Распространение и отражение гармонических волн в плоском акустическом слое с гибкими стенками в случае разрыва упругих свойств на одной из стенок Текст научной статьи по специальности «Физика»

А.И. Вельмисова

УДК 534.2

РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ОТРАЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛН В ПЛОСКОМ АКУСТИЧЕСКОМ СЛОЕ С ГИБКИМИ СТЕНКАМИ В СЛУЧАЕ РАЗРЫВА УПРУГИХ СВОЙСТВ НА ОДНОЙ ИЗ СТЕНОК

Рассматривается плоский акустический слой, ограниченный упругими мембранами, одна из которых имеет разрыв упругих свойств. Исследуется распределение энергии между отраженными и прошедшими волнами при прохождении гармонической волны через линию разрыва. Изучение распространения волн в волноводах с такими свойствами представляет интерес для моделирования гемодинамики крупных кровеносных сосудов в норме и после реконструктивной операции (рис. 1).

Рассмотрим распространение гармонических волн в плоском акустическом слое с гибкими кусочно-однородными стенками, находящимися на расстоянии 2Н друг от друга [1].

т 34 Мембрана 1, М; ' , 1 к 1 Мембрана 3, М^115

I II

Акустическая среда X

Мембрана 2, М^ Мембрана 2, МС2П)

В безразмерных переменных уравнения движения для мембран и акустической среды записываются в виде

Лз)\2

<

д£2

д£2 + д2^) _ + д(2 д2^) _ _ д2р^ дт2 _ д(

д21и9] ^ (и) (и) п + к} _ 0,

дт 2

^ _0, (г _1, 2,3; ] _ 1,11),

(1)

где безразмерные переменные вводятся по формулам ^ _ |, ( _ |,

Т _ ^, _ Нщ*и), V(и _ НИи), р(и

_ с1р0р*(и (при этом звездочки в

г(г _ 1, 2, 3)

величины, принадлежащие соответственно первой, второй и третьей мембране, индексом ] (] _ I, II) — акустические среды; — смещение

(и)

г-й мембраны в ^'-й акустической среде, с(

упругой волны в г-й мембране, си) _ . -^-у, где

V Ръ

скорость распространения р. _ силы натяжения

г-й мембраны, р}и) _ р(и)Н(и), Ни)

толщина г-й мембраны, р(

(и)

и

плотность материала г-й мембраны; 4й' - давление, оказываемое ;-и

г со

звука в акустическом среде, р0 — плотность акустическои среды, х и у — продольная и поперечная координаты, у?) — смещение з'-й среды, р(? —

акустическое давление I и II акустических сред, е) = , е) << 1,

К?' = 007, И =1,2,3; 3 = =1,11). С°

'Ч р

На верхней и нижней мембранах должны быть выполнены следующие условия:

М,(1) : ^ = р(1), М(П) : д^ = р(11), М^ : д? = -р(/), М(2П) : д^ = -р(11). (2)

Граничные условия при у = ±Н (( = ±1) выглядят так же, как и в [1]. Граничные условия на стыке £ = 0 запишутся следующим образом:

а) (II) ду(/) ду(11) (I) (л) (/) (л) д^(1) д^

(3)

Рассмотрим распространение гармонической волны с заданной частотой ш и волновыми числами х?), з = 1,11• Дисперсионное уравнение для волноводов рассматриваемого типа получено в [1]. Решения для элементарных волн записываются в виде

рГ?) = Рга)(С)е)("тр? = Р?()е)("т(4)

где ш — частота и ха) _ волновое число, собственные функции Рг(а)(С) и р(?) были получены в [2].

Решение для падающей (рГ1 отраженной (р'1)) и прошедшей (рГ11)) волн должны удовлетворять граничным условиям для функции давле-

ра) (3 = I, II) на стыке £ = 0 :

ния

р(11) = р(1) + Л1) дрг = ^ + дрь_ (5)

рг = рг + р1 , д£ = д£ + д£ • (5)

Пусть на стык падает мода помер /0. Тогда выражение для падающей волны имеет вид

рГ1) = доРЦ )в1(шТ(6)

где до — некоторая постоянная. Решение для отраженной волны представим в виде линейной комбинации

то

р!" = £ ЛтР!:Р« (7)

т=1

Решение для прошедшей волны представим в виде

то

р™ = £ В,„Р™(С)е-<-^"Я. (8)

т=1

В (7), (8) Ат, Вт — некоторые постоянные, требующие определения. Введем скалярное произведение:

<Л(С),/2(С) >111 = /х/2^С + /1 (1)/2Шу^ТТ + /1 ("!)/2("1)7(Ь7)^Г. (9)

Подставим решения (6), (7) и (8) в граничные условия на стыке (5). Используя соотношение ортогональности [2], получим систему для определения постоянных Ат и Вт:

тт

то

^ Ат7тп(хП//} + X?) = ^о71оп(х(0//) - ХР), п = 0,1, 2..., (10)

т=1

) _ )) п =

в = Отоп + л (11)

вп е + с / ^ Ат /тт (11)

т=1

ГДе ^тп =< Рт \ Рп ) >//, "пп =< Рп \ Рп ) >// .

