Расчеты поля давления стационарного потока газа в скважине Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 550.832.6

РАСЧЕТЫ ПОЛЯ ДАВЛЕНИЯ СТАЦИОНАРНОГО ПОТОКА ГАЗА В СКВАЖИНЕ

О.В. Ахметова, А.Г. Крупинов

В статье рассматривается задача о распределении давления и плотности газа вдоль ствола действующей скважины с учетом потерь давления на трение, на подъем газа и на возрастание скорости. Полученные результаты позволяют рассчитывать поле давления в вертикальной скважине. Построены зависимости давления, плотности и скорости от вертикальной координаты.

Ключевые слова: давление, установившееся течение, газовая скважина.

Исследование стационарных полей давления в газовых скважинах представляет важную научную проблему и предполагает определение плотности газа и его скорости при движении по эксплуатационным трубам. Чтобы найти эти величины, необходимо рассмотреть гидродинамическую задачу, которая, строго говоря, не может быть решена отдельно от температурной. Однако, для течений с дозвуковыми скоростями, каковые, в частности, имеют место при нормальной эксплуатации газовых скважин, тепловым воздействием на поле скоростей можно пренебречь по сравнению с основной причиной, вызывающей движение. При фонтанной добыче, например, это энергия пласта, вызывающая разность давлений на забое и устье скважины.

Дифференциальное уравнение

изотермического движения сжимаемого газа в трубе получено в работе [1] из закона изменения импульса потока флюида:

Эх

J Pw2df

dx +

Э Э/t

J pw ■ df ■ dx

(1)

.ЭР

= -f—dx-!§■ dx-pgf ■ dx ■ sin g, Эх

где dx - расстояние между двумя поперечными сечениями в любом месте потока в трубе, м; / - площадь поперечного сечения, м2; р, Р - соответственно плотность, кг/м3, и давление, Па, газа в сечении х (средние значения);

w - продольная скорость в элементе поперечного сечения (местная скорость), м/с; t - время, с;

х - средняя по смоченному периметру проекция касательного напряжения на стенке трубы на ось х - направление потока, Па;

Ахметова Оксана Валентиновна - СГПА им. З. Биишевой, канд. физ.-мат. наук, доцент, e-mail: аИоквапа@уапёех.ги Крупинов Антон Геннадьевич - СГПА им. З. Биишевой, аспирант, e-mail: krupinov@mail. ru

5 - смоченный периметр, м; 7 - угол возвышения элемента dx над горизонтом,град.

Первый член этого уравнения характеризует интенсивность изменения импульса по длине трубы и определяется разностью между выносимым через сечение х + dx, и вносимым через сечение х количествами движения [2]. Второй член характеризует скорость изменения импульса в выделенном сечениями объеме во времени и указывает на нестационарность процесса. Члены, стоящие в правой части уравнения, определяют соответственно проекции на ось х сил давления, трения и тяжести, действующих на выделенную элементарную массу газа.

Ниже рассматривается установившееся движение, поэтому второй член уравнения (1) обращается в нуль. Отметим также, что в

общем случае величину ^рw2 • df можно

f

представить в виде [1]

J pw2 ■ df =(1 + b)fpv2

f

где V - средняя в сечении скорость, м/с; Р - поправка Кориолиса на неравномерное распределение скоростей в выражении количества движения потока через среднюю скорость и среднюю в сечении плотность. При установившемся турбулентном движении профиль скорости в потоке приближается к выровненному и Р » 0 (Р = 0.02 - 0.03), при параболическом распределении - Р = 1/3. Режим течения газа по стволу скважины в большинстве случаев турбулентный, поэтому коэффициентом Р в уравнении (1) для выровненного профиля можно пренебречь.

Пусть газ в скважине движется по вертикальной круглой трубе радиусом г0, поэтому для описания его движения

целесообразно выбрать цилиндрическую систему координат. Направим ось

вертикально вдоль оси скважины от забоя к устью, тогда радиальные координатные линии

располагаются

плоскости,

перпендикулярной оси трубы. Смоченный периметр для круглой трубы равен 5 = 2яг0,

площадь сечения f = яг02, sin g = 1, dx = dz .

