Механические и физические свойства материалов в энергетической модели механики деформируемого твердого Теда Текст научной статьи по специальности «Физика»

© Ю.А. Алюшин, 2014

УЛК 531.8+669.14

Ю.А. Алюшин

МЕХАНИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ В ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Представляя приращение удельной энергии механической системы через изменения кинематических инвариантов уравнений движения в форме Лагранжа, высказана гипотеза о существовании новых физических свойств материалов, которые определяют механизм самоорганизации обратимых и необратимых деформаций, изменение механических свойств с учетом предшествующей истории деформирования и изменения внешних условий. Предложена энергетическая интерпретация понятия «обобщенная сила» и энергетическая шкала средних напряжений по аналогии с термодинамической шкалой температур с примером их расчета для ряда металлов. Ключевые слова: энергетическая модель механики, инварианты уравнений движения, механические и физические свойства материалов.

Современные методы расчета на прочность конструкций и энергосиловых параметров в технологических процессах, например при обработке давлением, не могут гарантировать погрешность менее 15% в связи с особенностями используемых исходных предпосылок, в том числе погрешностью механических характеристик материалов, включая коэффициент Пуассона в области упругих деформаций и предел текучести или иные эквивалентные характеристики в определяющих соотношениях деформационной теории пластичности или теории пластического течения.

Из-за отсутствия достоверных зависимостей между структурными изменениями деформируемого материала, энергетически эквивалентными в процессах теплового и механического воздействия, значительно выше погрешность предсказания свойств материала, в частности упрочнения, после деформации.

Повысить точность прогнозирования не только энергосиловых, но и эксплуатационных характеристик изделий, необходимых для обоснования оптимальных или предельных условий эксплуатации, можно за счет перехода от механических

свойств к физическим, отражающим энергетическое состояние частиц материала [1-2].

Для обоснования существования таких свойств достаточно рассмотреть кинематические инварианты уравнений движения /г (х, а, X) = 0, (1)

где I - время, х1 е (х,у,¿), ар е (а,в,у) - переменные Эйлера и

Ёагранжа, соответственно, которые несут всю информацию о внешних воздействиях и внутренних изменениях, происходящих в процессах деформации. Система (1) может быть записана в различных формах, однако, необходимость учета истории нагружения, а также возможность использования принципа суперпозиции движений [3-4], особенно для сложных процессов деформации, делает предпочтительной форму Ёагранжа

х i = хг (ар, х). (2)

В дальнейшем в качестве переменных Ёагранжа приняты начальные (при £ = 0) координаты точек в системе координат наблюдателя а = х |х=0, в = У |х=0, 7 = z |х=0.

В самом общем случае без каких-либо ограничений на свойства сплошной среды система (2) имеет 13 локальных кинематических инвариантов. Три из них связаны с векторными характеристиками движения: модули векторов перемещения и(ар, х) , скорости V(ар, х) и ускорения м>(ар, х)

Т г _1 ... 1_ . ГЗ

£ =| и |= Vи2 , V(ар, X), 4 =| V |= VV2 , #3 =| w |= Vw2

Инвариантом также является путь 5, равный интегралу от модуля скорости по времени

х

= 5 = .

0

Несимметричный тензор второго ранга, образуемый производными от переменных Эйлера по переменным Ёагранжа

X,р = дх, / дар , (3) для которого в дальнейшем использован термин «тензор деформации Ёагранжа» [2, 5], имеет три инварианта

#5 = Ха + Ув+ Zr , (4)

#6 = ^ + хв + х2г + У2а + Ув + У2Г + Z2a + Z2в + Z2r , (5)

£ =\х1р\=ЗУ / ЗУоо = Я . (6)

Кубический инвариант £ совпадает с якобианом преобразования (2) и равен отношению объемов бесконечно малой частицы в текущем 5¥ и исходном 5¥0 состояниях.

В отличие от симметричного тензора деформаций Коши [6] инварианты (4-6) всегда положительны, в исходном состоянии частицы принимают значения £ = £ = 3, £ = Я = 1.

