Распределение энергии между продольными и поперечными движениями гибкой деформируемой связи Текст научной статьи по специальности «Физика»

Брюквин А.В. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ МЕЖДУ ПРОДОЛЬНЫМИ И ПОПЕРЕЧНЫМИ ДВИЖЕНИЯМИ ГИБКОЙ ДЕФОРМИРУЕМОЙ СВЯЗИ

Проанализирован интеграл энергии для общего случая движения нити, напряжение в которой описывается произвольной функцией деформации. Доказано его постоянство для свободных движений нити с закреплёнными концами. Найдено распределение энергии между продольным и поперечным движениями в двух задачах: задача движения нити при поперечном перемещении одной её точки с

постоянной скоростью и задача свободных движений нити закреплённой на концах и имеющей в начальный момент симметричную треугольную форму. Эти задачи характерны при рассмотрении колебаний тросов, ленточных и рамных пил, а также для колебаний любой гибких связи. Показано, что вклад

продольного движения в энергию имеет тот же порядок, что и вклад поперечного движения.

1. Энергия колебаний гибкой нити. Рассмотрим движение гибкой нити, имеющую в начале

прямолинейную форму и свободную длину 1. Нить имеет начальную плотность р, а силы натяжения нити

направлены по касательной к ней (нити) и подчиняются произвольному закону T = T (е) где e -

текущее относительное удлинение отрезка нити.

Кроме того, на нить действуют внешние погонные силы, проекции которых на оси обозначим

соответственно F,F ,F .

Для описания движения нити, введём декартовую систему координат, причём ось Ox проведём вдоль начального положения нити. Перемещение каждой точки нити будет описываться функциями, зависящими от времени t и лагранжевой координаты s (координата точки на оси Ox до начала деформации), которые обозначим: x = x(s,t) - перемещение вдоль оси Ox, а y = y(s,t) и z = z(s, t) - соответственно

перемещения вдоль осей Oy и Oz.

В процессе движения длина элемента нити ds , как известно [1], составит: ^(1 + x's) + (yrs) + (z's)ds

, а его удлинение е = ^(1 + x's) + (yS) + (zS) —1 В пространстве положение элемента будет описываться

направляющими косинусами, которые с осями Ox, Oy, Oz составят соответственно величины:

1 + x' y z'

cosa =----1 ; cosp=—— ; cosr = —— (1)

1 + e 1 + e 1 + e

Уравнения движения элемента нити длиной ds в проекциях на введенные оси будут иметь вид t

рх = (т (е) eos a) s+Fx

py = (T(e)cosp)s+Fy (2)

Р2 = {Т(е)соъу)^+7?

Полная энергия И унциальной энергии

1 1 г -I 1 (е

к = 7М(^ )2 + (У )2 +(< )2 ] *, П = | |т (4)

2 о о V о

запишем формулу для вычисления полной энергии Ш =К+П

IV =\\\р[^)2 +(у)2 +^)2] + )т(4)аАа* о)

Полная энергия И продольно - поперечного движения нити, состоит из суммы кинетической К и потенциальной энергии П.

I г- I ( е \

..........................................*

2 о о V о

2W u ,

Вычислим производную по времени t от полной энергии W /

W = ^{p[x-x + y-y + z-z] + T(e}e^ds =Il+I1+I-i+Ií

(4)

II II

где: 1х=р^х-М8, 12=р^у-ус1зг 1ъ=р^г-Ы8г /4 = {e)ëds .

о о о о

Используя уравнения продольно - поперечных колебаний (2) и выражения для направляющих косинусов (1) получим

I I I

Ix = Ji• (Т(e)cosa) ds + JxFxds (5)

о о

/ /

/2 = Jy• (r(e)cos/í) ds + ^yFyds (6)

(7)

0 s о

t

1 l /3 = Jz *(T(e)eos;k) ds + ^¿Fzds

0 s 0

подставляя выражение для e в /4, получаем

1 fí Í О О О

ds =

14 =JT (еШ1 + xs )2 +(ys )2 +(zs )2 —1

/ i _|_ ^ Л / t I t

= Jr(e)i77i (i)+Jr(e)^¡rf(>')++Jr(e)¿/(i)

0

Теперь, интегрируя 14 по частям, получаем: (1-' 1 1 г ' 1

І4 = T («)

е +1

1 I - xd Г , N 1+^)1 T e)[ sl +T(e)-&-v

J 00 V 7 e + l V e + l

-ji’d

+T(e)-^-z 1 I — zd T (e)—£—

_ e+l. V e + l j 00 . e + l_

из соотношений (4),(5),(6),(7) и (8) следует, что: = xT^cosa^ + уТ (e)cos/?|^ + zT (e)cos^ +

