Учет сжимаемости материала при определении напряжений и деформаций в упруго-пластическом теле в случае плоского напряженного состояния Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕТ СЖИМАЕМОСТИ МАТЕРИАЛА ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОМ ТЕЛЕ В СЛУЧАЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

М. А. Артемов, Н.С. Потапов

В рамках теории течения однородного изотропного упруго-пластического тела предложен алгоритм, позволяющий для плоского напряженного состояния находить приближенное решение задачи с учетом сжимаемости материала

Ключевые слова: упруго-пластическое тело, малый параметр, ассоциированный закон

Известен алгоритм, позволяющий определять напряженно-деформированное состояние несжимаемого идеального упруго-пластического тела для плоского напряженного состояния, близкого к осесимметрическому [1]. Ниже рассматривается подход, позволяющий снять предположение об упругой и пластической несжимаемости материала.

Основные уравнения, определяющие модель однородного изотропного упругопластического тела:

- уравнение равновесия (без учета массовых

сил)

V-у = 0 ; (1)

- условие пластичности

Р (/і(у), Іі(у2), Іі(у3)) = 0;

(2)

- уравнения связи напряжений с деформациями

1 + V V

de -----------dу-ґг (й?у )Е + dЛ,g,

Е Е

(3)

dЯ-■

de р ■ ^ер

% %

% =

дР

■Е +-

дР

2у +-

дР

д11(у) д/і(у2) д/і(у2)

-3у2;

- соотношения кинематической связи перемещений с деформациями

е = ер + ее = ¿(V® и + (V® и)т). (4)

Здесь V — коэффициент Пуассона, Е - модуль Юнга, у, е, ее, ер, и — тензоры напряжений, деформаций, упругих деформаций, пластических деформаций и вектора перемещений соответственно, Е — единичный тензор второй валентности, ^1 (у) = ^ (у) — первый инвариант тензора.

Рассмотрим задачу о плоском напряженном состоянии однородного изотропного идеального упругопластического тела.

В случае плоского напряженного состояния матрицы тензоров деформаций и напряжений при определенном выборе декартовой системы координат *1, Х2, Х3 имеют вид

Артемов Михаил Анатольевич — ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (4732)46-32-85

Потапов Николай Сергеевич — ВГУ, аспирант, тел. (4732)20-83-37

(е) =

е11 е12 0 ст11 °Ї2 0

е21 е22 0 , (у) - °21 а22 0

0 0 е33 0 0 0

(5)

Согласно ассоциированному закону пластического течения, компонента тензора приращений пластических деформаций depз , учитывая вид матрицы

тензора напряжений (5), будет определяться по формуле

дР

de3Pз - dX■

дії (у )

°1з-°23 -°зз=0

Принимая во внимание определение (5), условие пластичности можно представить в виде

/ (ст11>ст12>ст22) = 0. (6)

Система уравнений равновесия (1) и условие пластичности (2) замкнута относительно компонент

тензора напряжений и, следовательно, является

локально статически определимой1.

Определение деформаций в области пластического состояния материала связано с интегрированием соотношений ассоциированного закона пластического течения

(7)

Соотношения (7) можно проинтегрировать и найти компоненты тензора пластических деформаций ер,

если функции gij не изменяются в процессе нагру-

2

жения .

Предположим, что искомые величины зависят от некоторого параметра б. Рассматривая б как малый параметр, представим все искомые величины

К статически определимым задачам теории пластического течения относят те задачи, для которых условия равновесия и условия пластичности и граничные условия в напряжениях позволяют определить напряженное состояние в области пластического деформирования без рассмотрения уравнений, содержащих компоненты скоростей [2-4].

2 Нагружение пластического тела определяется как процесс, при котором происходит изменение пластических деформаций [5].

