Распределение дохода при потреблении взаимозаменяемых благ Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 51-7

Т.А. Козелецкая, Е.А. Герман

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДОХОДА ПРИ ПОТРЕБЛЕНИИ В ЗА И М О ЗАМ Е Н Я Е М Ы X Б Л А Г*

Продолжим исследования, касающиеся теории потребительского спроса, опубликованные в [1—5]. Если говорить о рынке конечного потребления, об удовлетворении конкретной потребности, то каждая из них может быть удовлетворена, частично или полностью потреблением взаимозаменяемых благ разного качества.

В экономической теории рассматривают такую возможность, но только лишь на качественном уровне (вербально). При этом используют понятие «предпочтение», например в [6], и понятие «выявленные предпочтения», например в [7]. Если рассматривать поведение покупателей с точки зрения продавца, то эта терминология вполне оправданна. Если покупают один товар и не покупают другой, значит, один предпочитают другому. Что при этом по-двигнуло покупателей сделать такой выбор, продавцов не интересует.

Мы попытаемся количественно описать поведение покупателя, исходя из его внутренних ощущений, касающихся свойств (качества) самого товара, и финансовых возможностей. При этом будем использовать, может, и не бесспорную, но более точную, на наш взгляд, терминологию. В частности, будем рассматривать предпочтения как проявление субъективных особенностей восприятия покупателем данного блага, обусловленных национальными и религиозными традициями и личными пристрастиями (подобно коэффициенту удовлетворения к в уравнении кардиналистской полезности (удовлетворенности) в [4]). При этом введем в рассмотрение количественную меру предпочтений — коэффициент предпочтений для качественных и низкокачественных благ.

В традиционной экономической теории классификационным признаком качества благ служит эластичность по доходу.

Под эластичностью одной величины по другой, как известно, понимают отношение их относительных приращений. Например, эластичность (§) изменяющейся величины у по отношению к другой изменяющейся величине z (обозначим ее §(у / z)) определяет-

ся выражением

£( у / z) =

^у / у dz / z

dz у

(1)

Низкокачественным товаром обычно называют такой, для которого эластичность по доходу отрицательна, а качественным — такой, для которого эластичность по доходу положительна. По мере роста дохода индивид стремится заменить потребление низкого блага на качественное. Полагают, что с ростом дохода потребление низкого блага снижается (эластичность отрицательна), а качественного продукта увеличивается (эластичность положительна).

При каких уровнях дохода это утверждение соответствует действительности — вопрос, который в традиционной теории не обсуждается.

По нашему мнению, использование знака эластичности по доходу в качестве классификационного признака, по которому разделяют блага по их качеству, некорректно.

Не существует товара (блага) только с отрицательной эластичностью по доходу конкретного потребителя во всем интервале его доходов.

Так, при увеличении малого (близкого к нулю) дохода потребление любого, даже

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 11-06-00319-а «Математические модели поведения агентов рыночных отношений».

самого низкокачественного товара, растет (эластичность по доходу положительна). Из-за малости дохода индивид не может позволить себе приобретать более качественный товар. Только при достаточном уровне дохода и достижении некоторого уровня потребления низкокачественного товара может появиться реальная возможность потреблять более качественный товар, заменяя им потребление низкокачественного. В этом состоянии эластичность по доходу низкого блага изменяет знак и становится отрицательной.

Таким образом, по эластичности один и тот же товар для одних покупателей может быть низкокачественным, а для других высококачественным. Для покупателей с низкими доходами любой товар может быть высококачественным, а низкокачественных не будет вовсе.

Рассмотрим динамику распределения расходов на приобретение благ разного качества по мере роста дохода индивида.

Ограничимся случаем двух взаимозаме -няемых благ, предназначенных на удовлетворение некоторой потребности. Будем говорить только о таких потребностях, для удовлетворения каждой из которых необходимое количество блага, а следовательно, и затраты ограничены некоторой максимальной их величиной1. По своей природе такие потребности можно отнести к категории биогенных (в отличие от потребностей психогенной природы, для удовлетворения которых подобных ограничений не существует) [8].

Уравнение расходов на удовлетворение конкретной потребности. Получим функцию е*(М), описывающую изменение расходов на удовлетворение некоторой потребности с ростом дохода.

Будем считать, что расходы на удовлетворение любой потребности биогенной природы ограничены максимальной величиной * ^

ешах, соответствующей расходам на полное удовлетворение этой потребности.

1 Ограничения обусловлены физическими возможностями человека. Не съешь больше пищи, чем способен вместить желудок. Не оденешь на себя больше одежды, чем нужно для достижения состояния комфорта, и т. д.

