CC BY
32
8. Manrubia, S.C. Role of Intermittency in Urban Development: A Model of Large-Scale City Formation [Text] / S.C. Manrubia, D.H. Zanette // Physical Review Letters. -1997. -Vol. 79. -№ 3. -P. 523-526.
9. Зельдович, Я.Б. Перемежаемость в случайной среде [Текст] / Я.Б. Зельдович, С.А. Молчанов
// Успехи физических наук. -1987. -Т. 152. -Вып. 1. -С. 3-31.
10. Айвазян, С.А. Прикладная статистика: классификация и снижение размерности [Текст] / С.А. Айвазян, В.М. Бухштабер, И.С. Енюков [и др.]. -М.: Финансы и статистика, 1989.
УДК 330.16
Т.А. Козелецкая, Е.А. Герман, А.Г. Дмитриев
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КАРДИНАЛИСТСКОИ ПОЛЕЗНОСТИ
1. Предварительные замечания
Как известно, управление в социальных и экономических системах базируется, в т. ч. и на модельных представлениях о поведении покупателя. Рассматривая его, экономическая теория оказалась не в состоянии предложить количественную (кар-диналистскую) модель полезности - ключевой величины, характеризующей ощущения удовлетворения потребителя, связывая это с нерешенностью задачи ее измерения по шкале отношений. В результате получил распространение так называемый порядковый подход, непродуктивность которого обнаружилась в попытках моделировать наблюдаемый в разных странах и в разное время рост потребления ряда товаров, несмотря на рост их цен. Более того, в работе [1] показана несовместимость аксиом порядкового подхода.
В этой связи представляется целесообразным в свете современных знаний рассмотреть ряд методологических вопросов, касающихся опыта построения математических моделей физики и технических наук. Воспользоваться ими для построения модели кардиналистской полезности с тем, чтобы использовать ее в теоретических обоснованиях предложений для лиц, принимающих решения в социальной сфере экономики.
О теории измерений. Задача определения количества свойства той или иной эмпирической системы рассматривается, как известно, в теории измерений. Если ориентироваться на тип рассматриваемых величин1, получающихся в результате измерений, то можно выделить два подхода: ма-
1 Будем использовать этот термин, не претендуя на его безупречную точность в отображении существа вопроса.
тематический и физический (или метрологический).
В рамках математического подхода измерение рассматривается как операция гомоморфного отображения эмпирической системы с отношениями на числовую систему с отношениями [2, 3]. Естественно, в рамках математического подхода подразумевается числовая система, состоящая из абстрактных, математических чисел, лишенных каких бы то ни было наименований. При этом авторы [2, 3] используют числовую систему, состоящую только из вещественных чисел, в то время как свойства эмпирических систем описываются и комплексными числами (электродинамика), а объектами математических исследований могут быть и другие числа (кватерионные, октионные и т. д.).
Следует отметить, что в предметных областях всегда используются числа другого типа - именованные. Строго говоря, они не являются объектами математического изучения и не могут рассматриваться как частный случай математических величин. В этой связи не следует забывать о корректном использовании математики в предметных областях. Но это уже забота пользователей математики.
На существование проблемы использования именованных величин в математических выражениях указывали еще основоположники математической теории измерений [2, с. 8]. Приведем цитату: «... В большинстве случаев читатель сталкивается с набором противоречивых и сбивающих с толку догм, объявляющих допустимыми ... выполнение тех или иных правил. Обучая человека началам науки, мы предупреждаем его, что
«не имеет смысла» складывать числа, относящиеся к разным свойствам, скажем к весу и росту, но в то же время, ... предлагают изучающим физику умножать числа, связанные с такими понятиями, как скорость и время, или делить меру расстояния на меру времени. Почему же умножение «более осмыслено», чем сложение?».
Ответ на этот вопрос может быть дан такой.
