CC BY
49
УДК 539.374; 519.6
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОИ ТРУБЕ ПРИ ВЫБОРЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОГО УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
М.А. Артемов, И.А. Ларин, Н.С. Потапов
Рассматривается задача об определении напряжений и деформаций в цилиндрической трубе в рамках модели сжимаемого упругопластического тела
Ключевые слова: плоская деформация, кусочно-линейное условие пластичности, толстостенна труба
Задача об определении напряжений и деформаций, возникающих в цилиндрической трубе, подверженной воздействию внешнего и внутреннего давлений, рассматривалась многими авторами, например, [1-4]. В настоящей работе приведено решение этой задачи при использовании кусочно-линейного условия пластичности в приближении плоской деформации. Выбор такого условия пластичности позволил получить аналитическое решение задачи для сжимаемого
упругопластического тела.
Будем полагать, что внешнее давление рь,
действующее на внешнюю границу трубы г = Ь и внутреннее давление ра, действующее на внутреннюю границу трубы г = а таковы, что часть трубы находится в пластическом состоянии. Радиус границы, разделяющей упругую и пластическую области, обозначим через с.
Полная система уравнений в цилиндрической системе координат г, в, г, описывающая осесимметричное состояние бесконечно длинной цилиндрической трубы, включает: уравнение равновесия
ав -
ёг г
условие пластичности
аав + ваг + уа2 = 1, а + в + У Ф 0;
(1)
'г'/^г - > (2)
соотношения между компонентами
пластических деформаций, получаемые после интегрирования соотношений ассоциированного закона пластического течения
,р
є
р
в= а в у соотношения закона Гука
= Л:
(3)
Еєев = ав-у(Ог +а2), Кєег = &г-у(ав + а2), (4)
(здесь Е Пуассона);
ЕЄ<в = О ~У(ав+аг ) модуль Юнга, у —
коэффициент
Артемов Михаил Анатольевич — ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (4732) 46-32-85 Ларин Игорь Александрович — ВГУ, аспирант, тел. (4732) 208-337
Потапов Николай Сергеевич — ВГУ, аспирант, тел. (4732) 208-337
представление деформаций в виде суммы упругих и пластических деформаций
єв=єе +єр, єг =єв+єр, є =єв +єр =0; (5)
соотношения Коши, определяющие деформации через перемещения,
и ёи
єв=-, єг = ~Т • (6)
г аг
Система тринадцати уравнений (1) - (6) служит для определения тринадцати величин
аг , ав, О , Єг , Єв, U, єр , Єр , Єр , єв , єв , єв , ^ .
Алгоритм решения задачи
Распределение напряжений, деформаций и перемещений в упругой области (с < г < Ь)
определяется по формулам [7]:
„В
ав,г = А ±—, О = 2уА .
г
Постоянные А и В находим из граничного условия на внешней границе ( аг (г = Ь) = -рЬ ) и необходимости выполнения условия пластичности на упругопластической границе:
А = -
1
а + в + 2yv
(1 -
Ь («-1)0 + Рь(а + в + 2у)) Ь 2 (а - в) + с 2 (а + в + 2 у)
с 2Ь 2 (1 + рЬ (а + в + 2yv))
В = ■
Ь 2 (а - в) + с 2 (а + Р + 2уу) Определяем распределение напряжений и деформаций в пластической области (а < г < с).
Из уравнения (2) выражаем осевую компоненту тензора напряжений через окружную и радиальную компоненту
1 - аав - ваг
У
Из соотношений (3), учитывая (5), находим
(7)
Г (є г -єв) = в(є2 -єр), 7 (є в - є Є) = а(єг - єЄ).
(8)
Согласно закону Гука (4) выражаем упругие деформации в (8) через напряжения
Еу2Вг + (уу + в) =
= [у(ау + Ру - у2) + ар\ав + [2уур + у2 + р2\ог
Еу єв + (уу + а) =
= [2уа + у2 +а2]ств + [у(ау + ву - у2) + ав]аг.
Используя уравнение совместности
ёев = ег - ев
ёг г
деформаций, уравнение равновесия (1) и
соотношения (9), получаем уравнение для определения радиальной компоненты тензора напряжений в пластической области
2 d2ст
dr
L. + 3r-d- - Car = D ,
dr
(10)
где
С = (в - a)(2vy + в + a) D = 2yva + у2 + a2
a - в
2yva + у2 + a2
Решаем уравнение (10), получаем, что
^г = С^^-1 + С2г-1С+1-1 - Б , (11)
где СТ, С2 — константы интегрирования.
