Закономерности напряженно-деформированного состояния на границе раздела упругих сред при идеальном контакте Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Закономерности напряженно-деформированного состояния на границе раздела упругих сред при идеальном контакте

Н.В. Чертова, Ю.В. Гриняев

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634055, Россия

Изучаемое в работе напряженно-деформированное состояние на границе раздела упругих сред возникает в процессе распространения различных волн. Традиционная постановка задачи о распространении упругих волн через границу раздела двух сред предполагает получение аналитических выражений коэффициентов отражения и преломления и исследование их зависимостей от параметров, характеризующих свойства контактирующих сред, и угла падения первичной волны. При решении этой задачи формулируются граничные условия, для записи которыж необходимы выражения для деформаций и напряжений. В данной работе эти выражения после нахождения коэффициентов Френеля используются для выгшсления и построения зависимостей деформаций и напряжений от угла падения волны на границу раздела упругих сред при условии идеального контакта. Анализ полученныж результатов позволил установить, что напряженно-деформированное состояние на границе раздела имеет особенности, зависящие от свойств контактирующих сред и типа падающей волны. Однако вид деформированного состояния на границе раздела, определяемый ненулевыми модами, обусловлен граничными условиями и не зависит от свойств контактирующих упругих сред.

Ключевые слова: упругие волны, граница раздела, коэффициенты Френеля, напряженно-деформированное состояние

DOI 10.24411/1683-805X-2018-12006

Features of the stress-strain state at the interface between elastic media under perfect contact conditions

N.V. Chertova and Yu.V. Grinyaev

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634055, Russia

This paper studies the stress-strain state arising at the interface between two elastic media during the propagation of various waves. The conventional formulation of the problem of elastic wave propagation through the interface between two media involves the derivation of analytical expressions for the reflection and refraction coefficients. It also requires the study of the dependence of these coefficients on the parameters characterizing the properties of the contacting media and on the angle of incidence of the primary wave. The boundary conditions for this problem are written using expressions for stresses and strains. In the present paper these expressions are used, after finding the Fresnel coefficients, to calculate and plot the dependences of stresses and strains on the angle of wave incidence on the interface between elastic media under perfect contact conditions. Analysis of the obtained results has revealed that the features of the stress-strain state at the interface depend on the properties of the contacting media and the type of the incident wave. However, the form of the deformed state at the interface, determined by nonzero modes, is governed by the boundary conditions and does not depend on the properties of the contacting elastic media.

Keywords: elastic waves, interface, Fresnel coefficients, stress-strain state

1. Введение

Как следует из работ многих авторов [1-5], внутренние границы раздела в деформируемом твердом теле являются важной функциональной подсистемой, которая определяет ряд закономерностей процессов деформирования и физические механизмы некоторых наблюдаемых эффектов. В качестве примера можно привести

хорошо известное явление сверхпластичности и механизм зернограничного проскальзывания. По современным представлениям деформируемое твердое тело является многоуровневой системой, пластическое течение которой развивается самосогласованно на разных масштабных уровнях: нано, микро, мезо и макро. Границы раздела являются важной структурной составляю-

© Чертова Н.В., Гриняев Ю.В., 2018

щей и существенно влияют на физические и эксплуатационные свойства материалов на каждом масштабном уровне деформации. Роль поверхностей раздела в виде межкристаллитных и межфазных границ особенно значима для нано- и субмикрокристаллических материалов в связи с малым размером их структурных элементов [6-9]. Известные литературные данные также свидетельствуют о том, что границы раздела в этих материалах, имея ряд особенностей, во многом схожи с интерфейсами массивных тел [7, 10, 11]. Современные методы экспериментальных исследований не позволяют рассматривать динамику различных мод деформаций на границах раздела разных масштабных уровней деформации, включая макроскопический уровень. Ввиду ограничений экспериментальных методов, определяемых как разрешающей способностью применяемого оборудования, так и сложностью расшифровки результатов, теоретические исследования и методы численного моделирования приобретают особое значение при изучении динамических эффектов деформаций на границе раздела двух сред.

Напряженно-деформированное состояние, определяющее поведение и разрушение твердых тел, формируется в процессе распространения различных волн, возникающих под действием внешних воздействий. В данном случае под «распространением волн» подразумевается их пространственное перемещение, взаимодействие различных типов волн между собой и с элементами внутренней структуры, а также их затухание. Чтобы определить характер деформаций и напряжений на границе раздела и установить особенности деформирования, обусловленные наличием границ, рассмотрим закономерности прохождения плоской гармонической волны через границу раздела. Традиционной целью таких задач является нахождение коэффициентов отражения и преломления и определение потоков энергии первичной и вторичных волн [12, 13]. Решение указанной задачи для упругих и вязкоупругих сред приводится в работах [13-16]. Особенности распространения волн через границы раздела упругих и вязкоупругих сред при

наличии дефектов трансляционного типа рассмотрены в [17, 18]. Коэффициенты Френеля на границе раздела сред, обладающих различными электромагнитными свойствами, вычисляются и анализируются авторами [19, 20]. В обычной постановке исследуется прохождение волн через границу раздела анизотропных сред с внутренними напряжениями в [21, 22] и решаются задачи об отражении и преломлении термоупругих волн [23, 24]. Проводя аналогию с известным вычислительным методом прогонки, в работах [12-24] и многих других применяется лишь первый этап данного метода. В настоящей работе коэффициенты Френеля, связывающие амплитуды отраженных и преломленных волн с амплитудой падающей волны, использованы для определения различных мод деформации на границе раздела двух упругих сред при условии идеального контакта. Этот прием, по сути, второй этап метода прогонки, впервые был использован в [25] для вычисления и анализа величин, характеризующих формоизменение и поворот бесконечно малого элемента среды на свободной поверхности при падении продольных и поперечных волн.