Математические операции определены лишь на множестве абстрактных математических чисел. Например, на множестве натуральных чисел определено вычисление факториала; на множестве вещественных - вычисление логарифма, тригонометрических функций и др.
Операции на множестве именованных чисел в математике не определены. Операции с именованными числами определены лишь в предметных областях. Они содержатся в дефинициях соответствующих величин и количественных законах соответствующей области знаний. Это и делает их более осмысленными, если использовать терминологию Суппеса и Зинеса.
В рамках физического подхода измерение рассматривается как экспериментальная операция, познавательная процедура, основанная на сравнении (прямом или косвенном) количества свойства с его величиной, принятой за единицу [4]. Измерения с использованием инструментальных средств принято относить к категории метрологических, а без их применения - к категории экспертных оценок. В первом случае используют шкалы отношений или интервалов, а во втором - шкалы порядка. В рамках физического подхода можно рассматривать и так называемые психологические измерения - количественную оценку уровня восприятия того или иного свойства эмпирической системы (тяжести груза, громкости звука, светлости и т. п.). В этом случае сравнение происходит с «внутренним эталоном», в качестве которого могут выступать еле различимые разности стимула, физиологические пороги чувствительности органов (слуха, зрения) и др. [5]. В результате измерений в рамках физического подхода получают именованные числа.
В любой предметной области, в прикладных задачах, имеют дело с именованными величинами. Наименование каждой из величин указывает на использованную единицу ее измерения. Например, в утверждении «длина веревки 25 м» содержится информация о том, что единицей измерения длины служил метр. Если для той
же веревки утверждается, что «длина веревки 2500 см», то в этом случае единицей измерения служил сантиметр.
Наличие именованных величин в математических моделях любой предметной области, в т. ч. и в экономике, неминуемо приводит к постановке вопроса об измерениях, о выборе единиц измерения, что, в свою очередь, ставит вопрос о выборе системы единиц измерения, ее основных и производных единиц. Последнее приводит к понятию «размерность»2 величины и необходимости раз-мерностного анализа уравнений. Эти вопросы хорошо разработаны в рамках физического подхода [6, 7] и широко используются в практике математического моделирования в физике и технике.
Об анализе размерностей. Следует отметить, что понятие «размерность» в физической и метрологической литературе несколько отличается содержанием. Физики считают, что оно относится к единицам измерения физических величин, что соответствует первоначальному замыслу Ж. Фурье, а метрологи - к самим физическим величинам. С точки зрения использования этого понятия в практике математического моделирования такое различие несущественно.
Под размерностью единицы измерения (величины) понимают символическое степенное выражение, составленное из символов основных единиц выбранной системы единиц измерения, с соответствующими показателями степени. Например, если в системе единиц, где основными выбраны единицы длины (L), массы (M) и времени (T) записать символическое степенное выражение для размерности площади (dimS) в общем виде:
dim S = LaMT , (1)
то нетрудно видеть, что размерность площади будет:
dim S = L2M 0T 0= L2. (2)
Хорошо известно, что при использовании в математических выражениях именованных величин допустимыми, с точки зрения пригодности этих выражений для моделирования объектов и явлений в предметной области, могут быть толь-
2 Понятие «размерность» в 1822 г. ввел Ж. Фурье в монографии «Аналитическая теория тепла», рассматривая связь изменений производных единиц измерения той или иной системы единиц с изменениями ее основных единиц.
ко такие, в которых знаками равенства (=), суммирования (+) и вычитания (-) соединены величины одного наименования, а, следовательно, и одной размерности. По терминологии Суппеса и Зинеса это «осмысленные» операции, а на языке теории размерностного анализа - требование раз-мерностной однородности уравнения.
Это очевидное требование может быть дополнено и другими (математическими) ограничениями, вытекающими из определений (дефиниций) математических операций. Например, математические операции логарифмирования и вычисления тригонометрических функций определены только для абстрактных математических величин. Поэтому под этими операторами не могут находиться именованные величины. Это же относится и к показателям степеней. В физико-метрологических терминах - они должны быть безразмерными.
