CC BY
33
2. Анисимов, П.Ф. Задачи вузов по переходу на уровневую систему и федеральные государственные образовательные стандарты высшего профессионального образования [Текст] / П.Ф. Анисимов, Е.Я. Бутко, В.Н. Козлов [и др.|.— СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2010,— 112 с.
3. Васильев, Ю.С. Организация учебной деятельности высшего учебного заведения. Правовые основы и технология разработки учебных планов на основе ФГОС ВПО [Текст]: Учеб.-метод. пособие / Ю.С. Васильев, В.Н. Козлов, П.И. Романов [и др.]. — СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2011,— 126 с.
4. www.fgosvpo.rii
УДК 51.7
А.Г. Дмитриев, Т.А. Козелецкая, Е.А. Герман
О ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ возможностях МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ГУМАНИТАРНЫХ ОБЛАСТЯХ ЗНАНИЙ
«Чистая математика целиком состоит из утверждений типа: если некоторое предложение справедливо в отношении данного объекта, то в отношении его справедливо некоторое другое предложение. Существенно здесь, во-первых, игнорирование вопроса, справедливо ли первое предложение, и, во-вторых, игнорирование природы объекта... Математика может быть определена как наука, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим, и никогда не знаем, верно ли то, что мы говорим».
Бертран Рассел
Как известно, единство естественнонаучного, гуманитарного и инженерного знания составляют основу современного высшего образования. В последние десятилетия развитие системы гуманитарного образования и развитие системы инженерной подготовки пошли, можно сказать, в разных направлениях. В то время как наблюдается гуманитаризация программ подготовки технических специалистов, что нашло свое отражение и в новых образовательных стандартах (ФГОС ВПО), в системе высшего гуманитарного образования, наоборот, произошло резкое сокращение естественнонаучной составляющей. И это тогда, когда методы естественных наук, в частности математическое моделирование, все более широко применяются и в гуманитарных областях знаний, что находит свое отражение в соответствующих названиях. Например, институт социологии РАН РФ издает журнал «Социология: методология, методы, математическое мо-
делирование». В экономической теории сформировалось самостоятельное направление — математическая экономика, в рамках которого рассматриваются математические модели и развивается аксиоматический подход в экономической теории.
Исторически сложилось так, что богатый опыт математического моделирования, накопленный в физике и технических науках, не в полной мере используется представителями гуманитарного знания. Речь идет об особенностях применения математического аппарата в отношении именованных и размерных величин.
Известно, что некорректное использование математических операций с именованными и размерными величинами в предметных облас-тяхчасто приводит к бессмысленным математическим выражениям. По всей видимости, именно это обстоятельство и послужило основанием для введения экономистом Морисом Алле тер-
мина «математическое шарлатанство» [1]. Примеры из экономической теории и ссылки на оригинальные работы разных авторов на этот счет можно найти, например, во второй главе монографии [2].
Напротив, корректная запись математических выражений в подобных случаях не только позволяет избежать бессмысленных (с точки зрения предметной области) выражений, но и открывает, как будет показано ниже, дополнительные возможности для математического моделирования в гуманитарных областях знаний.
В целях полноты изложения первоначально напомним некоторые моменты из истории математики и обратим внимание на некоторые важные для данной работы обстоятельства.
О размерных и абстрактных величинах
В любой предметной области всегда имеют дело с именованными и размерными величинами. При этом используют математический аппарат, разработанный для величин другого класса — абстрактных математических величин. Математические величины не имеют имен, для своей количественной характеристики не требуют выбора единиц измерения, а понятие «размерность величины» не имеет к ним отношения. Имена величин в предметной области определяются свойствами объекта рассмотрения, а размерность — еще и выбором системы единиц измерения.
Отметим, что в метрологической литературе используют термин «размерность величины» [9]; в физической же предпочитают говорить о «размерности единицы измерения» [5]. Основоположник методологии анализа размерностей Ж. Фурье интересовался изменениями одних единиц измерения при изменении других. Однако при конкретном анализе удобно говорить о размерности величин.
Указанные отличия математических величин от величин, используемых в предметных областях, вполне очевидны.
Действительно, если обратиться к истокам математической науки, то нетрудно обнаружить следующее. Потребность в счете объектов реального мира привела к появлению натуральных чисел. Использование их при счете сопровождалось добавлением имени соответствующих объектов счета (5 яблок; 5 баранов; 2 кувшина).
Умная голова обнаружила, что результат счета одноименных объектов после операции их физического объединения может быть получен без выполнения самой операции объединения. Для этого достаточно выполнить операцию сложения соответствующих именованных чисел. По всей видимости, этот скачок из мира реальных субстанций в мир абстрактного был одним из первых в истории человечества. Дальше — больше. Обнаруженная инвариантность операции сложения именованных чисел в отношении их имен положила начало арифметике. Обнаруженная позже инвариантность некоторых операций и в отношении самих чисел привела к понятию «величина» (абстрактная математическая величина) и появлению алгебры.