В соответствии с основным постулатом механики, поведение системы зависит от положения частиц и их скоростей. Тензор (3) можно рассматривать как обобщенные координаты, их скорости также образуют несимметричный тензор («обобщенные скорости»)

Xр =дхгл1 дар , (7)

который имеет три инварианта: линейный, квадратичный и кубический

£ = ха + У в+ 2 *у = (£Х ,

£ = х1+АР+х1+у а+у]Р+у\ + Аа+АР + Аг, (8)

£о =\ х,р \.

Дополнительно 3 инварианта могут быть получены интегрированием по времени модулей инвариантов £,£, £0 . В отличие от инвариантов (4-6), которые в процессе деформации могут расти или уменьшаться, результаты интегрирования по времени

г

£11 = {V(ха+ У {в+ 2гу)2Ж ,

о г

£2 = {((+АР+х1 + у1+у% + у% + Аа+Ар+Аг ),

о г

£13 = {\ х, р №,

о

только возрастают на протяжении всего процесса деформации и позволяют учесть историю деформирования, аналогично критерию Одквиста [5 -6].

Перечисленные 13 локальных инвариантов £ являются независимыми, они или составленные из них выражения должны

определять состояние и поведение частиц, а также механической системы в целом. Чтобы сравнивать состояния и предсказывать реакцию системы на внешние воздействия, приведенные выше 13 инвариантов надо привести к одному обобщенному скаляру, который Аристотелем [7] был назван энергией («обобщенная мера различных видов движения») 8Е = 8Е(£).

Оператор 8 подчеркивает локальный (по отношению к пространству) характер скаляра.

Как показывает опыт, для большого класса механических систем из абсолютно твердых и деформируемых тел обобщенный скаляр можно представить в виде суммы составляющих, каждая из которых зависит только от одного инварианта 8Е = ^8Ег(4),

причем каждое слагаемое можно представить как произведение соответствующего инварианта на объем 8¥0 и скалярный множитель к, характеризующий свойства среды и обеспечивающий равенство размерностей слагаемых,

8Е = ^8Ег (4) = Х к48У0 . (9)

I г

Скалярные коэффициенты к,- должны характеризовать либо физические свойства материала, например плотность материала при вычислении кинетической энергии частицы, либо свойства среды, в которой происходит движение, например ускорение свободного падения при движении в гравитационном поле Земли. Гипотеза (9) может быть расширена, например, за счет учета взаимных влияний инвариантов, т. е. добавлением слагаемых, определяемых значениями двух и более инвариантов.

Дальнейший анализ ограничим формулировкой обобщенного закона движения механической системы в виде закона сохранения энергии на бесконечно малом интервале времени ё8Е = 8¥0(ё£к4) - 8ёЕе = 0 . (10)

где 8Ее - энергия внешних воздействий. Оператор «а'» - соответствует бесконечно малым приращениям функции во времени в отличие от оператора « 8 », используемого для бесконечно малых приращений функций в пространстве переменных Ёа-гранжа.

Уравнение (10) предполагает определение бесконечно малых приращений энергии, которые могут быть вычислены на приращениях выбранных для описания движения кинематических координат д-, используемых в правых частях уравнений перечисленных выше инвариантов

ё8Ег (к4 (д.)) = 8У0кг (д4 / дд.) йдз = 8(2^.. (11)

Множитель Qjj по существу является энергетическим определением обобщенной локальной силы

8(2. = (д8Е, /дд. ) = кг (д£/дд. )8¥0, (11а)

характеризующей скорость изменения соответствующего вида энергии Е1 бесконечно малой частицы при изменении кинематического параметра д,-. В общем случае сила Qjj может быть скаляром, если в качестве кинематического параметра выбран скаляр, например путь 5 или квадрат скорости V2, вектором, если параметры д, являются проекциями вектора, или тензором 2 ранга. Размерность силы Qjj также зависит от выбора кинематической координаты д-, например [Н] или [Нм] для линейных или угловых перемещений, [Па] для тензора напряжений

Ёагранжа и пр.