в виде степенных рядов по параметру б :

ТО

Г, etJ А-} =Х^ {J (8)

n=0

Подставляя выражения (8) в (3) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра б, получаем

ёер 1 = ^(0) gf + ^(п) g<р0) +Х ^(г) gfг). (9)

1=0

Метод малого параметра существенно не расширяет возможность интегрирования соотношений (9), вытекающих из ассоциированного закона пластического течения, по сравнению с возможностью интегрирования исходных соотношений (7). Поскольку величины Л(п) сами определяются из соотношений (9), то для интегрирования соотношений (9)

функции g(0) не должны изменяться в процессе нагружения. Кроме того, функции g(рI'> , в общем случае, должны быть известными функциями параметра Я(0) (например, не зависеть от параметра нагружения), что возможно, если в пластической области задача является статически определимой. Данные ограничения существенно сужают круг задач теории пластического течения, при решении которых метод малого параметра мог бы быть достаточно эффективным. Если указанные ограничения выполнены, то, полагая, что до нагружения в теле пластические деформации отсутствовали, имеем

п-1А(0)

epn = g(°Ап) + £ Jgt1)Al)-i=0 0

(10)

Аппроксимируем функцию пластичности, выраженную через главные напряжения, кусочнолинейными функциями вида

fi (o-j а2) = в (o-j +ст2) + а 02 -CTj ) - к, где a, Pi — const.

На рис.1 в плоскости главных напряжений ст^ао изображен шестиугольник пластичности, определяемый уравнением

max{| oj - а2 | +ytr(у); | Ст2 I +Y(у);

loj I +ytr(у)} = к.

При у = 0 этот шестиугольник переходит в шестиугольник Треска (рис.2).

В случае плоского напряженного состояния главные компоненты тензора напряжений определяются через координаты тензора напряжений по формулам [3],

r1,r2 =

r11 + r22

2

-V (r22-r11) + 4Г

12

поэтому условие пластичности, соответствующее функции (9), можно представить в виде

аг>/ (а22 -0"11)2 + 4а122 = к - в (оП +а22). (11)

Возведем обе части равенства (11) в квадрат. Тогда

а^((а22 -0П)2 + 4о'122) = (к - в (оП +а22))2. (12)

Используя представление искомых величин в виде рядов по степеням малого параметра, из уравнения (12) получим следующие соотношения: при п = 0

а2 (Г 22 - CTi0))2 + 4ст!2)2) :

= (к -р (^ + Г2)))2;

при n > 1

(13)

а

!Vr(r(i) -r(i))(r(n-l) -r(n-i)) / , [(r22 r11 )(r22 r11 )

1=0

+ 4r1(2)rfn l) ] = -2kв (rff + r22) +

+ Pi Z (rn + r^2 )(гіГ) + Г2Г) )-

(14)

=0

Уравнения равновесия линейны относительно компонент тензора напряжений, поэтому они сохраняют свой вид для всех п > 0 :

дгЦ dr,(n)

11 - + —^ = 0;

дг}^ дг!?

„ —^ ^ = 0. (15)

дх1 дх2 дх1 дх2

Система уравнений (13) - (15) позволяет опре-

делить компоненты тензора напряжений r

(n)

если

(k)

известны все компоненты тензора напряжений а

для к < п -1.

В ряде случаев, например, когда при б - 0 плоское напряженное состояния является также осесимметрическим, метод малого параметра позволяет получить аналитическое решение задачи.

В качестве примера рассмотрим задачу о тонкой пластине, ослабленной круговым отверстием радиуса а, когда контур отверстия и на бесконечно-

+

сти пластина подвержена силовому воздействию, близкому к осесимметрическому. Примем за малый параметр б величину, характеризующую отклонение внешней нагрузки от осесимметрической.

В полярной системе координат уравнения равновесия (14) будут иметь вид

дг^ 1 дг(^

дr

r дв

r(n) - r(n) re + rr Гв = 0

r

(n)

гЄ

(16)

= 0.

дт т дв т

Известно [5], что уравнения равновесия (16) будут выполняться, если компоненты тензора напряжений выразить через функцию Эри

_(п) = - д (1 дФ(п\

r

— ___( )

гв дг r дв

(п) = 1 дФ(п) + ± д 2Ф(п) (п) д 2Ф(п) (17)

^ г дт г 2 дв2 ’ ^ дт2 '

При п = 0 (осесимметрическое состояние

аГвв = 0) в области пластического деформирования, в соответствии с выбранным подходом (всюду ниже у коэффициентов а и Р^ индекс I не указываем),

(а + Р)гв + (P - а)<

г(°) =

— к.

(18)

Если принять, что на внутреннем контуре пластины

r

(0)

lr—a = - Р ■

то распределение напряжений в пластической области будет определяться по формулам

2Р

~ < р+Р ->а+Р,

2р 2р г

2р

г» = ± _а_в( p+±)(а )а+в

„ „ , ■ (19)

2Р а + в 2Р г

Компоненты тензора упругих деформаций определяются согласно закону Гука и имеют вид

e*» = ад-ц - (|-vOaJL^p+.