2. Постановка задачи и ее решение

Предположим, что на границу раздела двух однородных, изотропных упругих сред, определяемую нормалью п || z, в точке z = 0 падает плоская монохроматическая волна (рис. 1). Направление распространения волны образует некоторый угол с осью z в плоскости ^ декартовой системы координат. Среда 1 (2 < 0) характеризуется коэффициентами Ламе ц-, и материальной плотностью р-, среда 2 (2>0) задается параметрами , Х+, р+. Граничные условия на поверхности раздела в случае идеального контакта предполагают равенство нулю скачков смещений и напряжений, действующих на эту поверхность:

[и, ] = 0, [и,] = 0. (1)

Геометрия сформулированной задачи позволяет рассмотреть две независимые подзадачи, предполагающие,

Рис. 1. Схема нагружения и волны, возникающие на границе при падении SH- (а) и Р-волны (б)

что на границу раздела падает горизонтально или вертикально поляризованная волна. В первом случае отличной от нуля является компонента вектора смещений их, перпендикулярная плоскости падения волны zy (рис. 1, а). Во втором случае рассматриваются компоненты иу, и2, определяющие деформацию в плоскости падения продольной или поперечной вертикально поляризованной волны (рис. 1, б). По сейсмической терминологии в первом случае анализируется поперечная, или сдвиговая, горизонтально ^Н) поляризованная волна, во втором случае — продольная (Р) и поперечная вертикально (SV) поляризованные волны.

2.1. Горизонтально поляризованная волна

В общем случае при падении волны на границу раздела двух сред существуют три типа волн, две из которых, падающая и отраженная, распространяются в первой среде, преломленная или прошедшая волна возбуждается во второй среде [12, 13]. В простейшем случае первичной SH-волны отличными от нуля являются компоненты их вектора смещений:

U- = a0 exp(z'kt°r0), U- = at exp(ikt r ),

(2)

U+ = a+ exp(ik+ r +),

0 ± -где at, at — амплитуды падающей, отраженной и преломленной волн; kt± = //Ct±, kt0 = kt- — волновые числа; Ct± — скорости поперечных волн в среде 1 и 2; 6°, 6± — угол падения, отражения и преломления; r0 = = z cos 6° + y sin 6°, rt± = ±z cos 6± + y sin 6±. При записи (2), как и далее, множитель exp (-i/t) опущен, здесь / — частота; t — время. Дифференцируя (2) по пространственным координатам, можно получить выражения для компонент тензора упругой дисторсии и вычислить компоненты деформаций и поворота для каждой из волн:

(3)

Граничные условия (1) в случае падающей SH-волны примут вид

e0 °y- = Q0 y- = a0ikt0 sin 6 )0exp(ik0r 0)/2,

e0 °zx = Q0 zx = a0ikt0 cos ( ^0 exp (ikt0 r 0V2,

e± y- = ^±x = at±ikt± sin i 9± exp(ikt± r ± )/2,

e zx = ^±x = ± at±ikt± cos 6± exp (ikt± r ± )/2.

[U- ] = U- + U- - U- = 0,

К-] = ¿X = 0,

что позволяет получить систему уравнений

(4)

0

Ц ikt cos 6t (a0 - at ) = ц+ik^ cos 6+ a+ при выполнении законов отражения и преломления

(5)

sin

3+ = C+/Ct- si

sin е-. (6)

Разрешая (5) относительно амплитуд отраженной и прошедшей волн, получим выражения для коэффи-

циентов отражения Rh = at /a0 и преломления Yth = = at+/a0 SH-волны:

Rt = (Z-- Z + )/(Z -+ Z +),

Tht = 2Z 7 (Z - + Z +), (7)

где Z ± = Zt± cos 6±, Zt± = Ct±p± — упругие импедансы в каждой из сред. Суммарные деформации на границе раздела, определяющие скачки деформаций, с точностью до безразмерного множителя b = ikt°a0 будут равны

£in = Einb> где

Ex = 1/2[(1 - Rht)cos6° - Ct-/C+ Tht cos6+],

Exy = 1/2 [1 + Rht - Tht] sin 6° = 0. Напряжения на границе в случае первичной SH-волны вычисляются по формулам

S- = Ц- = (1 -Rht)cos 60, SZx = </Ц- = Ct+P+/(C-p-)Tht cos 6+. 2.2. Продольная вертикально поляризованная волна

Если на границу раздела падает P-волна, то вектор смещений имеет не равные нулю компоненты

(8)

U0 = 40cos 60 exp (¿k0 r0), U0 = A0 sin 60 exp (ik0 r0),

(9)

где A0 — амплитуда; 60 — угол падения; k0 = // C0 — волновое число падающей P-волны; C0 — скорость продольной волны; r0 = z cos 60 + y sin 6j\ Дифференцируя (9) по координатам, получим выражения для компонент тензора упругой дисторсии, определяющей компоненты деформаций и поворота первичной волны:

e0z = U0,z = ¿ki0 A0 cos2 60exp(¿k0 r0),

e; = U0, y = ik0 A0 sin2 60exp(¿ki0r0),

2n0.

<r0,.0\

(10)

e0y = (U00y + Uy0>z )/2 = ¿k0 A0 cos 60 sin 60 exp(¿k0r0),

< = (U0,y - U0z )¡2 = 0. Компоненты вектора смещений отраженной вертикально поляризованной волны имеют вид

U- = -Al- cos 6-exp (ik- rl-) -

- At- sin 6-exp (¿kt- rt-), U- = Al- sin 6-exp (ik- rl-) -

(11)

- At- cos 6-exp (¿kt- rt-), где A-t) — амплитуды отраженной продольной волны, обозначаемой индексом 1, и поперечной с индексом t волны; 6-t) — углы отражения; k-, = // C-), k- = = k0 — волновые числа; Cl-t) — скорости упругих волн в среде 1, r^ =-z cos 6-t) + y sin 6-t). На основе (11) можно найти деформационные моды отраженной волны:

e-z = U-z = iki- Ai- cos2 6-exp (iki- ri-) +

+ ikt- At- sin 6- cos 6- exp (ikt- rt-),

е^ = Uy,y = ik- AI sin 0! exp (ikj r ) -

- ikf At- cos 6- sin 6- exp (ikt- rt-),

Uf = -ik-A- sin 6- cos 6-exp (ik-r-) -

- ikt-At- sin2 6-exp (ikt-rt-),

U- z = -ik- A- sin 6- cos 6-exp (ik- r-) + + ikt- At- cos2 6-exp (ikt- rt-),

(12)

yz

(13)