Следует отметить, что понятия «размерность» и «единица измерений» не являются синонимами, хотя в экономической литературе встречаются и обратные утверждения, например [8]. Единицы измерения, как и их системы, устанавливаются конвенциально, на основе соглашений. Размерности же единиц измерения (или величин) зависят от выбранной системы единиц и являются вторичными по отношению к единицам измерения. Величина может иметь единицы измерения и быть при этом безразмерной в любой системе единиц измерения. К примеру, плоский угол - величина безразмерная, поскольку в математике (!) количественно угол определяется как отношение длины дуги к ее радиусу (длины дуги окружности, проведенной из вершины угла произвольным радиусом). При этом единицами измерения угла могут быть угловые градусы, артиллерийские градусы, радианы, морские румбы и др.
Анализ размерностей в физико-математических моделях. В физико-математических моделях3 можно выделить два направления использования размерностного анализа уравнений.
Первое - для проверки правильности математического отображения использованных в модели законов природы и определений (дефиниций) соответствующих величин. Вместе с этим он дает
3 Математические модели технических наук считаем относящимися к этой же категории, поскольку в них используются законы физики.
возможность выявить ошибки в математических преобразованиях.
Второе - в ряде случаев, если предварительно известно, какие физические величины «участвуют» в интересующем процессе и должны быть представлены в математической модели, можно с помощью сопоставления размерностей установить вид зависимости, которая связывает эти величины [6, гл. 3]. То есть сопоставление размерностей позволяет, совместно с другими обстоятельствами, построить математическую модель. Этой возможностью воспользуемся ниже.
Анализ размерностей в экономико-математических моделях. В экономико-математическом моделировании, где тоже используют именованные величины, все это не нашло должного распространения [8, с. 90]. На важность методологии размерностного анализа в экономико-математическом моделировании обращалось внимание в целом ряде работ, например [9-11]. Неприменение его нередко ведет к грубым ошибкам [12]. Подобное обнаруживается и в отношении многих функций ординалистской (порядковой) полезности.
Выпадение из методического арсенала экономико-математического моделирования технологии анализа размерностей произошло, на наш взгляд, по причине того, что в среде профессионалов моделирования доминирует математический подход к проблеме измерений. Измерение рассматривается как процедура отображения свойств эмпирической системы на множество вещественных чисел. А они, как известно, не имеют наименований и, следовательно, нет необходимости говорить о единицах измерений, системах единиц, размерностях и т. д.
Видимо, не случайно, в литературе можно встретить даже ошибочные утверждения. Например, цитируем: «Термин "размерность" эквивалентен по значению термину "единица измерения"» [8, с. 87]. Ошибочность его в том, что понятие «размерность» вторичное от понятия «единица измерения». О размерности можно говорить только после выбора системы единиц измерения, ее основных и производных единиц.
Сказанное выше показывает, что обсуждение разных аспектов корректного использования математики в предметных областях, по меньшей мере, целесообразно. Одному из них - использованию соображений размерности для установ-
ления вида зависимости между экономическими величинами (на примере уравнения кардиналист-ской полезности) посвящена данная статья
2. Уравнение кардиналистской полезности
В настоящее время в теории полезности доминирует порядковый подход, в основе которого лежит несколько аксиом. Их несовместимость в общем случае показана в работе [1], поэтому и пригодность порядковых функций полезности для моделирования в целом весьма сомнительна.
Количественная теория полезности не получила своего должного развития по причинам метрологического содержания. Не был найден способ измерения полезности, хотя единице полезности было дано наименование «ютил». При этом предполагалось, что измерения должны быть обязательно объективными. Такая точка зрения высказывается, по крайней мере, в учебной литературе при объяснениях причин отсутствия развитой количественной теории, например [13].
