Энергетические особенности свободных колебаний в упругих телах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.01

Энергетические особенности свободных колебаний в упругих телах

Ю.А. Алюшин

Национальный исследовательский технологический университет МИСиС, Москва, 119991, Россия

Рассмотрена энергетически изолированная система в виде упругого стержня, закрепленного между двумя абсолютно твердыми опорами. На основе энергетической модели механики получены распределение по объему и изменение во времени составляющих упругой и кинетической энергии для основных форм продольных, поперечных и крутильных колебаний, а также уравнения движения и компоненты тензора для расчета этих характеристик при их суперпозиции. На основе анализа структуры кинематических инвариантов, ассоциируемых с энергией, получены уравнения для расчета восьми видов локальной энергии, в том числе два вида, которые не влияют на интегральную по объему тела энергию деформации. Показано, что энергетическое состояние и взаимодействие частиц определяются волновыми уравнениями. По аналогии со свободными колебаниями в упругих телах, когда изменение геометрической структуры происходит без притока энергии через внешние границы системы, возможны геометрические изменения формы в микрообъемах, проявляемые в уравнениях движения и происходящие за счет внутренних источников без обмена энергией с соседними частицами. Высказано предположение, что влияющие на интегральные по объему части энергии обеспечивают выполнение закона сохранения для системы в целом, а два других — выполнение локального закона сохранения в объеме частицы с учетом дифференциальных уравнений движения. Частицы в центральных по длине сечениях, через которые происходят внешние воздействия для возбуждения колебаний, не меняют форму и объем, энергия на деформацию частиц не расходуется. Полученные результаты, в том числе по периоду и частотам колебаний, а также выполнению закона сохранения для интегральных по объему значений кинетической и упругой энергии, в дополнение к известным решениям для абсолютно твердых и деформируемых тел, можно рассматривать как дополнительные аргументы правомерности применения энергетической модели для решения различных задач механики.

Ключевые слова: уравнения движения, переменные Лагранжа, инварианты, обобщенная скалярная функция, энергетическая модель, свободные колебания, суперпозиция, напряжения, деформации, упругие тела DOI 10.24411/1683-805X-2019-13009

Energy features of free oscillations in elastic bodies

Yu.A. Alyushin

National University of Science and Technology MISIS, Moscow, 119991, Russia

An energetically isolated system was considered in the form of an elastic rod fixed between two absolutely solid supports. A mechanics-based energy model was used to obtain the volume distribution and time variation of the elastic and kinetic energy components for the main forms of longitudinal, transverse, and torsional vibrations. These characteristics were calculated by superposition using derived equations of motion and tensor components. Analysis of the structure of kinematic invariants associated with energy yielded equations for calculating eight types of local energy, including two types that do not affect the volume-integral strain energy of the body. It was shown that the energy state and the interaction of particles are determined by wave equations. By analogy with free oscillations in elastic bodies, when the geometric structure changes without energy inflow through the outer boundaries of the system, geometric changes may occur in microvolumes, which are manifested in the equations of motion and occur due to internal sources without energy exchange with neighboring particles. It was suggested that the energy parts affecting the volume integral parts ensure the fulfillment of the conservation law for the system as a whole, while the other two allow the fulfillment of a local conservation law in the particle volume taking into account the differential equations of motion. The shape and volume of particles in the longitudinal sections, through which external loads are applied to excite oscillations, do not change; no energy is spent for particle deformation. The period and frequency of oscillations were determined, and the conservation law was found to be fulfilled for the volume-integral values of kinetic and elastic energy. In addition to the well-known solutions for absolutely rigid and deformable bodies, the obtained results confirm the validity of using the energy model to solve various mechanics problems.

Keywords: equations of motion, Lagrange variables, invariants, generalized scalar function, energy model, free oscillations, superposition, stresses, strains, elastic bodies

© Алюшин Ю.А., 2019

1. Введение

Колебания играют значительную роль в природе и различных сферах деятельности человека. Они должны учитываться при расчете, изготовлении и эксплуатации строительных конструкций, транспортных систем, в машиностроении [1-6]. Особый интерес представляют свободные колебания, которые по существу являются одним из этапов формирования резонансных явлений.

Свободными называют колебания под действием внутренних сил при выводе системы из положения равновесия. Происходят они за счет первоначально сообщенной энергии из внешних источников без дополнительных воздействий в процессе их развития.

Исследованию колебаний посвящено большое количество работ [3-5], рассмотрено многообразие их форм и причин возникновения, результаты имеют большое значение, в том числе в технических приложениях. За основу анализа принимают законы либо динамики, либо сохранения энергии, анализ обычно ограничивают формой, частотой и периодом колебаний. Как правило, рассматривают колебания материальных точек, для упругих тел используют соотношения теории упругости, но без анализа энергетического состояния частиц в объеме тела [1, 6].

2. Основные положения энергетической модели механики

Энергетическая модель [7, 8] предусматривает описание движения материальных частиц в форме Ла-гранжа:

х1 = х1 (ар, 0, (1)

где г — время; х1 е (х, у, z) — текущие координаты (Эйлера); а е (а, в, у) — переменные Лагранжа, однозначно связанные с начальными координатами частиц. Они являются аргументами всех используемых в дальнейшем уравнений.

Для упругих тел энергия как обобщенный скаляр различных видов движения должна зависеть от инвариантов уравнений (1), включая модуль вектора скорости, а также три инварианта несимметричного тензора второго ранга

(

хв Ув гв

л

■~у

Уу

zY

(2)

компонентами которого являются частные производные х1 р = Эхг/дар от переменных Эйлера х1 е (х, у, z) по переменным Лагранжа а е (а, в, у). Упругую деформацию частицы [9] определяет квадратичный инвариант тензора (2), равный сумме квадратов всех его элементов:

(3)

т^2 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,

Ге = ха + Уа + га + хв + Ув + гв + ^ + У2 +'

-у

Правую часть можно записать через квадраты отношений длин ребер до 8/0 и после Ы деформации, перво-

начально ориентированных в направлении соответствующих осей:

/2 \2 _ 2 , 2 , 2

тогда

/р = (8//8/о)р = хр + У2 + 2р, р е (а, в, у),

ге=/а+/рв+/^.

