CC BY
74
УДК 534.11
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ СВОЙСТВ МЕХАНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С ДВИЖУЩИМИСЯ ГРАНИЦАМИ ПРИ ПОМОЩИ МЕТОДА КАНТОРОВИЧА-ГАЛЁРКИНА
В. Н. Анисимов, В. Л. Литвинов
Сызранский филиал Самарского государственного технического университета,
446001, Самарская обл., Сызрань, ул. Советская, 45.
E-mails: anisimov170159amail.ru, vladlitvinovarambler.ru
Разработана обобщенная методика использования метода Канторовича в совокупности с методом Галёркина для исследования резонансных свойств механических систем с движущимися границами.
Ключевые слова: резонансные свойства, механические системы с движущимися границами, амплитуда колебаний.
В настоящее время вопросы надежности при проектировании машин и механизмов требуют все более полного учета динамических явлений, имеющих место в проектируемых объектах. Широкое распространение в технике имеют механические объекты с движущимися границами. Это канаты в грузоподъемных установках, ленты в лентопротяжных механизмах, звенья передач с гибкой связью, стержни твердого топлива при сгорании и т. д.
Точные методы решения таких задач ограничены волновым уравнением и сравнительно простыми граничными условиями [1]. Из приближенных методов наиболее эффективен метод Канторовича—Галёркина. Он использовался ранее в работе [2] для решения волнового уравнения и уравнения изгибных колебаний балки при несложных однородных граничных условиях, заданных на одной движущейся и одной неподвижной границах.
В данной работе метод распространен на более широкий класс задач, которые в случае неподвижных границ могут быть решены методом разделения переменных. Особое внимание уделено анализу получаемых решений на резонансные свойства. Произведена оценка точности метода в зависимости от скорости движения границ.
Пусть требуется получить решение дифференциального уравнения в частных производных
Utt (£,т)+ L[U (£,т )]= ф(£,т) (1)
при граничных условиях
Yji[U (lj (er ),т)] = Fji(r); i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2, (2)
где L — линейный однородный дифференциальный оператор по переменной £ порядка 2m; Yji — линейные однородные дифференциальные операторы по £; ф(£,т), Fji(r) —заданные функции; e — малый параметр (обычно величина e соизмерима с v/a, v —скорость границы, а — скорость распространения колебаний).
Анисимов Валерий Николаевич — доцент кафедры общетеоретических дисциплин; к.ф.-м.н., доцент.
Литвинов Владислав Львович — преподаватель кафедры общетеоретических дисциплин.
Запись законов движения границ в виде lj (er) соответствует режиму медленного движения. Уравнение (1) и граничные условия (2)—самосопряжённые, и в случае неподвижности границ (lj (er) = const) может быть получено точное решение методом разделения переменных.
Заметим, что метод Канторовича—Галёркина позволяет учесть и начальные условия. Однако цель статьи — анализ резонансных свойств, а начальные условия не влияют на резонансные свойства линейных систем, поэтому в задаче (1), (2) начальные условия опущены.
Для того чтобы избавиться от неоднородностей в граничных условиях, вводится новая функция
и (£,т ) = V (£,т) + н (£,т ), (3)
где
2 m
н (£,т ) = ЕЕ Dkr (С^т )Fkr (т),
k=1r=1
а функция Dkr(С^т) удовлетворяют уравнению
L[Dkr (С^т )]=0 (4)
и условиям
^г^^(lj(єт),т)] Ч 0, fc = j С Г ф І, (5)
Решение задачи (4), (5) затруднений, как правило, не вызывает, и поэтому здесь она подробно не рассматривается.
Функция V(£,т) находится как решение следующей задачи:
Утт(С,т) + (С,т)] = Ш,т) - Нтт({,т),
(1з (ет),т )]=0. (6)
Для решения задачи используем метод Канторовича в совокупности с методом Галёркина. Решение задачи будем искать в виде
У(£,т) = Ё ?п(т)Хп(^’ет)’ (7)
п=1
где Хп(£,ет) —собственные функции следующей краевой задачи:
ЧХп (£,ет)] = и0п(£т )Хп (£,ет); (8)
^[Хп(^ (ет ),ет)] = 0.
