналогичное, но повёрнутое в плоскости г на 90° дроссельное устройство следует расположить в плоскости, удаленной от 2=0 на нечетное число четвертей длины волны (на рис.2 - в плоскости г=5(л/4)).

А/4

А/4

т1-

т—

а

б

Рис. 3

Другой тип анизотропного отражателя изображён на рис. 3, б. Расстояние между тонкими проводящими пластинами «гребёнки» в данной конструкции много меньше длины волны.

Применение анизотропно-проводящих отражателей позволяет получить одномерный резонатор с полем правой (s=+1) или левой (5= -1) винтовой поляризации, в котором отсутствуют узлопучностные образования.

Практические осуществления стоячих винтовых волн могут иметь различные технологические применения. Например, в случае заполнения внутренней полости резонатора с винтовым полем однородной проводящей средой плотность мощности нагрева i(Э)Ё = оЁ2, будет пространственно-однородной величиной (gradоЁ2 = о).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц / Р. Ньютон. М.: Мир, 1969. 607 с.

2. Ильин В.С. Электродинамика свободных полей / В.С. Ильин. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1998. 375 с.

3. Ильин В.С. Поля Бельтрами, винтовые волны и проблема однозначного построения плотностей энергии, потока и импульса в классической электродинамике / В.С. Ильин, И.С. Нефедов // Проблемы современной физики. Дубна, 1999. С. 218-225.

4. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы / И. Дьярмати. М.: Мир, 1974. 357 с.

5. Силин Р. А. Замедляющие системы / Р. А. Силин, В.П. Сазонов. М.: Сов. радио, 1966. 632 с.

Ильин Вадим Сергеевич -

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Радиотехника»

Саратовского государственного технического университета

Скляр Алексей Николаевич -

соискатель ученой степени кандидата технических наук по кафедре «Радиотехника» Саратовского государственного технического университета