Коэффициент неудовлетворенности и дифференциальное уравнение расходов. Рассмотрим связь между бесконечно малым приращением дохода dM и приращением расходов ^е* на удовлетворение интересующей потребности.

Учитывая линейный характер связей между дифференциалами переменных [9, с. 305] можно записать:

d е* = уЯМ. (2)

Очевидно, что разница между максимальными расходами, необходимыми для полного удовлетворения данной потребности (е^ах), и текущими расходами на ее удовлетворение (е*) будет служить стимулом к увеличению дополнительных расходов на потребность (к увеличению dе*), т. е. коэффициент | в выражении (2) пропорционален их разности (| ~ (е^ах -е*)). Его можно называть коэффициентом неудовлетворенности потребности.

В соответствии с выражением (2) коэффициент неудовлетворенности | должен быть безразмерной величиной, так как dе* и dM измеряются в одних и тех же денежных единицах (в руб.). Из соображений корректной записи математических выражений с именованными величинами представим | в виде

1 = ^^ -е*Х (3)

где коэффициент а формально служит для выравнивания размерностей левой и правой частей этого выражения. Смысловой нагрузки он пока не несет.

Подставив (3) в (2), получим дифференциальное уравнение расходов на удовлетворение конкретной потребности:

dе* =а(е;ах -е*)М. (4)

Общая функция расходов на удовлетворение конкретной потребности. Интегрирование выражения (4), как известно, дает неопределенную константу. Она может быть получена из вполне очевидных граничных условий. Ясно, что при нулевом доходе

бюджет потребности тоже будет нулевым,

т. е. е* = 0.

\м = 0

В этом случае решение уравнения (4) — методом разделения переменных и с учетом указанных граничных условий — дает зависимость расходов на удовлетворение некоторой потребности биогенной природы от дохода в виде

е*(М) = е'шах(1 - е-м).

(5)

5(М) =

М

(6)

5(М) =

С(1 - е-аМ) М

(7)

Другими словами, найдем предельную до— лю при малых доходах, т. е. найдем 50 = Ит^ 5(М). Воспользовавшись (7) и пра-

М ^ 0

вилом Лопиталя для раскрытия неопределенности типа 0/0, получим, что

50 = етаха.

(8)

Тогда функция расходов на удовлетворение конкретной потребности (5) может быть представлена в виде:

Формальный коэффициент а может быть представлен через измеряемые величины, имеющие ясный экономический смысл, если рассматривать текущие расходы как долю (5) от дохода, т. е.:

е*(М)

е*(М) =е;

С 50М Д

1 - е Ета

Показатель экспоненты 5°М

(9)

можно рас-

Естественно, что доля 5(М) << 1, поскольку свой доход покупатель расходует на удовлетворение многих потребностей. С учетом (5) получим:

Посмотрим, какой будет эта доля при очень малых доходах, обозначив ее как 50 .

сматривать как приведенный доход (50М),

измеренный в единицах максимального рас*

хода етах.

График этой зависимости (кривая расходов на удовлетворение конкретной потребности) показан на рис. 1.

При любом доходе эти расходы распределяются между взаимозаменяемыми благами разного качества. Получаем соответствующие функции.

V

У

е

Приведенный доход (50М/е*тах), отн. ед. Рис. 1. Зависимость расходов на удовлетворение потребности от дохода

Коэффициенты предпочтения благ разного качества. В отличие от принятого критерия разделения благ на качественные и низкокачественные по эластичности, будем разделять их, ориентируясь на стремление покупателя увеличивать или уменьшать долю расходов на данный товар (р) среди предназначенных для удовлетворения данной потребности.

При таком подходе можно было бы выделить и такие блага, в отношении которых стремление изменять долю расходов на их покупку отсутствует. Их можно было бы называть нейтральными. Но привести пример такого товара мы не можем, поэтому останемся в рамках бинарной логики и будем разделять блага на две традиционные категории.

Как это и принято в экономической теории, одно из этих благ назовем низкокачественным (или низким; Ь — благо), а другое — качественным (или высоким; Н — благо). Очевидно, что текущие расходы на покупку каждого из них (еЬ и еН соответственно) связаны с расходами на удовлетворение данной потребности (е*) очевидным соотношением:

е* = еЬ +еН. (10)

Рассмотрим, каким образом будут зависеть расходы на покупку каждого из этих благ (еЬ и еН) от дохода, т. е. найдем функции еЬ (М) и еН (М).

Введем в рассмотрение коэффициенты предпочтений низкого блага (рЬ) и качественного блага (рН) как доли текущих расходов на их покупку от общих текущих расходов на удовлетворение данной потребности, т. е.

*

Рь (11)

8

*

Рн =4- (12)

6

Естественно, что коэффициенты предпочтений могут изменяться с изменением дохода индивида.