В исходном состоянии Г2 = 3, приобретенную за счет деформации энергию 8ЕйеГ в объеме 8Г0 можно представить в виде суммы двух инвариантных слагаемых [8, 9]:

= к8 V,(Г2 - 3) = к8^[3(е2 -1) + е8] = = 8Ее + 8Е8 = к8^ + ва), (4)

где к—модуль упругости; е = (/а + /в + /у )/3 — среднее значение отношений длин ребер бесконечно малого параллелепипеда до и после деформации.

В дальнейшем обозначения 8£г- соответствуют энергии частицы с объемом 8Р"0, е1 = 8£г/(к8V0) — безразмерные эквиваленты объемной плотности соответст-

2

вующих видов энергии. В частности, ейе£ =Г(, - 3 — безразмерный кинематический параметр объемной плотности энергии, приобретенной (е^ > 0) или отданной (е^ < 0) частицей при ее деформации, может быть представлен через другие безразмерные инварианты: е(е£ = ее + е8. Параметр ее = 3(е2 -1) соответствует части объемной плотности энергии деформации, ассоциируемой с усредненной длиной сторон бесконечно малой частицы, он может быть как положительным, так и отрицательным. Второе слагаемое е8 всегда положительно и совпадает со среднеквадратическим отклонением длин ребер параллелепипеда, первоначально ориентированного по осям координат наблюдателя, от их среднего значения е:

е8 = (/а- е)2 + (/в- е)2 + (/у - е)2. (5)

Отношение объемов после 8V и до деформации 8Г0 определяет кубический инвариант тензора (2)

R = 8V| 8V0 =

хв Ув гв

у

Уу

(6)

Из закона сохранения энергии и инвариантности ее по отношению к выбору системы отсчета скоростей [79] движение материальных частиц описывает дифференциальное уравнение

( дт р

А

Эа

" р0 %

р

( Эт

( Эт р

+ г,

+ У,

л

А

да р

-Р0 У и

рг

да р

■Р0 Ч

= 0,

где хи, х1и — компоненты скорости и ускорения в направлениях осей х1; р0 — плотность материала в исходном состоянии; тр1 — поверхностная плотность сил на гранях бесконечно малого параллелепипеда, нормаль к которым в исходном состоянии указывает

первый нижнии индекс, а направление напряжения — второй. По существу, это напряжения Кирхгофа для пространства переменных Лагранжа [9]. Если приравнять нулю каждую скобку, получим аналоги дифференциальных уравнений движения классической механики деформируемого твердого тела [1, 3].

В работе [10] показано, что, не вступая в противоречие с классической механикой твердого тела, для достоверного описания процессов деформации в упругой области достаточно одного модуля упругости к и условия пропорциональности

'Tpi = 2кxi,р ■

Тогда вместо предыдущего уравнения получаем

( дх„ 2 ^ Г дур ^

da р

-ц xtt

+ У

да р

-ц2 Уи

f dz„

+ z

да p

-Ц2 ztt

= 0,

(7)

2

где Ц = р0/(2к), динамические уравнения преобразуются в уравнения Пуассона для каждой из функций (1)

д 2 X,- 2 д 2

да 2

- = ц

д12

(8)

Применение системы (8) вместо уравнения (7) может привести к потере части возможных решений. Ниже оба варианта использованы для анализа энергетических особенностей при основных формах одномерных колебаний и их суперпозиции с определением составляющих энергии, участвующих в движении.

3. Одномерные продольные колебания

Рассмотрим призматический стержень, концы которого закреплены в неподвижных массивах, не обменивающихся энергией с колеблющейся системой. Стержень подвергается внешнему воздействию с появлением деформаций, энергетически эквивалентных работе, произведенной внешними силами. В момент, который принимается за начало отсчета времени, внешнее воздействие прекращается, система стремится вернуться в исходное состояние, начинаются колебания с переходом упругой энергии в кинетическую и наоборот.

Совместим ось х с осью стержня, начало координат — с левым неподвижным торцом. Пренебрегая поперечными деформациями, систему (1) запишем в виде

х(а, *) = а + и(а, 0, у = Р, г = у, (9)

сечения остаются плоскими, перемещения и = х - а происходят только вдоль оси стержня. Вместо (7) получим уравнение с одной неизвестной функцией

д2х = Ро 2

да2 2кХ" Ц Х"'

которое с учетом производных

ха (а> *) = 1 + иа (а> *X хаа (а> *) = иаа (а> * X

х* (а, *) = и (а, *), ха (а, *) = иа (а, *) преобразуется к виду

= ц2иа, ИлИ utt = (V ц2)иаа = ^

(10)

где

А2 = 1/ц 2 = 2 к/ Ро ■ (11)

По форме уравнение (10) совпадает с используемыми в работах [1-5], но аргументами являются переменные Лагранжа. Принимая решение Даламбера [3], получаем

Р

u (a,t) = -

a-Xt Л . f a + Xt sml п-1 + sml п-

a

= p smj п — | cos

L -nXt

и система (9) принимает вид

• i a Л f-nXt x(a, t) = a + p smj п l | cos I —l—

(12)

У = в, г = у.

Решение (12) согласовано с начальными условиями

х(а,* = 0) = а+ psin||, щ(а,* = 0) = 0.

Граничные условия на торцах рассматриваемого стержня

и (а = 0,*) = 0, и (а = L,t) = 0 выполняются. Скорость и ускорения перемещения частиц

прХ .

ut (a,t) sinl п— | sinl -nXt

a

. . (пХг . ( а^ ( пХ*

%(а 0 = -РI I sin I п^ |cos I

на торцах стержня равны 0.