= (U- y + U-z )/2,

a-, = (U-y -U-z)/2 = -ik-A- exp (ikfrf)/2. Компоненты смещений преломленной волны опреде ляются равенствами

U+ = A+ cos 6+ exp (ik+ r+) -

- At+ sin 6+exp (ikt+ rt+),

U+ = A+ sin 6+ exp (ik+ ) +

+ At+ cos 6+ exp (ikt+ rt+), используя которые, можно получить формулы для деформаций:

е+z = U+z = ikj+ Aj+ cos2 6+ exp (ikj+ r+) -

- ikt+ At+ sin 6+ cos 6+ exp (ikt+ rt+),

е+y = U+ y = ikj+ Aj+ sin2 6+ exp (ik+ rf) +

+ ikt+ At+ cos 6+ sin 6+ exp (ikt+ rt+),

U+ y = ik- Aj+ sin 6+ cos 6+ exp (ik+ r-) -

- ikt+ At+ sin2 6+ exp (ikt+ rt+),

U+ z = ik- A- sin 6+ cos 6+ exp (ikf r-) +

+ ikt- At+ cos2 6+exp (ikt+ rt+),

е+z = (U+ y + U+z, )/2,

a+z = U+y -U+zZ = -ik+ At+ exp (k+ r+ )/2. Здесь Aj+j) — амплитуды преломленной продольной и поперечной волны; 6+t) — углы преломления; rj+) = = z cos 6+t) + y sin 6+t), r- = z cos 6+ + y sin 6+. Волновые числа kjJj) = ю/Cj+ц) определяются скоростями упругих волн в среде 2 CJ+jj. При выполнении законов отражения и преломления

60 = 6f, sin 6t- = Ct- /Cf sin 6f, (15)

sin 6+ = C+ /Cf sin 6f, sin 6+ = C+ /Cf sin 6f (16) компоненты суммарных смещений (9), (11), (13) в граничных точках примут вид

Uz = (Aj0 - Af) cos 60 - At- sin 6f -

- Aj+ cos 6+ + At+ sin 6+,

(14)

Uy = (Aj0 + A-) sin 60 - At- cos 6f -- Aj+ sin 6+- At+ cos 6+.

(17)

В случае вертикально поляризованной волны граничные условия (1) для напряжений запишутся следующим образом:

а ^ = ц- (^ + ) -^Ч = о,

а = (2ц-+ А-)(е°2 + е") + А- (е°

+ e-y)"

(18)

- (2ц++А+ )е+2 -А+е+у = 0.

Подставляя в (18) компоненты деформаций (10), (12), (14) и приравнивая нулю компоненты смещений (17), получим систему уравнений относительно коэффициентов отражения — = А- /А°, —ц = А~/А° и преломления Ги = А+/А°, Та = А+/А° продольных и поперечных волн при падении Р-волны:

DimXm = Ь, и т = 1, 2, 3, 4, (19)

(Рт ) =

(

cos t

sin 6-

cos 6+

- sin 6+ ^

- sin

„+

Zj a sin(26j) - Ztcos(26t) Z+ a sin(26+ ) Ztcos(26t) Zfcos(26f) Zfsin(26f) -Z1-cos(26-) Z^sin^)

(Xm) =

f R ^

rü tj i? =

l;

(

cos 6j - sin 60

Л

а~ sin(2e°)

Здесь Рт — матрица коэффициентов уравнений; Хт, Ь — векторы-столбцы неизвестных коэффициентов Френеля и свободных членов; Z1±t) = С±)Р± — упругие импедансы граничащих сред; а± = (С±/ С±)2. В принятых обозначениях коэффициентов Френеля первый нижний индекс показывает, какому типу волны соответствует данная величина, второй нижний индекс указывает на характер падающей волны. Уравнения (19), аналогичные полученным в [19], определяют связь коэффициентов отражения и преломления с упругими параметрами контактирующих сред и углом падения первичной волны.

2.3. Вертикально поляризованная SV-вoлнa

Если на границу раздела падает поперечная волна, то вектор смещения перпендикулярен направлению распространения волны и имеет не равные нулю компоненты

U0 = - A0 sin 60 exp (ik0 r0), U0 = A0 cos0exp (ikt0r0).

(20)

Здесь At0 — амплитуда; 6f — угол падения; kt0 — волновое число; r0 = z cos 6° + y sin 6°. Выражения для компонент тензора упругих дисторсий, деформаций и поворота падающей волны сдвига имеют вид

e0z = U0,z = -ikt At0sin(260)exp(ikt0 r 0)/2,

60

чepmoвah.b., гpuняeв ю.в. / фuзuчeскaя мeзoмexaнuкa 21 2 (2018) 56-67

e°yy = Uy0, y = e0y = ik0 At0sin(260)exp(ikt0 r0 )/2,

yy y, y yy

t-t0 ■; 0 /0 • 2n0 /■; 0 0ч

Uz,y = -ikt At sin 6t exp (ikt r ),

7-t0 ■; 0 /0 2 n0 /.i0 0\

Uy z = ikt At cos 6t exp (ikt r ),

(21)

zy

= ikt0 A0 cos (260) exp (ikt0 r0 )/2,

Q ^ = -ikt0 At0exp(ik0r 0)/2.

