CC BY
57
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м VII 197 6
М 6
УДК 629.7.015.3.036.001.57
К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СИЛОВОЙ УСТАНОВКИ ВРД ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ
В. Т. Гринь
На основе использования полной системы уравнений, описывающих нестационарное двумерное течение идеального газа, разработана математическая модель силовой установки, включающей воздухозаборник, компрессор, камеру сгорания, сопло с критическим сечением и элементы регулирования(створки перепуска воздуха, механизм воздействия на расход топлива). Предложенная модель применена для анализа динамических процессов и выяснения взаимного влияния воздухозаборника и компрессора при их совместной работе. Рассмотрен переходной процесс, возникающий в результате воздействия температурной волны на стационарный сверхзвуковой поток в сечении входа в воздухозаборник. Оценено изменение запасов газодинамической устойчивости компрессора в зависимости от амплитуды и темпа нарастания температуры. Показано, что при сверхзвуковых условиях течения на входе в воздухозаборник возмущения, связанные с перемещением и выбиванием замыкающего скачка уплотнения, вызывают значительное уменьшение запасов газодинамической устойчивости компрессора еще до того, как тепловая волна достигнет сечения входа в компрессор.
Теория малых возмущений была использована в работах [1—3] для анализа устойчивости систем, содержащих компрессор. В этих исследованиях элементы систем заменялись эквивалентной схемой с сосредоточенными параметрами, осредненными по объему выбранных элементов. Динамические свойства такой системы в силу предположения о малости отклонения параметров от их стационарных значений описывались линейными уравнениями. Выбор малого числа элементов, а также использование линейных уравнений заставляло вводить существенные ограничения на частоту и амплитуду изменения параметров. Применение в работе [4] интегрирующих аналоговых устройств позволило увеличить число элементов с сосредоточенными параметрами и провести исследование в большем диапазоне частот. В работе [5] проточная часть силовой установки разбивалась на большее число элементов (входной канал и компрессор разбивались каждый на шесть частей, камера
сгорания на две части), в которых течение описывалось системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, интегрируемых численно на ЭВМ.
Естественно, что математическая модель силовой установки будет более полной, если течение в счетной ячейке описывается точной системой уравнений газовой динамики. Ниже излагается такая модель. Для интегрирования уравнений используется разностная схема, предложенная С. К. Годуновым [6]. Ранее она успешно использовалась для решения задач о нестационарном течении в изолированных элементах силовой установки: воздухозаборниках и соплах (7—11].
Фиг. 1
1. Схема силовой установки, которая подлежит математическому моделированию, показана на фиг. 1, а. Математическая модель описывает фазу нестационарного процесса, время протекания которого определяется динамикой течения. Последующая фаза, сопровождающаяся изменением физической частоты вращения ротора, происходит с большим запаздыванием вследствие значительного момента инерции ротора и здесь не рассматривается. Область течения, включенная в теоретическую модель, показана на фиг. 1, б. Верхние и нижние стенки канала задаются уравнениями _у = у+(л;) и У=°У- (х)> плоскости входа и выхода соответствуют х — 0 и х = 1~, где х и у — прямоугольные координаты.
Пусть t — время, р, р, е, г — давление, плотность, удельные внутренняя энергия и энтальпия, да — модуль вектора скорости газа V, а и и V — его проекции на оси ли у. Удобно считать, что все переменные — безразмерные величины. Обезразмеривание достигается отнесением пространственных координат к характерному размеру /*, за который принят радиус сечения входа в компрессор, скоростей и плотности — соответственно к критическим значениям скорости и* и плотности р* в сечении л: = 0, давления — к Р*и1, внутренней энергии и энтальпии газа — к и\, времени — к
/*/н*.
В сечении х = 0 задан сверхзвуковой поток с продольным компонентом скорости и, а V определяется как полусумма значений поперечной составляющей скорости, полученных из условия не-протекания на верхней и нижней стенках. Остальные параметры при л =0 находятся из условия постоянства полного теплосодержания и энтропии потока.
В сечении x = L выставляется условие критического истечения газа. Это сечение соответствует в реальной силовой установке наименьшему сечению соплового аппарата турбины, работающему, как правило, со сверхкритическим перепадом давления.