Использование переменных Лагранжа не требует уточнения внешних границ стержня при интегрировании локальных характеристик по объему и поэтому предпочтительно для описания энергетических особенностей процесса. Принимая во внимание

f. пр f a1 f-nXt

1 + cosj п— | cosj -

L I L J [ L

0 0

0 0

1 0 0 1

л

(13)

для удельной энергии деформации (4) получаем

А* ^

т\

8Edef = К

„ пр f a Л f Xt Л 2—cosj п— cosl -п— +

-cosl L I L I

2 f a 1 2 f Xt cos l п— |cos l -яl

'L) cos2 f"? )

при изменении объема (6)

R = SV/ 8V0 =| X-, p I = 1 +

пр f a Л f-nXt +--cosl п— | cos

8V0

(14)

Энергию деформации в объеме стержня У0 с площадью поперечного сечения £0 получим в результате интегрирования:

Еш =ко } (Г-3)8а = ко ^ х

х cos

0

Xt1 1 ТЛ -пТ] = 2 ^

„Л 2

п p 2

-ir- COS

It

-п-

L

(16)

Кинетическая энергия частиц в произвольном сечении с учетом (11)

8Екш = 2 Р0 д^ =к8^ (^|х

'лаЛ . 2 ( пХ(

— I бШ2 I --

Ь | [ I

для всего объема стержня составит

лХ(

х sin

(17)

L_ п2p2X2 . 2

Ekin = - ^—~2—Sin

4 L

пXt

V п2р2 . 2 = V0k—^psin21 -

0 2L2 { L

(18)

Суммарная энергия 2 2

Esum = Edef + Ekin = V0 K~2J2~X

Xt 1 . 2 f Xt

cos I -п— 1 + sin I -п-

L J I L

2 7.

= VoK

п p 2L2

не зависит от времени и совпадает с переданной системе (16) при t = 0. В каждом сечении упругая и кинетическая энергии изменяются во времени в соответствии с уравнениями (14) и (17), но для всего объема стержня их сумма остается постоянной.

Как отмечено выше, энергию упругой деформации (4) можно представить через компоненты тензора (13) в виде суммы составляющих, которые можно ассоциировать с изменением длин ребер частицы. Для продольных колебаний

'-nXt '

cosI п— Icosl

3L

la + 1в + lY ,,пр f a I

--—L = 1 +--cosI п— I cos

= 3(г2-1) = 3

2пр f a

+-cosI п— I cos

L 1 L

cos

-nXt

a 1 2 f^Xt1 п— I cos2I-I +

L J I L J

(19)

пр L

cos

a 1 2

п - I cos

-^t

Удельная энергия ее за счет второго слагаемого ее2 может менять знак, каждая частица в процессе колебаний претерпевает увеличение и уменьшение объема. Частицы с начальной координатой а = Ь/ 2 в процессе колебаний не деформируются. Наибольшие значения энергия деформации ейй- приобретает на торцах стержня. Интегральные по объему значения

Г Г 5ТЛ ТЛ П2р2 2 (-пЯ,

Ее = к] ее8Г0 = к^^^^

6 L2

L

т. Пр2 2 (-пЯ,

Е8 = кV0—^соэ21-

8 0 3Ь2 ^ Ь изменяются во времени по единому закону, энергия Е8 всегда в 2 раза больше Ее. Суммарную энергию деформации определяет уравнение (16). Частота V и период Т колебаний

1 = X 1

Т 2L LV 2р,

к „ 2L „ т т /2р0

T = —= 2^L = Lj-^ (20)

не отличаются от приведенных в работах [1-5].

4. Поперечные колебания

Для поперечных колебаний предположим, что координаты частиц по осям х и z не изменяются, а перемещения по оси у зависят от a и t:

x(ap, t) = а, y(ap, t) = P+ v(a, t), z(ap, t) = y. (21) Как и в предыдущем случае, уравнение (7) преобразуется к виду (8) с одной неизвестной функцией для координаты у или вертикального перемещения v(a, t)

Vtt(^ t) = A2Vaa. (22)

Этому уравнению, а также начальным и граничным условиям для скоростей и перемещений v(a, t = 0) = q sin (па/L), vt (a, t = 0) = 0, v(a = 0, t) = 0, v(a = L, t) = 0 удовлетворяет функция

a-At ^ . Г а + ЯГ

v(a, t) = 2

sinl п

a

= q sinl п l I cos

L -riXt L

+ sin| п-

L

Система (21) принимает вид

a

x(ap, t) = a, y(a, t) = P + q sin| пl | cos

z(a p, t) = у с производными

-^t

(23)

Jaa(a *) = -q| -

a 1 f-nXt sin| п— | cosl-

L J I L

riXt

п qЯ . ( а

Уи (а ') = ——Б1Пь IС0Б1- Ь

где ^ — максимальное смещение вдоль оси у в сечении а = Ь/ 2 . Скорости частиц

. TCqX . f a1 . f riXt vt (a, t) = —— sin I пl J sin I ——

(24)

на торцах стержня равны 0, в начальный момент они отсутствуют по всей его длине. Деформация, в отличие от продольных колебаний, осуществляется за счет сдви-

гов ya в поперечных сечениях f 1

п f a 1 f Xt q—cos| п— | cos| -п—

L 1 L I 1 L

01 0

0

0 1

При квадратичном инварианте тензора (25)

Г2 - 3 = e

-i e 3 e =í?

def = У a (C t) =

2

cos

a 1 2 п L I cos

-nkt

и локальной энергии деформации частиц (4) 8^def =к(Ге2 - 3)8 Vo =

= K8V

па 1 2 (al 2 Г Xt — I cos2l п— Icos2l -п-

L J I L J 1 L

энергия деформации стержня составляет

Edef =

KVo

nq

cos l -п

Xt

(26)

(27)

2 1 L J 1 L

Для кинетической энергии с учетом (11) и скорости (24)