Закон сохранения энергии (10) предполагает учет всех как внутренних, так и внешних энергетических факторов. Для учета энергетических потоков со стороны окружающих частиц воспользуемся общепринятой методикой, использующей скалярное произведение векторов силы 8Р и скорости V: ё8Ее = ^(8Р ■ V^. Суммирование в правой части должно быть

проведено по всем ограничивающим рассматриваемую бесконечно малую частицу поверхностям. С учетом возможных изменений сил и скоростей на противоположных гранях, предполагая все функции дифференцируемыми и заданными в переменных Ёагранжа, получим с точностью до бесконечно малых 1-го порядка (по пространственным переменным и времени),

а = №ЗЕе /(ЗУоЛ) = тр1х1ф + хи,дгр11 дар (12)

где тр = (ЗРр1 /5ар)5У0 - напряжения Ёагранжа, образуют несимметричный тензор второго ранга. Индекс р е (а, р,у) указывает направление нормали к рассматриваемой площадке в исходном состоянии, а индекс 1 - направление проекции силы, может принимать значения г е (х, у, 2). Напряжения тр подобны напряжениям Пиола - Кирхгофа [5], но отличаются от них ограничением области изменения аргументов и неоднозначным выбором начала отсчета шкалы средних напряжений, которое может быть смещено относительно общепринятой [2].

С учетом внешних взаимодействий закон сохранения (10) можно записать в форме энергетического баланса №ЗЕ = ЗУ0(к£и + к£21+ к3£31 +... + к13£131-а)Л = 0. (10а)

Пренебрегая процессами диссипации (т. е. без учета инвариантов, связанных с интегрированием по времени), а также используя общепринятые соотношения для потенциальной и кинетической энергии (ось г направлена вертикально вверх)

№ЗЕ1 = Р082 3, №ЗЕ2 = Р0(хгхи + У ¡У и + )З0№г,

получим

№ЗЕ1 + №ЗЕ2 + №ЗЕ5 + №ЗЕ6 + №ЗЕ7 = со5У0Л ,

или, с учетом дифференциальных уравнений движения [1, 5],

тр,х,, гр = к5( ха + У в+ 2 1у) +

+ 2к6 (хаха + хвхв + хгх>г + УаУ а + УрУр + УуУ,у + 2 а2а + 2р2р + 2у2,у ) + + к1(хахаа + хрхр + хух 1Г + УаУ а + УрУ рр + УуУ гу + 2а2аа + 2р2рр + А2 .

(14)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых множителях -компонентах тензора скорости деформации (7), получаем соотношения между компонентами напряжений, элементами тензора (3) и константами к, характеризующими физические свойства материала,

трг = к5Зрг + 2к6хг,р + к1хг,р . (16)

В соотношениях (16) и далее - алгебраические дополнения элементов х1 матрицы (3), единичный тензор Зг принимает значения = 1 при соответствии индексов «р» и «/», т. е.

8р{ = 1 для тах, тву,ту2 и 8р{ = 0 для всех остальных напряжений,

не расположенных на главной диагонали. В исходном состоянии, когда переменные Эйлера и Ёагранжа совпадают (матрица якобиана преобразуется в единичную), компоненты тензора определяют только физические свойства

Тах = Т ву = Т у? = к5 + 2к6 + к7 ,

тв =т =т =т =т =т„ = 0.

вх ух ау у у ая в я

Энергетический баланс должен выполняться в любой, в том числе начальный, момент времени, для которого можно использовать напряжения Коши с.