В этой связи уместен вопрос для какой цели нужна «объективизация» измерений полезности? Ведь требование «объективных» измерений в естественных науках и технике возникло в связи с практической необходимостью. В науке -это обмен количественными результатами исследований, в технике - это требование совместимости деталей при их сборке. При рассмотрении экономического поведения покупателей на рынке товаров и услуг подобных «необходимостей» нет. Полезность характеризует ощущение удовлетворения, которое субъективно по своей природе. Для анализа экономического поведения покупателей, т. е. множества персон, важно выявить общие закономерности их поведения и возможные отклонения от него и описать все это количественно. Ничто при этом не ограничивает использование величин субъективного содержания, своими численными значениями количественно характеризующими каждого покупателя.
Ниже будет показано, что в количественной теории полезности можно сделать существенный шаг в направлении ее развития, если использовать подход, основанный на достижениях науки об измерениях. Прежде всего, это касается результатов теории психологических измерений, а также и рекомендаций теории физических измерений по сопоставлению размерностей величин при решении задачи о функциональной связи между ними. Все это совместно с требованием корректной запи-
си математических выражений с именованными величинами позволяет получить уравнение кардиналистской полезности и адекватно интерпретировать входящие в него величины, что и будет сделано ниже.
Дифференциальное уравнение кардина-листской полезности. Рассмотрим связь приращения полезности4 (приращения ощущения удовлетворения), вызванного потреблением очередной порции блага с величиной этой порции. По существу, воспользуемся подходом основоположников теории предельной полезности. Однако в отличие от них воспользуемся еще и сведениями из психофизики, из теории психологических измерений, касающихся количественной оценки ощущений. Для целей нашего рассмотрения вполне достаточно лишь того, что психофизическое восприятие (у) малого приращения количества стимула (йх) зависит от его текущего, достигнутого уровня (х), что отражено в законе [14]. В соответствии с этим законом отношение йх/х (относительное приращение стимула) есть величина постоянная. На основе закона Вебера получен основной закон психофизики - закон Фехнера у = а1п х [14, с. 242].
Экономическое поведение покупателя, его решение покупать или не покупать, и, если покупать, то в каком количестве, определяется прежде всего его ощущением удовлетворения от ожидаемого потребления блага. В качестве меры приращения ощущения удовлетворения (приращения полезности (йи)) будет выступать относительное приращение стимула (относительное приращение количества блага (йх/х)). При рассмотрении связи между бесконечно малыми величинами достаточно ограничиться линейной связью между ними5, т. е. можно написать:
йи = к ■ —, (3)
х
где к - коэффициент, необходимый для «выравнивания» размерностей левой и правой частей уравнения. Если именованную величину «полез-
4 Под полезностью, как это и принято, будем понимать величину, характеризующую ощущение удовлетворения, вызванное потреблением благ, или ощущение ожидаемого удовлетворения, вызванное ожидаемым потреблением благ. Различий между ними делать не будем.
5 Накопленный опыт математического моделирования в теоретической физике и технических науках показывает продуктивность линейного приближения в прикладных задачах.
ность», а, значит, и ее приращение, измерять в некоторых единицах под названием «ютил», как это и было предложено основоположниками количественной теории, то коэффициент к должен иметь размерность, совпадающую с размерностью полезности в любой системе единиц измерения.
Величины, входящие в уравнение (3), нетрудно интерпретировать исходя из следующего. Относительное количество приращения блага йх/х величина безразмерная, в то время как количество блага (х) и его приращение (йх) - величины размерные. Они могут измеряться в соответствующих физических единицах количества (единицах массы: килограммы, тонны и др. - для делимых благ; единицах объема: литры, баррели и др. - для жидких продуктов; в специфических экономических единицах: упаковки, пачки и др.). Приращение полезности йи и коэффициент к, как отмечалось выше, величины одной размерности, а, значит, и одного наименования. Учитывая, что йи - это приращение удовлетворения, коэффициент к можно называть коэффициентом удовлетворения. Экономический смысл коэффициента удовлетворения, очевидно, в следующем. Он показывает приращение ощущения удовлетворения при потреблении дополнительной относительной единицы блага.