к

2 PE

se(0) = к(1 - е)

e = 2 PE

a + p E 2PE r

2P )(a) a+p

к

,a-P ^ґР

- (---------е)(---+

a + P E 2 PE

2P

)(^ )a+P),

(20)

e(0) =V (.

2а

2P

a+P

--P).

P

Е а + в 2в г

Из соотношений ассоциированного закона пластического течения следует, что

(а - Р)ер(0) + (а + в)ер(0) = 0.

Поэтому, учитывая соотношения (4) и выражения для компонент тензора упругих деформаций (20), для определения перемещений в пластической области получим уравнение

du(0) (а - P) u(0)

dr

к (1 - е)а

(а + P) r P(a + P)E

2P

+ V(a2 -P2) - (a2 +P2) (2 p + —){0) a+P )

(a + P)2 E Решение этого уравнения имеет вид

p-a

u(0) = Cr + k(|_V r +

r 2 PE

a2 + P2 p к + a(v----_i:_)(Ji + -

Pr

2

- P2 E 2PE r

P-a )(a) a+p.

Постоянная интегрирования C определяется из условия непрерывности радиальной компоненты вектора перемещений на упругопластической границе. Поскольку при 5 = 0 имеет место осесиметрическое состояние, то уравнение упругопластической границы будет иметь вид r = с (c = const). Обозначим через uc величину перемещения при r = с . Тогда

к

а

-P2 E 2PE а

a-P )(r )a+P +

к (1 - е) 2 PE

uc к (1 -е)

r + c(—------

( a2 +P\tp

- (v—)(tt +

2 PE к

(21)

2P

a-P

a

- P 2 E 2 PE c

)(a) (a+P) )(c) a+p

Из (21), учитывая (4), находим окружную компоненту тензора деформаций

,(0) -

-e

=(— -c

к (1 - е) 2 PE

- (v -

a2 + P2

)(^ +

a

2 - P2 E

2P 2a

к )(a )'a+в)(c)a+в +к(1 -v) +

2PE c r 2 PE

(22)

a2 + P2 p

+ (V----^V)(^ + -

2P

к (a+P)

)( )(

a

- P 2 E 2 PE r

и радиальную компоненту тензора деформаций в пластической области

22

e(0) P-a (uc к(1 -е) (V a +P p +

er =------ (-------——---(V----t----T)(~ +

a + P c 2 PE

a

2-P2'v E

2P 2a

к )(a о+p )(cop + к(1 - V) +

2PE c r 2 PE

(23)

+ v(a2 -P2) - (a2 +P2) (p +

к

(a + P)

2

E 2PE r

2P )(a) a+p

С учетом полученных выражений (22) и (23) для компонент тензора деформаций и тензора упругих деформаций, компоненты тензора пластических деформаций определяются по формулам

c

r

r

+

,р(0) = е(0) - ее(°)

(24)

Использование ассоциированного закона пластического течения приводит к соотношениям

иер(0) лер(0)

= йе^ = ^(°).

Р - а а + Р Интегрируя эти соотношения и полагая, что до нагружения пластические деформации отсутствовали, получаем

,р(0)

,р(0)

в - а а + в Из (25), (22) и (20) находим, что

-Я(0).

(25)

І0) =-

1

,(- к(1 -^ - (,- а2+в\р+

а + в с 2вЕ а2 -в2 Е

2в 2а

+ вХ£)(а+в))(-)а+в -2вЕ с г

2ав

(4+

2в

к )(а) (а+в)

(а2 -в )(а +в) Е 2вЕ г

Учитывая, что пластический потенциал для плоской осесимметрической задачи имеет вид (рассматривается кусочно-линейная аппроксимация

функции пластичности линейной функцией)

Г = а(ав - аГ0) + + Р(ав + а(0),

порядка. При п = 1 величина Q(1) = 0.

При определенном значении коэффициентов

а, Р можно получить аналитическое решение уравнения (26). В случае, когда Р = а + б для величин первого порядка, если на внутреннем контуре пла-

стины,

иметь

например, а Г1 | г-а - 0, I г-а = 0, будем

(1)

ав - к (а - 2)

аГ1 = к — (1п —+ 2) - 2к, т —

аГв =0.