іо ' v > ' іо

і і i +J xFyds + J yFxds + J zFzds 0 0 0

т.е. изменение энергии продольно

поперечного движения нити равно сумме работ

проекций

р,р ,р на соответствующих перемещениях внешних сил и работ реакций опор в точках закрепления

нити на концах. При нулевых граничных условиях в точках закрепления нити работа реакций опор равна нулю, а в случае малых перемещений х, у, г и их производных выражение для работы может быть

12 1 1

еоза = 1 + — (х^) , 008р = — (у'5) , 008у = — (г'5) . Сохраняя первый порядок малости,

упрощено заменой: получим, что работа зависит только от продольного перемещения

выражается, как Т(е)х , При нулевых граничных

поперечное перемещение входит только в члены второго порядка малости условиях и отсутствии внешних сил энергия постоянна:

W = const

2. Распределение энергий продольных и поперечных движений нити в случае поперечного перемещения одной её точки с постоянной скоростью Vo. Будем считать, что напряжение подчиняется закону Гука T= Ее , где E - модуль упругости. Рассмотрим интервал времени, когда волна не дошла до заделанных концов, т.е. отсутствуют отражённые волны. В этом случае достаточно рассмотреть полубесконечную нить, левый конец которой двигается с постоянной скоростью Vo перпендикулярно начальному положению струны (Фиг. 1.).

Фиг.1

В этом случае нить можно разделить на три участка:

первый участок до прохождения продольной волны Ь (энергия на этом участке равна потенциальной энергии от продольной начальной деформации е0 );

второй участок продольного возмущения после прохождения продольной волны Ь (деформация на этом

участке

а из-за отличия в величинах

продольное движение частиц нити со скоростью и,

= ao (e

на - e

первом и втором участках, j) вдоль нити);

имеет место

третий участок поперечного возмущения после прохождения поперечной волны Б (деформация на этом участке также е , а поперечная скорость частиц Уо).

Лагранжевы скорости продольных и поперечных волн будут соответственно определяться

a

— и b =

dS_

I p0 dt

Используя решение третьем участках нити

1 - COS0------Єі----■

I —ei V A(1 +

лУеТ(1-

1 + e.

(9)

получим формулы для вычисления угла 0, и удлинения ех

тором и

sin0 =

0 V e1(1 + e1)

(10)

Поскольку потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной, за начало

отсчета энергии элемента

AS

примем величину

—el 2

AS , до прохождения продольной волны. Тогда

на первом участке энергия будет равна нулю, а полная энергия всей нити будет складываться из энергий на втором и третьем участках. Вычислим полную энергию И в произвольный момент времени t , учитывая, что длина третьего участка а длина второго участка (ао-Ь^

W =

Р0У0 , —e\

2

2

bt -

Р2 + ](a0 - b)t- —2a01 =

:pVL bt + —eL bt -

Ee{

2

„22 p0a0 e1

-—e-j(a„ - bt )-

Ee2

0

и

e

e

и

e

0

a

0

2

Ее Ее і

= —^~ У0ґ 8ІП О + (1 - 008 —)^Є (1 + е ) (1 + 008 —) а* "

Ее{У0Ґ 008 |^-в^ (11)

Итак, полная энергия равна произведению силы натяжения Ее на перемещение и на косинус угла между ними, т.е. работе совершаемой на левом конце струны за время t.

Сравним вклад кинетической энергии на третьем участке в общую энергию, из выражений (9), (10),

(11) видно что

ЯУ0- ы = Ее1 Уй1 2 - “

что составляет только половину затраченной работы, остальная часть работы пошла на увеличение кинетической энергии продольного движения и увеличение потенциальной энергии на втором и третьем участках. Поскольку удлинение на этих участках постоянны и равны, то потенциальная энергия распределяется пропорционально длинам участков, а поскольку скорость распространения поперечного возмущения я0 на порядок меньше скорости распространения продольного возмущения Ь и, следовательно, длина участка с поперечной волной на порядок меньше длины участка продольного возмущения, и следовательно, потенциальная энергия на нём на порядок меньше. Отсюда можно сделать вывод, что величины энергий на участках продольной и поперечных волн являются величинами одного порядка.

3. Изменение энергии в частном симметричном случае задачи о начале движения струны щипкового музыкального инструмента. В этом случае струна в начальный момент времени имеет форму, показанную на фигуре 2.

А

—^ ►

Фиг.2

Для этого случая известно решение [2], имеющее вид бегущих продольной и поперечной волн, показанных на фигуре 3. По частям нити исходной формы от точки С симметрично распространяются продольные волны Ьх и Ь2, а за ними поперечные волны Бх и Б2, бегущие в разные стороны. Всюду в области ЬхЗхСБгЬг деформации постоянны. На каждом из участков постоянны и скорости всех частиц.