С учетом вышесказанного уравнение (1)

запишется как

di 2 21 2 dP 2

— [pv -Too J=-pro --—х-2pro -pg-pro . (2) dz dz

Воспользовавшись известной формулой

гидравлики для касательного напряжения [1, 3]

х = —pv2, уравнение (2) представим в форме 8

dP . pv2 d (pv2) --= 1 -— + pg + ——L

dz

4r

dz

(3)

где 1с - коэффициент сопротивления в

формуле Дарси - Вейсбаха для потери напора на трение в трубе, в общем случае зависящий от режима движения жидкости (числа Яе) и характеристики поверхности стенок труб (относительной шероховатости еш). Опытами установлено, что зависимости 1с от Яе и еш

для жидкостей можно перенести на движение газа, пренебрегая в первом приближении зависимостью 1с от числа Маха [4]. Таким

образом, падение давления в стволе скважины складывается из потерь давления на трение, на подъем газа по вертикали и на возрастание скорости.

Анализ данных по более чем 70 газовым месторождениям (СССР, США и Канады) [5] показывает, что суточный дебит газовых скважин изменяется от сотен до нескольких миллионов кубометров в час (при 20 °С, 1 атм), забойное давление колеблется примерно в пределах от нескольких атм до 200 атм, глубина скважин от 100 до 3000 м. Давление на устье скважины, определяемое максимальным давлением аппаратов по подготовке газов, должно быть не более 12 - 16 МПа [6]. Внутренние диаметры фонтанных труб, использующихся на практике, составляют от 40.3 до 100.3 мм [7]. При этом для выноса твердых и жидких примесей допустимая минимальная скорость в трубе должна быть не менее 3 - 5 м/с (во избежание образования песчаной пробки или столба воды) [6, 8]. Условие минимизации потерь на трение и интенсивности коррозионно-эрозионных

процессов в стволе определяет верхнюю границу допустимой скорости, которая по рекомендациям [6] должна быть не более 11 м/с. За характерный можно принять пример, рассмотренный в [7], эксплуатируемой по фонтанным трубам скважины при следующих исходных данных: глубина скважины Б = 2000 м, внутренний радиус фонтанных труб г0 = 0.031 м, абсолютное давление на

головке 10 МПа, объемный дебит газа при нормальных условиях (20 °С, 1 атм) 0у = 150000 м3/сут = 1.736 м3/с, Тср = 300 К.

Основным компонентом движущейся среды является чистый метан (в природном газе до 98%).

Увеличение скорости от забоя к устью скважины происходит в связи с уменьшением плотности, обусловленным падением давления, математически это описывается уравнением неразрывности для установившегося течения Л (ру)

dz

- = 0,

откуда можно получить

Р(г)v(z) = const = p0v0 , (4)

где p0, v0 - значения плотности и скорости при

некотором фиксированном значении координаты zd . Отсюда следует, что массовый

расход газа вдоль ствола скважины является величиной постоянной

Qm = vP • pr02 = v0p0 • pr02 = const. (5)

При этом объемный расход меняется от одного сечения к другому, так как плотность газа зависит от давления, которое является переменным по глубине скважины

Qv(z) = Qm = var . P( z)

Далее выразим число Рейнольдса для потока флюида в трубе через массовый расход газа и его динамическую вязкость m

Re = v • 2r0 •P = 20м m

Отсюда видно, что число Рейнольдса может изменяться вдоль потока в скважине постоянного диаметра лишь за счет изменения вязкости m (поскольку QM = const). Однако, вязкость газов практически не зависит от давления, а определяется лишь температурой. При принятых в гидродинамической задаче допущениях (изотермический процесс движения газа по скважине) число Рейнольдса остается постоянным вдоль потока ( Re = const ). Следовательно, коэффициент потерь на трение

в

r

d

можно считать величиной постоянным вдоль ствола скважины неизменного радиуса 1с (Re, еш) = const ,несмотря на изменение

скорости потока газа, и может быть найден по известным формулам и номограммам для несжимаемых жидкостей.

При течении газа с вязкостью

m = 10.27 10-6 Пас [9] при нормальных условиях и скорости v = 3 м/c в трубе малого диаметра d = 0.0403 м число Рейнольдса

составит Re = 8.5 • 103. Однако газ в скважине, как правило, находится при высоком давлении и температуре. Например, для той же скорости течения и диаметра труб, но при давлении 10 МПа и температуре 320 К, коэффициент динамической вязкости газа равен

m = 13.86 10-6 Па-с, а плотность газа -p = 67.66 кг/м3, тогда число Рейнольдса

составит Re = 5.9 105 . Отсюда следует, что течение газа в стволе скважины действительно носит турбулентный характер, поскольку число Рейнольдса во много раз больше критического (Re >> 2300).