Компоненты смещений отраженной и преломленной волн (11), (13), как и формулы для деформаций (12), (14), остаются без изменений в случае падающей SV-волны [13, 14]. Согласно (21), (11), (13), суммарные смещения на границе раздела будут равны

Uz = -(At- + At0) sin 60 - Af cos 6- -

- A+ cos 6+ + At+ sin 6+,

U = ( A0 - Af ) cos 60 + Af sin 6- -

(22)

- A+ sin 6+- A+ cos 6+ при условии, что углы отражения и преломления удовлетворяют законам отражения и преломления:

60 = 6-, sin6- = Cf/Ct- sin6-, (23)

sin 6+ = C+ /Ct- sin 6-, sin 6+ = C+ /Cf sin 6-. (24) Подставляя выражения для компонент деформаций (21), (12), (14) в граничные условия (18) и полагая Uz = Uy = 0 в (22), получим систему уравнений относительно коэффициентов отражения Rlt = Al-/A0, R = A-/A0 и преломления Tlt = Af/A0, Tt = Af ¡A« в случае падающей на границу раздела волны сдвига. Эта система уравнений, записанная в виде (19), определяется приведенной ранее матрицей коэффициентов Dim и величинами

(Xm ) = (Rlt Rtt Tlt Ttt)T, (25)

(bi ) = (-sin 60 - cos 60 Zt0cos(260) Z0sin(260))T, где индекс Т обозначает транспонирование.

З. Результаты и обсуждение

Довольно громоздкие аналитические решения (19), (25) позволяют построить зависимости коэффициентов Френеля от угла падения первичных волн и определить амплитуды компонент деформаций и поворота на границе раздела двух упругих сред при условии идеального контакта. Записав выражения для суммарных дисторсий (10), (12), (14) в виде ßik = BikA, где A = ik0A,0 — безразмерный множитель, в случае падающей P-волны будем рассматривать величины

2 60 + С- R sin(26f ) -

Bzz = (l + Rll)cos2 60 +

Ct-

- -+ Tucos2 6+ + TtlsinC26+)

С,

Ct

Byy = (l + Rll)sin2 60 - С- Rtl^Em.

Ct 2

- Cl- .2 6+ - Cl- sin (26+ )

Cl

-Tllsin 6l

Ct+

(2б)

l C-

Bzy = — [(l - Rll)sin(260) - С- Rtl sin2 6- -2 Ct

- Tu sin (26+ ) + Cl Ttísin2 6+ ], Cl Ct

Byz = 2

C

(l - R ) sin (260 ) + Rtl cos2 6- -Ct

- С- Tu sin (26+) - CL Ti cos2 6+ Ci Ct Для первичной волны сдвига компоненты дистор-сий, задаваемые формулами (21), (12), (14), с точностью до безразмерного множителя b = ik0 A0 примут вид

Ct- 2„ _ 1Nsin(260)

Bzz = Cr Rlt cos2 6j + (Rtt -1) \ t) -

Cl

Cf Cl+

Tlt cos2 6+ +

Cf sin (26+ ) Ct+Ttt 2 '

С

Byy =-±- Rlt sin2 6-- (Rtt -l)

sin (260)

Cl-

Cf

Ct

Tlt sin2 6+ ■

Cf sin (26+ ) Ct+Ttt 2 '

(27)

Bzy = 2

C--- Rlt sin (26f ) - (l + Rtt)sin2 60 -Cl

- Ct Tt sin (26+ ) + CL Ttt sin2 6+ с, С,

Bzy = I

C-

---Rltsin(26f) + (l + Rtt)cos2 60 -Cl

- Ct T,tsin(26+ ) - Ct Tt, cos2 6+ С, С, _

Компоненты напряжений в случае первичных Р- и SV-волн вычисляются по формулам

Sfz = v~zzl Ц- = [(Cl-/Cf )\E0z + Efz ) + + ((Cf/Cf)2 - 2)(Eyy + Efy )],

Sfz = </ цг={(С,+/Cf )2 E+z + + [(Cf/ Cf )2 - 2]E+ }pVp" ,

S- = CT-y/ ц" = e% fEfy,

Sfy =d+y/ Цг=(С+/Cf )2 Efy p+/pz ,

где Eik — компоненты деформаций, определенные на основе (27), (28) с точностью до соответствующих множителей. На рис. 2, 3 приведены зависимости коэффициентов Френеля и амплитуд компонент деформаций и напряжений от угла падения продольной волны на границы раздела трех пар контактирующих сред. В качестве примера были рассмотрены границы раздела между алюминием и медью, титаном и никелем, алюминием и серебром, которые в рамках модели упругой среды характеризуются безразмерными отношениями скоростей V = C+¡C-, Vt = Ct+/Ct-, V1tl = Ct-/C- и плотностей p = p+/p-. Для вычисления этих отношений использовались данные табл. 1, приведенные в [26]. Результаты, полученные на границах раздела Al/Cu, Ti/Ni, Al/Ag, упругие скорости контактирующих сред на которых удовлетворяют неравенству V < 1, представлены на рис. 2. Как следует из этих результатов, зависимости коэффициентов Френеля и компонент тензора деформаций и напряжений от угла падения продольной волны непрерывны на границе раздела сред, представляющей переход от менее эластичной среды к более эластичной среде. Коэффициенты отражения и преломления Ru, Tu на рис. 2, а изменяются монотонно от максимальных значений при нормальном падении до минимальных значений при касательном падении волны (Rn = -1 и Tu = 0). Коэффициенты отражения и преломления поперечной волны на рис. 2, б изменяются

непрерывно во всем интервале углов падения и имеют максимальные значения при углах 60 > 45o.