1 2

8Ekin = 2Po^t 8V0 =

= 2 8VoPo

nqX . (па

-1— sinl -

L 1 L

sinl -

пXt

(28)

после интегрирования по объему получаем L 0 п2q2X2 . 2(nXt'

Ekin = -^oPo—~2—sin

4 L

2 2

ТЛ n2q2 . 2 = V0K—Vsin2 0 2L2

пXt L

Суммарная кинетическая энергия и энергия деформации в объеме колеблющегося стержня

КГ

Esum = Edef + Ekin

+sin l п

Xt

L

2 2 г п2 q 2

= ^к

2L _

2 VoK ¥ 12

cos l -п

L

(29)

как и в случае продольных колебаний, совпадает с переданной в систему за счет внешнего воздействия в момент t = 0 и не изменяется во времени, что свидетельствует о соблюдении закона сохранения энергии при отсутствии диссипативных процессов (передачи энергии в неподвижные стенки на контактах с торцами образца или в окружающую среду с внешней поверхности стержня). Результат отличается от уравнения (18) для продольных колебаний заменой направления смещения q (вдоль оси у) вместо р (вдоль оси х), что отличает внешние воздействия в этих видах колебаний.

Локальная энергия бесконечно малых частиц с объемом 8Г0 изменяется в соответствии с уравнениями (26) и (28), объем частиц сохраняется постоянным 1 0 0

R = 8V/8V0 =

= 1.

(30)

Уа 1 0 0 0 1

Принимая во внимание квадраты отношений длин ребер бесконечно малого параллелепипеда, ориентированного в исходном состоянии по осям координат:

/2 2 i 2 i 2 i i сс = xa + ya + za = 1 + У,

12 = 1 12 = 1

a > lp ly

для инвариантов, определяющих локальные характеристики энергии, получаем

ee = ee1 + ee2 = "

^ cos2 Mcos21-fJ +

, ¡ па Г 2 ( па 1 2 ( пXt 1 + 1 — I cos2l — Icos2l -

1/2

-1!

es = es1 + es2 =

1 +

па L

2 (па

31T

2

2 ( a cos l п-

al 2 ( ^Xt

п— I cos l

L J 1 L

1/2

2(-пXt l

cos l - I

,(31)

-1!

Г2 -3 = e.f = e„ + es =

2 ( al 2 ( Xt cos l п - | cos l -п

= | Ш.

l L ) I L) I L

I* I 2 2 2 Интегралы по объему типа J Va + b cos x dx не

выражаются через элементарные функции [11], но они не влияют как на локальные edef, так и на интегральные Edef значения (27). Энергия, связанная с параметром (5), всегда положительна и обращается в 0, когда частица возвращается в недеформированное состояние.

Интересно отметить, что если ограничиться двумя членами разложения в ряд Vl + x = 1 + l/2x -18 x2 +...,

тогда 2

(па 1 2 (па ] 2( nXt

ee = ee1 + ee2 = I ~ I C0S I — 'C0S ' -

es = es1 + es2 =-

2 (па 31 ~L

2 ( a . cos l п - I cos

L J

2 ( -пXt

2 (па

31L

2 ( al 2 (-^t 1 л cos l п - I cos I —— | = 0

и результат (31) для edef в любом случае остается неизменным.

Формулы для периода и частоты колебаний совпадают с уравнениями (20) для продольных колебаний.

5. Крутильные колебания

При крутильных колебаниях, в отличие от продольных и поперечных, могут возникать окружные и радиальные перемещения частиц. В связи с этим, даже при условии плоской деформации, в декартовой системе координат необходимо рассматривать два уравнения х = a, y = y(p, y, t), z = z(p, y, t). (32)

Уравнение (7) будет иметь два слагаемых для функций y(P, y, t) и z(P, y, t). Чтобы упростить решение, по аналогии с предыдущими видами колебаний, воспользуемся системой двух дифференциальных уравнений (8) для искомых функций:

yaa + увв + УYY = ytt' Zaa + zPP + ZYY = ^Ztt• (33)

Представим уравнения для координат y и z в виде [9] х = a, y = r|(PcosДу-YsinДу),

z = п (в sin Дг^ + Y cos Д у),

2 2 2 2 2 2 где П = г/P,г = У + z , P =в +Y — отношение радиусов частицы в процессе колебаний к их исходному

(34)

значению. Безразмерный радиус п зависит от положения частицы, угла поворота сечения, а также, возможно, от угловых скорости и ускорения вращения сечения. Деформация осуществляется за счет сдвигов и изменения объема

xa xß XY

R = 8V/ 8V0 = ya yß yY

za Zß ZY

1

0

0

= П

(35)

= y(ln n)«-¥a z neos Ду -n sin Ду z(ln n)a+Va y n sin Ду n cos Ay Если ограничиться предположением

n = n(yX na=nyVa, nt =nyVt,

уравнения (33) принимают вид

У[(1п n)2 - V^] - z[Vaa + 2Va (lnn)a ] =

= M2y[(lnn)2 -V2] -M2z[Vtt + 2Vt (Inn)t ],

z[(ln n)ä-vä] + У[Уаа + 2Va (ln П)и ] =

= M2z[(lnn)2 -y,2] + M2y[Vtt +2Vt(lnn)t].

Возводя в квадрат и суммируя левые и правые части, получаем уравнение 4-й степени для функций y(a, t) и

n(v):

íM £ + 2^ + 4

П I I n ) n

X(Vaa^a + S + yL = (36)

где ^ = Если пренебречь изменением ра-

диальной координаты и принять

П = 1 = const, (37)

уравнение (36) сводится к условию для y(a, t)

ya+ya v4+^v¡t. (38)

Решение y (a, t) = С sin (a ± qt) обращает уравнение (38) в тождество, но оно не согласуется с начальными и граничными условиями

y (a, t = 0) = 0 sin (na/ L), y (a = L¡ 2, t = 0) = 6,

у, (a, t = 0) = 0, y(a = 0, t) = 0, у(a = L, t) = 0.