▲ Г! ві.« С

-^9 і ^ =^4 ' Ч' * ио ►

О I 1

2

Фиг.3

Обозначим удлинение элемента на участках до прохождения продольных волн величиной е0 ,

это

удлинение складывается из предварительного натяжения нити и дополнительно от придания струне начальной треугольной формы. После прохождения продольных волн в области ЬхЗхС82Ь2 величина удлинение будет е , тогда лагранжевы скорости продольных и поперечных волн, а так же скорости

частиц после прохождения продольной волны и будут определяться по тем же формулам (9) как и в

предыдущей задаче.

Т.к. скорость частиц струны на участках до прохождения продольных волн Ьх и Ь2 равна нулю, то

полная энергия на участке струны длиной А5 до прохождения продольной волны равна Е0 • А£ , где

*=е-

Полная энергия на участке струны длиной А5 после прохождения продольной волны равна Ех •А£ ,

где

2 /

2 2 2 / \ 2 2

Ее1 _ Роао (ео - е1) , Ее1 _ Е Г/ \2

щ =^Л+_^ --и. + _^ =-І(ео - Єї ) + еі

1 2 2 2 2 2 і у 0 1 1

[(Є

Для участка 8182 получим V = а ^(е — Є) + (і + ех)^8ІпО . Учитывая, что скорости частиц направлены

вдоль оси Оу, горизонтальная составляющая скорости будет нулевой

а |(е — Є ) 008 О — (і + Є ) *(і — 008—)]=0 ,или дЄ(1+ЄУ = --1) д— . Отсюда, получим

Го - ао (ео — е1)'(1 +

ґ1 +—008 — ^8іп— - а (е0 — е) •

^ 1 - 008 —у1 ^0 1

I/ \2 1 +

|(е0 — е1) • — 1 —

1 - 008 — —

2 1 + 008 — 008 —

8ІП —

1 - 008 —

Полная энергия на участке струны длиной А5”

после прохождения и продольной, и поперечной волн

равна Е2 •ДО , где Щ 0 + ЕЄ1- - Е

2 2 2

, ч- 1 + 008— 2

(ео — е1) ^--------------д + е1

1 — 008 —

Участок, до которого не дошла продольная волна, уменьшился за время Аt на величину I —Vа0 •А?

Участок, где прошла только продольная волна, увеличился на (а0— 6) •А* , а участок где прошли и продольная и поперечная волны, увеличился на Ь •А? . Посчитаем полную энергию всей струны за время

А? :

2 2 — а0 •Аі ^ 2[| (а0 — Ь)+Е2Ь\ А? =

- Щ01 + -• [([ — Щ) а0 + (Щ — Щ )• Ь]-А? -|(ео— е1) + е1 — ео] ао +

11

Щ01 + Е х

со ^ о

ч2 (1 + 008 — 1 — 008 —

008 —

хАі -

учитывая

, ^ЄІ (1 + е1) -—^

(е0 — Є ) 008 —

— 008 —

получим

= Щ0- + Еа0 х|(е0 е1) + е1 ео+(ео е1)

1 + Є 1 — 008 —

2 2 • 0082 — Є — Є І (1 — 008—)2

1 + Єї

•А? -

: Щд/ + Е-а0

(єо — Є1)2 + Є12 — Єо2 + — (єо — Є1У 1( + е 1)

•А -

- Щ§/ + Е • а |- — 2ЄЄ + є2 + є2 — є2 + 2ЄЄ — —є- ] * А? - Щ|/

Как и следовало из постоянства интеграла энергии, полная энергия всей струны в этой конкретной задаче постоянна, а если за нулевую энергию принять Ео1, то полная энергия будет равна нулю.

Сравним величины энергий на участках продольной и поперечных волн в случае, когда продольное возмущение дошло до конца струны. В этом случае участок, где нет возмущения, отсутствует, а полная энергия складывается из энергий на участках продольного и поперечного движений. Очевидно, что вклад энергии продольных волн и поперечных волн в полную энергию будет одинаков.

Отсюда можно сделать выводы:

1. Проанализирован интеграл энергии и доказано его постоянство для свободного движения нити с жестко закреплёнными концами.

2. На двух примерах проиллюстрировано распределение энергий между продольными и поперечными волнами и проведено сравнение энергий поперечного и продольного движений.

3. Показано, что при рассмотрении продольно-поперечных движений нельзя ограничиваться рассмотрением только поперечного движения и пренебрегать продольными движениями, поскольку они вносят равный вклад в энергетику этого движения.

ЛИТЕРАТУРА

х. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М.: Физматгиз, 1961.399с.

2. Демьянов Ю.А. К уточнению теории колебаний музыкальных инструментов. Доклады Р.А.Н., 1999.

Т.3 6 9.№4

о