Продольные резонансные колебания вязкоупругого каната грузоподъёмной установки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.11

ПРОДОЛЬНЫЕ РЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОУПРУГОГО КАНАТА ГРУЗОПОДЪЁМНОЙ УСТАНОВКИ

© 2016 В.Н. Анисимов

Сызранский филиал Самарского государственного технического университета

Статья поступила в редакцию 27.05.2016

В статье исследуются резонансные свойства каната грузоподъёмной установки. Объект исследования относится к широкому кругу колеблющихся одномерных объектов переменной длины. Для описания колебаний использована классическая математическая модель . При решении использовался метод Канторовича-Галёркина . В отличии от асимптотических методов решение имеет модовую структуру, что позволяет анализировать резонансные свойства каната. Пренебрежение малыми величинами позволило получить сравнительно простое выражение для амплитуды резонансных колебаний. С помощью полученного выражения проанализированы явления установившегося и прохождения через резонанс. В отличии от большинства исследований в данной области в статье приведены количественные характеристики резонансных свойств. Результаты анализа представлены в виде графиков. Решение произведено в безразмерных переменных, что позволяет использовать полученные количественные результаты для анализа колебаний технических объектов. Ключевые слова: колебания объектов с движущимися границами, краевые задачи, математические модели, резонансные свойства.

В статье исследуются резонансные свойства каната грузоподъёмной установки. Объект исследования относится к широкому кругу колеблющихся одномерных объектов переменной длины [1-16].Для описания колебаний использована классическая математическая модель [2, 16]. При решении использовался метод Канторовича-Галёркина [5, 7]. В отличии от асимптотических методов [2, 16] решение имеет модовую структуру, что позволяет анализировать резонансные свойства каната. Пренебрежение малыми величинами позволило получить сравнительно простое выражение для амплитуды резонансных колебаний. С помощью полученного выражения проанализированы явления установившегося и прохождения через резонанс. Результаты анализа представлены в виде графиков. Решение произведено в безразмерных переменных, что позволяет использовать полученные количественные результаты для анализа колебаний технических объектов.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Схема грузоподъёмной установки изображена на рис. 1. Для модели введены следующие обозначения: р - объёмная плотность материала каната; Б - площадь поперечного сечения каната; Е -модуль упругости; ц - коэффициент, характеризующий свойство вязкоупругости материала каната на основе структурной модели Фойгта; -длина провисающей части каната, находящегося

Анисимов Валерий Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой обшете-оретических дисциплин. Е-таП: [email protected]

Рис. 1. Схема грузоподъемной установки

в недеформированном состоянии; у(^) - окружная скорость барабана; т - масса груза.

Обозначим Е(х, ^ - смещение точки каната с координатой х в момент времени t. Ось х связана с неподвижной системой координат (точкой подвеса барабана). В начальный момент времени точки недеформированного каната связаны с точками оси х. На рис. 1 недеформированный канат изображён в начальный момент времени. Между и имеет место следующее соотношение:

/чо(1+гхат ± о, о) = -ко. (1)

При спуске используется значение + 0» 0 , т.е. выше точки подвеса. При подъёме ZxQ.it) — 0, 0 , т.е. ниже. После пренебрежения О + 0,0 по сравнению с единицей получим:

Г(0 = -К0 .

Математическая модель, описывающая продольные колебания каната, имеет вид [2]: pZtt(х, t) - EZxx(x, t) - fiZxxt(x, t) + pg = 0; mZtt(0, t) - ESZx(0, t) - nSZxt(0, t)+mg = 0; Zt(l(t),i)=v(t)-,

Z(x, 0) =

+ Zt(x,0) = vo(0). (2)

Введём новую функцию Z(x, t) = u(x, t) + r^{x- m) + %(x2- KO)2).

ES

Здесь функция

(||(*-*(о)) + §Сс2-г(о)2))

характеризует первоначальные деформации каната, компенсирующие вес груза и троса. В результате задача (2) примет вид:

рип(х, 0 - Еихх(х, 0 - 1лихМ(х, 0 = 0; (3) тий(0,1) - Е5их(0,0 - ц5их1(0, г) = 0; (4) и1С1(1)Д) = уС1); (5)

и(х, 0) = 0 ; щ(х, 0) = г?(0).

Выразим 0 через полную производную

щт, о = ¿у - щт. 01Ч0-

С учётом равенства (1) и интегрирования по & граничное условие (5) примет вид

«0(0,0 = /„V(ç)dç = F(t).

