CC BY
119
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ И ДАВЛЕНИЯ ПО СТВОЛУ ГАЗОВОЙ СКВАЖИНЫ
© Ахметова О.В.*, Крупинов А.Г.*
Институт математики и естественных наук Стерлитамакской государственной педагогической академии им. Зайнаб Биишевой, г. Стерлитамак
Рассматривается задача о распределении давления, плотности и скорости флюида в стволе действующей газовой скважины. Для стационарного случая найдены и построены зависимости этих величин от вертикальной координаты с учетом потерь давления на трение, подъем газа и возрастание скорости.
В скважине газ движется по вертикальной круглой трубе радиусом г0, поэтому целесообразно для описания его движения выбрать цилиндрическую систему координат. Направим вертикальную ось г вдоль оси скважины от забоя к устью, а радиальные координатные линии г будут лежать в перпендикулярном сечении трубы. Смоченный периметр для круглой трубы равен 8= 2яг0, площадь сечения/ = яг02.
Дифференциальное уравнение изотермического движения сжимаемого газа по стволу скважины может быть получено из закона изменения импульса потока флюида [1] и для установившегося течения запишется как:
— [(1 + Р) х жг02 х ру2 ]= -жг02 х —Р -т х 2жг0 - х жг02 (1)
—г ¿г
где ¿2 - расстояние между двумя поперечными сечениями в любом месте потока в трубе, м; р, Р - соответственно плотность, кг/м3, и давление, Па, газа в сечении 2 (средние значения); т - средняя по смоченному периметру проекция касательного напряжения на стенке трубы на ось 2, Па; у - средняя в сечении скорость, м/с;
Р - поправка Кориолиса на неравномерное распределение скоростей в выражении количества движения потока через среднюю скорость и среднюю в сечении плотность.
Как известно, при установившемся движении для обычного распределения скоростей в турбулентном потоке профиль скорости приближается к
* Доцент кафедры Теоретической физики и методики обучения физике, кандидат физико-математических наук.
* Аспирант кафедры Теоретической физики и методики обучения физике.
выровненному и ^«0 ф = 0,02-0,03), при параболическом распределении ¡5 = 73. Поскольку режим течения газа по стволу скважины в большинстве случаев носит турбулентный характер, коэффициентом fi в уравнении (1) можно пренебречь и рассматривать задачу для выровненного профиля скорости.
Воспользовавшись известной формулой гидравлики для касательного напряжения [1, 2] х = Хс • pv2/8, уравнение (1) представим в форме:
dP „ pv2 dIpv2 I
dz 4r0 dz
где Xc - коэффициент сопротивления в формуле Дарси-Вейсбаха для потери напора на трение в трубе, в общем случае зависящий от режима движения жидкости (числа Re) и характеристики поверхности стенок труб (относительной шероховатости еш).
Опытным путем установлено, что зависимости Ac(Re, еш) для жидкостей можно перенести на движение газа, пренебрегая в первом приближении зависимостью Xc от числа Маха [3]. Итак, падение давления в стволе скважины складывается из потерь давления на трение, на подъем газа по вертикали и на возрастание скорости. Увеличение скорости от забоя к устью скважины происходит в связи с уменьшением плотности, обусловленным падением давления, математически это описывается уравнением неразрывности d(pv) / dz = 0. Откуда:
Р( z)v(z) = const = р 0V0 (3)
где Д), v0 - значения плотности и скорости при некотором фиксированном значении координаты z.
Отсюда следует, что массовый расход газа вдоль ствола скважины является величиной постоянной:
Qm = vpx = v0p0 х = const (4)
При этом объемный расход будет меняться QVz) = QM / p(z) = var.
Выразив скорость v из уравнения неразрывности (3) и используя соотношение (4) для массового дебита, получим:
2
dP = -Хc dz -pgdz - d(pv2) (5)
4Г0
P0v0 _ Q
v( z) = = (6)
p(z) %r0 • p(z)
Далее воспользуемся обобщенным уравнением Менделеева-Клапейрона в баротропном приближении [4]
P = z'^pRQ' / M (7)
в которое вводится безразмерный коэффициент zcx, учитывающий отклонение реального газа от закона идеального, названый коэффициентом сверхсжимаемости газа. Здесь в = const и z сж = const - такие значения температуры и коэффициента сверхсжимаемости, которые наиболее приближают P и р к реальным величинам.