(39)

В дополнение к (37) можно принять ^a = М-4у4 и тогда для искомой функции у = ^(a, t) получаем уравнение, подобное рассмотренным в предыдущих вариантах колебаний:

va a-М4 V2 = 0. (40)

Предположение (37) позволяет использовать вместо уравнений (32) соотношения для абсолютно твердого тела

х = a, y = ßcosДу-YsinДу, z = ß sin Ду + y cos Ду с функцией y(a, t) и производными

a-At l . í a + Xt

(41)

sin I n

У(a, t) = 2

= 9sinj n^L I cos

L -nX t L

I + sinj n-

L

(42)

Vt (a, t) = 9

Vaa (a

Vtt (a, t) = -

í ' al I í -nXt

j—cosj n— cosj

L i . L I 1 i L

,nX . ¡ | a 1 • í -nXt

>-sin n— sinj ■

L i L I 1 I L

J n l2 • 1 í a' l í

-9| — I sin n— I cosj

IL: I 1 I L I i

J nX" i2 í a

nXt ~L nXt

sinj n— I cosj --

i L I I L

где 6 — угол поворота сечения с координатой а = Ц 2 при г = 0. При этом граничные и начальные условия (39), а также (33) выполняются.

Особо отметим, что полученное решение удовлетворяет не только системе (8), но и более общему уравнению (7)

Уt(Уаа + Урр + Ууу-М2Уи ) +

+ ^ (2аа + 2РР + % - М2% ) = 0 причем в последнем случае, с учетом (41) и (42), должно быть выполнено только условие (40) в упрощенном виде:

Уаа-М 2Уа = 0. Это можно рассматривать как дополнительный аргумент о приемлемости полученного решения для анализа энергетических особенностей свободных крутильных колебаний.

Принимая во внимание выражения для тензора (2) ( 1 0 0 ^

хг, p

-yaz cos Ду - sin Ду yay sin Ду cos Ду

V " ^ ' /

находим значение квадратичного инварианта, удельной энергии упругой деформации и кинетической энергии частиц

Ге2 = /2 +12 +12 = 3 + + г2 = 3 + у2 г2,

8Edef = к8^у ar2 =

= к8К0п2

21 na i 2 cos j I cos

T2Ü2| Г i L

8Ekin = км 28 V^r2 = к8 V092n2 x

л2 / —Л / nXt

nkt" L

r Г • 2 [na\ . 21

— I sin j - I sin j —

L I i L I i L

которые зависят от радиуса частиц. Интегральные по объему значения энергий

Edef = к0П

2п2

R 4L2

21 nXt nXt

R2

кт 0 412 ^ ь

в сумме соответствуют закону сохранения энергии в объеме колеблющегося стержня и совпадают с работой внешних сил, переданной телу к моменту начала колебаний:

Еит = Еш + ЕКп = к^ГС2 —2. (43)

В соответствии с уравнениями (41), как и в случае поперечных колебаний, упругая деформация осуществляется за счет сдвигов, объем материальных частиц и плотность материала остаются неизменными, независимо от величины угла поворота

Хо

R = 8 V/ 8V0 =

Ур ze

= 1.

ха хр xy

Уа Ур Уу

za

1 0 0 -уаz cos Ду - sin Ду уа у sin Ду cos Ду Локальные характеристики для расчета составляющих энергии ee и es близки к рассмотренным выше для поперечных колебаний:

=1 + УС + ZC =1+ У— r2, 1р= L= 1

2 1

e = - + ! 3 3 v

3e2 = 5 + 4

3 3

+ У— r 2,

41+УС r2 + - УСг 2,

Г2 = 3 + уС + z— = 3 + y—r2,

ee = 3(e2 -1) = 3у—r2 + + 4(АА + У—r2 -1) = ee! + e(

(44)

e2 ,

es = 2 У— r2 + |fl41+ У— r2) = esl + <

edef = ee + es =уСГ 2 =

-s2,

= e2 п2| —

cos21 п— I cos2l -п-

К

L

Интегралы по объему для слагаемых с квадратными корнями, как и в случае поперечных колебаний, не влияют на локальные и интегральные значения энергии упругой деформации. Если воспользоваться разложением квадратного корня в ряд и ограничиться двумя членами разложения, тогда получаем ее2 = 2/3 и е82 =-2/3, результат для еЛе[ в любом случае остается прежним.

Период и частоту колебаний определяют уравнения (20), как и для других видов рассмотренных свободных колебаний.

6. Суперпозиция различных видов свободных колебаний

Рассмотренные выше решения для трех типов колебаний могут быть использованы для анализа энергетических и иных, в частности деформационных, особенностей более сложных видов колебаний с использо-

ванием общего принципа суперпозиции движений, записанных в форме Лагранжа [8, 12]. В соответствии с этим принципом, чтобы получить уравнения для совмещенного движения, достаточно заменить переменные Лагранжа во внешнем (наложенном) движении выражениями для соответствующих переменных Эйлера внутреннего (вложенного) движения. Совмещаемые движения должны относиться к одним и тем же механическим системам и, естественно, иметь одинаковую область определения лагранжевых координат. Система отсчета времени в совмещаемых движениях может отличаться [12], но для простоты использования принципа лучше, если системы отсчета времени совпадают.

Обычно к внешним следует относить движения, у которых перемещения больше. Например, при анализе колебания маятника с учетом возможности его дополнительного вращения относительно оси, проходящей через центр масс и ось подвески, внешним будет вращение относительно оси подвески, а внутренним — дополнительное вращение относительно ортогональной оси. Если совмещают движения, связанные только с деформацией, например при осадке с кручением [8] или для рассматриваемых колебаний, тогда любое из движений может быть принято внешним, другое — внутренним.