После нахождения решения (26) по формулам

(17) определяются компоненты а(п).

Перемещения в пластической области находятся из системы уравнений, получаемой из выражений (10), (4) и соотношений закона Гука,

диГп) Р-а 1 див иГп)

—Г------Л-----(-----^ + -Г—) =

дт а+ Р т дв т

в-а а((П) в-а

а

(п)

- (1 + v^^-V - ^^ + v)^ + <27)

а+ в Е а+ в Е

-1^

(0)

-1^

(0)

согласно ассоциированному закону пластического течения находим, что компонента пластических деформаций е2р(0) = уЛ(0 .

В области упругого состояния материала напряжения и перемещения определяются по известным формулам [3] (рассматривается случай, когда

т е [с; ж) и на бесконечности аГ0) = q ):

2

(0)^,1 \ с

аГ в - д + (к - д) —, г

Г,в

ГЫ(п) и(п) л Я. (п) 1 ,

див ив 1 диг 1 „ 1 + V

дг гг дв

п-1^

,2"

- г1~Г+

(28)

+ 8а2ї ¡ав-0¿1(і),

І-0 0

где gГn) - 2(а2 -в2)^гп) - 2(а2 +в2)а((п), g{Q) -

2(а2 -в2)а(п - 2(а2 +в2)а<^п).

и (0) - г (д(1 -V)+(к - д)(1+ Ю —2т)-Е г 2

Из условия непрерывности радиальной компоненты тензора напряжений на упруго-пластической границе г - с находим, что

(р + к )а 2(к - д)

Из (14) при а^ - 0, учитывая (17), следует, что функции Ф(п) (п > 1)

д2Ф(п) (а2 +в2)а^0) + (в2 -а2)а1(0) - кв

___________________22_____________________

дг 2 (а2-в2)а^0) - (а2 + в2)а10) + кв

х (

1 дФ(п) 1 д2 Ф(п)) - (п)

(26)

+

> дг г2 дв

Функции Q(п) зависят от величин не выше п -1 -го

2

Постоянные интегрирования, получаемые при решении дифференциальных уравнений (26) - (28), определяются из граничных условий и условий сопряжения компонент тензора напряжений и компонент вектора перемещений на упругопластической

границе. Нахождение величин Л(п) практически не

отличается от нахождения величины Л,(0).

В заключение кратко опишем алгоритм решения задачи об определении напряженного и деформированного состояния, возникающего при растяжении тонкой пластины. В пластической зоне опреде-

ляем компоненты а^, а22

(п) ,

12 , определяем

компоненты тензора деформаций и функцию Л(п); определяем напряжения и деформации в упругой зоне; константы интегрирования определяем из граничных условий и условий сопряжения решений на упругопластической границе.

в

В рамках теории пластического течения предложенный подход, в отличие от варианта, рассмотренного в работе [1], при решении задач плоского напряженного состояния позволяет учитывать конечную упругую и пластическую сжимаемость материала. Из полученных выше формул следует, что влияние сжимаемости проявляется уже при определении величин на первом шаге решения задачи (п = 0).

Литература

1. Ивлев Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. — М.: Наука, 1978. — 208 с.

2. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н.Н. Малинин. — М.: Машиностроение, 1975.

— 400 с.

3. Соколовский В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. — М.: Высшая школа, 1969. — 608 с.

4. Качанов Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. — М.: Наука, 1969. — 420 с.

5. Новацкий В. Теория упругости / В. Новацкий. — М.: Мир, 1975. — 872 с.

6. Быковцев Г.И. Теория пластичности / Г.И. Бы-ковцев, Д.Д. Ивлев. — Владивосток.: Дальнаука, 1998. — 528 с.

Воронежский государственный технический университет Воронежский государственной университет

TAKING INTO ACCOUNT THE MATERIAL COMPRESSIBILITY AT THE DEFINITION OF STRESSES AND DEFORMATIONS IN ELASTIC-PLASTIC

SOLID IN FLAT STRESSEDLY STATE

M.A. Artemov, N.S. Potapov

Algorithm, witch allows to find solution of flat and stressedly state problem with taking material compressibility in account, was offered within the theory of homogeneous isotropic elastic-plastic body

Key words: elastic-plastic body, small parameter, associated law