CC BY
18
УДК 534.231
Ю.И. Папкова, С.О. Папков, А.А. Ярошенко
Энергетические характеристики звукового поля в неоднородной морской среде с плавающим на поверхности цилиндрическим телом
На основе полученного методом частичных областей решения задачи о звуковом поле точечного источника в неоднородной морской среде с плавающим на поверхности цилиндрическим телом исследуются энергетические характеристики ближнего и дальнего поля. Для решения соответствующей задачи бесконечной системы линейных алгебраических уравнений найдена асимптотика, которая позволяет улучшить точность вычислений. Приведены результаты конкретных расчетов и их сравнительный анализ при вариации параметров волновода, характерных для прибрежной части моря.
Введение. В процессе распространения звука в реальной морской среде происходит взаимодействие звуковых волн с различными объектами, в силу чего волновой процесс сопровождается рассеянием энергии волны на неод-нородностях. При исследовании нерегулярных гидроакустических волноводов особый интерес представляет процесс переноса энергии вдоль трассы.
Аналитическая форма решения, полученная с использованием метода частичных областей [1], позволяет значительно упростить исследование энергетических характеристик звукового поля. В частности, в статье [2] рассмотрена трансформация энергии падающей волны в составном упругом волноводе, в [3] — энергетические характеристики падающей, отраженных и прошедших через зону сопряжения плоского и клиновидного волноводов волн.
В [4] методом частичных областей строится решение задачи о гидроакустическом поле точечного источника в неоднородной морской среде с плавающим на поверхности цилиндрическим телом. Целью данной работы является исследование энергетических характеристик прохождения звуковой волны в данном волноводе.
Постановка задачи. Рассмотрим особенности излучения звука, возбуждаемого точечным гармоническим источником в волноводе, на поверхности которого находится жесткое тело цилиндрической формы (рис. 1). В качестве модели акустической среды принимаем модель идеальной сжимаемой жидкости. В данной среде гармоническая задача излучения описывается уравнением Гельмгольца:
ф= 5(соЩ2-20ЩГ) \г) 2 кг 9 Ш
где Ф — потенциал скоростей; А = — + — — + —у — оператор Лапласа;
д2 1 д д2
— + --+-г
& г дг дг
8 — дельта-функция Дирака; со - частота источника звука; 8{со) — сила источника; с(г) — вертикальное распределение скорости звука в волноводе.
© Ю.И. Папкова, С.О. Папков, А.А. Ярошенко, 2006
о
Ао го
п Ш г -1-►
А в у/ С{2)
Р и с. 1. Гидроакустический волновод с плавающим на поверхности телом в форме вертикального кругового цилиндра
Взаимодействие звуковых волн на жестких и акустически мягких границах волновода описывается следующими граничными условиями:
дФ дг
Ф\г.о=°(г>го)> = 0(0 <г<г0),
дФ дг
дФ
= 0(г > 0),
2=И
(2)
г=А0
дг
= 0(0<г<ко).
Решение краевой задачи (1),(2) для произвольного кусочно-заданного профиля скорости звука на основе метода частичных областей представлено в [4]. В рамках данного метода область существования-поля разбивается на части так, чтобы в каждой из областей можно было построить общее решение уравнения Гельмгольца, удовлетворяющее граничным условиям на горизонтальной части поверхности волновода. Условия сопряжения на границах соседних частичных областей приводят к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов в общем решении задачи.
В частности, при построении решения предложенной граничной задачи рассматривались две частичные области: область А, расположенная под цилиндром, и область В — вне цилиндра; в каждой из них потенциал скоростей принимает значения Фа и Фд:
^ Уп
л=0
(3)
Фв=ЪУЛг)Н^Впг\
/1=0
где функции , {р*(г)}"=0 и числа , — собственные функции
и собственные числа соответствующих краевых задач типа Штур-
ь
ма—Лиувилля [4]; у'* = [^{¿^(¡г .
К
Общее решение для потенциала скоростей имеет следующий вид:
\ФВ, О <2<Л0, [Фл, \<2<к.
В силу этого на границе раздела областей г = г0 имеем следующие два условия сопряжения:
О, 0<г<ко,
дФв дг
дФ,
Л0 < г < А,
(4)
I дг
ФА=ФВ, К<2<к. (5)
Выполненная стандартным способом алгебраизация функциональных соотношений (4), (5) порождает бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Ап и Вп:
л=0
л-0
1Х.Л +^т,пУп +0т =0'
(т = 0,1,2...)
(6)
п=0
п= 0
где *„ = Ап3,(¿>0); у9 =
Н(о ) уэт Г0 ) Х?п Г0 )
\<РАП<Р№-
П0 \ЭтГ0)Г1\ \Эп 0
А Ь
г/.