Учитывая выражение (11), можно считать, что

Рь +Рн = 1. (13)

Каждый из коэффициентов предпочтений меньше единицы. Любой из них может оказаться равным единице только в том случае, если другой равен нулю. Такая ситуация означает, что для удовлетворения конкретной потребности востребован только один (низкокачественный или качественный) продукт.

Зависимости коэффициентов предпочтения от дохода. Коэффициент предпочтения низкокачественного продукта РЬ можно связать с текущими (е*) и предельными (е^) расходами для удовлетворения конкретной потребности. Для этого, рассматривая предельные случаи малых (М " 0) и больших (М " да) доходов, выявим математические свойства коэффициента РЬ .

При малом (близком к нулю) доходе текущие расходы на удовлетворение конкретной потребности также близки к нулю (т. е. при доходе М " 0 расходы е* " 0). При этом конкретная потребность практически не удовлетворена. Малая величина дохода позволяет потреблять только низкокачественный (самый дешевый) продукт. Это означает, что коэффициент предпочтения РЬ при малом доходе, а следовательно, и малом текущем расходе е*, близок к единице, т. е. при е* " 0 имеем рЬ " 1, что можно представить и в такой форме: рЬ |е*^ 0 " 1.

В другом крайнем случае, когда доход велик, потребность близка к полному удовлетворению, а текущие расходы приближаются к максимальным е* "е^х. Желание приобретать низкокачественный продукт пропадает, и коэффициент предпочтения низкого блага становится близким к нулевому значению рЬ " 0, т. е. рЬ| * * " 0.

е "" етах

Таким образом, при возрастании дохода (М), а следовательно, при росте текущих расходов е*, начиная от самого малого, коэффициент предпочтения низкого блага рЬ уменьшается от единицы до нуля.

Указанными математическими свойствами обладает функция, полученная исходя из следующих соображений.

Если рассматривать разность предельных (максимальных) расходов на удовлетворение конкретной потребности е^ и текущих рас-

* . * *. ходов е на ее удовлетворение, т. е. (етах -е ),

то она будет характеризовать стимул покупать блага обоих категорий. Чем меньше те*

кущие расходы е на удовлетворение конкретной потребности по сравнению с максимальными етах, тем более предпочтительным, точнее сказать, экономически предпочтительным2, становится низкое благо.

Учитывая, что коэффициенты предпочтения введены в рассмотрение как безразмерные величины, см. равенства (11) и (12), следует удовлетворить и этому требованию корректной записи математических выражений с именованными величинами, что можно сделать следующим образом.

Выраженная в единицах предельных расходов на удовлетворение потребности эта раз-

(

ность, т. е.

Л

величиной. Она будет обладать теми же математическими свойствами, что и коэффициент предпочтения рь . Поэтому будем счи-

тать, что:

Рь =

= 1 --

(14)

Рн = 1 -Рь =

(15)

Из выражения (8) следует, что

( «М А

1 - е Ета

(16)

Тогда в соответствии с равенством (13) имеем:

«0М

Рь = 1 --

= е

(17)

а в соответствии с выражением (14) получим:

80М

Рн =

= 1 - е

(18)

и будет безразмерной

Выражения (17) и (18) показывают, что предпочтения конкретного покупателя изменяются при изменении его дохода. С ростом дохода коэффициент предпочтения для низкокачественного блага экспоненциально уменьшается (в пределе до нуля), а качественного блага — возрастает, стремясь к единице, что адекватно отражает стремление при наличии финансовой возможности отказаться от потребления низкокачественного продукта, заменив его качественным продуктом.

Частные функции расходов на низкое и качественное благо. Полученные выражения для коэффициентов предпочтения (17) и (18) совместно с равенствами (8), (11) и (12) приводят к функциям расходов на покупку низкого (еЬ) и качественного (е*н) блага.

Для низкокачественного товара получим:

еЬ (М) = Р£ -е* = е

8рМ

етах

е =

Используя выражение (12), для коэффициента предпочтения качественного блага получим:

«М (

8„М Л

1 - е

(19)

Для качественного продукта получим:

( «0М \2

е*н (М) = Рн е* = е;

1 - е

(20)

2 Здесь можно использовать и такой термин, как «платежеоправданное желание» (не будем путать с просто желанием). Все желают быть здоровыми и богатыми, но в реальности это далеко не так.

Соответствующие кривые показаны на рис. 2.

Спадающий участок кривой для низкокачественного продукта есть не что иное, как кривая Энгеля, которую обычно схематично изображают в виде участка кривой с отрицательным наклоном. Уравнение для нее получено впервые.

Анализ выражений (19) и (20) показывает следующее.