Уравнения 5-7 позволяют найти неявные зависимости давления и плотности от вертикальной координаты:
2 « * бм . ГсжR9 p 2
P -2-4 M
г ib г (\ 1VJ-
2 = Í -^-*-dP (8)
P Xc..P.рз
4^2r05 м 2;жяв
где P3, рз - давление и плотность на забое скважины (при z = 0).
Современные математические пакеты позволяют строить сложные зависимости, заданные неявно.
На рис. 1 приведены зависимости давления (а) и плотности (б) газового потока метана от глубины (сплошные кривые 1), вычисленные с использованием обобщенного уравнения Менделеева-Клапейрона в первом приближении при в* = 03=3 23 К, P3 = 12,5 МПа, z*cx = zcx.3 = 0,88, QM = 108 т/сутки (QV = 150000 м3/сутки), r0 = 0,031 м, D = 2000 м. Относительная шероховатость для бывших в эксплуатации стальных труб принята по [4] бш = 0,005, коэффициент Xc рассчитан по формуле для турбулентного режима течения в области квадратичного закона трения [4, 5]. Для сравнения на рисунке также представлены кривые, описывающие гидростатический перепад в скважине (штриховые кривые 2). Как видно из рисунка, потери давления на трение вносят существенный вклад в распределение давления и плотности газа по стволу действующей скважины наряду с гравитационной составляющей.
На рис. 2 проиллюстрировано как качественно меняется характер зависимостей давления и плотности от координаты z, при существенном увеличении дебита скважины. Становится ярко выраженной нелинейная зависимость давления и плотности вблизи устья из-за значительного роста гидравлических потерь.
Изменение скорости по глубине для разных дебитов представлено на рис. 3. Расчет произведен по формуле (6). Сравнение рис. 3 а и 3 б показывает, что разность между скоростью на забое и устье скважины значительно возрастает с увеличением дебита.
а) б)
Рис. 1. Зависимости давления (а) и плотности (б) от вертикальной координаты с учетом (сплошные кривые 1) и без учета (штриховые кривые 2) гидравлических потерь
Р, МПа
а) б)
Рис. 2. Зависимости давления (а) и плотности (б) от вертикальной координаты
с учетом (сплошные кривые 1) и без учета (штриховые кривые 2) гидравлических потерь при дебите Qм = 277,2 т/сутки Юу = 385000 м3/сутки)
а) б)
Рис. 3. Зависимость скорости газа от вертикальной координаты при дебитах QV = 150000 м3/сутки (а) и QV = 385000 м3/сутки (б)
На основе вышеизложенного можно утверждать, что в газовых скважинах скорость потока, плотность и давление существенно зависят от глубины точки наблюдения.
Список литературы:
1. Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. - М.; Л.: ГИТТЛ, 1951. - 224 с.
2. Башта Т.М., Руднев С.С., Некрасов Б.Б. и др. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы: учебник. - 2-е изд., перераб. - М.: Машиностроение, 1982. - 423 с.
3. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика: учебное пособие для вузов. - М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. - 544 с.
4. Инструкция по комплексному исследованию газовых и газоконден-сатных пластов и скважин / Под. ред. Г.А. Зотова, З.С. Алиева. - М.: Недра, 1980. - 301 с.
5. Вяхирев Р.И., Коротаев Ю.П., Кабанов Н.И. Теория и опыт добычи газа. - М.: Недра, 1988. - 479 с.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КВАНТОВОГО БЛУЖДАНИЯ НА ДВУМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ1
© Бондаренко А.Н.*, Дедок В.А.*
Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск
Модель квантового случайного блуждания активно изучается в по -следнее десятилетие в связи с возможными применениями результатов в теории квантовых вычислений, ускорении алгоритмов, основанных на случайном блуждании. Более того, указанная модель имеет неожиданные приложения в теории прямых и обратных задач рассеяния [1].
Работа посвящена аналитическому исследованию асимптотических свойств вероятности возвращения в модели квантового случайного блуждания на двумерной решетке с разными эволюционными матрицами. На основе численных экспериментов формулируются гипотезы локализации. Дается аналитическое описание блуждания в частотной области, для частных случаев дается описание асимптотических свойств блуждания.
1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (РФФИ, грант № 08-01-00312).
* Ведущий научный сотрудник, доктор физико-математических наук.
* Кандидат физико-математических наук.