кт,п = ТГТ \<Рп<Рт<12> 5т,п ~ символ Кронекера;
т>т Ут
** п=0\п0 \ЬтГо) Ьт
^т^т я=0
К
н
п
УЛо О
Асимптотическое поведение неизвестных в бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (6). В предложенной модели гидроакустического волновода границы области А содержат угловую точку, в окрестности которой имеются особенности в поле скоростей. Априорное знание характера таких особенностей позволяет построить асимптотику решения системы (6).
Колебательная скорость частиц среды при приближении к угловой точке границы области А будет стремиться к бесконечности как
= д/(г -~гк)2 + )2 в силу чего поведение скорости на границе раздела областей г ~ г0 описывается равенством:
г-^Ао+О^Д^^^ССг-АоГ'^ф-Ло^-Сг-Ло)2}""3.
Связь между локальной особенностью вблизи ребра данной функции и скоростью убывания ее коэффициентов Фурье можно представить в виде:
^г'ФкхУ-ул^'н? '(«ч)
- С )[(/, - а - (к - }"' со- о( Д п
Интеграл в данном соотношении сводится к следующему табличному [5]:
|(а2 - х2 У ' соэбдг/х = ■
о
2 \ Ъ
Г(№мп(аЬ), (аДеу?> 0, |аг§б| <тг).
Отбрасывая бесконечно малые более высокого порядка ори п -* оои используя асимптотическое соотношение
-л ¿ж
<Г =
к-к
+ 0(1), п -» 00,
получим асимптотическое представление для неизвестных коэффициентов в бесконечной системе:
-дг/зхл-Л)
-1/3
-/С
>1/3
-(тгУ
-5/3
, П ->00.
Аналогичным образом строится формула, описывающая при больших номерах поведение неизвестных^:
Ч2/3 Яр \Ьп Го) V 6 Л
Уп = ~1Г
(2Л)
V
1/3
(ли) л-О
Таким образом, условия на ребре волновода позволяют определить асимптотическое поведение неизвестных в бесконечной системе (6), что дает возможность использовать при численном решении бесконечной системы более эффективный, по сравнению с методом простой редукции [4], алгоритм улучшенной редукции.
Энергетические характеристики. Аналитическая форма решения (3) позволяет провести анализ звукового поля в рассматриваемом волноводе. В частности, в статье [4] рассмотрены амплитудно-частотные характеристики в некоторых фиксированных точках волновода. Представляет интерес исследование энергетических характеристик распространения звука в ближнем и дальнем полях гидроакустического волновода.
При анализе структуры ближнего поля рассматриваются энергетические характеристики распространения звуковой волны через зону сопряжения двух областей волновода.
Средний поток мощности от источника области А, проходящий через сечение г= г0, есть сумма средних потоков мощности распространяющихся и затухающих нормальных волн:
^ /7=0 ^
4Г."
- + 1т А.
+ 4 п
и=Л\,+1
где ЫА + 1 - число распространяющихся нормальных волн области, расположенной под цилиндром.
Средний поток мощности в области В, подводимый через сечение г = г0, есть сумма средних потоков мощности распространяющихся нормальных волн:
^^^И-^^Л^^оУо^Го)-^^^^)), (7)
/ /7 = 0
где Л^ + 1 - число распространяющихся нормальных волн области без цилиндра.
Из закона сохранения энергии вытекает необходимость выполнения условия:
в _
= 1,
которое может рассматриваться как критерий точности численного решения бесконечной системы [2, 3].
Степень влияния размеров цилиндрического тела, помещенного в волновод, на звуковую энергию, излучаемую источником в дальнем поле, удобно характеризовать отношением
К ~ Щ |
где wl — средний поток мощности в дальнем поле рассматриваемого волновода, w2 — средний поток мощности в дальнем поле для идеального волновода (глубина идеального волновода такая же, как и в области 5, расположенной вне цилиндра, положение источника не меняется). Средние потоки мощности в дальнем поле можно получить из соотношения (7), если воспользоваться асимптотическими представлениями функций Бесселя для больших значений аргумента [6]:
яг
сор ^ . 2^(h + 1/2)z0
Н>2 =-— > Sin —---.
8 hrcr^o h
Анализ численных результатов. Одним из критериев оценки точности решения граничной задачи является закон сохранения энергии. В табл. 1 приведены средние потоки мощности в сечении г = г0 в зависимости от отношения глубин в частичных областях волновода Ао/й, представлена численная погрешность выполнения закона сохранения энергии. Характерные размеры волновода принимались равными следующим значениям: с = 1550 м/с, z0 = = 0,5A, r0 = 0,97A, А = 100 м, Q = 5 (Q = cóhlc — фиксированная безразмерная частота).
Таблица 1
Численная погрешность выполнения закона сохранения энергии
VA Wr-W. I —-^100%
0,1 2,855 105 1,82 106
0,25 3,606-Ю-5 8,64 10"7
0,5 1,448-lO"5 1,28-10"7
0,75 2,254-105 7,33-10"6
Из приведенных данных видно, что закон сохранения энергии на границе частичных областей выполняется с достаточно малой погрешностью.