Для определения коэффициента гидравлического сопротивления в круглых трубах построено много эмпирических и полуэмпирических формул [7, 10]. При турбулентном режиме течения коэффициент 1с

в переходной зоне зависит как от еш, так и от Re и может быть найден по формуле

1

к=-

4

(

lg

5.62

,0.9

+ -

Y

v Re09 7,41 у

(6)

При больших расходах наступает так называемая «турбулентная автомодельность» [7], когда 1с не зависит от Яе и определяется

как

1 =

1

(7)

_ 21м(7.41 еш)_ Эту область часто называют режимом квадратичного закона трения, так как независимость коэффициента 1с от Яе

означает, что потеря напора пропорциональна квадрату скорости.

Границы переходной турбулентной зоны в зависимости от шероховатости можно определить по графикам [7, 10]. Абсолютная шероховатость труб зависит от их материала, способа изготовления, а также срока и условий эксплуатации. Относительную шероховатость

для

труб различных диаметров,

выполненных из стали и чугуна, можно определить по известным номограммам.

В уравнении (3) присутствуют три неизвестные Р , у и р . Выразив скорость у из уравнения неразрывности (4) и используя соотношение (5) для массового дебита, получим

2

dP = -1cdz-pgdz-d(pv2).

4r

v( z) =

0

p0v0

0

M

p(z) pr0 p(z)

(8)

(9)

Уравнения (8), (9) позволяют найти зависимости давления и плотности от вертикальной координаты в неявном виде

P

qm 1 dp

-IP 1c

з c

,2

p

dP

- 1

qM

4p2r05

2

dP,

(10)

p

z = J p

Qm

2 4

P r0 p

+ pg

dp dp

з

1

qm

c л 2 5 4p r0

•dp

(11)

+ pg

где Рз, p.3 - соответственно

и

давление

плотность на забое скважины (при г = 0).

Для определения зависимости р(Р) , а также производных ЭР/ Эр и Эр/ЭР использовано обобщенное уравнение

Менделеева - Клапейрона Р = гсж— Р8 [7], в

М

котором введен безразмерный коэффициент 2сж , учитывающий отклонение реального газа

от законов идеального и названый коэффициентом сверхсжимаемости. Значения параметра гсж как функции давления и

температуры для природных газов с достаточной точностью определены опытным путем и представлены в виде графиков [7, 10, 11], которые выражают итог взаимодействия между молекулярными силами притяжения и отталкивания. Для малых давлений и низких температур значение гсж

обычно меньше единицы, а для больших давлений и высоких температур - больше единицы. Случай гсж = 1 отвечает такому

соотношению молекулярных сил, которое имеется в идеальном газе, случай гсж < 1 -

преобладанию сил притяжения, случай гсж > 1 -

преобладанию сил отталкивания.

r

0

1

2

2

e

ш

В процессе движения газа в скважине происходит сложный тепловой процесс, в результате чего уменьшается температура газа на устье по сравнению с температурой на забое за счет теплообмена с горными породами, адиабатического эффекта и др. Однако, как отмечалось ранее, построение решений гидродинамической задачи, когда учитывается зависимость температуры от глубины, затруднено, поэтому движение газа считается изотермическим. Тогда уравнение состояния запишется в баротропном приближении как

L = * RB_

"сж

р M

(12)

где В = const и "с*ж = const - такие значения

температуры и коэффициента

сверхсжимаемости, которые наиболее приближают P и р к реальным величинам.

С учетом уравнения состояния в форме (12), выражения (10) и (11) примут вид

P

= J

OL . <жRB' _ P 2

p2r04 M

,2

P3 1 c ' 4p2Гп,

QM Z^RB

M

p + . P 3

dP , (13)

1RB

QM "с*жRB* р 2

р TT

= i

P r

M

р. 1

Qm р+g р3

dp

(14)

3 c 4p2r5

Если зависимость Р^) найдена, то выражение для плотности может быть определено из уравнения (12)

/ ч п/ ч М

р( Ю = Р( Ю ■ (15)

Отсюда можно получить значение плотности на забое скважины при известном

забойном давлении р з = Рз —-.