Используя уравнение равновесия и формулу (7), находим окружную и осевую компоненты тензора напряжений:
= С1Л/С + 1г^-1 - С2л]С + 1гБ; (12)
СТ
C
=-aс+1 - в)с2r-^C+1-1
- aс+1+в)^1 - + -
2vy
(13)
2уу + р + а
Из соотношений закона Гука, учитывая формулы (11) - (13), находим распределение упругих деформаций в пластической области:
Ее* = (1 + КаТе7Т + р - )С1г‘'/С+1 -1
+ (1 -V{a4cV\ -в) +vjc
Y
+ vv C + 1)C2 Г
Jc+1-1
v(a + в\ D v + (V- 1 b--------tU)-------;
Y C Y
Евед = (4c+\ +vVa£H±lL - v)C1rlC+1-1
Y
- + v(a^c+1 -e + VC 2 r
Y
v(a + P) D v + (v- !--b-tU.)----;
Y c y
Ese = _(aC+T+£ + v(jc+T + l))C1r'CT-1 Y
+ a С +1 _ P + i c+i-i
+ (----------+v(V С +1 - 1))C2 г .
Y
Полные деформации в пластической области находим, используя формулы (9) и (11) - (13):
Eer = y(a+e-i)+a\(cx4cТГ^-1 -
Y Y Y
- cW c+1r-1 - D) +
2 c
+\v-+1+вт](cr'rcтï-1 + C2 r.
Ee, = [— +1 + ■a-](C^VCTTr
Y
- с24с7Тг ^С+1-1 - Б) +
+ [Ка + Р-1) + ав](С1г'СТ-1 + С 2 г-^С+1-1 -
ГУ у1
Б. .V а
- С) - (“ + —^
С у у2
Еег = 0.
Пластические деформации определяем как разность полных и упругих деформаций:
Еер = РУ(л/С+Г +1) + -
-¿[У{4СГ\ -1) + алСТТ -в]С2г-4С7х-1;
7 7
Еєв = —[у(4є+\ +1) + -(ал/ С +1 +в)]С1^л/С+Г-1 -
у у
- а [у(ч1 С +1 -1) + - (ал/С +1 - в)]С2 г^,/СТГ-1;
у у
Еєр = —4сГГ + в + + і))^^-1 -
Г
- -в + у(^с~т - 1))С2 г ^VCГГ-і.
г
Константы С1 и С2 находим из граничного условия на внутренней границе трубы аг (г = а) = -ра и условия непрерывности напряжений на упругопластической границе с:
C1 =-
1
C2 =
2V C +1^ 1
(JCTÍ+1)( A+D) - -1) B
C c
2y¡ C +1c-^1 -1
(40+1 -1)( a+D) - +1)-^
Cc
Рис. 1. Распределение радиальных напряжений
C+1-1
Y
СУ
z
Y
C+1-1
Y
На рис. 1-3 приведены графики изменения безразмерных компонент тензора напряжений, получаемых делением на предел пластичности к. По оси абсцисс - безразмерный радиус р = г / а.
Графики под номером 1 соответствуют компонентам тензора напряжений при значении радиуса упругопластической границы с = 2 ; под номером 2 - компонентам тензора напряжений при
значении радиуса упругопластической границы с = 2,25; под номером 3 - компонентам тензора напряжений при значении радиуса упругопластической границы с = 2,5. При построении графиков в расчет принимались следующие значения параметров: а = 1,01,
Р = -0,99, у = 0,01, у = 0,3, к = 1МН / м 2,
Рь / к = 1 •
Из приведенных графиков видно, что учет сжимаемости материала оказывает существенное влияние на значение компонент тензора напряжений, а также на радиус упругопластической границы.
Литература
1. Хаар А. К теории напряженных состояний в пластически сыпучих средах / А. Хаар, Т. Карман // Теория пластичности: Сб. статей. — М. : ИЛ, 1948. — С. 41-56.
2. Радаев Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев. — Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 2004. —147 с.
3. Артемов М.А., Потапов С.Н. Соотношения пространственной задачи теории пластичности при условии полной пластичности // Современные проблемы математики, механики и информатики. Сб. трудов Международной научной конференции. — Тула.: Изд-во ТулГУ, 2009. — С. 125129.
4. Хилл Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл. — М.: ГИТТЛ, 1956. — 407 с.
5. Артемов М.А. Вариант теории пластического течения анизотропных материалов / М.А. Артемов, С. Н. Пупыкин, А. В. Рыжков // Вестник Воронежского госуниверситета. Сер. физ., матем. - 2002. - № 1. - С 69-73.
6. Ивлев Д.Д. Теория предельного состояния и идеальной пластичности. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2005. — 357 с.
7. Соколовский В. В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. — М.: Высшая школа, 1969. — 608 с.
Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет
STRESS AND STRAIN DISTRIBUTION IN A CYLINDRICAL TUBE WITH PIECEWISE-LINEAR
PLASTICITY CONDITION
M.A. Artemov, I.A. Larin, N.S. Potapov
The article focuses on the problem of determining the stresses and strains for cylindrical tube within the bounds of compressible elasto-plastic body model
Keywords: plane deformation, piecewise-linear plasticity condition, thick-walled tube