(6)

Статья посвящена изучению вынужденных колебаний объекта, поэтому в дальнейшем начальные условия не рассматриваются. Примем l(t) = -v0t + l(0), где Vq средняя окружная скорость барабана в период наблюдения резонансного явления. Для F(t) возьмём следующее выражение:

F(0 = v0t + Asin w(t), (7)

где Asinrn(t) характеризует слабые возмущения гармонического характера, связанные с отклонением формы барабана от окружности, а также с вибрациями барабана.

Введём безразмерные переменные:

? = Т = Щ1' и(*,0 = Ш>Ж?,т);

1

¿(0)

l(t) = L(e0 т) = 1 + £0т;

а =

Е _ v0 р а

Здесь а - скорость распространения продольных волн. Малый параметр е0 характеризует медленность движения границы по сравнению со скоростью волн.

В результате задача (3)-(5) с учётом (6),(7) примет следующий вид:

т) - т) - т) = 0; (8)

!/„(0,т) - ¿(^(0,т) + ^(О.т) = 0; (9) и (/, (е0т), т) = £0Т + ВзтУУ (т), (10)

где

Малый параметр е1 характеризует малость сил внутреннего трения по сравнению с упругими силами. Параметр М представляет собой отношение массы груза к массе каната.

Выразим итт(^,т) из (8) и подставим в (9). В результате граничное условие (9) примет следующий вид:

%(0, т) - £ Щ(0, т) + £1 (%т(0, т) -1 Щт(0, т)) = 0.

(11)

Для выполнения граничного условия (11) достаточно чтобы

%(0,т)-^(0,т) = 0. (12)

Для получения однородных граничных условий введем новую функцию:

и((, г) = + Н«,т) - £0г,

где

В результате задача (8),(10),(12) примет следующий вид:

Угх(5,т) - У^.т) - =

= -Н„& т) + %(£,т) + ЕгЩ^.х) .(13) ^(0,т) - = 0; 7а(£0О,т) = 0. (14)

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Решение будем производить с точностью до членов порядка малости е2 , т.е. членами, содержащими е02 и е0е1 , будем пренебрегать. Для решения задачи (13), (14) будем использовать метод Канторовича-Галеркина [5]. Решение будем искать в виде

(15)

где

ВД т) = (РпШп^, С0т). (16)

В качестве Хи(§,е0т) возьмём следующие функции:

= зт(шп(£0т)(^ - ¿О0т))) ■ (17)

Данные функции удовлетворяют граничным условиям (14), если ю„(е0х) удовлетворяет уравнению

^п(£оТ)^(Шп(£0Т)^(£0Т)) = ^ ■ (18)

Заметим, что функции (17) при неподвижной границе (е0 = 0) являются собственными формами

колебаний. В этом случае метод Канторовича-Га-леркина дает точное решение. При увеличении е0 точность уменьшается. Статья посвящена анализу резонансных явлений наблюдаемых на одной из собственных частот. Амплитуда колебаний на резонансной частоте многократно увеличивается. Амплитуда колебаний на нерезонансных частотах соизмерима с возмущающими воздействиями. При этом нерезонансными членами ряда (15) можно пренебречь и рассматривать решение только на одной резонансной моде.

Функции, определяемые выражением (17), не являются ортогональными, но ортогональными являются их производные по т. е.

COS (iUnOoT)(£ - ¿ОоТ)))-

Проинтегрируем уравнение (13) по ^ и подставим в него УД,т), определяемое выражением (16). Согласно методу Канторовича-Галеркина, умножим полученное уравнение на

COS (¿0пО0т)(£ - L(£0t))) и проинтегрируем

по d| в интервале от нуля до 1(т). В результате с точностью до величин порядка е2 получим следующее уравнение для определения функций фп(т):

<(т) + 2Лп(т)<р;(т) + б^(£0т)<рп(т) =

+ ш2О0т)<РпО) = pn(j)sinW(T), (19)

где

2Л0(т) =

ML(£0T)

L'(£0т) , L'(e0T)

2 М

-£0 +

L(£0T)

-О >

2Ап(т) = £1

Р0(?) =

п2п2

+ £0

1\£0Т)

L2(f0Т) L(E0T) '

В

(ÚQ{EQT)L{£ 0Т)

(W'(T))2 + W'(j)

L2 (£0т) + 2M\ Ш0 (£0т) ) )' 2 В

Рп(т) =

£ünOoT)LOoT) 2

(W'(t))2 +

_/ W'(j)

+ L2(E0T) + 2M\1 б^от)11" (20)

При получении коэффициентов(20) использованы следующие приближённые значения частот уравнения (18) и их sin:

1

Ш0(£0Т)

jML(e0Т) '

sin(a)0(£0T)L(£0T)) «

L(£0т)

тип 1 ^n(foT) я—-7 +

¿(£0т) ттМ'

Данные значения имеют погрешность менее 5% при М>3. При получении коэффициентов (20) отброшены члены, которые имеют значимость менее 5% по сравнению с другими членами.