Течение идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа в рассматриваемой области описывается системой уравнений в виде интегральных законов сохранения:
j j ру' dxdy + ф руv (udy — vdx) — 0;
— | j ouy ‘ dx dy -\- фу [(/> -f- pH2) dy — [Jiivdx\ — \ j qfy dx dy-
s V i'
-4r jj pvy'dxdy + <§ y\buvdy — (p + pv"-) dx — v j j pdxdy\ | (1)
s г s
— f [ P_yv (2e + w-) dx dy -J- (j) p_yv (2i + w2) (udy — vdx) —
's' г
= 2 ^qey-dxdy, s
где v = 0 или 1 для плоского или осесимметричного течения соответственно, S — произвольная не зависящая от I площадь в плоскости ху, а Г — ее граница.
Интегрирование вдоль Г осуществляется против часовой стрелки. Входящие в правые части второго и четвертого уравнений (1) источники импульса qf и энергии qe по физическому смыслу соответствуют подводимым к потоку в единице объема за единицу вре-
мени импульсу и энергии.
К системе (1) следует добавить уравнения состояния, которые для совершенного газа с постоянным показателем адиабаты х имеют вид:
е = ___I— i = __(О)
е (*— 1) р * 1 (х-1)р • W
В дополнение к уравнениям (1), (2) и граничным условиям необходимо иметь начальные условия, которые предполагают задание всех параметров потока в рассматриваемой области течения в момент времени t — 0. Они находились с использованием тех же нестационарных уравнений методом установления.
Для реализации численного метода (он подробно изложен в работах [6—9]) область течения в плоскости ху разбивается в продольном и поперечном направлениях на четырехугольные счетные ячейки, к каждой из которых применяются законы сохранения (1).
В области течения, соответствующей компрессору (см. фиг. 1 ,б), осуществляется силовое воздействие на поток со стороны неподвижных и подвижных элементов проточной части, а также подвод энергии. Естественно, что рассмотрение двумерного течения идеального газа в турбомашине является грубым приближением к действительному пространственному течению реального газа. Такой подход требует сведений об интегральном воздействии на рассматриваемый близкий к поступательному поток со стороны вращающихся венцов и спрямляющих аппаратов компрессора- В данной математической модели такому воздействию отвечают стационарные характеристики ступеней многоступенчатого компрессора, представляющие собой зависимости изменения полного им-
пульса и полной энтальпии от объемного расхода. Изменение полного импульса и полной энтальпии отождествляется с содержащимися в уравнениях (1) источниками qf и qe.
Каждая из ступеней многоступенчатого компрессора занимает два поперечных слоя ячеек. Первый слой соответствует „активному диску0, в каждой из ячеек которого осуществляется подвод импульса и энергии. Второй слой моделирует акустический объем ступени, и в его счетных ячейках значения qf и qe тождественно равны нулю.
Соответствие между qf, qe и величинами полного импульса и полной энтальпии находится из интегрирования одномерных стационарных уравнений:
«* — 1 = 4fKiPv s* - 1 = qe hxhi tii*;
Р* = р + ри2; i* = e + р/р + и212,
где я* =рур,‘1 и е* = г*/г* — соответственно относительное повышение полного импульса* и полного теплосодержания в ячейках активного диска; индексами „1“ и „2“ обозначены параметры до и после слоя активного диска; hx — шаг по л\
В каждой счетной ячейке активного диска задаются характеристики вида
Т* --= г.* О, njVi*), s* = е*(/га, П/Vi*), (3)
где m = [.иУi*\p* — приведенный объемный расход воздуха перед ступенью компрессора, n\Y'i* — приведенная частота вращения, изменение которой в данной модели предполагается только за счет изменения г* перед ступенью. Характеристика ступени имеет типичный вид, известный из эксперимента или полученный расчетом. Справа характеристика ограничена точкой максимального приведенного расхода (режим запирания межлопаточного канала), слева — точкой срыва течения в межлопаточном канале, сопровождающегося резким падением напорности ступени.
В области течения, соответствующей камере сгорания, задаются распределенные источники энергии, интенсивность которых qe определяется из условия достижения критической скорости в минимальном сечении соплового аппарата. В остальных областях течения qf и qe тождественно равны нулю.
В воздухозаборнике на стационарном режиме осуществляется торможение потока с замыкающим скачком уплотнения. На верхней границе проточной части имеются участки протекания (створки), в которых задается условие для компонента скорости vn по нормали к образующей. В общем случае значение vn на входе в створку определяется течением не только в канале, но и в самой створке. Однако для створки с коротким отводящим каналом, работающей на критическом режиме, можно сформулировать граничное условие на проницаемых участках образующей:
vn = Mcsin
* В данном случае удобно использовать величину, характеризующую изменение полного импульса в ступени, вместо общепринятой величины изменения полного давления.