Практическое значение полученных формул обосновывается тем, что современные математические пакеты позволяют строить сложные зависимости, заданные неявно. На рис. 1 приведены зависимости давления (а) и плотности (б) газового потока метана от глубины (сплошные кривые), вычисленные с использованием обобщенного уравнения Менделеева - Клапейрона в первом

приближении при е* = е з = 323 К,

P3 = 12 5 Z*ж = "сж.з = 0

QM = 108 т/сутки

D = 2000 м,

( QV = 150000 м3/сутки),

г0 = 0.031 м. Относительная шероховатость для бывших в эксплуатации стальных труб принята по [7] еш = 0.005 , коэффициент 1 с рассчитан

по формуле (7). Для сравнения на рисунке также представлены кривые, описывающие гидростатический перепад в скважине (штриховые кривые). Как видно из рисунка, потери давления на трение вносят существенный вклад в распределение давления и плотности газа по стволу действующей скважины наряду с гравитационной составляющей.

Рис. 1. Зависимости давления (а) и плотности (б) от вертикальной координаты с учетом (сплошные кривые) и без учета (штриховые кривые) гидравлических потерь

Рис. 2 иллюстрирует качественное изменение характер зависимости давления и плотности от координаты z при существенном увеличении дебита скважины: становится ярко выраженной нелинейная зависимость давления и плотности вблизи устья из-за значительного роста гидравлических потерь.

Изменение скорости по глубине для разных дебитов представлено на рис. 3. Расчет произведен по формуле (9). Сравнение рисунков 3, а и 3, б показывает, что разность между скоростью на забое и устье скважины значительно возрастает с увеличением дебита. Резюмируя вышеизложенное, можно утверждать, что в газовых скважинах скорость потока, плотность и давление существенно зависят от глубины точки наблюдения, а потери давления на трение являются одним из определяющих факторов, участвующим в формировании поля давления в газовой скважине. Это необходимо учитывать при

Z

планировании технологических мероприятий в скважине и развитии теории температурных процессов.

Рис. 2. Зависимости давления (а) и плотности (б) от вертикальной координаты с учетом (сплошные кривые) и без учета (штриховые кривые) гидравлических потерь при дебите 0М = 277.2 т/сутки (QV = 385000 м3/сутки).

Рис. 3. Зависимость скорости газа от вертикальной координаты при дебитах QV = 150000 м3/сутки (а) и

= 385000 мз/сутки (б).

Авторы выражают благодарность проф. А.И. Филиппову за постановку задачи, ее решение, участие в анализе полученных результатов и написании статьи.

Литература

1. Чарный И. А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951, 224 с.

2. Алиев Р.А., Белоусов В.Д., Немудров А.Г. и др. Трубопроводный транспорт нефти и газа.: Учеб. для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Недра, 1988, 368 с.

3. Башта Т.М., Руднев С.С., Некрасов Б.Б. и др. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы: Учебник. 2-е изд., перераб. - М.: Машиностроение, 1982, 423 с.

4. Басниев К. С., Дмитриев Н. М., Розенберг Г. Д. Нефтегазовая гидромеханика: Учебное пособие для ВУЗов. М. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005, 544 с.

5. Лапук Б. Б. Теоретические основы разработки месторождений природных газов. Москва-Ижевск: ИКИ, 2002, 296 с.

6. Мирзаджанзаде А. Х., Кузнецов О. Л., Басниев К. С., Алиев З. С. Основы технологии добычи газа. М.: Недра, 2003, 880 с.

7. Инструкция по комплексному исследованию газовых и газоконденсатных пластов и скважин. Под. ред. Г. А. Зотова, З. С. Алиева. М.: Недра, 1980, 301 с.

8. Гиматудинов Ш. К., Дунюшкин И. И., Зайцев В. М. и др. Разработка и эксплуатация нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений. М.: Недра, 1988, 304 с.

9. Варгафтик Н. Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972, 720 с.

10. Вяхирев Р. И., Коротаев Ю. П., Кабанов Н. И. Теория и опыт добычи газа. М.: Недра, 1988, 479 с.

11. Чекалюк Э. Б. Термодинамика нефтяного пласта. М.: Недра, 1965, 238

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

THE PRESSURE FIELD CALCULATIONS OF STEADY-STATE GAS FLOW IN A WELL

O.V. Ahmetova, A.G. Krupinov

The article is devoted to the problem of gas pressure and density distribution along active well bore due to friction pressure drop, lifting of gas and velocity increase. Obtained results allow to calculate pressure field in a vertical well. The dependences of pressure, density and velocity from the vertical coordinate are constructed.

Key words: pressure, steady-state flow, gas well