После конкретизации уравнений совмещенного движения следует записать тензор (2), найти инварианты уравнений движения (3)-(6) и производные по времени (компоненты скоростей и ускорений). Этих данных достаточно для определения характеристик деформированного, напряженного или энергетического состояния частиц системы в любой момент времени. Ниже для каждого из рассмотренных вариантов суперпозиции приведены только безразмерные обобщенные координаты тензора (2).

При совмещении продольных и поперечных колебаний воспользуемся уравнениями (12) и (23). Если внешним движением считать продольные колебания (12), а внутренним — поперечные (23), после замены переменных Лагранжа в системе (12) уравнениями для соответствующих переменных Эйлера системы (23), получаем уравнения совмещенного движения

. ( al (-лА^4 х = a+ p sin l п— I cos

1 L J

y = P+ qsin(п—IIcos(-Л— J, z(Y, 0 = Y с безразмерными обобщенными координатами (2)

(

хр х

l

Уа Ур Уу

za ^ zY

(1 + пр/L cos(пa/L)cos(-пXt/L) 0 0^ пц/L cos (па/L)cos(-пXt|L) 1 0

0

0 1

Это наиболее простой вид уравнений, они удовлетворяют дифференциальным уравнениям (8), а также начальным и граничным условиям для совмещенного колебания.

Если поперечные колебания (23) принять за внешнее движение, а продольные (12) — за внутреннее, уравнения совмещенного движения принимают вид

. , a! f-nkt" x(a, t) = a + p sin I п— | cos

y (а, в, t) = P + q sin nkt

nf . f natl -I a+ psinl- x

L l l L J

x cosl -

L

cos| --J |, z(y, t) = Y.

Обобщенные безразмерные координаты

При наложении внешних крутильных колебаний (41) на внутренние продольные (12) получаем уравнения, совпадающие с предыдущими, но приращения углов должны учитывать перемещения частиц в направлении оси х

. . „. \п\

а + р эт|

Ay (а, t) = 6 sin {j

x cosl -

-f J}

cos -

nkt

f па

1lT

-1

При суперпозиции поперечных и крутильных колебаний также рассмотрим два варианта. В первом будем считать внешними поперечные (23), а внутренними — крутильные колебания (41), в результате суперпозиции получаем уравнения

Xi, Р

. пр f па l f -nkt 1 + cosl — | cos

nq

cos

nf . fnal f-nkt in I

a+ p sinl — | cos L l Р \ L 1

n fnal f-nkt 1 + p—cosl — | cosl-

L \ L J I L

0

cos

-nkt

0 0

10 0 1

существенно отличаются от предыдущего варианта, но результаты расчетов показывают, что характеристики деформированного состояния частиц в любой момент времени по уравнениям, соответствующим этим вариантам суперпозиции, практически не отличаются.

Для суперпозиции продольных и крутильных колебаний нужно рассмотреть системы уравнений (12) и (41). При внешних продольных (12) и внутренних крутильных (41) колебаниях для совмещенного движения

получаем

. . . f al f-nkt

x(a, t) = a + p sin I n-j J cos I —l—

y = PcosAy-YsinAy, z = PsinAy + YcosAy,

a

Ay(a, t) = 6sin| n J

cos| -

nkt

-1

Производные от переменных Эйлера по переменным

Лагранжа образуют тензор

f. пр fnal f-nkt l - l

1cos| — | cos|-

L l L J l L

0

0

-Уа Z

Уа У

cos Ay sin Ay sin Ay cos Ay

х(а, P, t) = а,

y (а, P, t) = P cos Ay - y sin Ay +

а l f-nkt

+ qsin| п— |cos|-

1 L J l L

z = Psin Ay + Ycos Ay,

а L

1

Ay (а, t) = 6 sin | п

c тензором (2)

f

nk t , , cos| —— |-1

0

0 l

nq ^а! f-nkt l . .

—Lcos| — | cos|- | cosAy sin Ay

L l L J l L J

0 sin Ay cos Ayy

Во втором варианте, когда внешними являются крутильные (41), а внутренними — поперечные колебания (23), уравнения совмещенного движения х(а, P, t) = а,

У =

„ . i al f-nkt P + qsin| п— |cos|-

L J l L

r, . f al f-nkt P + q sin| п— cos|-

lJ \ L

cos Ay-y sin Ay,

sin Ay+ y cos Ay

приводят к наиболее сложному виду тензора (2):

f 1 0 Л 0

xi, Р nq Í cos I L 'пal f T Jcos I -nkt L J cos Ay - y а {Z sin Ay + y cos Ay} cos Ay - sin Ay

nq —cos lL 'пal f — | cos| ,LJ l -nkt J sin Ay + y а {Z cos Ay - y sin Ay} sin Ay cos Ay J

где С = Р + q sin (na/L ) cos (-nAí/L ). Этот вариант может быть рекомендован только для проверки приведенного выше утверждения об эквивалентности результатов расчетов деформационных или энергетических параметров колебаний по обоим вариантам суперпозиции.

Для одновременной реализации всех трех видов колебаний ниже приведены уравнения движения и тензор (2) только с наиболее простыми математическими зависимостями, получаемыми в результате наложения ранее совмещенного движения с продольными и поперечными колебаниями (45) (внешнее движение) на крутильные колебания (41):

. , al (-nAí х(а, t) = а + p sm| n j I cos I —j—

y = Pcos Ду-ysin Ду + q sin I na I cos

L

z = Psin Ду+ ycos Ду,

a

Ду(а, í) = 6 sin| n J

cos| -

nAí

-1

-nAí

(46)

ниями (20). Иначе говоря, переход интегральной по объему упругой энергии Ейе{ в кинетическую ЕКп и обратно происходит в 2 раза чаще, чем сами колебания. Дважды за период кинетическая энергия тела полностью превращается в упругую и дважды за период упругая — в кинетическую.