На рис. 3 приведены результаты для Р-волны, падающей на границы Cu/Al, Ni/Ti, Ag/Al, на которых среды с большими упругими модулями контактируют с менее упругими средами. На этих границах раздела отношения упругих скоростей удовлетворяют условию Vj > 1 и имеются особые точки, соответствующие полному внутреннему отражению продольной волны. При углах падения 60 >60* = arcsin(l/Vj) преломленная продольная волна не распространяется во второй среде, а затухает вблизи границы раздела на расстоянии порядка длины волны. При угле падения 60 = 6jl коэффициенты D13, D33 в уравнениях (19) равны нулю, в случае 60 >60* эти уравнения примут вид

DikXk = ? + dikYk, d ikYk = -d ikXk, i, k = 1, 2, 3, 4, (29) где Xk, Yk — действительные и мнимые части коэффициентов Френеля; D ik, dk — действительные и мнимые части коэффициентов уравнений. Поскольку при 60 > 60* D13 = D33 = 0, d13 =-cos6+ Ф 0, d33 = Zj+ a + 2sin6+d13, выражения для компонент деформаций Ezz, Eyz в формулах (26) изменятся следующим образом:

Ezz = (1 + R„)cos2 60 + ^n® RÜ +

2V1Ü

cos2 6t sin (26+)_ +-L T + _ tJ T,

Рис. 2. Коэффициенты отражения и преломления продольной (а) и поперечной волн (б), амплитуды деформаций (в), напряжений (г) на границах раздела Al/Cu (1), Ti/Ni (2), Al/Ag (3) при падении Р-волны. Сплошной линией изображены зависимости Rn, Rtl,

Ezz, Szz, пунктирной — Тц, ТФ Evz, Szy

Рис. 3. Коэффициенты отражения и преломления продольной (а, б) и поперечной волн (в, г), амплитуды деформаций (д) и напряжений (е) на границах раздела Al/Cu (1), Ti/Ni (2), Al/Ag (3) при падении Р-волны. Сплошной линией изображены зависимости ReRll?ImRll?ReRtl,ImRtl, пунктирной — ReT¡l5ImT¡l5ReTtl,ImTtl, E , S

E- = 2

(1 - R)sin(260) + R,

(30)

til

+ sin (26+) _ eos (26+) _

Критические углы на границах раздела Cu/Al (1), Ni/Ti (2), Ag/Al (3) имеют следующие значения 6^ --0.8385 (1), 1.1283 (2), 0.6060 рад (3). Анализ коэффициентов уравнений (19) показывает, что в случае падающей P-волны полное внутреннее отражение на границе раздела может иметь место и для преломленной поперечной волны при условии 60 > 6^ = arcsin(Ci-/Ct+), когда D24 = D44 = 0, d24 = i cos 6+, d44 = Z+ 2sin 6+d24. Условие 60 > arcsin(Cf/Ct+)

для границ раздела рассматриваемых сред не выполняется. Коэффициенты

Френеля на границах Cu/Al, Ni/Ti, Ag/Al изменяются немонотонно (рис. 3, а, в). Величины Ru, Tu достигают максимальных при угле е0 = е0*, а затем уменьшаются

Таблица 1

Параметры рассматриваемых сред

Материал Плотность, кг/м3 Скорость продольной волны, м/с Скорость поперечной волны, м/с

Al 2700 6320 3130

Cu 8900 4700 2260

Ni 8 800 5630 2960

Ti 4540 6230 3180

Ag 10420 3600 1590

до минимальных значений (Rn = -1 и Ти = 0) при 00 = = 90o. Коэффициенты отражения и преломления поперечной волны Rtl, Ttl имеют максимальные значения при 00 = 00* и нулевые при 00 = 0o и 90o.

Результаты расчетов амплитуд компонент тензора дисторсии на границах Al/Cu, Ti/Ni, Al/Ag и Cu/Al, Ni/Ti, Ag/Al показали, что компоненты Uyy = Uzy = 0 и Uz z, Uyz отличны от нуля. Таким образом, в случае падения P-волны на границы раздела упругих сред при идеальном контакте не равны нулю удлинения, направленные по нормали к границе, деформация сдвига и поворот. Деформация сдвига и повороты равны по модулю и противоположны по знаку. Характер представленных зависимостей Ezz (00), Szz (00) на границах раздела при Vl < 1 (рис. 2, в, г) качественно совпадает с

зависимостью коэффициентов Френеля продольной волны от угла падения на рис. 2, а. Кривые деформаций сдвига Е2у (е°) и напряжений Szy (е°) аналогичны изменениям коэффициентов Френеля поперечной волны (рис. 2, б). В случае > 1 сохраняется качественная аналогия зависимостей амплитуд нормальных напряжений и удлинений от угла падения волны (рис. 3, д, е) и коэффициентов Френеля продольной волны (рис. 3, а). В отличие от напряжений 322 кривые деформаций Е22 и Re—и^еТи отличаются знаком. Сравнивая зависимости Е2у, 8у и ReЯй^еТй на рис. 3, следует отметить их отличие, заключающееся в том, что в каждом из интервалов 0° <е° < е°* и е°* < е° < 90° напряжение и деформации сдвига имеют экстремальные значения, а коэффициенты Френеля поперечной волны изме-

Рис. 4. Коэффициенты Френеля продольной (а, б) и поперечной волн (в, г), амплитуды деформаций (д) и напряжений (е) на границах раздела Cu/Al (1), Ni/Ti (2), Ag/Al (3) при падении SV-волны. Зависимости ReRlt, ImRlt, ReRt, ImRtt, Ezz, Szz изображены сплошными линиями, Re Tlt, Im Tlt, Re Ttt, Im Ttt, E , S — пунктирными

няются монотонно. Качественно подобные кривые Szy (б00), Ezy (б00) отличаются знаком, как и кривые Szz (00), Ezz (00). Напряжения на границах раздела при падении Р-волны, рассчитанные по формулам (28) в случае V < 1 и V > 1, как и следовало, удовлетворяют

равенствам Szz = S- = S+, Sy = S- = S+.

