К анализу упругопластической задачи плоской деформации Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539

К АНАЛИЗУ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ М.А. Артемов, И.А. Ларин, Н.С. Потапов, А.П. Якубенко

Для плоского деформированного состояния рассмотрены математические модели, позволяющие выделить группу уравнений, замкнутую по напряжениям и не содержащую кинематические величины. Приведено аналитическое решение задачи о равновесии осесимметричной трубы из сжимаемого упругопластического материала Ключевые слова: условия пластичности, пластический потенциал, пластическое тело

Плоское деформированное состояние тела является хорошо изученным разделом математической теории пластичности при рассмотрении жесткопластического тела [1-3]. За исключением некоторых простейших случаев, решение упругопластической задачи в случае плоской деформации, как правило, связано с определенными математическими трудностями. В настоящей работе анализируются некоторые свойства математических моделей упругопластических тел в случае плоской деформации.

Выберем направление осей декартовой системы координат (е1, е2, е 3) так, чтобы в случае плоской деформации матрица тензора деформаций имела вид

(Р ь ll р12 0N

(е) = р12 р22 0

1 0 О 0,

Тогда для изотропного тела компоненты тензора напряжений ст13 = ст23 = 0 . В силу этого компонента а33 =а3 - главное нормальное напряжение.

Будем полагать, что упругие деформации связаны с напряжениями законом Гука. Тогда удельная потенциальная энергия деформации тела определяется через напряжения по формуле [4]

U = ■

l

l + v 2E

-tr(s ) +-

l-2v

6E

-tr (у),

где s = у - з/г(у)E - девиатор тензора напряжений

у , E - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона, E - единичный тензор второй валентности.

В пространстве напряжений вектор упругих деформаций

ее =ди / ду (1)

направлен по нормали к поверхности U = const.

В случае плоской деформации для упругого тела ее33 = 0, поэтому осевая компонента тензора напряжений а33 = v(a11 + а22). Если 1 - 2v Ф 0 , проекция линии пересечения поверхности U = const

Артемов Михаил Анатольевич - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (473) 246-32-85 Ларин Игорь Александрович - ВГУ, соискатель, тел. (473) 220-83-37

Потапов Николай Сергеевич - ВГУ, аспирант, тел. (473) 220-83-37

Якубенко Андрей Павлович - ВГУ, преподаватель, тел. (473) 220-83-37

и плоскости сг3 = у(с1 + сг2) на девиаторную плоскость /г(у) = 0 в пространстве главных напряжений дает некоторый овал, изображенный пунктирной линией на рис. 1. При 1 - 2^ = 0 вектор напряжений

у и вектор упругих деформаций ее в пространстве

главных напряжений будут принадлежать плоскости с33 = (с + с22) / 2 (овал вырождается в две точки А и В на рис. 1).

Будем полагать, что в пластическое состояние изотропный материал переходит, когда напряжения достигают некоторого значения, определяемого условием пластичности [1]

/ (у) = 0. (2)

Уравнения связи напряжений и скоростей пластических деформаций или пластических деформаций определяются ассоциированным с условием (1) законом пластического течения или деформирования соответственно:

ер = Щ(у)/ ду , (3)

Аер = рд/(у)/ ду , (4)

где Я, /и - неопределенные множители, Аер - при-

ращение тензора пластических деформаций при активном процессе нагружения. Если до нагружения в теле пластические деформации отсутствовали, то при активном процессе нагружения Аер = ер . В дальнейшем будем рассматривать только процесс активного нагружения, полагая, что до нагружения в теле пластические деформации отсутствовали. В пространстве главных напряжений законы (3) - (4)

определяют направления векторов ер и ер соответственно.

В случае малых деформаций тензор деформаций представляется в виде суммы1

1 Полагая независимость упругих и пластических деформаций, представляя тензор деформаций в виде разложения

е = ер + ее (5)

и связан с вектором перемещений соотношениями Коши [6] е = (V® и + (V® и)г)/2 .

В рамках деформационной теории из (1), (4), (5) следует соосность тензоров е, ер, ее, у . В рамках теории пластического течения тензоры е, ер, у в общем случае не соосны, поэтому в пространстве главных напряжений нельзя изобразить вектор ер. Однако, в случае плоской деформации тензор е3е3 ® е3 сосен тензору напряжений и, следовательно, в пространстве главных напряжений можно изобразить вектор ер = ере3 ® е3.

Рассмотрим случай, когда 1 - 2^ = 0 и условие пластичности определяется уравнением вида (функция пластичности не зависит от среднего напряжения, предел пластичности при одноосном растяжении равен пределу пластичности при одноосном

сжатии) /(ґф2), ґг2(«3)) = 0, где « = у - 3ґг(у)Е -

девиатор тензора напряжений. На упругопластической границе компонента тензора полных деформаций е3 = е| = 0, а главные компоненты девиатора напряжений 51 = -і'2 , 53 = 0 . Эти же равенства будут выполняться и в пластической области. Действительно, если предположить, что в процессе активного нагружения в фиксированной материальной точке компонента 53 Ф 0, тогда согласно (1) и компонента е| Ф 0, а поскольку направление вектора д/ (у)/ ду ограничено нормалями к поверхности пластичности Треска и максимального приведенного напряжения (рис. 2), то равенство

е3 =ер + ее3 = 0 не будет выполняться, что противоречит определению плоской деформации.

К аналогичному результату приходим в рамках теории пластического течения. В случае плоской деформации, компонента тензора скоростей пластических деформаций е3р3 является главной и в случае активного нагружения компонента тензора пластических деформаций

J33

'дґ (у)

дУ 33

dX.

(6)

Из (1) и (6) следует, что для выбранного условия пластичности компоненты ер и ееъ не будут удовлетворять равенству е3 = ер + е| = 0 , если е\ф 0 .