Суммарные значения £8ит = ЕйеГ + £Кп остаются постоянными. На период и частоту собственных колебаний упругого тела для одномерных и иных колебаний, получаемых в результате их суперпозиции, не влияют амплитуда и переданная из внешнего источника энергия. За счет диссипативных процессов энергия в системе и амплитуда уменьшаются, колебания затухают, но собственная частота остается прежней. Для перехода к автоколебательным процессам система должна получить потерянную энергию от внешнего источника [14].

Особый интерес представляют изменения локальных кинематических эквивалентов энергии. Структура инвариантов (19), (31) и (44) предусматривает возможность выделения для каждой частицы упругого тела

1 L cos | nal ~ J (-nAí I cos|-I l L J 0

nq ( cos L l nal ~ J cos l -nAí I L J-V«Z cos Ду

-qVa sin ( na l ~L I cos (-nAíI l L КУ sin Ду

(47)

Уравнения (46) и тензор (47) учитывают параметры р, q и 6, определяемые внешними воздействиями для каждого из рассматриваемых колебаний. Во всех случаях период и частоту определяют уравнения (20), как и для одномерных колебаний. Приравнивая нулю любые из параметров внешних взаимодействий р, q и 6, получим уравнения и тензор (2) с безразмерными обобщенными координатами для соответствующих видов колебаний.

В связи с громоздкостью выражений для кинематических аналогов энергетического состояния (3)-(5), проверку выполнения закона сохранения энергии и анализ энергетического состояния по объему упругого тела при суперпозиции колебаний целесообразно проводить на основе численных расчетов.

7. Обсуждение результатов

Приведенные выше соотношения отображают особенности энергетических состояний колеблющихся упругих тел, а также возможные механизмы преобразования энергии частиц, в том числе с учетом их исходного состояния.

Как при колебаниях материальных точек или абсолютно твердых тел [13, 14], интегральные по объему £Кп и БАе£ изменяются с удвоенной частотой по сравнению с колебаниями тела в соответствии с уравне-

дополнительных видов энергии ее1 и е81, которые влияют на интегральные значения энергии ЕйеГ, а также ее2 и е2, которые не влияют на ЕАе£.

В классической механике деформируемого твердого тела принято различать составляющие энергии деформации, связанные с изменением объема и формы частиц [3, 5]. Исходя из структуры формулы для общей упругой энергии деформации (4), эти термины следует связывать с составляющими ее и е8. Но при отсутствии фактического изменения объема для поперечных и крутильных колебаний составляющие энергии ее не равны 0 и соизмеримы с е8. Поэтому упомянутые термины в данной работе не использованы.

Уравнения движения (1) несут информацию обо всех внешних воздействиях и состоянии движущихся частиц (скорость, перемещения, изменение объема, длины граней и пр.) в процессе движения, в том числе об энергии во всех ее проявлениях. Какая-то часть энергии участвует во взаимодействии частиц, другая изменяет внутреннее состояние самой частицы, энергию ее исходного состояния и, например, может привести к упрочнению материала.

Другими словами, часть энергии частиц идет на взаимодействие с окружающими частицами, изменяя упругую и кинетическую энергию механической сис-

темы. Другая часть может допускать изменение внутри самой частицы, например переход энергии из ее в энергию е8 без изменения интегральной по объему Е^. К ним, в частности, относятся вторые слагаемые ее2 и еэ2 для поперечных и крутильных колебаний.

Во всех трех видах колебаний предполагалось, что внешнее воздействие передается через центральное по длине сечение и во всех трех случаях частицы в этих сечениях не меняют форму и объем, изменяется только их кинетическая энергия. Это объясняется асимметрией деформированного состояния относительно центрального сечения с изменением знака деформаций растяжения-сжатия при продольных колебаниях и сдвиговых деформаций при поперечных и крутильных колебаниях. Наибольшие значения (еэ1 > ее1) наблюдаются в опорных сечениях на контакте с недеформируемыми плитами, где кинетическая энергия отсутствует.

Изменение объема частиц в соответствии с уравнением (6) отмечено только при продольных колебаниях, в других случаях объем остается неизменным. При продольных колебаниях частота изменения ее2 совпадает с частотой собственных колебаний стержня, а частота ее1, еэ и еКп в 2 раза больше. Такую частоту сохраняют интегральные по объему результаты Е^ и ЕКп.

Как следует из уравнений (15) и (19), безразмерный кинематический параметр ее2 определяет удвоенное относительное изменение объема частицы:

ее2 =— С08I)™["Г) = 2- ) =

= 2 1 = 2 1. Г ЁГ0 ) [Ёг0 J

После умножения на модуль упругости, в соответствии с законом упругого изменения объема [2, 3], должны получить среднее напряжение. Но для случая продольных колебаний уравнение (14) определяет часть объемной плотности энергии деформации, связанной с изменением объема. Парадокс может быть устранен, если рассматривать среднее напряжение как объемную плотность энергии, как это предусмотрено в энергетической модели механики [7, 8]. Причем выбор шкалы среднего напряжения допускает два варианта [15]: считать в исходном состоянии ст0 = 0 или 2к. Именно второе предположение является основанием для дифференциальных уравнений (7) и (8). Увеличение объема частиц приводит к увеличению текущего значения ст, сжатие уменьшает ст.

Важно отметить, что связанная с ее2 энергия не влияет на интегральное по объему значение Е^. Иначе говоря, на изменение объема частиц при продольных колебаниях не требуется работа внешних сил, реализация механизма колебаний происходит в том числе за счет внутренней энергии частиц. Представление энергии деформации (4) в виде двух инвариантных слагае-

мых ее и еэ допускает возможность перехода части энергии из ее в еэ и, наоборот, без изменения энергии деформации ЗЕ^. Использование внутренних источников энергии для изменения объема или формы частиц механической системы без дополнительной энергии внешних сил является основой резонанса.

