CC BY
56
УДК 539
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ КРУГОВОЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЫ
М.А. Артемов, Н.С. Потапов, А.П. Якубенко
В рамках теории пластического течения решена упругопластическая задача о равновесии круговой цилиндрической трубы. Для нахождения аналитического решения предлагается линейная аппроксимация функции текучести. Предложенный подход позволяет получить аналитическое решение для сжимаемого упругопластического тела
труба
Ключевые слова: сжимаемое упругопластическое тело, кусочно-линейная функция текучести, цилиндрическая
Расчету пластической деформации цилиндрической трубы посвящено большое число теоретических и экспериментальных исследований [1-3]. Поскольку строгий анализ пластических деформаций трубы представляет значительные трудности, то прибегают к некоторым упрощениям, которые позволяют получить простое приближенное решение. В [1-3] приведено аналитическое решение задачи о равновесии трубы для изотропного несжимаемого идеального упругопластического тела, имеющего одинаковые пределы пластичности при одноосном растяжении и сжатии.
В работе [4] в рамках теории пластического течения было получено аналитическое решение для идеального сжимаемого упругопластического тела в случае малых деформаций при условии пластичности Треска. Решение дано для случая, когда внутренняя стенка трубу свободна от усилий. Данное ограничение не является принципиальным. Несмотря на то, что в пластической области компоненты девиатора тензора напряжений не являются постоянными величинами, соотношения ассоциированного закона пластического течения интегрируются, так как производные функции текучести по компонентам тензора напряжений являются константами. Последнее относится к любой кусочно-линейной функции пластичности при рассмотрении данной задачи.
Для сжимаемого идеального жесткопластического тела в рамках теории пластического течения задача определения напряжений всегда будет статически определимой [5].
В настоящей работе рассматривается решение задачи о равновесии трубы, когда выбирается произвольная кусочно-линейная функция текучести. Выбор кусочно-линейной функции текучести можно рассматривать как некоторую аппроксимацию произвольной функции текучести.
Рассмотрим плоское деформированное состояние круговой цилиндрической трубы. Обозначим через а, Ь — радиусы внутренней и внешней гра-
Артемов Михаил Анатольевич — ВГТУ, д-р физ.-мат.
наук, профессор, тел. (473) 246-32-85
Потапов Николай Сергеевич — ВГУ, аспирант, тел. (473)
220-83-37
Якубенко Андрей Павлович — ВГУ, преподаватель, тел. (473) 220-83-37
ниц трубы, через ра и ръ обозначим давления, действующие на внутреннюю и внешнюю стенку трубы соответственно. Для вычислений используется цилиндрическая (г,в, х) система координат, ось 0х которой направлена по оси симметрии трубы.
Если материал находится в упругом состоянии, то компоненты тензора напряжений, радиальная компонента вектора перемещений и компоненты тензора деформаций определяются по известным формулам [2]:
в
°т,в= А + -1, =у(аг +ав) = 2іАь
и = і+^[ 4(1 - 2^)г + -В-
Е г
етв =
Е
(1)
-[ 4(1 - 2^) + -
где V — коэффициент Пуассона, Е — модуль Юнга. Для несжимаемого материала коэффициент Пуассона V = 0.5, поэтому осевая компонента тензора напряжений а 2 = (аг + ад) / 2 .
Примем, что в пластической зоне напряженное состояние должно удовлетворять условию пластичности вида
аад + ваг + уа2 = 2к, (2)
где а,в,у,к - постоянные, а+в+уф 0.
В качестве определяющего уравнения, устанавливающего связь между напряженным и деформированным состоянием при пластическом состоянии тела, примем закон пластического течения, ассоциированный с условием пластичности (2). Согласно этому закону компоненты скоростей пластических деформаций должны удовлетворять соотношениям
& р
ег _ в
& Р
(3)
___ = ___ = ^
вау Если до нагружения в теле пластические деформации отсутствовали, то, интегрируя на участке активного нагружения1 соотношения (3), приходим
В материальной точке, находящейся в пластическом состоянии, нагружение будет активным, если диссипативная функция в этой точке Б = у : ер > 0 [6].
г
г
(4)
к соотношениям, которым должны удовлетворять компоненты тензора пластических деформаций
еР ер еР
ет = д = е2
вау
В рамках теории малых деформаций в пластической области тензор деформаций равен сумме упругой и пластической составляющих
е , Р
е = е + еу .
С учетом этого из пропорций (4) следует система двух уравнений
г(ед -ед) = -аее2,
У(ег -е<е ) = -/^.
Выражая компоненты упругих деформаций через напряжения, получим
Ее = (у + Ув)аг + (у— - уу)а д - (у + —)аг,
Еувд = (у + уа)а д + (уа - уу)аг - (уу + а)аг.
Из условия пластичности следует, что
усг = 2к - ас в - Р<зг
Поэтому
(5)
Аа д + Ваг = Еуед + 2к (у +—),
7
В ад + Баг = Еуег + 2к(у + —),
7
а2ч „ _ вач
где А = (у + 2уа +-), В = (уа + —у -у + —),
7 7
в2
Б = (у + 2у—+^- ).
7
Компоненты тензора деформации должны удовлетворять условию совместности деформаций, которое в рассматриваемом случае имеет вид [1]:
ds п ег - еа
--д=—-------д- . (6)
dr г
Компоненты тензора напряжений должны удовлетворять уравнению равновесия
ёсг _ с в -сг
А (?)