с18Ег /5¥йг = с.х.м. (17)

Переходя в уравнении (17) от производных по переменным Эйлера дх и / дх. = х ^ к производным по переменным Ёагранжа

дх 1 (/дар = х 1 р с помощью общих соотношений, вытекающих из уравнений движения (2) д/ / дх 1 = (д/ / дар)х 1 / Я , и приравнивая коэффициенты при одинаковых множителях х 1 р в правых частях уравнений (12а) и (17), получим систему линейных уравнений

тр, =с3^3рр , (18а)

которые формально совпадают с известными статическими условиями на контуре и по существу определяют связи между напряжениями Ёагранжа и Коши, справедливые для любого момента времени

С =Тр,х]р /Я . (18Ь)

Равенства (18Ь) можно трактовать как следствие условия инвариантности энергии по отношению к выбору начала отсчета времени в системе наблюдателя. С учетом (16) для напряжений с . окончательно получаем

с = — (т х + твх а + т ■ х ) =

1' я \ а 1 а в 1,в у 1 ,г)

к5 х1, а + 2к6( х1 ,ах1, а + х1 фх., в + х', Гх.,у) + +к7( х1, ах!, а + х., вх1, в + х}, Г^^' ,Г)

(18с)

Сопоставление выражений (16) и (18с) показывает, что для анализа процессов деформации напряжения Ёагранжа предпочтительнее: они энергетически обоснованы и связаны простыми математическими уравнениями с имеющими четкий геометрический смысл характеристиками деформированного состояния. Основной инвариантной характеристикой напряженного состояния можно считать среднее напряжение Коши и

которое можно использовать для определения среднего напряжения в исходном состоянии

Если коэффициенты k5 - k7, характеризующие физические свойства деформируемого материала, известны, тогда по уравнениям движения в форме (2) можно определить любые кинематические, а затем и энергетические или силовые функции, в том числе напряжения Ёагранжа (14) и Коши (18). Они могут быть использованы для корректировки (выбора) начала отсчета шкалы средних напряжений. Есть достаточно оснований считать, что в исходном состоянии средние напряжения не следует принимать равными 0. В частности, закон упругого изменения объема а = 3Ks можно считать совпадающим с законом изотермического расширения газа pV = const, если модуль объемной упругости К рассматривать как действующее в текущем состоянии давление.

Из закона сохранения энергии в форме (10) следует, что деформация возможна при изменении не менее двух видов энергии (или работы внешних сил). Это позволяет установить связь между коэффициентами к,- и привести систему отсчета различных видов энергии к одной шкале.

В качестве примера рассмотрим зависимость между коэффициентами kj и k2 на примере свободного падения абсолютно твердого тела (частицы) в гравитационном поле Земли, в котором участвуют два вида энергии: потенциальная SdEx и кинетическая SdE2. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, иначе надо добавить изменение энергии SdE4, предполагая какую-либо связь между диссипативными силами и инвариантом 5 или скоростью ivi. Уравнения движения и закон сохра-

3aR = к5£ + 2к6£ + 3к7£

(19)

(20)

нения энергии примут вид (ось г направлена вертикально вверх)

х = а, у = в, г = у-и2(у,0 , dдE1 + dSE2 = 0 .

Повороты отсутствуют, движение поступательное, энергию можно проинтегрировать по всему объему тела. Для приращений энергии Е1 и Е2 следует записать dE1 = к^йх < 0 ,

dE2 = к^ (V?2) = k2d (?2) = 2к2= 2к2> 0 , и, если использовать общепринятое обозначение для ускорения свободного падения г и = -g , соотношение между коэффициентами должно быть к1 = 2к2g . В классической механике принято к1 = mg , тогда к2 = т /2 и для кинетической энергии получаем общепринятое выражение Е2 = mv2/2 .

Свойства, определяемые коэффициентами к5 , к6, к7 , должны полностью определять энергетические изменения частиц в области упругой деформации. Свойства к8, к9, к100 и инварианты <8, <д, <10 не вошли в уравнение энергетического баланса (14), учитывающего внешние воздействия, так как их производные по времени содержат множители типа х1 р, которые не входят в выражение (12) для энергии внешних воздействий. Этого достаточно для утверждения, что они связаны с механизмами упругой и пластической деформации.

В процессе необратимой деформации условие энергетического баланса вместо (14) принимает вид

® = Тр,х,,р = к5<5 + кб< + к7< + к11<и + к—2<2,> + к< , (27)

следовательно, диссипативные процессы связаны с параметрами <11, <12, <13 и свойствами кц, к12, к13. Именно они определяют изменение механических свойств материалов, в том числе эффект Баушингера [5], энергетические особенности фазовых переходов и пр.