На рис. 4, 5 приведены зависимости коэффициентов Френеля и амплитуд деформаций и напряжений от угла падения поперечной волны на границы раздела рассматриваемых сред. Эти зависимости, полученные на основе решений системы (25), имеют две особые точки на границах контакта Al/Cu, Ti/Ni, Al/Ag (рис. 4) и три на границах Cu/Al, Ni/Ti, Ag/Al (рис. 5). Каждая особая точка является следствием равенства нулю одного из коэффициентов матрицы Dim (25). На границах раздела сред, когда упругие скорости первой среды меньше чем

Rе% Rerlt

1.2 0?, рад

F F

^ZZ' ^yz

0.4

0.2-

0.0

-0.2-

........я

/

^ 3 3

второй (рис. 4), первая особая точка определяется условием 00n = arcsin(Ct-/C-), при котором D11 = D31 = 0. Вторая особая точка появляется при условии 00*2 = = arcsin(Ct-/C+ ), при котором D13 = D33 = 0. Значения критических углов при падении поперечной волны на границы раздела рассматриваемых сред приведены в табл. 2. При углах падения 00 > D11 = D31 = 0, d11 = = i cos 0-, d 31 = Z- a- 2 sin 0-d11 и отраженная продольная волна на границах Al/Cu, Ti/Ni, Al/Ag становится неоднородной и затухает вблизи границы раздела на расстоянии порядка длины волны. Поскольку отраженная волна расширения не принимает участия в переносе энергии от границы раздела, то энергия от границы раздела в первой среде переносится отраженной волной сдвига и определяется набором компонент деформации, характерным для волны данного типа (21). Формулы

0.2-

-1.4 0.2

0

-2 0.0 <ч <ч

kJzz'> zy

l£

.....

3 у'*

уу3

0.4

1.2 e¿ рад

Iе

0.4" ч *

0.0" 1 д\ %

-0.4- / V- ff\

-0.8- 7*4;-' ' /

-1.2-

0.0

0.4

0.;

1.2

e?, рад

0.0

0.4

0.8

1.2

0?, рад

Рис. 5. Коэффициенты Френеля продольной (а, б) и поперечной волн (в, г), амплитуды деформаций (д) и напряжений (е) на границах раздела Al/Cu (1), Ti/Ni (2), Al/Ag (3) при падении SV-волны. Кривые Re Rlt, ImRlt, ReRít, ImRít, Ezz, Szz представлены сплошными линиями, Re 7¡t, Im 7¡t, Re Ttt, Im Ttt, Eyz, Szy — пунктирными

Таблица 2

Значения критических углов при падении волны сдвига на границы раздела рассматриваемых сред

6^, рад (0)

60*2, рад (0)

6^, рад (о)

60*2, рад (0)

60*3, рад (о)

Al/Cu

0.5181 (29.70)

0.7288 (41.80)

Cu/Al

0.3657 (21.00)

0.5016 (28.80)

0.8068 (46.20)

Ti/Ni

0.5357 (30.70)

0.6002 (34.40)

Ni/Ti

0.4951 (28.40)

0.5536 (31.70)

1.1966 (68.60)

Al/Ag

0.5181 (29.70)

1.0541 (60.40)

Ag/Al

0.2543 (14.60)

0.4575 (26.20)

0.5328 (30.50)

(27) для амплитуд компонент деформаций Ezz, Ezy при 60 > 6^ примут вид

Ezz = - 1A cos2 6, + (Rtt -1) ^ " -

-ík^ 6++_tt5ini26i>,

V it i tt 2Vt (31)

Ezy = 1/2[ ImRit sin (26- )ГШ + (1 + Rtt) cos (260) -

- Tt sin (26+ )Viti/V - _tt cos (26+7V ].

Если SV-волна падает на границы раздела при углах 60 > 6^, то имеет место полное внутреннее отражение продольной волны, при котором преломленная продольная волна не распространяется во второй среде, а экспоненциально затухает вблизи границы раздела. Энергия в объеме второй среды переносится преломленной волной сдвига. Выражения для деформаций (31) при 60 > 6^, когда D13 = D33 = 0, d13 = i cos 6+, d33 = = Z+ a + 2sin6+d13, изменятся следующим образом:

_2n - . ,„ sin (260) ,

-Viti Ritcos2 6- + ( Rtt -1)-

V

+ ^ Tit cos2 6++ _

sin (26+) 2V '

(32)

Ezy = 1/2[ ImRit sin (26- )V1ti + (1 + Rtt) cos (260)+

+ Im Tit sin (26+) Vux/Vi - _tt cos (26+ )/v ].

На границах раздела Cu/Al, Ni/Ti, Ag/Al, для которых Vi > 1 (рис. 5), первая особая точка появляется при условии 6^ = arcsin(Ct-/Ci+) и D13 = D33 = 0 (табл. 2).

При углах падения 60 > 6^

D13= D 3= 0,

d13 = i cos 6+,

d33 = Z+ a + 2 sin е+d13 и имеет место полное внутреннее отражение продольной волны, при котором преломленная продольная волна затухает вблизи границы раздела. Формулы (27) для компонент деформаций Ezz, Ezy запишутся в виде

Ezzz = VitlRltcos2 е- + (Rtt - 1)sin(2e0) +

+ Vi Titcos2 6++ ,

V 2Vt

(33)

Ezy = 1/2[-R sin (26- )Vlfl + (1 + Rtt)cos(2601)+

+ ImTt sin (26+) VUi/Vi - Ttt cos(26+)/Vt ].

Вторая особая точка определяется равенством 6j*2 = =arcsin(Ct-/Cl-), при котором D11 = D31 = 0. В случае 60 >6t*2 d11 = icos6-, d31 = Zl-a~2sin6-d11, D11 = = D31 = 0, поэтому отраженная продольная волна становится неоднородной и затухает на расстоянии порядка длины волны. Энергия в объемах обеих контактирующих сред переносится отраженной и преломленной

волной сдвига. Компоненты деформаций Ezz, E вы-

y 0

числяются по формулам (32). Третья особая точка 6t*3 = = arcsin(Ct-/Ct+) задается равенством D24 = D44 = 0. При углах 60 >6t*3, когда d24 = i cos 6+, d44 = Zt+x x2sin 6+d24, D24 = D44 = 0, происходит полное внутреннее отражение поперечной волны, при котором преломленная волна сдвига не распространяется во второй среде, а затухает вблизи границы раздела на расстоянии длины волны. Поскольку 60*3>60)*1, то при углах

6?, рад

1.2 0?, рад

Рис. 6. Амплитуды деформаций и напряжений на границах раздела Cu/Al (1), Ni/Ti (2), Ag/Al (3) (а) и Al/Cu (1), Ti/Ni (2), Al/Ag (3) (б) при падении SH-волны. Кривые Ezx, Szz представлены сплошными линиями, Szx — пунктирными

оО . о0

^ > преломленные волны расширения и сдвига распространяются во второй среде в виде поверхностной волны, компоненты деформаций которой определяются формулами

Ezz = -VitlRltcos2 е- + (Rtt -1)

+ ^ Tlt cos2 е+- М^^НМ!, V 2Vt

+

Eyy = VitRtsin2е--(Rtt -1)

sin^)

(34)

- Vk Tjt sin2 е++ Im jjt _sin (2е*)

V

2Vt

Ey =

1/2[ImRlt sin(2еl-)V1tl + (1 + RJcos^) +

+ Im7^ш(20+ )КШ/V + T«/V ].