Для несжимаемого тела, когда условие пластичности имеет вид /(/г(«2),/г(«3)) = 0 (пределы пластичности при одноосном растяжении и одноос-

де

e е e =О де

еp =0 де еp =0

де

ном сжатии не равны) и 1 - 2^ = 0, из условия е3 =ер + е| = 0 не следует, что в пластической области е| = 0 и ер = 0 [5].

1 + V 2

1 - U = 2e tr(s ) = const, 2 - сторона шестиугольника

Треска, 3 - сторона шестиугольника, соответствующего условию пластичности максимального приведенного напряжения

При 1 - 2v Ф0 равенство ер3 = 0 будет выполняться, если поверхности, определяемые уравнениями U = const и f (у) = 0 , гомотетичны. В общем случае, если поверхности U = const и f (у) = 0 не

гомотетичны (рис. 3), то в пластической области компоненты

£р3 Ф 0, £33 Ф 0 (Sp3 + £33 = 0) .

Предположение £р3 = 0 приводит к переопределенной системе уравнений. Исключение составляет условие пластичности Треска [5-7].

в линейном приближении приходим к равенству

Рис. 3.

1 + V 2 1 — 2v 2

1 - поверхность U = 2e tr(s ) + ^ (у) = const,

2 - образующая поверхности f (Гу), tr(s2), tr(s3)) = 0

В качестве примера рассмотрим задачу о равновесии круговой цилиндрической трубы радиусов а и b , находящейся под действием внешнего pb и внутреннего ра давлений. Данная задача при использовании различных математических моделей рассматривалась, например, в работах [1, 2, 5 - 7]. Аналитическое решение этой задачи можно получить для сжимаемого тела, если поверхности и U = const и f (у) = 0 гомотетичны.

Выберем цилиндрическую систему координат (г, в, z ), ось Oz которой направим вдоль оси симметрии трубы.

ep е = е + еу

Рассмотрим условие пластичности вида tr(s2) + a2tr2(у) = к2 ,

(7)

где постоянная а = (1 - 2^) /(3(1 + у)). Тогда в рамках теории пластического течения векторы ер, ее будут параллельны, поэтому, учитывая (6), из условия ег =ер + еег = 0 следует, что должны выполняться равенства еег = 0 и ер = 0. Тогда из ассо-

циированного с условием (7) закона пластического течения следует, что в пластической области

И =^(ог +ов). (8)

Таким образом, в пластической области получена статически определимая система уравнений: уравнения равновесия, условие пластичности (7) и условие (8), устанавливающее дополнительную зависимость между главными компонентами тензора напряжений.

Учитывая (8), из (7) следует, что

ив) - 2Ьагав+аГ - к2 = 0, (9)

где Ь = V/(1 -V), к2 = к2 /(1 -V).

Решая уравнение (9) относительно ив и подставляя полученные значения в уравнение равновесия, находим, что

dar

- (1 - b)ar ±yjк 2 - (1 - b2)

2 - (1 - b2)a2

<1г г

С учетом того, что на границе

иг \г=а = -ра ,

решение этого уравнения запишем в виде

V

Я(иг ) = 1п- + Я(-ра ),

где

g(ar ) = 2 1 e2 (“alnl ~2 -(fi(Tr f + af-^r I ±

a + в к к

2 '

в 1 - 2v 2 1 - 2v

±вагс5ш(-~гиг)), а=---------, в =--------

к 1 -V (1 -V)

Положение упругопластической границы определяется из условия непрерывности компонент тензора напряжений на этой границе.

По закону Гука определяем упругие деформации в пластической зоне. Пластические деформации

определяются как разность полных деформаций и упругих деформаций. В рамках теории малых пластических деформаций, когда рассматривается закон (4), перемещения в пластической области определяются из решения уравнения

du ar -bae u

E(—-------- -) = (1 + v)[(1 -v)CTr -

dr aв-bar r

-vae- ((1 -v)ae-var)

ar - bae ae -bar

(10)

На упругопластической границе имеет место условие непрерывности величины и .

Выводы

Если поверхность пластичности гомотетична поверхности постоянного значения удельного упругого потенциала, для задачи о равновесии цилиндрической трубы можно получить аналитическое решение в напряжениях.

Литература

1. Соколовский В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. - М.: Высшая школа, 1969. - 608 с.

2. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н.Н. Малинин. - М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.

3. Ишлинский А.Ю. Математическая теория пластичности / А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев. - М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. - 704 с.

4. Лурье А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. - М.: Наука, 1970. - 940 с.

5. Артемов М. А. / Следствия нормального закона пластического течения / М.А. Артемов, Н.С. Потапов, А.П. Якубенко // Вестник ВорГТУ. - 2009. - Том 5. -№ 9. - С. 145-147.

6. Артемов М.А. О выполнении условия полной пластичности при плоском деформированном состоянии / М.А. Артемов, Н.П. Бестужева, Н.С. Потапов // Вестник ВорГТУ. - 2010. - № 7. - С. 88-92.

7. Буренин А.А. Остаточные напряжения у цилиндрической полости в идеальной упругопластической среде / А.А. Буренин, Л.В. Ковтанюк // Проблемы механики неупругих деформаций. - М.: Физматлит, 2001. - С. 75-95.

а

Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет

THE PLANE STRAIN ELASTOPLASTIC BODY ANALYSIS M.A. Artemov, I.A. Larin, N.S. Potapov, A.P. Yakubenko

For the plane strain state the special mathematical models was reviewed. These mathematical models allows to select a group of equations closed by stress and does not contain the kinematic quantities. The analytical solution for the problem of axisymmetric tube balance from compressible elastic material was described Key words: plasticity conditions, plasticity potential, plastic body