Введём в уравнение (19) новую функцию:

<Рп(т) = Сп(г)уп(г), (21)

где Сп(т) = ехр (- .

В результате уравнение (21) с точностью до величин порядка е2 примет вид: Уп (т) + б02(£0т)уп(т) = Д^т^пИ^т), (22)

П ^ РМ где ип{Т)= -—Г .

СП[Т)

Функции Сп(т) с учётом (20) имеют вид: С„Ст) = ехр(-1(1+^)1„(Д£ог)) + ^);

с»(г) = ехр("^£т"51п(Д£оТ)))- (23)

Два линейно независимых решения однородного уравнения соответствующего уравнению (22) с точностью до величин порядка е2 имеют вид:

УтСО = ап(£0т) С05(и/П(т)); Упг(т) = ап(£0т) sin((wnт)),

где

'п(т) = й)п(£0т)йт ; ОпС^т) = -== 3 (!)„(}

W,

V^n(£0T)

После интегрирования получим

Решение уравнения (21) при нулевых начальных условиях имеет вид:

- Рп(у) С(«(шп(?)) мп^ (0)

ÍPn(r) = -CnWdnCfoT) sin KM) f -

-С„(т)а„(е0т) cos (w„W) J

Pnfr)sm(wn(y))sin(M4y))

M

После пренебрежения нерезонансными членами и с учётом (21) получим следующее выражение для амплитуды вынужденных колебаний на п-ной динамической моде:

А2п(т) = ^Вп2(т) =

т

= #(Т)((I ^(0 С05(Фп(0)^)2 +

+(|^(Озт(Фп(ОК)2). (24) о

Величина Ап(х) показывает во сколько раз амплитуда колебаний Вп(х) превосходит интенсивность внешнего возмущения В.

Функции, входящие в выражение (24), имеют вид:

1

£п(т) = ^(Сп(т)ап(£0т))2;

р (О = -

71 ¿>п(£оОап(£от) ' ФпСО = «'„СО - ИЧО.

АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ

С помощью выражения (24) были проанализированы резонансные свойства объекта. Установившийся резонанс наблюдается, если Фп(0 = 0 . Если принять функцию медленного времени ¿(£0т) равной единице, то изменение амплитуды колебаний с учётом (23) будет описываться следующим выражением:

Лп(.т) =

П2П2£1

1 - ехр |

п■2П2£1Т>*

Явление прохождения через резонанс наблюдается при внешнем возмущении постоянной частоты W(т) = Ох. На рисунках, приведённых ниже, представлены количественные результаты прохождения через резонанс. Возмущающая частота О подбиралась таким образом, чтобы наилучшие условия для увеличения амплитуды

наблюдались при х = 0.

На рис. 2 и 3 показано как изменяется амплитуда А0(х) и А1(х) в резонансной области при значении параметра М равном 5. Кривые 1, 2, 3, 4 и 5 получены для е0 соответственно равных 0.01, 0.02, 0.03, 0.04 и 0.05 .Собственная частота ю0(е0 х)

обратно пропорциональна -у/¿(е0т) , а ю1(е0 х) обратно пропорциональна 1(е0 х) , поэтому на нулевой собственной частоте прохождение через резонанс происходит медленнее, чем на первой.

На рис. 4 и 5 показано, как изменяется амплитуда колебаний А0(х) и А1(х) в зависимости от скорости изменения длины канатае0. На рис. 4 кривые 1, 2, 3 и 4 получены для значений М соответственно равных 50, 20, 10 и 5. Параметр вязкоупругости е0 слабо влияет на А0(х), т.к. при колебаниях на нулевой частоте основная часть энергии колебаний связана с колебанием груза, а малые демпфирующие силы действуют в канате. При колебаниях на первой и последующих частотах основная часть энергии колебаний связана с колебанием точек каната при этом параметр М, характеризующий массу груза, слабо влияет на амплитуду, а демпфирующие силы оказывают на амплитуду существенное влияние. На рис. 5 кривые 1, 2 и 3 получены для значений е0 соответственно равных 0, 0.01 и 0.05.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в отличии от асимптотических методов, использование метода Канторови-ча-Галёркина позволило для изучения колебаний получить решение, имеющее модовую структуру. Это актуально при анализе резонансных свойства каната. Пренебрежение малыми величинами позволило получить сравнительно простое выражение для амплитуды резонансных колебаний, что упрощает анализ резонансных свойств объекта.