Так как излагаемая энергетическая модель должна учитывать возможные варианты движения от любых внешних воздействий, рассмотрим изменение энергетического состояния частицы из изотропного материала при равномерном нагреве. В соответствии с общепринятыми представлениями и понятия-

ми, при нагреве на температуру АТ линейные размеры частицы изменяются на величину атАТ , где ат - коэффициент линейного расширения материала, при этом затрачивается энергия

Т

ASE = j cSmdT

или, приближенно, ASE = ccpSmAT , ASE /SV0 = ccpp0AT , где ccp

- средняя теплоемкость материала в рассматриваемом диапазоне температур от Т0 до Т. С учетом уравнений движения xt =ai (1 + aT AT), деформаций Дагранжа ха = (1 + aT AT) и приращений инвариантов AI1 = 3aT AT , AI2 = 6aT AT + 3(aT AT)2, AI3 = 3aTAT + 3(aTAT)2 + (aTAT)3, условие перехода подведенного тепла в энергию частицы принимает вид ср0/аТ = 3k5 + 6k6 + 3k7 + 3(k6 + к7)аТAT + к7(аТAT)2 « 3(k5 + 2к6 + k7)

. (33)

Сравнивая правые части уравнений (20) и (33), можно утверждать, что средние напряжения в исходном состоянии следует считать равными

^01 =0=сРо /(3ат) = к5 + 2к6 + кп, (34)

где все физические характеристики в правой части должны соответствовать исходному состоянию материала, т. е. при нормальном давлении и температуре 200С. По существу использование соотношения (34) соответствует переходу к новой энергетической шкале средних напряжений, по аналогии с термодинамической шкалой температуры Кельвина.

Для ряда материалов расчетные значения ст0 приведены в таблице, данные взяты из работы [8] и на сайте s-metall.com.ua.

Материал с0 = ср0/(3аТ) ГПа К ГПа

Алюминий 27, 19 - 33,9 75,8

Медь 67,91 - 68,43 137,6

Титан 78,94 - 102,30 107

Никель 99,56 - 102,86 161

Свинец 16,42 -17,36 46

Цинк 26,65 - 30,53 60

Железо 97,22 - 111,06 169

Для определения каждого из коэффициентов правой части уравнения (20) достаточно дополнительно двух уравнений, например по результатам испытания на чистый сдвиг и гидростатическое сжатие. В качестве основного принимаем общее уравнение (19) для среднего напряжения

3аЯ = к& + 2к£6 + 3£7£ ,

которое можно привести к обычной шкале средних напряжений за счет сдвига шкалы на величину исходных напряжений (20), т. е. в обычной шкале зависимость среднего напряжения Коши от инвариантов тензора деформации принимает вид а = а-а0 = (к5%5 + 2к646 + 3к747) / 3Я - (к5 + 2к6 + к7) =

= к' (| - ^ 2к6 (| - ') + к7 (| - 1

В условиях гидростатического сжатия с уравнениями движения х1 = а1 (1 + £) = а{е , = 3е, 46 = 3е2, Е,7 = еъ и Я = = еъ получаем а = (1 -е)[к5(1 + е) + 2к6е]/е2. С другой стороны, из закона упругого изменения объема

а = 3К(Я-1/3 -1) = 3К(е -1)/е2. (36)

Приравнивая правые части последних двух уравнений, получим

к5(1 + е) + 2 к6е =-3 К (37)

или, принимая во внимание е = 1, к5 + к6 = -1,5К . (37а)

Испытания при линейном растяжении менее достоверны, так как уравнения движения содержат коэффициент Пуассона, изменение которого на различных этапах деформации может вносить существенные погрешности в результаты расчета. Более предпочтительными являются исследования при чистом плоском сдвиге с уравнениями движения х = а + вр , у = ав + в , ^ = у,

где в - угол сдвига. Два инварианта сохраняют исходные значения, меняется только квадратичный инвариант 45 = I = 3, = 12 = 3 + 2в2, 47 = 13 = 1. Работа внешних сил АЕе =^гс1у = G|ус1у = 0,50у2 должна соответствовать измене-

нию энергии материала АЕ6 = К6А%6 = 2К6у2. Из энергетического баланса для обратимого процесса получаем

К = 4с . (38)

Важно, чтобы величина О была определена с помощью описанного эксперимента, а не вычислена через модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Отрицательный знак коэффициента К5 объясняет увеличение энергии частицы при уменьшении ее объема за счет гидростатического сжатия.