Зависимости амплитуд компонент тензора дистор-сии от угла падения SV-волны, вычисленные по формулам (27), (31), (32) на границах раздела Al/Cu, Ti/Ni, Al/Ag и по формулам (27), (33), (32), (34) на границах Cu/Al, Ni/Ti, Ag/Al, показали, что Uy, y = Uz, y = 0 и компоненты Uzz, Uy z отличны от нуля. Как и в случае падающей P-волны, компоненты Ezz,Ezy,Wzy не равны нулю на границе контакта этих сред. Характер удлинений Ezz(е0) и напряжений Szz(е0) на границе раздела сред, скорости которых удовлетворяют условию V < 1 (рис. 4, д, е), аналогичен изменениям коэффициентов Френеля продольных волн, в большей степени Re ^(е0) (рис. 4, а). Кривые деформаций и напряжений сдвига Ezy (е0), Szy (е0) качественно совпадают с зависимостями коэффициентов Френеля поперечных волн при е0 < е0*2 (рис. 4, в). В интервале углов е0 > е0*2 напряжения и сдвиги имеют экстремальные значения, а коэффициенты Re Rtt (е0), Re Гй(е0) изменяются монотонно. На границах раздела Cu/Al, Ni/Ti, Ag/Al корреляция зависимостей коэффициентов Френеля и компонент деформаций и напряжений более сложная (рис. 5). В интервале углов е0 < е0*2 зависимости Ezz (е0) (рис. 5, д) качественно совпадают с коэффициентами Френеля поперечных волн (рис. 5, в), а Ezy (е0) имеют сходство с коэффициентами продольных волн (рис. 5, а). В противоположность этому, при е0 >е0*3 кривые Ezz(е0) аналогичны ReRlt^0), Ezy(е0) — ReR^0). Зависимости напряжений

S (е0) и деформаций E (е0) на рис. 5, д, еотличают-zy t 0 zy t 0

ся знаком, как и Szz (е4), Ezz (е4), за исключением границы Al/Ag.

В простейшем случае падающей SH-волны зависимости деформаций Ex(е0) и напряжений Szx(е0) приведены на рис. 6. Результаты на границах раздела Al/Cu, Ti/Ni, Al/Ag при Vt < 1 (рис. 6, а) качественно совпадают с зависимостями Ezz(е0), Szz(е0) в случае падающей Р-волны (рис. 2, в, г). На границах Cu/Al,

Ni/Ti, Ag/Al при V > 1 деформации и напряжения (рис. 6, б) можно сопоставить с кривыми E (е0),

0 zy l

Szy (е;) на рис. 3, д, е. Зависимости коэффициентов Френеля падающей SH-волны R^^0), Т^(е0) аналогичны величинам Rn^0), Ги(е0) на рис. 2, а, 3, а. Особая точка на границах раздела Cu/Al, Ni/Ti, Ag/Al (рис. 6, б) соответствует предельному углу полного внутреннего отражения поперечной волны и определяется условием е0* = arcsin(Ct-/Ct+). Численные значения е0* равны значениям е0*3, приведенным в табл. 2.

5. Заключение

Исследование напряженно-деформированного состояния при распространении волн через границу раздела сред имеет особое значение для понимания особенностей поведения структурно-неоднородных и композиционных материалов. Для трех пар рассмотренных сред на основе результатов расчета коэффициентов Френеля и компонент тензора дисторсии установлено, что на границе раздела упругих сред при условии идеального контакта не равны нулю удлинения, направленные по нормали к границе, деформация сдвига и поворот для падающих продольных и поперечных волн вертикальной поляризации. Деформация сдвига и повороты на границе равны по величине и противоположны по знаку. В случае падающей SH-волны на границе раздела отлична от нуля деформация сдвига, равная повороту. Эти выводы следуют из равенств Uy, y = Uz, y = = Uxy = 0, полученных в расчетах для трех пар сред. Однако эти же равенства могут быть получены аналитически как результат дифференцирования по координатам условий непрерывности смещений на границе (1) и равенства фазовых множителей кщ sin еЦ^ = k±t) х хsin е±); определяющего законы отражения и преломления. Это позволяет заключить, что на границе раздела упругих сред, описывающих хрупкие материалы, геологические среды и т.д., при условии идеального контакта не равны нулю нормальные удлинения, сдвиги и повороты при произвольном воздействии, задаваемом суперпозицией P-, SV-, SH-волн.

При внешнем воздействии, соответствующем падающей SH-волне и P-, SV-волнам, вид напряженно-деформированного состояния на границе раздела и вблизи границ различен. Как показано, в случае первичной SH-волны на границе раздела Ezx(е0) = Wzx(е0) ф 0. Деформация сред вблизи границы раздела определяется компонентами поперечной волны (3). При распространении SH-волны через границу, на которой упругие скорости второй среды больше первой, при углах падения е0* > arcsin(Ct-/Ct+) деформация во второй среде на расстояниях от границы больше длины волны равна нулю.