Здесь Мс = 1 — число М в горле „короткой11 створки;
Р — угол наклона оси канала створки к образующей; а — скорость звука, определяемая по параметрам потока в ячейке, примыкающей к створке.
При решении задач о распространении сильных возмущений в канале весьма существенное значение имеет правильный выбор граничных условий на входе в канал. Обычно сносимые при численном интегрировании граничные условия из бесконечности в сечение входа правильно отражают действительное течение лишь при малых возмущениях параметров. В случае сильных возмущений (типа помпажных) необходимо значительно расширять область интегрирования, так как возмущения распространяются далеко вверх по потоку. Поэтому в данной математической модели к сечению входа в канал х — х1 достраивается участок с горизонтальной верхней образующей до сечения л = 0. На стационарном режиме эта горизонтальная образующая является граничной линией сверхзвукового поступательного потока, входящего в воздухозаборник, и на ней выставляются условия непротекания. Если при нестационарном течении слева от сечения х1 происходит разрушение сверхзвукового течения, т. е. замыкающий скачок уплотнения перемещается вверх по потоку за сечение хь то верхняя граница между текущим положением скачка и сечением х( становится проницаемой и происходит истечение газа из этой области. При этом на скачок уплотнения воздействует волна разрежения, уменьшающая скорость его перемещения.
Данная математическая модель позволяет проводить исследования как в двумерном, так и в одномерном приближении. В последнем случае область течения разбивается только в продольном направлении. Ниже приведен пример применения одномерной математической модели для анализа нестационарных процессов в силовой установке при воздействии на вход в воздухозаборник тепловой волны.
2. Расчеты нестационарных течений проводились в осесимметричной силовой установке, показанной на фиг. 1, б. От сечения х = 0 до Х = Х1 располагался участок постоянной площади единичной длины, в котором на стационарном режиме реализуется сверхзвуковое течение с заданным в сечении л' —0 числом М= 1,4. За сечением х = х:г следует участок, сужающийся по площади в 1,07 раза на длине 0,3 до сечения горла, где достигается значение М— 1,27. От сечения горла до сечения входа в компрессор (х~хк) площадь канала увеличивается в 2,25 раза, а поток тормозится до М~0,35.
Рассматривались воздухозаборники двух конфигураций: пер-
вый — длиной / = 8, в котором увеличение площади происходит до сечения х = х1 = Ъ,2, а затем располагается участок постоянной площади; второй — длиной 1 = 3,2 (сечение х1 совпадает с сечением
•^к)’
Проточная часть десятиступенчатого компрессора имела под-жатие по площади в 4,1 раза, а заданные для каждой из десяти ступеней характеристики тс* = и* (/и, п(\гI*) и е* = е*(/п, «/]//*) обеспечили в многоступенчатом компрессоре суммарные степень повышения полного импульса п^ — 7,8 и степень увеличения полной энтальпии г* = 1,7. В расширяющейся в 2,4 раза камере сгорания
подвод энергии распределен на шесть счетных ячеек. На стационарном режиме полная энтальпия на выходе из соплового аппарата в 5,7 раза превышает эту величину в сечении л —0. Нестационарное течение в силовой установке возникает вследствие прихода слева в сечение х = 0 тепловой волны, в которой полное теплосодержание увеличивалось линейно по времени от ^ = 0 до Ь=Т, а затем оставалось постоянным. В пределе (при Т -* 0) такая тепловая волна представляет собой контактный разрыв, в котором дав-
1
\ з й *
К 5 . Ж \
Ч ’ 1,00
0,92 7
Фиг. 3
ление и скорость не изменяются, а плотность терпит разрыв в соответствии с величиной приращения /*. При этом энтропия в потоке не сохраняется и вниз по течению от х — 0 распространяется энтропийная волна. ' ‘
Будем характеризовать заданное возмущение амплитудой 8 = Д/*//0 и темпом нарастания т = Аг*/Д^, где Д/*, Д/-—соответственно приращение полного теплосодержания и время, в течение которого происходит это приращение, г’— стационарное значение г* в сечении х = 0. В расчетах принимались значения 8 = 0,15 и 0,3, а значения т изменялись от 0,006 до 0,3. Развитие нестационарного процесса в силовой установке при воздействии таких возмущений иллюстрируется фиг. 2 и 3. На фиг. 2 даны зависимости от времени приращения давления Ар от стационарного значения в сечениях входа в канал воздухозаборника (х = х1) и компрессора (х —
— хь). Сплошной линией показаны зависимости для длинного, пунктирной— для короткого каналов воздухозаборника.