Выводы

Механические характеристики материалов определяют погрешность расчетов, выполняемых для прогнозирования разрушения, упрочнения, изменения структуры, обоснования практических рекомендаций по оптимизации процессов. Энергетическая модель механики позволяет перейти к новым физическим свойствам материалов в области обратимых и необратимых деформаций, в том числе к новой шкале средних напряжений, аналогичной термодинамической шкале температур. Такой переход приводит к необходимости разработки способов экспериментального определения новых физических свойств и исследования их влияния на формирование структуры, технологические и прочностные свойства материалов.

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Алюшин Ю.А. Энергетические основы механики. Учеб. пособие для вузов: - М.: Машиностроение, 1999. - 192с.

2 Алюшин Ю.А. Механика твердого тела в переменных Ёагранжа. Учеб. пособие для вузов: - М.: Машиностроение, 2012. - 192с.

3 Алюшин Ю.А. Принцип суперпозиции движений в пространстве переменных Ёагранжа.// Проблемы машиностроения и надежности машин. 2001. №3. С. 13-19.

4 Алюшин Ю.А. Механика процессов деформации в пространстве переменных Ёагранжа: Учеб. пособие для вузов: - М.: Машиностроение, 1997. -136с.

5 Колмогоров В.Ё. Механика обработки металлов давлением. - М.: Металлургия, 1986. - 688 с.

6 Качанов Ё.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969. - 420 с.: ил.

7 Богомолов А.Н. Механика в истории человечества. - М.: Наука, 1978. - 150 с.: ил.

8 Кей Дж., Леби Т. Таблицы физических и химических постоянных. - М,-Наука, 1976. - 608 с. 5333

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -

Алюшин Юрий Алексеевич - доктор технических наук, профессор, е-шаП: alyushin7@gmail.com. МГИ НИТУ МИСиС.

Alyshin Yu.A., Doctor of Technical Sciences, Professor

Moscow mining Institute National University of Science and Technology "MISIS" (MISIS)

REFERENCES

1. Alyushin Yu.A. Energeticheskie osnovy mekhaniki (Energy foundations of mechanics). Ucheb. posobie dlya vuzov. Moscow, Mashinostroenie, 1999, 192 p.

2. Alyushin Yu.A. Mekhanika tverdogo tela v peremennykh Lagranzha (Mechanics of rigid body in the Lagrange variables). Ucheb. posobie dlya vuzov. Moscow, Mashinostroenie, 2012, 192 p.

3. Alyushin Yu.A. The superposition Principle movements in space variables Lagrange. Problemy mashinostroeniya i nadezhnosti mashin. 2001, no. 3. pp. 13-19.

4. Alyushin Yu.A. Mekhanika protsessov deformatsii v prostranstve peremennykh Lagranzha (Mechanics of deformation processes in space variables Lagrange). Ucheb. posobie dlya vuzov. Moscow, Mashinostroenie, 1997, 136 p.

5. Kolmogorov V.L. Mekhanika obrabotki metallov davleniem (Mechanic processing of metals by pressure). Moscow, Metallurgiya, 1986, 688 p.

6. Kachanov L.M. Osnovy teorii plastichnosti (Fundamentals of the theory of plasticity). Moscow, Nauka, 1969, 420 p.

7. Bogomolov A.N. Mekhanika v istorii chelovechestva (Mechanics in the history of mankind). Moscow, Nauka, 1978, 150 p.

8. Kei Dzh., Lebi T. Tablitsy fizicheskikh i khimicheskikh postoyannykh (Tables of physical and chemical constants). Moscow, Nauka, 1976, 608 p.