Здесь Шоп(ет) —собственные частоты задачи. Оператор Ь не содержит производной по т, поэтому величина ет рассматривается как параметр.
Такой выбор координатных функций Хп обусловливает тот факт, что решение (7) является точным в случае, если границы неподвижны. При увеличении скорости движения границ точность метода будет уменьшаться.
Заметим, что функции Хп(£,ет) удовлетворяют граничным условиям (6) и играют в данном случае роль динамических, т. е. изменяющихся со временем, мод.
Разложим функции Н(£,т) в ряд Фурье:
Н(^’т) = Е фп(т)Хп(С,ет), (9)
п=1
где
12 (ет)
Фп(т) =
J Н(е,т)Хп(С,етмеж
Н(ет)
12 (ет)
I Хп(е,ет же к
к (ет)
Здесь д(£) —весовая функция.
Тогда, согласно методу Галёркина, с учётом (8), (9), функции /п(т) будут удовлетворять следующей системе:
Ь(ет)
2
'^2{/п(т )Хп (е,т ^ тт + Ш2п (ет )Хп (е,ет )/п (т ) + [фп(т )Хп (е,ет ^ тт] X Ч(ет) п=1
ь(ет)
х Хт(е,етЖСЖО = I ф(е,т)Хт(е,етЖСЖО, (10)
11 (ет)
где т € N.
Решение системы (10) затруднительно. При резонансных явлениях амплитуды всех динамических мод, за исключением резонансной, малы. Поэтому в каждом уравнении системы членами, не содержащими Хт(^,ет), в связи с их малостью пренебрегают. В этом случае система (10) становится расщепленной и уравнение для нахождения /п(т) принимает вид
Ь(ет)
J { [/п(т)+ фп(т)]Хп(е,ет) тт + Ш2п(ет)Хп(е,ет)/п(т)} х
Ь(ет )
ь(ет)
х Хп(е,ет)д(е)^ = I ф(е,т)Хп(е,етЖСЖ- (11)
11 (ет )
Введём новую функцию: цп(т) = /п(т) + фп(т), тогда уравнение (11) при-
мет вид
_2
А1п(ет)^п(т) + 2еА2п(ет)^'п(т) + е Азп(ет)/Лп(т) +
+ А1п(ет )^п (ет )^п(т) = 0п(т), (12)
і2 (єт) і2(єт )
где A1n(єт)= j Xn(С,єт)q(C)dC; єA2n(єт)= j Xn^(С,єт)Xn(С,єт)q(C)dC;
іі(єт ) іі(єт )
і2(єт )
є2Aзn(єт)= J X,n,TT(С,єт)X,n(С,єт)q(C)dC;
і2(єт )
~2 ^3n\^ I J -
іі(єт)
9п(т )= u2n (єт )A1n(єт )фп(т )+ J ф(С,т )Xn (С, єт )q(C)dC.
іі(єт)
С учётом (7), (9) решение (3) будет иметь вид
U (С,т ) = Ё Vп(т )Xn(^ ).
п=1
Данное решение показывает, что аналогично тому, как колебательные процессы для объектов с неподвижными границами выражаются суммой колебаний, соответствующих собственным функциям, так в случае движения границ появляется суперпозиция колебаний, соответствующих динамическим модам Хп^^т ).
В большинстве практических задач границы движутся в медленном режиме и параметр e мал, поэтому в дальнейшем величины порядка e2 учитываться не будут.
Для упрощения введем в уравнение (12) новую функцию
ц.п(т) = Аоп^т )уп(т), (13)
где
Аоп^т) = exp
o
2
В этом случае уравнение (12) с точностью до величин порядка е будет иметь вид
г/пОО + иІ(єт)уп(т) = 9п^ (14)
Aon (єт)A1n (єт)
Пусть внешнее воздействие на систему носит гармонический характер,
т. е.