Очевидно, что на множестве персон, потребляющих некоторое конкретное благо (/-е благо) коэффициент удовлетворения к персонифицирован и будет величиной случайной. Она отображает индивидуальные вкусы, привычки, традиции и т. п.
Приведенная интерпретация психофизического закона Вебера позволяет называть уравнение (3) дифференциальным уравнением полезности6. Основываясь на нем, получим количественное уравнение полезности.
Решение, отвечающее математическим требованиям корректной записи выражений с именованными величинами. Интегрирование уравнения первого порядка, как известно, дает многозначный результат, содержащий одну произвольную постоянную. Результат интегрирова-
6 В работе [15] дифференциальное уравнение полезности получено исходя не из закона Вебера, как это сделано в данной работе, а на основе концепции использования достигнутого уровня того или иного показателя в качестве базового при рассмотрении задач экономического роста (метод индексов).
ния (3) можно представить в виде двух различных математических выражений:
и = к 1п х + С1, (4)
и = к 1пС-, (5)
С2
в которых С1 и С2 - произвольные постоянные.
Если бы величины, входящие в (3), (4) и (5), не имели наименований и представляли собой абстрактные математические объекты, то выражения (4) и (5) были бы эквивалентны друг другу, а произвольные постоянные С1 и С2 были бы связаны между собой очевидным соотношением:
С = -к 1п С . (6)
При построении графиков математических функций (4) и (5) затруднений не возникает.
Однако если величины и, х и к именованные, а, значит, и размерные, то и постоянные интегрирования С1 и С2 тоже должны быть именованными и размерными. Причем размерности этих констант разные. Постоянная С1 должна иметь размерность полезности, а постоянная С2 - размерность количества блага. В такой ситуации об эквивалентности (4) и (5) говорить не приходится. Уравнение (6), связывающее постоянные интегрирования теряет смысл и не может считаться справедливым по той причине, что математическая операция логарифмирования для именованных величин не определена и не может быть выполнена.
При попытке построить графики функций полезности (4) и (5) также возникают непреодолимые трудности, если действовать в строгих рамках математики. Связано это с тем, что математическая операция логарифмирования, как, впрочем, и некоторые другие, определена только для абстрактных математических величин, не имеющих наименований и остающихся безразмерными в любой системе единиц измерений.
Если же отбрасывать наименование и использовать только численное значение именованных величин, как это нередко и делают, то результат логарифмирования будет противоречить математическим свойствам логарифмической функции. Действительно, если х именованная величина, например, х = 28 м (что эквивалентно и х = 28 000 мм, и х = 0,028 км и т. п.), то после отбрасывания наименования непонятно, какое из численных значений (28, 28 000 или 0,028 и т. п.) выбрать. Если же использовать их все, то получим несколько
результатов (3,33; 10,24 или же -3,58 и т. п.), в то время как логарифмическая функция вещественного аргумента однозначна.
Требование корректной записи аргумента логарифмической функции заставляет отбросить (4) и использовать решение в форме (5). В этом выражении аргумент логарифмической функции -величина безразмерная, если размерности х и постоянной интегрирования С2 одинаковые в любой системе единиц измерения. Учитывая это обстоятельство, решение дифференциального уравнения полезности (3) следует записывать в виде:
и = к 1п —,
(7)
причем при любых значениях х0 решение (7) удовлетворяет дифференциальному уравнению (3). Поэтому его можно называть уравнением полезности потребления конкретного блага.
Экономический смысл постоянной интегрирования х0. Проведенное выше сопоставление размерностей левой и правой частей дифференциального уравнения (3) позволило интерпретировать коэффициент к как коэффициент удовлетворения.
Дадим интерпретацию величине х0, основываясь на математических свойствах логарифмической функции.