Для поперечных и крутильных колебаний величины ее2 и еэ2 равны между собой, поэтому они не влияют как на локальные ЗЕ^ (26) и (44), так и на интегральные значения Е^ (28), которые, в свою очередь, зависят только от ее1 и еэ1, амплитуды колебания и размеров стержня. За счет малости отношения ц/Ь или 9/1 вторые слагаемые в подкоренных выражениях существенно меньше 1, безразмерные значения ее2 и еэ2 не зависят от амплитуды колебаний и положения частицы в теле стержня, приближаясь к 0. Это отличает поперечные и крутильные колебания от продольных, когда не влияющая на интегральное значение энергии Е^ составляющая ее2 на несколько порядков превышает ее1 и <еи-

Для пояснения смысла составляющих энергии ее2 и еэ2 при поперечных и крутильных колебаниях воспользуемся аналогией с колебанием маятника в виде абсолютно твердого шарика (вместо материальной точки, которая не имеет возможности вращательного движения) на нерастяжимой нити, поведение которого определяет закон сохранения энергии с изменением кинетической и потенциальной энергии. Не нарушая этого закона, шарик может вращаться относительно оси, совпадающей с направлением нити, и это вращение будет характеризовать соответствующая энергия, которая не входит в энергетический баланс колебания маятника, т.к. характеризует движение, не влияющее на кинетическую и потенциальную энергию шарика в основном его колебании.

Иными словами, составляющие энергии ее2 и еэ2 могут приводить к изменению геометрических параметров частиц без изменения их энергетического состояния (ее2 + еэ2 = 0) по аналогии со свободными колебаниями упругих тел, когда, как показано выше, меняется геометрическая структура тела без изменения интегрального по объему значения энергии.

Можно предполагать, что выполнение закона сохранения энергии обеспечивают составляющие ее1 и еэ1, а компоненты ее2 и еэ2 отвечают за выполнение дифференциальных уравнений движения типа (7) или (8), т.к. производные от входящих туда функций определяют вид и значения этих параметров.

8. Заключение

Рассмотрена энергетически изолированная система в виде упругого стержня, закрепленного между двумя абсолютно твердыми опорами. На основе энергети-

ческой модели механики получены распределение по объему и изменение во времени составляющих упругой и кинетической энергии для основных форм продольных, поперечных и крутильных колебаний, а также уравнения движения и компоненты тензора для расчета этих характеристик при их суперпозиции.

На основе анализа структуры кинематических инвариантов, ассоциируемых с энергией, получены уравнения для расчета восьми видов локальной энергии для участвующих в колебаниях частиц упругого тела.

Показано, что, по аналогии со свободными колебаниями в упругих телах, когда изменение геометрической структуры происходит без притока энергии через внешние границы системы, возможны изменения в микрообъемах, проявляемые в уравнениях движения типа (1) и происходящие за счет внутренних источников без обмена энергией с соседними частицами. Энергия частиц при поперечных и крутильных колебаниях, ассоциируемая с кинематическими параметрами ее2, может изменяться, но только за счет энергии, принадлежащей этим же частицам и ассоциируемой с кинематическими параметрами е82, их сумма равна 0, они не влияют на интегральную по объему энергию деформации ЕАе£.

Высказано предположение, что влияющая на интегральные по объему часть энергии обеспечивает выполнение закона сохранения для системы в целом, а не влияющая на Ейе{ — выполнение локального закона сохранения в объеме частицы с учетом дифференциальных уравнений движения (7) или (8).

Частицы в сечениях а = Ц2, через которые происходят внешние воздействия для возбуждения колебаний, не меняют форму и объем, энергия на деформацию частиц не расходуется. Соотношения (16), (29) и (43) выявляют связь модуля упругости с работой внешних сил, затраченной на деформацию стержня перед началом свободных колебаний. Они могут быть использованы для определения упругой константы материала по экспериментальным исследованиям с основными формами свободных колебаний [13, 15].

Полученные результаты, в том числе по периоду и частотам колебаний, выполнению закона сохранения для интегральных по объему значений кинетической и упругой энергии, в дополнение к известным решениям для абсолютно твердых и деформируемых тел [8, 9], можно рассматривать как дополнительные аргументы правомерности применения энергетической модели для решения различных задач механики.

Литература

1. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. - М.: Физматгиз, 1959. - 440 с.

2. Паноеко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки. - М.: Наука, 2007. - 352 с.

3. Ильин М.М., Колесников К.С., Саратов Ю.С. Теория колебаний. -

М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 272 с.

4. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. - М.: Наука, 1964. - 206 с.

5. Бидерман Б. Л. Теория механических колебаний. - М.: Высшая школа, 1980. - 408 с.

6. Бибрации в технике. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. - М.: Машиностроение, 1978. - 352 с.

7. Алюшин Ю.А. Новая концепция в механике на основе понятий пространство, время и энергия // Физ. мезомех. - 2018. - Т. 21. -№ 3. - С. 59-69.

8. Алюшин Ю.А. Энергетические основы механики. - Lambert Academic Publishing, 2016. - 281 c.

9. Алюшин Ю.А. Механика твердого тела в переменных Лагранжа. -

М.: Машиностроение, 2012. -192 с.

10. Алюшин Ю.А. Определяющие соотношения при лагранжевом описании обратимой и необратимой деформации // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2007. - № 5. - С. 47-56.

11. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматгиз, 1962. - 1100 с.

12. Алюшин Ю.А. Принцип суперпозиции движений в пространстве переменных Лагранжа // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2001. - № 3. - С. 13-19.

13. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. - М.: Наука, 1984. - 596 с.

14. Хайкин С.Э. Физические основы механики. - М.: Физматгиз, 1963. - 772 с.

15. Алюшин Ю.А. Энергетическая шкала средних напряжений и физические свойства металлов в области обратимых и необратимых деформаций // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2010. - № 3. - С. 95-104.

Поступила в редакцию 18.01.2019 г., после доработки 18.01.2019 г., принята к публикации 29.04.2019 г.

Сведения об авторе

Алюшин Юрий Алексеевич, д.т.н., проф. НИТУ МИСиС, alyushin7@gmail.com