Д0А

30

25

20

/

к 2

/ -3 \

/

/ \ 5 У

01

-60 -40 -20 0

20 40

60

Рис. 2. Изменение амплитуды А0 в резонансной области

д, а 18

-20 -15 -10

Рис. 3. Изменение амплитуды А1 в резонансной области

Ао

14С

100

40

20

С 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

£0

Рис. 4. Зависимость амплитуды А0 от скорости движения границы

В отличие от большинства исследований в данной области в статье приведены количественные характеристики резонансных свойств. Результаты анализа представлены в виде графиков. Решение произведено в безразмерных переменных, что позволяет использовать полученные количественные результаты для анализа колебаний технических объектов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самарин Ю.П., Анисимов В.Н. Вынужденные поперечные колебания гибкого звена при разгоне // Изв. Вузов. Машиностроение, 1986. № 12. С. 17-21.

2. Горошко О.А., Савин Г. Н. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины. Киев: Наукова думка, 1971. 270 с.

3. ЛежневаА.А. Изгибные колебания балки переменной длины // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1970. № 1. С. 159-161.

4. Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами. М.: Физматлит, 2001.320 с.

5. Анисимов В. Н., Литвинов В. Л. Исследование резонансных свойств механических объектов при помощи метода Канторовича-Галёркина // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2009. № 1(18). С. 149-158.

6. Анисимов В. Н., Литвинов В. Л., Корпен И. В. Об одном методе получения точного решения волнового уравнения, описывающего колебания систем с движущимися границами // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки. 2012. № 3(28). С. 145-151.

7. Динг Ху, Чен Ли-Квун Методы Галеркина для собственных частот движущейся в осевом направлении балки // Общие вопросы механики. Общая

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Рис. 5.Зависимость амплитуды А0 от скорости движения границы

механика. 2011. № 2.

8. Котера Тадаши. Вибрация струны с изменяющейся во времени длиной // Бюллетень Японского общества механической инженерии. 1978. Т. 21. № 162. С. 1677-1684.

9. ЖуВ.Д., Женг Н.А. Точная реакция поступательно движущейся струны с произвольно меняющейся длиной при внешнем возбуждении общего вида // Общие вопросы механики. Общая механика. 2010. № 4.

10. ЛейХ. Влияние резких изменений жесткости основания железнодорожного полотна на его вибрацию при движущейся нагрузке // Общие вопросы механики. Общая механика. 2010. № 3.

11. Сахебкар С.М., Гхазави М.Р., Кхадем С.Е., Гхаёш М. Х. Анализ нелинейной вибрации движущейся в осевом направлении бурильной колонны с зависящими от времени осевой нагрузкой и осевой скоростью в наклонной скважине // Общие вопросы механики. Общая механика. 2011. №7.

12. Жу В. Д., Чен Й. Теоретическое и экспериментальное исследование динамики и управления каната лифта // Общие вопросы механики. Общая механика. 2006. № 9.

13. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л., Корпен И.В. Постановка задачи о колебаниях балки с движущейся подпружиненной опорой // Вестн. Сам.гос. техн. унта. Сер. Технические науки. 2013. № 1(37). С. 93-98.

14. Тихонов В.С., Абрамов А.А. Поперечные колебания гибкой нити переменной длины в потоке // Вестник МГУ. Сер. 1, 1993. № 5. С.45-48.

15. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Математические модели продольно-поперечных колебаний объектов с движущимися границами // Вестн. Сам.

80

60

2

0

гос. техн. ун-та. Сер. Физ-мат. науки. 2015. Т. 19.

задаче математической физики с подвижной границей // Извест. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 1. С. 22-27.

№ 2. С. 382-397.

16. КечеджиянЛ.О., ПинчукН.А., СтолярА.М. Об одной

LONGITUDINAL RESONANT OSCILLATIONS OF VISCOELASTIC ROPE OF CAPACITY PLANTS

© 2016 V.N. Anisimov

Syzran' Branch of Samara State Technical University,

The resonance properties of the rope hoisting installations are investigated in the article. The object of study refers to a wide range of vibrating one-dimensional objects of variable length. Classical mathematical model used to describe the vibrations. Kantorovich-Galerkin method was used in the solution. The solution has a mode structure, unlike the asymptotic methods, allowing you to analyze the resonance properties of the rope. Neglecting small quantities provides a relatively simple expression for the amplitude of resonance oscillations. The phenomena of resonance and the steady passage through resonance analyzed using the resulting expression. The quantitative characteristics of the resonance properties are given in the article, unlike most of the research in this area. The results are shown in graphs. The decision is made in terms of dimensionless variables, that allows the quantitative results obtained for the analysis of vibrations of technical objects.

Keywords: fluctuations objects with moving boundaries, value problems, mathematical models, resonance properties.

Valery Anisimov, Candidate ofTechnics, Associate Professor, Head at the General Theoretical Disciplines Department. E-mail: [email protected]