Для этого введем безразмерные переменные:
и = — - безразмерная полезность; X = — -
к х0 безразмерное количество блага. Уравнение полезности (7) принимает вид:
— = 1п X,
(8)
что в полной мере соответствует требованиям корректной записи математических выражений. Характерной точкой данной математической функции будет точка с абсциссой X = 1, т. к. при переходе через единицу логарифм меняет знак. Изменение знака безразмерной полезности означает изменение ощущения удовлетворения на ощущение неудовлетворения. В размерных переменных это происходит, когда оказывается, что х < х0. Это дает основание интерпретировать х0 как уровень нейтрального (—| = = 0) потребления.
Полагая, как это и принято, что полезность -величина аддитивная, в случае потребления многих благ, полное число которых Ы, уравнение полезности следует записать:
(9)
— = 1 к, 1п ^ .
3. Уравнение кардиналистской полезности в безразмерных переменных
Для целей корректного математического анализа уравнения кардиналистской полезности (9) запишем его в безразмерном виде. Ы
Для этого обе части (9) разделим на I к, и введем безразмерные величины. '-1
1. Безразмерные коэффициенты удовлетворе-
[ - к =
к
I к,
; видно, что
0 < к <1 ,а I к = 1.
(10)
2. Безразмерное количество блага - -ц = -!- ;
очевидно, что х, > 0 .
3. Безразмерная полезность - — =
и
N 1к
Л0г
ко-
торая может принимать значения -ж < — < +ж.
Ограничимся рассмотрением случая, когда количество каждого из потребляемых благ больше или равно его уровню нейтрального потребления, т. е. х > 17. В этом случае безразмерная полезность будет — > 0 .
В указанных обозначениях уравнение (9) принимает вид:
— = 1 к, 1п х ,
(11)
где —, к, х - математические, безразмерные величины.
Введенные безразмерные величины можно рассматривать как результат измерения каждой из них по шкале отношений с использованием соответствующих единиц измерения. Полезность и коэффициенты удовлетворения «измерены» в единицах суммы коэффициентов удовлетворения, количества каждого из потребляемых благ «измерены» в единицах их нейтральных уровней потребления.
Использование безразмерных величин позволяет корректно использовать весь арсенал математического анализа. Воспользуемся этим обстоятельством для случая потребления двух благ, поскольку результаты можно представить графически.
7 Случай, когда количество того или иного блага х, < 1 не представляет интереса, т. к. при этом удовлетворение от его потребления исчезает.
,=1
,=1
,=1
1=1
,=1
0,
Полезность потребления двух благ. Кривые постоянной полезности. Для полезности потребления двух благ (11) можно записать:
или
U = k • ln x + k2 • ln x2
U = b(xk • xf2),
(12) (13)
где x -1 с (10):
и
x2 -1,
а также в соответствии
k + k2 = 1 .
(14)
Безразмерную полезность U можно изобразить в виде поверхности. Ее сечения плоскостями, параллельными плоскости x 0x2, образуют так называемые линии уровня. Их вид определяется выражением (13), если в него подставить фиксированные значения полезности (U = Ufx = const), т. е. будут определяться уравнениями вида:
= ln( xk • xk2).
U
fix
(15)
С учетом (14) несложно получить уравнения кривых уровня:
x2 = exp
fix
V k2 J
■x
*2
(16)
Для двух значений безразмерной полезности = 2 и = 3 линии уровня приведены на рис. 1 при различных значениях безразмерных коэффициентов удовлетворения. Кривые, соответствующие большим значениям коэффициента удовлетворения, как бы «прижимаются» к соответствующим осям благ.
Обращает на себя внимание то обстоятельство, что безразмерные кривые постоянной полез-
и=2 = соп&
15
ю
щ \ ^=0,5 ^=0,5)
■щ \ \ к2=0'2 0,8 (к= 0,8) №,=0,2)
...... щ \
5 10
Количество блага
ности, соответствующие различным значениям коэффициентов удовлетворения, пересекаются в одной точке.