Распространение тепловой волны в сверхзвуковом потоке сопровождается уменьшением числа М. При взаимодействии волны с замыкающим скачком уплотнения интенсивность последнего уменьшается и он приобретает отрицательную скорость, перемещаясь против потока, а по потоку распространяется волна разрежения. Как следует из зависимостей ^p=zf(t) в сечении хь замыкающий скачок проходит это сечение в момент ^ 6. Выбивание
скачка из воздухозаборника сопровождается волнами разрежения, вызывающими сначала колебания скачка около сечения х1 до того момента, пока скачок под действием тепловой волны не приобретает значительной отрицательной скорости. Распространение волн разрежения вправо вызывает уменьшение приведенного расхода перед компрессором еще до того момента, как его достигает тепловая волна. Последняя, как известно, распространяется со скоростью потока и, а волны разрежения, представляющие собой изоэнтро-пийные возмущения, распространяются со скоростью и-\-а, где а — местная скорость звука. Согласно зависимостям Д/>=/(£) для сечения х = хк волны разрежения приходят в это сечение в моменты времени Ь = Ч и 6 соответственно для короткого и длинного каналов, а приход тепловых волн соответствует £^7,5 и 12. Эти моменты времени характеризуются резким изменением производной йр/сМ в сечении X;. Постепенное распространение тепловой волны по проточной части компрессора уменьшает значение щуг1* перед каждой ступенью, и в соответствии с условиями (3) падает напорность ступеней и всего компрессора в целом. В результате происходит „дросселирование" компрессора и от сеченияхкпротив потока распространяется волна сжатия. В силовой установке с коротким каналом быстро устанавливается новый стационарный режим, соответствующий работе компрессора на пониженных значениях п/У г* с перепуском избыточного расхода воздуха в отошедшем от сечения х1 головном скачке уплотнения, положение которого на фиг. 1, б показано двойной пунктирной линией. В силовой установке с длинным каналом создаются условия для протекания более сложного переходного процесса: волна разрежения, возникающая при выбивании скачка, успевает вернуть замыкающий скачок в положение, близкое к стационарному, прежде чем сечения х,- достигнет волна сжатия от компрессора (^-^33). Затем процесс выбивания скачка повторяется, вследствие чего повторяется и пик отрицательного приращения давления на зависимости Др=/(^) в сечении хк (см. фиг. 2). Новый стационарный режим течения в силовой установке с длинным каналом реализуется при г1 >70, т. е. время переходного процесса примерно на порядок превышает время действия самого возмущения.
Динамический процесс удобно проследить по перемещению рабочей точки в поле характеристик компрессора «2=^ (т., п/УI*). На фиг. 3 показаны три такие характеристики для п/У 1* = 1,00; 0,92 и 0,87. Рабочая точка для исходного стационарного режима располагается на характеристике я*=я*(/я, 1). В стационарном режиме с увеличенным в 1,3 раза полным теплосодержанием потока в сечении л = 0 рабочая точка располагается на характеристике к‘=1г*(/?г, 0,87). Квазистационарный переход из одной стационарной точки в другую происходит по пунктирной линии 5.
Нестационарное изменение полного теплосодержания на ту же величину с темпом ^ = 0,025 вызывает переходный процесс в си-
ловой установке с длинным каналом, покзанный на фиг. 3 сплошной кривой 1. Фаза процесса до прихода тепловой волны в сечение хк соответствует перемещению рабочей точки вблизи характеристики тс* = тг 1{т, 1) вследствие воздействия изоэнтропийных волн от движущегося скачка. Затем происходит переход на характеристику ^ = 71;.(/и, 0,87) и возникает связанное с повторным выбиванием скачка сложное движение рабочей точки вблизи этой характеристики. Новое стационарное положение рабочей точки достигается по траектории, характерной для устойчивого фокуса.
Интересно отметить, что до прихода тепловой волны в сечение хк эффекты нестационарности приводят к некоторому уменьшению i* на входе в компрессор и перемещению рабочей точки в область характеристик «/]//*> 1. Переходный процесс при воздействии тепловой волны с меньшим значением т = 0,006 происходит соответственно и с меньшим отклонением от квазистационарной рабочей линии (см. кривую 2 на фиг. 3).