Если внешнее воздействие представляется падающими P-, SV-волнами, то на границе раздела Ezz ф 0,

Ezy = -Wzx Ф 0, деформация в первой среде задается формулами (10), (12) для падающей продольной волны и выражениями (21), (12) для первичной поперечной волны, во второй среде деформация определяется компонентами отраженных волн (14). На границе раздела, где упругие скорости второй среды меньше первой, критические углы падения волн и особые точки на зависимостях амплитуд деформаций и напряжений от угла падения определяются отношениями Cf/ Ct+ в случае падающей P-волны и Cf/Cf, Cf/C+ в случае SV-волны. Упругие скорости в знаменателях приведенных отношений принадлежат волнам, компоненты деформаций которых исчезают в контактирующих средах на расстояниях больше длины волны, если синусы углов падения превышают данные отношения. На границах раздела, где упругие скорости второй среды больше первой (V > 1), кроме критических углов, приведенных ранее для случая V < 1, появляются дополнительные углы, определяемые отношениями Cf/ Ct+ для первичной P-волны и Cf/ C+ для SV-волны. Рассмотренная связь деформаций и напряжений с коэффициентами Френеля отраженных и преломленных волн в большинстве случаев демонстрирует качественную аналогию изменений нормальных удлинений и напряжений с изменениями коэффициентов Френеля продольных волн, зависимости сдвиговых деформаций и напряжений имеют сходство с коэффициентами Френеля поперечных волн.

Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2013-2020 гг.

Литература

1. Поверхностные слои и внутренние границы раздела в гетерогенных материалах / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2006. - 520 с.

2. Мамонова М.В., Прудников В.В., Прудникова И.А. Физика поверх-

ности. Теоретические модели и экспериментальные методы. - М.: Физматлит, 2011. - 400 с.

3. Астафуров С.В., Шилько Е.В., Овчаренко В.Е., Псахье С.Г. Иссле-

дование влияния свойств межфазных границ на механические характеристики металлокерамических композитов // Физ. мезо-мех. - 2014. - Т. 17. - № 3. - С. 53-63.

4. Структура и свойства внутренних поверхностей раздела в металлах / Под ред. Б.С. Бокштейна. - М.: Наука, 1988. - 272 с.

5. ГоловневИ.Ф., ГоловневаЕ.И., ФоминВ.М. Исследование влияния

границы раздела в гетероструктуре на механические свойства // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 4. - С. 43-46.

6. Гуткин М.Ю., Овидько И.А. Дефектные структуры на внутренних

границах раздела в нанокристаллических и поликристаллических пленках // Mater. Phys. Mech. - 2009. - Т. 8. - C. 108-148.

7. Андриевский Р.А., Глезер А.М. Прочность наноструктур // УФН. -

2009. - Т. 179. - № 4. - С. 338-358.

8. Валиев Р.З., Александров И.А. Наноструктурные материалы, полученные интенсивной пластической деформацией. - М.: Логос, 2000. - 272 с.

9. Нагорнов Ю.С. Термодинамика отжига нанопористого кремния // ПЖТФ. - 2015. - Т. 41. - № 11. - С. 35-47.

10. Малыгин Г.А. Пластичность и прочность микро- и нанокристаллических материалов // ФТТ. - 2007. - Т. 49. - № 6. - С. 961-982.

11. Гусев А.И. Эффекты нанокристаллического состояния в компактных металлах и соединениях // УФН. - 1998. - Т. 168. - № 1. -С. 55-68.

12. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. - М.: Изд-во иностр. лит., 1954. - 194 с.

13. БреховскийЛ.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. - М.: Наука, 1989. - 416 с.

14. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. - М.: Наука, 1965. - 386 с.

15. Cooper H.F., Jr. Reflection and transmission of oblique plane waves at a plane interface between viscoelastic media // J. Acoust. Soc. Am. -1967. - V. 42. - No. 5. - P. 1064-1069.

16. Nechtschein S., Hron F. Reflection and transmission coefficients between two anelastic media using asymptotic ray theory // Canad. J. Explor. Geophys. - 1996. - V. 32. - No. 1. - P. 31-40.

17. Chertova N.V, Chertov M.A. Propagation features of plane waves of defect field across the interface boundary between viscoplastic media with arbitrary damping // Int. J. Eng. Sci. - 2006. - V. 44. - No. 20. -P. 1601-1610.

18. Чертова Н.В. О закономерностях распространения волн через границу раздела сред с дислокациями // ЖТФ. - 2012. - Т. 82. -№ 12. - С. 135-138.

19. Карпук М.М., Костюк Д.А., Кузавко Ю.А., Шавров В.Г. Отражение и преломление акустических волн на границе диэлектрик-магнитоакустический материал // ЖТФ. - 2003. - Т. 73. - № 7. -С. 97-104.

20. Singh B. Propagation of shear waves in a piezoelectric medium // Mech. Adv. Mater. Struct. - 2013. - V. 20. - No. 6. - P. 434-440.

21. Destrade M. Elastic interface acoustic waves in twinned crystals // Int. J. Solid. Struct. - 2003. - V. 40. - P. 7375-7383.

22. Chakraborty N., Singh M.C. Reflection and refraction of a plane thermoelastic wave at a solid-solid interface under perfect boundary, in presence of normal initial stress // Appl. Math. Model. - 2011. -V. 35. - No. 11. - P. 5286-5301.

23. Kumar R., Sarathi P. Reflection and refraction of thermoelastic plane waves at the interface between two thermoelastic media without energy dissipation // Arch. Mech. - 2006. - V. 58. - No. 1. - P. 155-185.

24. Singh M.C., Chakraborty N. Reflection and refraction of P-, SV- and thermal waves at an initially stressed solid-liquid interface in generalized thermoelasticity // Appl. Math. Model. - 2013. - V. 37. - No. 12. - P. 463-475.

25. Чертова Н.В. О характере деформаций на свободной поверхности упругого тела // Письма в ЖТФ. - 2015. - Т. 41. - №. 22. - С. 1524.

26. Балдев Р., Раджендран В., Паланичами П. Применения ультразвука. - М.: Техносфера, 2006. - 579 с.

Поступила в редакцию 28.07.2017 г., после переработки 05.02.2018 г.

Сведения об авторах

Чертова Надежда Васильевна, д.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, chertova@ispms.tsc.ru Гриняев Юрий Васильевич, д.ф.-м.н., внс ИФПМ СО РАН, grn@ispms.tsc.ru