Возникает вопрос, является ли это обстоятельство случайностью, обусловленной выбором численных значений безразмерной полезности = 2 и Ц-^ = 3, либо оно должно наблюдаться при любых ее значениях.
Убедимся в справедливости последнего предположения и найдем связь координат точки пересечения с численным значением безразмерной полезности.
Для этого воспользуемся уравнением кривых постоянной полезности (16) и найдем координаты точки пересечения двух кривых, соответствующих некоторым разным безразмерным коэффициентам удовлетворения. Координаты точки пересечения (х ) и (х2 ) будут определяться соотношениями:
/х* =ехР^ (17)
К = ехр#>„ '
не содержащими коэффициентов удовлетворения.
Таким образом, можно считать доказанным существование общей точки для всех кривых постоянной полезности, представленной в безразмерных переменных, вне зависимости от коэффициентов удовлетворения для каждой из них.
Из (17) видно, что х|" = х2, поэтому эту точку хочется назвать точкой равного потребления. Равного, но в единицах нейтрального уровня потребления каждого блага, а не в физических единицах измерения. Поэтому будем использовать
и= 3= сопв?
60 5550 45 40 35 30 25 20 isles' 0
■1 1 1
• 1 \ \ к = 0,5 (к= 0,5)
1 \
■1 \ 0,2 =0,8)
Л \ /
\\ \\ к=а ,8 (к,=0,2)
s\\\ \
........... \
ч___________ —-
V-
4 > -----
15 20 25 30 35
Количество блага
40 45
х/х
Рис. 1. Кривые постоянной полезности при различных значениях коэффициентов удовлетворения
л
Ез
о
X
со ф
с о с
к га
X
о. 0) 2 т со а. т в! ш
а)
г'
У
/ Х^02 ^
10 20 : 30 .^'40
Рис. 2. Безразмерная кривая равновеликих потреблений
термин «равновеликое» потребление. Если задавать разные значения -Ц-^, то в каждой плоскости и = будет обнаруживаться аналогичная картина.
Множество точек равновеликого (в единицах нейтрального уровня) потребления на поверхности полезности образуют линию. Ее можно называть кривой равновеликих потреблений. Несложно заметить, что эта кривая будет представлять собою пересечение поверхности полезности
с плоскостью, проходящей через ось полезности п
(0Ц) под углами — с осями благ 0х и 0х2, что
и показано на рис. 2.
О кривых безразличия. Карты безразличия. Если рассматривать бинарное потребление двух взаимозаменяемых благ х1 и х , предназначенных для удовлетворения некоторой потребности, и оценивать отношение потребителя к разным наборам этих благ, то, как предложил Парето, целесообразно использовать термин «безразличие». Например, потребность в животном белке можно удовлетворять разными видами мяса: говядиной, свининой, кониной, курятиной и т. п. В случае бинарных (или парных) наборов потребителю действительно может быть безразлично какой из наборов, составленных из этих продуктов, потре-
щ
« 30'
б)
...
1 »> 30-
В
Й 20
Кривые безразличия при ^=0,25 (^=1-^=0,75)
Ц=3,4
Кривые безразличия при ^=0,5 (^=1-^=0,5)
№3,4
Ц=3,5
Ц= 3,0
Ц=3,2
Количество блага №1
Кривые безразличия при к=0,75 (^=1-^=0,25)
Ц= 3,0
Ц=3,1
Рис. 3. Карта безразличия потребителя: а - безразмерные коэффициенты удовлетворения к1 = 0,25 и к2 = 0,75; б - безразмерные коэффициенты удовлетворения к1 = 0,50 и к2 = 0,50; в - безразмерные коэффициенты удовлетворения к1 = 0,75 и к2 = 0,25
блять. В этом случае кривые постоянной полезности можно называть кривыми безразличия потребителя, а их набор, соответствующий различным значениям полезности, называть картой безразличия потребителя. Примеры некоторых из них представлены на рис. 3.