Так как стационарные характеристики, показанные на фиг. 3, в действительности ограничены сверху границей устойчивой работы компрессора, то рассмотренные динамические отклонения рабочей точки от стационарных режимов могут привести к срыву течения в компрессоре и во всей силовой установке. Одним из средств защиты силовой установки от внешних возмущений могут служить створки перепуска воздуха в воздухозаборнике. Рассмотрим влияние на динамический процесс створки, открытой до момента возникновения возмущения. Створка расположена в сечении х = 5, а размер створки 2 = 0,1. Характер переходного процесса для случая предварительно открытой створки при воздействии возмущения с 8 = 0,3 и т = 0,025 показан на фиг. 3 кривой 3. Перемещение рабочей точки при этом оказывается примерно в два раза меньшим, чем в случае кривой 1. Еще более эффективным является уменьшение подачи топлива в камеру сгорания. Переходный процесс при воздействии того же возмущения и мгновенном уменьшении топлива на 30% в момент времени / = 0 показан на фиг. 3 кривой 4.
Будем характеризовать отклонение траектории рабочей точки от линии квазистационарного перехода величиной
Е = ах — К/Я*),]/(Я*/И)„
где индекс „тах“ соответствует точке максимального отклонения от стационарного режима, a s — точке стационарного режима. Тог-
да величина I будет характеризовать изменение запаса газодинамической устойчивости компрессора. Изменение величины \ в зависимости от 5 их для силовой установки с длинным каналом показано на фиг. 4. Зависимости £ = !(т) имеют слабо выраженный максимум и при больших т асимптотически стремятся к значениям реализуемым при воздействии на сверхзвуковой поток в сечении л:=;0 контактной поверхности.
В заключение отметим, что применение разработанной модели позволяет проводить численные эксперименты, направленные, прежде всего, на выяснение качественной картины динамических процессов в силовой установке.
Расчеты выполнялись на ЭВМ БЭСМ-6. Счет одного варианта занимает 0,5 ч машинного времени при 110 расчетных ячейках.
Автор признателен А. Н. Крайко, М. Я. Иванову, Ф. Ш. Гель-медову за участие в обсуждении работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Казакевич В. В. Автоколебания (помпаж) в вентиляторах и компрессорах. М., Машгиз, 1959.
2. Локштанов Е. А. Сосредоточенные параметры, харктери-зующие динамические свойства элементов систем с движущейся сжимаемой средой. В сб. „Лопаточные машины и струйные аппараты". М., „Машиностроение", 1966.
3. Локштанов Е. А., Оль штейн Л. Е. Применение энергетического метода для анализа устойчивости газовых систем с компрессорами. Сб. „Лопаточные машины и струйные аппараты11. М., „Машиностроение", 1966.
4. Ku hi berg 1. F. The dynamic simulation of turbine engine compressors. AIAA Paper, N 69-486.
5. Jansen W., S warden М. C., Carlson A. W. Compressors sensivity to transient and destorted transient flows. AIAA Paper, N 71-670.
6. Годунов С. К., Забродин А. В., Прокопов Г. П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. „Журн. вычисл. матем. и матем. физ.“, т. 1, № 6, 1961.
7. Иванов М. Я., Крайко А. Н. Численное решение прямой задачи о смешанном течении в соплах. „Изв. АН СССР. МЖГ“, 1969, № 5.
8. И в а п о в М. Я. К расчету течения газа в ударной трубе переменного сечении. “Изв. АН СССР. МЖГ", 1970, № 3.
9. Г р и н ь В. 'Г., И в а н о в М. Я., Крайко А. Н. Исследование динамики течения торможения идеального газа с замыкающим скачком уплотнения. „Изв. АН СССР. МЖГ", 1970, № 4.
10. Г р и п ь В. Т., И в а н о в М. Я, К исследованию нестационарного течения в канале при внезапном изменении условий в выходном сечении. „Изв. АН СССР. МЖГ", 1971, № 4.
1!. Г р и н ь В. Т., Иванов М. Я., Князева Н. Н,, К о р-з у н А. П., Крайко А. Н. К исследованию динамики течения торможения сверхзвукового потока идеального газа в каналах с продольными перегородками. „Ученые записки ЦАГИ", т. 2, № 4, 1971.
Рукопись поступила 12/XI 1974 г.
4 — Ученые записки № 6