На рис. 2 представлен график изменения величины \уа!щ (и>0 - средний поток мощности от источника через сечение г = г0 для идеального волновода глубины А) в зависимости от размеров А(/Л для оценки влияния цилиндрического тела на прохождение звуковой волны в ближнем поле.
В случае постоянной скорости звука в области А при определенных размерах = (п = 1, 2,...) частота распространения звука оказывается резо-А О
нансной для данной области. В расчетном примере = 0 для отношения = = о,3717 > и общее решение в форме (1) не существует. При этом в
А
сколь угодно малой окрестности данной точки отсутствуют особенности в характеристиках звукового поля. Анализ спектра области А показал, что при ус-
ловии < ~—~ существуют две распространяющиеся моды, в противном А О.
случае — только одна распространяющаяся нормальная волна. Графические данные позволяют установить, что в случае 0,25 < ко/к < 0,26 отношение \vJwo достигает локального максимума. С увеличением к0 отражающая поверхность оказывается близкой к источнику, что приводит к увеличению потока энергии.
N /Я
Р и с. 2. Зависимость изменения величины от отношения к^Иг
Данные, позволяющие судить о степени влияния размеров цилиндра на дальнее поле, приведены в табл. 2.
Таблица 2
Влияние размеров цилиндра на звуковую энергию (с = 1550 м/с, ю = 0,9А, г0 = Л0, Л = 100 м, О = 5)
V* 1 1 21100%
0,05 0,002217 0,2
0,1 0,002248 1,6
0,25 0,002334 5,2
0,5 0,001127 96,2
0,75 0,002886 23,4
Согласно этой таблице, распределение звуковой энергии в дальнем поле в зависимости от размеров цилиндра носит нелинейный характер. При достаточно малых размерах цилиндрическое тело практически не оказывает влияния на звуковую энергию в дальнем поле, с увеличением размеров нельзя указать на простую взаимосвязь. При ко/к = 0,5 излучаемая энергия почти вдвое меньше, чем в идеальном волноводе; при ко/к = 0,75 наоборот — превышает значение
м>2 на 23%. Здесь наблюдается влияние таких факторов, как число распространяющихся мод, близость абсолютно отражающей поверхности к источнику, соотношение геометрических параметров, вид профиля скорости звука.
Заключение. Полученная аналитическая форма решения задачи о звуковом поле точечного источника в неоднородной морской среде с плавающим на поверхности цилиндрическим телом дает возможность найти формулы для энергетических характеристик звукового поля. Исследование характеристик ближнего и дальнего поля позволяет сделать вывод о сложной зависимости излучаемой энергии от параметров задачи, за исключением случая малых размеров цилиндрического тела, когда наблюдаются небольшие вариации энергетических характеристик по сравнению с волноводом с плоскопараллельными границами.
Энергетические характеристики служат также критерием точности решения краевой задачи - выполнение закона сохранения энергии на границе раздела частичных областей (данные табл. 1) свидетельствует о точности вычислений.
Развитые в работе теоретические методы имеют общий характер и могут быть использованы для решения других задач подводной акустики, в частности, для расчета волноводов с неровным дном, имеющих локальные неоднородности в виде акустически жестких, импедансных или упругих тел, помещенных внутрь волновода.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гринченко В.Т., Вовк И.В. Волновые задачи рассеяния звука на упругих оболочках. — Киев: Наук, думка, 1986.- 240 с.
2. Городецкая И.С. Трансформация энергии падающей волны на границе раздела в составном волноводе // Акуст. BicH.- 20014, № 1.- С. 17-25.
3. Мацыпура В.Т. Прохождение звука через область сопряжения плоского и клиновидного волноводов // Там же.- 1999.- 2, № 1.-С. 31-41.
4. Папкова Ю.И., Папков С.О., Ярошеико А. А. Гидроакустическое поле точечного источника в неоднородной морской среде с плавающим на поверхности цилиндрическим телом // Морской гидрофизический журнал.- 2003- № 5- С. 27-39.
5. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. -М.: Наука, 1981.- 800 с.
6. Федорюк MB. Асимптотика: интегралы и ряды. - М.: Наука, 1987 - 544 с.
Севастопольский национальный технический Материал поступил
университет в редакцию 11.02.05
ABSTRACT Energy characteristics of close and remote fields are investigated based on the obtained method of the partial fields of solution of the problem on the sound field of the point source in the inhomogeneous marine environment with a cylindrical body floating on the surface. The asymptotic permitting to improve the calculation accuracy is found to solve the corresponding problem of the infinite system of linear algebraic equations. The results of concrete calculations and their comparative analysis performed under variation of the wave-guide parameters characteristic of the coastal part of the sea are presented.
