CC BY
24
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
вания: предлагаемая методика преподавания исключает разрыв между математической и компьютерной подготовкой и обеспечивает тесную связь обучения математическим методам с общеинженерной подготовкой специалиста.
Библиографический список
1. Вернадский, В.И. О науке. Т.1. Научные знания. Научное творчество Научная мысль / В.И. Вернадский. - Дубна, 1997. - 640 с.
2. Шелобаев, С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах и бизнесе / С.И. Шелобаев. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. - 367 с.
3. Данилин, Г.А. Математичекие методы с Mathcad / Г.А. Данилин, П.А. Курзин, В.М. Курзина. - М.: МГУЛ, 2003. - 152 с.
4. Данилин, Г.А. Математичекое программирование с EXCEL / Г.А. Данилин и др. - М.: МГУЛ, 2005. -114 с.
5. Курзина, В.М. Элементы теории вероятностей с примененнием EXCEL / В.М. Курзина, П.А. Курзин. - М.: МГУЛ, 2005. - 92 с.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ МЕЖДУ ПРОДОЛЬНЫМИ И ПОПЕРЕЧНЫМИ ДВИЖЕНИЯМИ ГИБКОЙ ДЕФОРМИРУЕМОЙ НИТИ
А.В. БРЮКВИН, доц. каф. теоретической механики МГУЛ, канд. техн. наук, О.Ю. БРЮКВИНА, ст. преподаватель каф. прикладной математики МГУЛ
Во многих задачах механики (например, задача о колебании струн и деки музыкальных инструментов) требуется найти вклад продольных составляющих в динамическое нагружение гибких связей и присоединенных к ним элементов конструкций. Решение данной задачи представляет значительные трудности. Однако, проанализировав интеграл энергии для общего случая движения нити, напряжение в которой описывается произвольной функцией деформации, возможно найти распределение энергии колебаний гибких связей между продольным и поперечным колебаниями.
В данной статье найдено распределение энергии между продольным и поперечным движениями в двух задачах: движения нити при поперечном перемещении одной ее точки с постоянной скоростью и свободных движений нити, закрепленной на концах и имеющей в начальный момент симметричную треугольную форму.
Эти задачи характерны при рассмотрении колебаний струн музыкальных инструментов. Показано, что вклад продольного движения в энергию имеет тот же порядок, что и поперечного.
Энергия колебаний гибкой нити
Рассмотрим движение гибкой нити, имеющую в начале прямолинейную форму и свободную длину l. Нить имеет начальную
плотность р, а силы натяжения нити направлены по касательной к ней (нити) и подчиняются произвольному закону T = T(e), где e
- текущее относительное удлинение отрезка нити.
Кроме того, на нить действуют внешние погонные силы, проекции которых на оси обозначим соответственно F, F, F.
x y z
Для описания движения нити введем декартовую систему координат, причем ось Ox проведем вдоль начального положения нити. Перемещение каждой точки нити будет описываться функциями, зависящими от времени t и лагранжевой координаты s (координата точки на оси Ox до начала деформации), которые обозначим: x = x(s, t) - перемещение вдоль оси Ox, а y = y(s, t) и z = z(s, t)
- соответственно перемещения вдоль осей Oy и Oz.
В процессе движения длина элемента нити ds, как известно [1], составит
i(1+x')2+(Ю2+(z')2ds,
а его удлинение
e=^(i+x') +0-0 +(z') -1.
В пространстве положение элемента будет описываться направляющими косинусами, которые с осями Ox, Oy, Oz составят соответственно величины
1 + x' y' z'
cosa=---1; cosp=——; cos y=——. (1)
1+e 1+e 1+e
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008
141
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Уравнения движения элемента нити длиной ds в проекциях на введенные оси будут иметь вид
px = (r(e)cosa)'^ + Fx, py = (T^cosP)', + Fy, pz = (T(e)cosY)'s + F (2)
Запишем выражение для полной энергии W продольно-поперечного движения нити, состоящей из суммы кинетической и потенциальной энергии,
W=iJ{p[(X)2 + (У2 + (Z)2]+jTft)rf«ds. (3)
20 0
Вычислив производную по времени t от полной энергии W и используя уравнения продольно-поперечных колебаний (2) и выражения для направляющих косинусов (1), получим
d-=XT (e)cosaf + yT (е)^р[° +
dt b b b
+zT(e)cosY0 + JxFyds+JyFxds+JzFzds,
0 0 0
т.е. изменение энергии продольно-поперечного движения нити равно сумме работ проекций Fx, F Fz на соответствующих перемещениях внешних сил и работ реакций опор в точках закрепления нити на концах.
При нулевых граничных условиях в точках закрепления нити работа реакций опор равна нулю, а при отсутствии и внешних сил энергия постоянна W = const.