ф(С,т) = Bo(Ocos Wo^);
Fjг(т ) = Bjг cos Wjг(т); j = І, 2; i = І, 2,...,m,
где Bo (С) —функция, характеризующая интенсивность распределённой нагрузки; Wo^), Wjг(т) —монотонно возрастающие функции; Bjг — постоянные величины.
Ограничимся рассмотрением случая, когда правую часть уравнения (14) можно представить в виде
= Мп(ет) cos W„(г), (15)
A0n(er )Ain (ет)
где Wn(r) —монотонно возрастающая функция.
Представление (15) возможно в следующих случаях: 1) все внешние возмущения равны нулю кроме какого-то одного; 2) функции Wo(t), Wji(r) отличаются на постоянную величину; 3) резонансные области внешних нагрузок не пересекаются, тогда при рассмотрении резонанса от одной нагрузки действием других можно пренебречь.
С учётом изложенного уравнение (14) примет вид
у'П(т) + иП(ет)уп(т) = Мп(ет) cos Wn(T). (16)
Решение данного уравнения при начальных условиях у(0) = 0, у'(0) = 0 записывается следующим образом [3]:
Т
Уп(т) = j Yn(T, Z)Mn(eZ) cos Wn(Z)d(, (17)
0
где
yin(T~)У2п(() - yin(z)У2и(т)
Yn(T,z) =
yin(z)y,2n(z) - y'ln(z)y2n(z) ’
а У1п1 У2п — линейно независимые решения однородного уравнения, соответствующего (16).
С помощью метода малого параметра [4] с точностью до величин порядка
2 ~ ••
е2 найдем:
У1п(т) = йп(ег)8т ■Шп(т); У2п(т) = ап(ет)с0в ■Шп(т), (18)
где функции ап(ет) и wn(т) определяются из системы уравнений
й-тп(т)
-1—=и)п(£т), йап(ет) ап(ет) д,Шп(ет)
dт 2un (ет) dт
решение которой даёт
Т
wn(r) = шп(ет)с1т; ап(ет) =
J у и
у и^ет)
0
1
Возвращаясь к решению (17), с учётом (18) получим:
т
Уп(т) = ап(єт) 8Іп -т^т) J
Мп(є() 008 ^п(С) 008 -Шп(()
—
- ап (єт) 008 №п(т) У
ап(єС )^п (с)
т
Мп(є() 008 ^п(С) 8ІП №п(С)
ап(єС )^п(с)
Разлагая произведение тригонометрических функций в сумму и учитывая замену (13), можно получить следующее выражение для полной амплитуды колебаний, соответствующих п-ной динамической моде:
А1(т) = п(єт)а2п(єт)<
т т
fFn(є() 008 Фпі(СЖ + JFn(є() 008 Фп2(СЖ
+
0
т
+
Мп(є С)
т -| 2 N
JFn(є( )8ІпФпі(С Ж + JFn (є( )8ІпФп2(С Ж >, 00
Фпі(0 = »п(О - ^п(С); Фп2(С) = ^п(С) + ^п(С).
где ^га(е() = .
апН )^п(С)
Здесь функция Fn(eZ) знакопостоянна, так как функции Мп(е() положительны, а произведение ап(е()^П(С) знакопостоянно (оно равно якобиану двух линейно независимых функций У1п и У2П)- Функции wn(Z) и ^п(£) монотонно возрастают, поэтому фаза ФП2(С) изменяется быстрее фазы свободных колебаний, которая определяется функцией wn(Z). Следовательно, участок знакопостоянства функций 8тФП2(£), оозФП2(С) меньше половины периода свободных колебаний, т. е. период возрастания соответствующих интегралов невелик. Интегралы же, содержащие втФП1(£), еозФП1(^), возрастают в течение всего периода, пока наблюдается резонансное явление, и вносят основной вклад в амплитуду. Пренебрегая членами, содержащими ФП2(С), получим следующее выражение для амплитуды колебаний:
1
Л* 00 = -А0п(єт)ап(єт)<
т
I Fn(єС) 008 Фпі(СЖ
0
+
+
Fn(єC) 8ІП Фпі((Ж
(19)
Полученное выражение удобно для анализа резонансных свойств систем с движущимися границами. В таких системах различают два вида резонансных явлений: установившийся резонанс и прохождение через резонанс.