Если же рассматривать в наборе произвольные, невзаимозаменяемые блага, как это делал Дж. Хикс и его последователи в рамках порядковой теории спроса, то о безразличии покупателя говорить, по меньшей мере, некорректно, поскольку произвольные, невзаимозаменяемые блага не могут удовлетворить конкретную потреб-
ность. Подробнее о критике позиции Дж. Хикса и его последователей сказано в [1].
В заключение отметим, что только безразмерное уравнение кардиналистской полезности позволяет количественно связать полезность и количества потребляемых благ, измеренных в соответствующих единицах и дать математически корректные графические образы кривых постоянной полезности и кривых безразличия потребителя.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект №11-06-00319-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Козелецкая, Т.А. Теория потребительского спроса: о совместимости аксиом порядкового подхода [Текст] / Т.А. Козелецкая, А.Г. Дмитриев, Е.А. Герман // Журнал экономической теории. -Екатеринбург: Ин-т экономики УрО РАН РФ, 2009. -№ 3. -С.195-203.
2. Суппес, П. Основы теории измерений [Текст] / П. Суппес, Дж. Зинес // Психологические измерения. -М.: Мир, 1967. -196 с.
3. Пфамцагль, И. Теория измерений [Текст] / И. Пфанцагль. -М.: Мир, 1976. -248 с.
4. ISO 31-01. Междунар. стандарт. General principles concerning quantities, units and symbols [Электронный ресурс] / Опубл. 01.07.1981.
5. Бардин, К.В. Проблема порогов чувствительности и психофизические методы [Текст] / К.В. Бардин. -М., 1976. -245 с.
6. Сема, Л.А. Единицы физических величин и их размерности [Текст] / Л.А. Сена. -М.: Наука, 1988. -431 с.
7. Чертов А.Г. Физические величины (терминология, определения, обозначения, размерности, единицы): Справ. пособие [Текст] / А.Г. Чертов. -М.: Высш. шк., 1990. -335 с.
8. Раяцкас, Р.Л. Количественный анализ в экономике [Текст] / Р. Л. Раяцкас, М.К. Плакунов. -М.: Наука, 1987. -392 с.
9. Гладышевский, А.И. Размерностный анализ
для экономистов. Ф.Й. Де Йонг [Текст] / А.И. Гла-дышевский // Экономика и математические методы. -1970. -Т. 6. -№ 3. -C. 477-480.
10. De Jong. Dimensional Analysis for Economists [Text] / De Jong, J. Frits. -N.Y.: Humanities Press, Inc., 1967. -223 p.
11. Karman, D.J. The application of dimensional analysis to business economics and accounting [Text] / D.J. Karman, J. Wagensveld // Paper prepared for the 19th Annual Congress of the European Accounting Association. -Bergen, Norway, Erasmus University Rotterdam, 1996.
12. Эдельгауз, Г.Е. Достоверность статистических показателей [Текст] / Г.Е. Эдельгауз. -М.: Статистика, 1977. -128 с.
13. Гальперин, В.М. Микроэкономика: в 2-х т. [Текст] / В.М. Гальперин, С.М. Игнатьев, В.И. Моргунов; Общ. ред. В.М. Гальперина. -СПб.: Экономическая школа, 1994. -Т. 1. -349 с.
14. Фресс, П. Экспериментальная психология [Текст] / П. Фресс, Ж. Пиаже; Пер. с франц.; Под ред. А.Н. Леонтьева. -М.: Прогресс, 1966. -430 с.
15. Дмитриев, А.Г. Теория потребительского спроса: психофизическое обоснование дифференциального уравнения кардиналистской полезности; интерпретация решения [Текст] / А.Г. Дмитриев, Т.А. Козелец-кая, Е.А. Герман // Журнал экономической теории. -Екатеринбург: Ин-т экономики УрО РАН РФ, 2010. -№ 1. -С.111-117.