аг г
Исключая из системы (5) - (7) компоненты тензора
деформаций и компоненту тензора напряжений с в ,
получаем уравнение для определения радиальной компоненты тензора напряжений
^2 2 а сг
ёг
+ 3г
ёсг
аг
П 2к(а-в)
+(1 - А^сг =
уА
Решение этого уравнения запишем в виде
аг = С1г ~1+^Ш~А + С2 г ~1~^Б~А + 2к (а-в).
Г 1 2 7(А - Б)
Окружная и осевая компоненты тензора напряжений
будут определяться по формулам
= [Б(С г-1+4В
/ А - С г-1/ А ) + 2к(а-—)
с в =л1 а С1г
) +■
7(А - П)
аг = —(2к - СаБ +—)г+
У V А
+с2(а1Б-в)г~1~^БГа -2к (а2-—2)).
2 \ А у(А - Б)
Постоянные интегрирования С1, С2, А1, В1 и радиус упругопластической границы г = с определяются из граничных условий
1) г = а : сг =-Ра,
2) г = Ь : сг =-Ръ
и условий непрерывности компонент тензора напряжений на упругопластической границе
3) г = с: [сг ] = 0,
4) г = с: [св ] = 0,
5) г = с: [сх ] = 0.
Проводя вычисления, находим значения следующих величин:
А, =
с2 - Ръ (а-в)Ь2 (а- в)Ь 2 + (а + в + 2уу)с 2
В1 = с
2 2к - (а + в + 2уу)А1
(а-в)
С =-
2 к В
(А1 --——)(1 + 4оГа ) + -|(1-4ША)
1 - 2— с 2
2л/ П / Ас _1+1'П/А
(А1 -~~~ )(1 -л/ПТА) +^а+4ША)
Ві
1 - 2—
2уі П / Ас -1~'/П / А Радиус упругопластической границы определяется из уравнения
1
((£) -1+л/п / А - (£)-1-VП / А ) +
с с
1 'У П / А + (0_)-1-л/ П / А ) +
с
1 - 2— с2' 2у/П / А
2к В 1 а -+(А - -л—}
1 - 2— с2 2 с
2к
+1-2— ~~ра.
1 - 2—
В качестве частного случая рассмотрим несжимаемое тело, для которого условие пластичности имеет вид
2с в - с г - с х = 2к .
(8)
В рассматриваемом случае и в упругой, и в пластической области радиальная компонента вектора перемещений
с
и = —.
г
Величина с определяется из условия непрерывности вектора перемещений на упругопластической границе:
С = кс2.
Е
Распределение напряжений в пластической области имеет вид:
с
,, r kc 1 1
ar =- Pa + 2k ln---------------+ (_2----2")>
a 6 a2 r2
r kc 2 1 1
^ = — Pa + 2k + ““ (~y + ~^ + 2k’ (9)
a 6 a2 r2
-,7i r kc2 1 3
Gz =-pa + 2k ln---------------------+~r~ (-~T + ~гО-
a 6 a 2 r 2
На рисунке сплошной линией в девиаторной плоскости изображена кривая пластичности
шах(2о^- -a j -а^) = 2к,
где индексы i, j, к образуют циклическую перестановку индексов 1, 2, 3. Пунктирной линией изображена кривая пластичности максимального приведенного напряжения шах | 2а i - a j - а к |= 2к .
В пластической области компоненты тензоров упругих и пластических деформаций связаны соотношением
е p
sz = -sz .
Направление соответствующих векторов ее и еp в
пространстве напряжений изображено на рисунке (точка N).
Если напряженное состояние в пластической области определяется системой уравнений (ребро
поверхности пластичности максимального приведенного напряжения - точка M на рисунке)
2ств -ar -az = 2к,
2аr -az -ав = -2к, то решение будет иметь вид, что и приведенный в [1] для несжимаемого упругопластического тела.
Выводы
Кусочно-линейная аппроксимация функции текучести позволяет получить аналитическое решение задачи о равновесии цилиндрической трубы.
При определении напряжений и деформаций в цилиндрической трубе, находящейся под действием внешнего и внутреннего давлений, для изотропного несжимаемого упругопластического тела, пределы пластичности которого при одноосном растяжении и сжатии не совпадают, в пластической области осевая упругая и осевая пластическая деформации не будут равны нулю.
Литература
1. Соколовский В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. - М.: Высшая школа, 1969. - 608 с.
2. Качанов Л.М. Основы теории пластичности / Л.М. Качанов. - М.: Наука, 1969. - 420 с.
3. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н.Н. Малинин. - М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.
4. Буренин А.А. Остаточные напряжения у цилиндрической полости в идеальной упругопластической среде / А.А. Буренин, Л.В. Ковтанюк // Проблемы механики неупругих деформаций. - М.: Физматлит, 2001. - С. 75-95.
5. Артемов М. А. / Следствия нормального закона пластического течения / М.А. Артемов, Н.С. Потапов, А.П. Якубенко // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2009. - Том 5. -№ 9. - С. 145-147.
6. Быковцев Г.И. Теория пластичности / Г.И. Быковцев, Д. Д. Ивлев. - Владивосток: Дальнаука, 1998. - 528 с.
Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет
MATHEMATICAL MODELING OF THE EQUILIBRIUM STATE OF A CIRCULAR
CYLINDRICAL TUBE
M.A. Artemov, N.S. Potapov, A.P. Yakubenko
In borders of plastic flow theory the problem of equilibrium state for circular cylindrical tube was solved. To find the analytical solution, the linear approximation for plasticity condition was proposed. This approach allows finding an analytical solution for a compressible elastoplastic body
Key words: compressible elastoplastic body, piecewise linear plasticity condition, cylindrical tube