Установившийся резонанс — это явление резкого увеличения амплитуды колебаний в случае, когда изменение частоты внешней силы и одной из собственных частот согласованы таким образом, что создаются наилучшие условия для возрастания амплитуды.
2
2
2
т
Прохождение через резонанс — это явление резкого увеличения амплитуды в течение конечного промежутка времени, когда мгновенная частота одного из собственных колебаний проходит через значение возмущающей частоты.
Заметим, что при стремлении скорости движения границ к нулю явление установившегося резонанса и явление прохождения через резонанс вырождаются в явления обычного резонанса для системы с неподвижными границами.
Из выражения (19) следует, что установившийся резонанс будет наблюдаться, если $ni(C) = Y = const.
Явление прохождения через резонанс наблюдается во временной области, содержащей точку то, где ФП^Тз) =0. В этой точке мгновенная частота п-ного собственного колебания проходит через значение возмущающей частоты. Прохождение через резонанс начинается не доходя до точки то и заканчивается за этой точкой. Если принять амплитуду в начале резонансной области (точка Ti) равной нулю, то амплитуда в конце резонансной области (точка T2) будет определяться следующим выражением:
Исследование прохождения через резонанс заключается в определении границ резонансной области т\ и 72, соответствующих максимуму выражения (20), причём т\ < то, а т2 > то.
В качестве примера рассмотрим вынужденные колебания струны с равномерно движущейся границей. Зависимость силы сопротивления движению струны примем пропорциональной её скорости. Тогда дифференциальное уравнение, описывающее колебания струны, будет иметь вид
где р — линейная плотность массы струны; Т — сила натяжения струны; Л — сила сопротивления среды, действующая на единицу длины струны при единичной скорости поперечного движения; 2(х,Ь) —поперечное смещение точки струны с координатой х в момент времени Ь.
Рассмотрим граничное условие следующего вида:
где 1о(Ь) = ^о + УоЬ — закон движения границы; ^о(шоЬ) —монотонно возрастающая функция; В, ио —постоянные величины (в случае действия гармонического возмущения ио является частотой возмущения).
Введём в задачу (21), (22) безразмерные переменные:
2
АП(т1; T2) = Е (т2)< У Fn(e( )шзФп1(С )d( +
LT1
(20)
pZtt(x, t) - TZxx(x, t) + AZt(x, t) = 0,
(21)
Z(0,t) =0; Z(l0(t),t) = B cos W0(w0t),
(22)
£ = wo —, r = uoot + Z(x,t) = Bz(£,t)
a V0
(23)
(24)
и новую функцию г(£,т) = ехр(-ат)[/(£,т), где а = а = ^-р.
Тогда после преобразований получим:
Цгт (С, Т) - % (С, т) - а2 и (С, т) = 0; и(0, т) = 0; и(1(е, т), т) = ехр(ат) 008 Ш(т).
Здесь использованы следующие обозначения:
1(е,т) = 1+ет, £ = —, И^(т) = ТУо(т + 7о), 70 = -—
а
Заметим, что величина ехр(-2па) характеризует относительное изменение амплитуды свободных колебаний за одно собственное колебание, и а в большинстве случаев является величиной того же порядка малости, что и е.
Для решения задачи используем описанную выше методику.
В результате получим следующее выражение для амплитуды колебаний, соответствующих п-ной динамической моде:
(т) = (т)
(С) 008 Ф„ (СЖ
+ / (С)8шФ„ (СЖ
(25)
где
^„(ет) =
7Г 2П2
1{ет)
а
пп
Ып{т) = ------
£
Б(ет) = у 1 —
а(1 + ет)
пп
2
!, 1 + 5(ет)
2 ехр(—2си~) _
п А1(£т)шп(£т)'
(—1)„+12пп ехр(а()
Фп(С) = МО - ^(С); Ега(С) = -
л/^„(е( )13(е()
Установившийся резонанс в рассматриваемой системе наблюдается, если
Ш (С) = (С) + 7,
где 7 — постоянная величина. Амплитуда при этом имеет вид
т
ехр(а()
Г
Лг(т) = ехр(-ат) ■
1+ еС
ис-
численное исследование этого выражения показывает, что при уменьшении длины струны (е < 0) амплитуда колебаний непрерывно возрастает. При увеличении длины (е > 0) амплитуда сначала возрастает, достигая некоторого максимального значения, а потом начинает убывать. Убывание амплитуды связано с тем, что демпфирующие силы, начиная с некоторого момента времени, начинают преобладать над возмущающими, так как длина колеблющейся части увеличивается.