Распределение энергий продольных и поперечных движений нити в случае поперечного перемещения одной ее точки с постоянной скоростью V0
Будем считать, что напряжение подчиняется закону Гука T = Ее, где E - модуль упругости. Рассмотрим интервал времени, когда волна не дошла до заделанных концов, т.е. отсутствуют отраженные волны. В этом случае достаточно рассмотреть полубесконечную нить, левый конец которой двигается с постоянной скоростью V0 перпендикулярно начальному положению струны (рис. 1).
В этом случае нить можно разделить на три участка:
первый участок до прохождения продольной волны L (энергия на этом участке равна потенциальной энергии от продольной начальной деформации е0);
второй участок продольного возмущения после прохождения продольной волны L (деформация на этом участке е а из-за отличия в величинах е0 и е1 на первом и втором участках имеет место продольное движение частиц нити со скоростью u0 = a0(e0 - е1) вдоль нити);
третий участок поперечного возмущения после прохождения поперечной волны S (деформация на этом участке также е1, а поперечная скорость частиц V0).
Лагранжевы скорости продольных и поперечных волн будут соответственно определяться
a
E
Vpc
и b = dS / dt
Ее (1+е1)
ТтЧ =а0—:--------
}p0 (1 + е1)
1+е
. (9)
Используя решение [1], получим формулы для вычисления угла 9 и удлинения е1 на втором и третьем участках нити.
1-cos9 =
е
sin 9=
V
>М(1+е)’ аА е1(1+е)
(10)
Поскольку потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной, за начало отсчета энергии элемента AS примем величину Е0 = (Ее02 / 2) AS, до прохождения продольной волны. Тогда на первом участке энергия будет равна нулю, а полная энергия всей нити будет складываться из энергий на втором и третьем участках. Вычислим полную энергию W в произвольный момент времени t , учитывая, что длина третьего участка bt, а длина второго участка
(а0 - b)t
W =
V02+Еел
22
bt+
А
гт + Еел 2 2
(а0 -b)-
А
Ч
2
■а^=Ееу^ cos
п
2
9 1. (11)
Итак, полная энергия равна произведению силы натяжения Ее на перемещение и на косинус угла между ними, т.е. работе, совершаемой на левом конце струны за время t.
142
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Сравним вклад кинетической энергии на третьем участке в общую энергию. Из выражений (9), (10), (11) видно, что
PoV- bt=EeVot sin 0,
2 2 0
что составляет только половину затраченной работы, остальная часть работы пошла на увеличение кинетической энергии продольного движения и увеличение потенциальной энергии на втором и третьем участках. Отсюда можно сделать вывод, что величины энергий на участках продольной и поперечных волн являются величинами одного порядка.
Изменение энергии в частном
симметричном случае задачи о начале движения струны щипкового музыкального инструмента
В этом случае струна в начальный момент времени имеет форму, показанную на рис. 2.
Для этого случая известно решение [2], имеющее вид бегущих продольной и поперечной волн, показанных на рис. 3. По частям нити исходной формы от точки C симметрично распространяются продольные волны Lx и L2, а за ними поперечные волны Sx и S, бегущие в разные стороны. Всюду в области LjSjCS2L2 деформации постоянны. На каждом из участков постоянны и скорости всех частиц.
Обозначим удлинение элемента AS на участках до прохождения продольных волн величиной e это удлинение складывается из предварительного натяжения нити и дополнительно от придания струне начальной треугольной формы. После прохождения продольных волн в области LlSlCS2L2 величина удлинения будет ер тогда лагранжевы скорости продольных и поперечных волн, а также скорости частиц после прохождения продольной волны и0 будут определяться по тем же формулам (9), как и в предыдущей задаче.
Т.к. скорость частиц струны на участках до прохождения продольных волн Lx и L2 равна нулю, то полная энергия на участке струны длиной AS до прохождения продольной волны равна Eo • AS, где W0 = Ee02 / 2.
Полная энергия на участке струны длиной AS после прохождения продольной волны равна Ег • AS, где
W = Pouo + Eei _Роa (eo- ei) +
22
2
+■
Ee2 _ E
2 -_ 2 [(e,- e)2 + e2
Для участка SjS2 получим
Vo _a (eo-e)+Je 0+e)sin0.
Учитывая, что скорости частиц направлены вдоль оси Oy, горизонтальная составляющая скорости будет нулевой
(eo-e,)cos0-^e,(1+e)-(1-cos0) _o,
a
или
Ve(1+e):
(eo - e,)cos0 1-cos0
Отсюда получим
Vo_ao(eo-e1)-f1+ cos0,']sin0_ao(eo-e)- Sin0
1-cos0.
1-cos0
или
1+cos0
V2 _ <?(<*, - e)2
1-cos0
Полная энергия на участке струны длиной AS после прохождения и продольной, и поперечной волн равна Е2 • AS, где
W _PoVo2 , Ee2
2
+ 2 2
(eo-
1+cos0 1-cos0
+<
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2oo8
143