Расходы на потребление низкого блага еЬ(М) достигают максимального значения

е

V

/

V

/

е

ч

/

1,0

0,8

0,6

Л

и о и о св Рч

0,4

0,2

0,0

Совокупные

Ка чественный продукт

;

/ /

Низкокачес твенный пр одукт

12 3 4

Приведенный доход (50М/8*шах), отн. ед.

Рис. 2. Зависимость расходов на покупку качественных и низкокачественных взаимозаменяемых благ от дохода

0

5

при приведенном доходе, когда 50М / еЩ^ = = 1п 2 = 0,693. При меньших доходах е*1 (М) — возрастающая функция дохода. Эластичность по доходу на этом участке кривой положительна, так как оба приращения (йе£ и йМ) положительны. И только на участке, где 50М / еЩах > 0,693, эластичность отрицательна, так как йеь < 0.

Таким образом, высказанное в начале статьи сомнение относительно правомерности классификации благ по знаку эластичности подтвердилось. Низкое благо имеет как положительную эластичность по доходу, так и отрицательную, в зависимости от его величины.

Расходы на качественное благо е*н (М) монотонно возрастают с увеличением дохода, стремясь к значению ен ^ еЩах. При высоком уровне дохода (формально при М ^ ж) потребление низкокачественного продукта «прекратится» (е*н ^ 0) и останется потребление только качественного.

Точка пересечения кривых расходов на низкокачественный и качественный

продукты (см. рис. 2) в выбранных единицах измерения имеет координаты (0,693; 0,25). Опуская стандартные математические преобразования, приведем их результаты:

— расходы на низкокачественное благо для полного удовлетворения потребности составляют 25 % от необходимых;

— расходы на качественное благо также составляют 25 % от необходимых;

— коэффициенты предпочтения при таком бюджете потребности имеют значения р£ = 0,5 и ря = 0,5;

— совокупные расходы составляют 50 % от необходимых для полного удовлетворения потребности.

Таким образом, можно сказать, что на качественном уровне эмпирические данные не противоречат ожидаемым теоретическим зависимостям.

Количественному сравнению с данными Росстата будет посвящена следующая наша работа (находится в стадии завершения).

Выражаем благодарность профессору Василию Романовичу Окорокову за проявленный интерес к нашей работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Герман, Е.А. Эволюция подходов в теории потребительского спроса [Текст] / Е.А. Герман, А.Г. Дмитриев, Т.А. Козелецкая // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Серия «Экономические науки». — 2008. — № 6 (68). — С. 16—18.

2. Герман, Е.А. Анализ аксиом порядковой теории потребительского спроса с использованием графов бинарных отношений [Текст] / Е.А. Герман, А.Г. Дмитриев, Т.А. Козелецкая // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Серия «Экономические науки». — 2008. — № 6 (68). — С. 18—24.

3. Козелецкая, Т.А. Теория потребительского спроса: о совместимости аксиом порядкового подхода. [Текст] / Т.А. Козелецкая, А.Г. Дмитриев, Е.А. Герман // Журнал экономической теории. — Екатеринбург: Институт экономики УрО РАН, 2009. — № 3. — С. 195—203.

4. Дмитриев, А.Г. Теория потребительского спроса: психофизическое обоснование дифференциального уравнения кардиналистской полезности; интерпретация решения [Текст] / А.Г. Дмитриев, Т.А. Козелецкая, Е.А. Герман // Журнал экономической теории. — 2011. — № 1. — С. 111—117. — (Екатеринбург, Ин-т экономики УрО РАН).

5. Дмитриев, А.Г. Экономическое поведение индивида на рынке [Текст] / А.Г. Дмитриев, Т.А. Козелецкая. — СПб.: Нестор, 2005. — 130 с.

6. Хикс, Дж. Р. Стоимость и капитал [Текст] : пер. с англ. / Дж. Р Хикс; общ. ред и вступ. ст. Р.М. Энтова. — М.: Прогресс, 1993. — 488 с. — (Экономическая мысль Запада).

7. Нордхаус, В.Д. Экономика [Текст] : пер. с англ. / В.Д. Нордхаус, А. Самуэльсон. — М.: Бином, 1997. — 800 с.

8. Герман, Е.А. Распределение дохода по видам потребностей [Текст] / Е.А. Герман, Т.А. Козе-лецкая // Научно-технические ведомости. Серия «Экономические науки». — 2012. — № 5. — С. 28—32.

9. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике [Текст] / И.Н. Бронштейн и К. А. Семендяев. — М.: Физматгиз, 1962. — 606 с.

10. Бабкин, А.В. Теоретические аспекты оценки эффективности бюджетных расходов [Текст] / А.В. Бабкин, Д.С. Демиденко, Т.Ю. Кудрявцева // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Серия «Экономические науки». — 2009. — № 3 (79). — С. 255—262.