Зависимость максимальной амплитуды от а и е (от номера п она не зависит) приведена в таблице.
2
2
а г
0,001 0,005 0,010 0,100 0,200
0,00 1000 201 101 10,1 5,1
0,05 51,3 27,1 20,1 5,4 3,3
0,10 31,5 17,3 13,4 4,2 2,7
Исследуем явление прохождения через резонанс, возникающее в струне под действием силы постоянной частоты, т. е. Ш(т) = т, что в исходной системе соответствует действию силы С частотой Шо.
Максимально возможная амплитуда колебаний совпадает с максимумом выражения
Г Т2
АП(т1,т2) = ЕП (т2)
Е„(() 008 Ф„(()^С
'-Ті
Г Т2
+
Е„(С) 8ІП Ф„(()^С
■-Т1
Прохождение через резонанс начинается не доходя до точки то (ті < то) и заканчивается за этой точкой (т2 > то). Сама точка то определяется по следующей формуле:
пп
То
^гт
-1
а2
В результате исследования прохождения через резонанс получена зависимость максимальной амплитуды колебаний, возникающих при прохождении через резонанс на первой динамической моде, от а и е.
Данная зависимость приведена на рисунке.
Анализ графика показывает, что амплитуда при а = 0 является оценкой сверху для амплитуды колебаний, возникающих при прохождении через резонанс, когда а > 0. Когда действие демпфирующих сил не учитывается (а = 0), задача (23), (24) может быть решена точным методом. Это сделано в работе [5]. Сравнение результатов показывает, что
метод Канторовича—Галёркина даёт в рассматриваемом случае (е < 0,1) удовлетворительные по точности результаты (погрешность лежит в пределах 5%).
Зависимость амплитуды колебаний струны от а и е при прохождении через резонанс на первой динамической моде
2
2
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Весницкий А. И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с.
2. Лежнева А. А. Изгибные колебания балки переменной длины// Изв. АН СССР. МТТ, 1970. — С. 73-81.
3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976. — 576 с.
4. Митропольский Ю. А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. — М.: Наука, 1964. — 432 с.
5. Анисимов В. Н. Исследование резонансных свойств одномерных механических систем с движущимися границами. — Куйбышев: КПтИ, 1985. — 18 с.—Деп. в ВИНИТИ 03.07.85, № 807-85.
Поступила в редакцию 15/1/2009; в окончательном варианте — 16/11/2009.
MSC: 74H45, 74K05
INVESTIGATION OF RESONANCE CHARACTERISTICS OF MECHANICAL OBJECTS WITH MOVING BORDERS BY APPLICATION OF THE KANTOROVICH-GALYORKIN METHOD
V. N. Anisimov, V. L. Litvinov
Syzran’ Branch of Samara State Technical University 45, Sovetskaya st., Syzran’, Samara region, 446001.
E-mails: anisimov170159amail.ru, vladlitvinov@rambler.ru
Generalized procedure of the Kantorovich-Galyorkin method application for studying of resonance characteristics of mechanical systems with moving borders was developed,.
Key words: resonance characteristics, mechanical systems with moving borders, amplitude vibrations.
Original article submitted 15/I/2009; revision submitted 16/II/2009.
Anisimov Valeriy Nikolayevich, Ph. D. (Phys. & Math.), Ass. Prof., Dept. of general-theoretical disciplines.
Litvinov Vladislav Lvovich, Teacher, Dept. of general-theoretical disciplines.