После определения коэффициентов Ат и Вт можно сосчитать величины среднего за период потока энергии, проходящей через поперечное сечение волновода.

Для падающей, отраженной и прошедшей волн запишутся следующим образом:

д ^ <р(I) )р (, ) >

Лпад = —2^— < Р10 ) о ) >1,

3 мо

Лр°С0^ЛЛ|Л |2 ^ о (/),

то

Д„1Р.™ = ^Е хп1) |а„|2 < ру )(с), р." )(с) >,

п=1

(I)

и 3 Мо

= ^ £хп//)|Вп|2 < РУ7)(С),Р°п(//)(С) >11, (12)

п=1

(?)

где М° - число распространяющихся волн в ^'-й среде на заданной частоте.

Из закона сохранения энергии имеем Япад = Я0траж + ^прош. На рис. 2-5 представлены графики зависимости от частоты отношения энергии отраженной (Л2) и прошедшей (Д3) волн к энергии

падающей волны (Я1). В расчетах приняты следующие параметры

(I)

задачи:

0.1Д/2.

= 2, к™

= 4, К™ = 1,е® = 0.1,6?*

= 0.2, е™ =

Рис. 2 Рис. 3

На рис. 2 и 3 в качестве падающей волны принимается вторая фундаментальная мода. Как видно из графиков, с ростом частоты доля энергии отраженной волны растет, а доля энергии прошедшей волны падает. Пики на графиках соответствуют частотам запирания волн высшего порядка.

Рис. 4 Рис. 5

На рис. 4 и 5 в качестве падающей волны принимается четвертая мода высшего порядка. В данном случае энергия отраженной волны приближается к нулю, и падающая волна практически полностью переходит в прошедшую.

Принятые параметры задачи соответствуют изменению толщины мембраны в два раза при переходе от мембраны 1 к мембране 3. Приведенные результаты и результаты вычислений для других мод показывают, что при таком соотношении параметров разрыв упругих свойств на одной из стенок оказывает незначительное влияние на распространение гармонической волны.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Постиова Ю.А. Дисперсия воли в плоском акустическом слое с упругими стопками с различными геометрическими и материальными свойствами // Механика деформируемых сред. Саратов, 2004. Вып. 15. С. 95-101.

2, Каплунов Ю.Д., Кириллова И.В., Постнова Ю.А. Дисперсия волн в плоском акустическом слое с гибкими упругими стенками // Акустический жури, 2004, Т. 50, №6. С, 802-807,

УДК 539.3

А.А. Барыптев, Е.А. Номеровская

АНАЛИЗ НДС И ТЕПЛОВОГО ПОЛЯ ВЯЗКОУПРУГОЙ КОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНКИ

Постановка задачи и основные соотношения

В статье рассматривается изотропная кольцевая пластинка малой толщины внутренний радиус которой Я1? внешний - Я2, изготовленная из вязкоупругого материала, свойства которого зависят от температуры. На срединной плоскости введена цилиндрическая система координат. Считаем, что пластинка испытывает малые деформации под действием распределенной по плоскости г = —Д/2 поперечной нагрузки с частотой ш

д(г, £) = (г) со8(ш£) + д2(г) вт(ш£). (1)

Предположим, что компоненты тензоров напряжения и деформаций связаны линейным законом вязкоупругости:

1 Г*

= --2 К(£ — т, в,ш)(ег(т) + ^бф(г))^т,

1 — ^ 3 —то

1 Г*

= 1-2 / К(£ — т, в,ш)(^бг(т) + бфТ))^т, (2)

1 — ^ ./—то

1 г*

т^ = 2(1 + ) / К(£ — т, в, ш)7г^(т)^т, V = соп

2(1 + ^ —то

где V — коэффициент Пуассона, £ — врем я, в = в(г, г) — неизвестная

о

безразмерная установившаяся температура саморазогрева, ег = -¡Ц1, бФ = = -ЦГГ, Ттг = тЦ1 + ~ компоненты тензора малых деформаций, иг, м — компоненты вектора перемещений.

Уравнения движения малого элемента пластинки будут следующими:

амт + = ^ ад + N = — 9М). (3)

дг г дг г д£2

Здесь Мг — изгибающий момент, N — перерезывающая сила, р — плотность материала пластинки.

Решение будем проводить на основе метода гипотез.