Математика приобрела статус самостоятельной научной дисциплины. Позже появился функциональный анализ и др. Согласно характеристике, данной А.Н. Колмогоровым, объектами математических исследований XX столетия стали «...возможные математические конструкты». В арсенале математики появились многочисленные операции над ее объектами, над абстрактными числами и абстрактными математическими величинами.
Корректность выполнения некоторых из этих операций над именованными и размерными величинами, на наш взгляд, заслуживает обсуждения.
Вероятно, впервые на этот вопрос обратили внимание идеологи математического подхода в теории измерений Суппес и Зинес [3]. На первых же страницах своей монографии они недоумевают: «В большинстве случаев читатель сталкивается с набором противоречивых и сбивающих с толку догм, объявляющих допустимым... выполнение тех или иных правил. Обучая человека началам науки, мы предупреждаем его, что «не имеет смысла» складывать числа, относящиеся к разным свойствам, скажем к весу и росту, но в то же время предлагаем изучающим физику умножать числа, связанные с такими понятиями, как скорость и время, или делить меру расстояния на меру времени. Почему же умножение «более осмыслено», чем сложение?».
Поставив важный для математического моделирования вопрос, они, к сожалению, не дали на него ответа. После некоторых рассуждений попытаемся ответить на него.
О математических операциях с размерными величинами
По всей видимости, математические операции можно разделить на две группы.
Одни из операций — аналоги действий над объектами реального мира. Например, сложение имеет своим аналогом объединение однородных, одноименных объектов и их долей в целое; деление — это аналог разделения целого на однородные и одноименные доли. Эти операции можно отнести к содержательным операциям. Когда мы
, ^ , , ,3 арбуза оч
делим 3 ароуза на 5 едоков (-= /), то оче-
5 едоков
видно получаем количество арбуза на одного едока. Или, когда делим пройденный телом путь (5 ) на затраченное для этого время (д/), то получаем среднюю скорость (у ), т. е. путь, пройденный за единицу времени. Другими словами можно сказать, что при делении разноименных количеств получаем количество «числителя», приходящееся на единицу «знаменателя».
Другие же операции не имеют аналогов в мире вещей. Например, логарифмирование, возведение в степень и др. Их можно отнести к формальным операциям.
Еще в начальной школе в самом начале изучения математики обращается внимание учащихся не недопустимость сложения разноимен-//б/хчисел и величин. Вводят понятие отвлеченного (.математического) числа, а позже и математической величины. В дальнейшем при изучении математики имеют дело с абстрактными величинами и числами, формируя и развивая способность учащихся к абстрактному мышлению.
О существовании именованных величин и чисел вспоминают лишь при изучении физики и обращают внимание учащихся на корректность математических операций с ними. Вводят запрет на одни операции, вводят ограничения на другие и допускают неограниченное использование третьих. Например, запрещена операция возведения в степень, если показатель степени — именованная (точнее сказать, размерная) величина; запрещено распространение действия оператора логарифмирования на именованные (размерные) величины. Операция сложения (вычитания) допустима только лишь в отношении одноименных количеств и не допустима в отношении разноименных, в то время как
операция деления (умножения) подобных ограничений не имеет. Можно сказать, обнаруживается инвариантность одних математических операций в отношении абстрактных и именованных количеств и неинвариантность других. В этой ситуации можно говорить о математическом «неравноправии» абстрактных и именованных величин. Можно также говорить и о разных классах величин и чисел, рассматриваемых, с одной стороны, в математике и, с другой, — в предметных областях.
В этой связи представляется весьма целесообразным предложение Н.Р. Кемпбелла [4] об использовании в репрезентативной теории измерений трех различных понятий: 1) числовой знак, или нумерал (numeral); 2) физическое число (physical number); 3) число (number) в полном математическом объеме этого понятия (обзор основополагающих работ теории дан в статье [10]). Кемпбелл занимался проблемами измерений в физике. В других предметных областях можно говорить и о других числах и величинах: об экономических числах и величинах, о психологических числах и величинах и т. д.
При этом следует иметь в виду не только вещественные числа, но и комплексные числа, ква-терионные числа, октионные и др.
Для нумералов Кемпбелл определял лишь отношения эквивалентности и порядка. Благодаря этому нумералы могут быть именами индивидуальных объектов (номер игрока на его футболке, номер квартиры ит. п.). Порядок — общее свойство нумералов и математических вещественных чисел, он позволяет нумералам изображать математические числа.
К физическим Кемпбелл относил числа, применяемые при счете, т. е. именованные. При счете мы говорим: 5 чашек, 21 рубль и т. д. Называя результат измерения (указывая, например, длину стержня 5,32 м), по-существу, тоже говорят о результате счета, но с использованием не натуральных, а вещественных чисел.
В предметных областях при написании математических выражений с именованными величинами следует не забывать, что не все математические операции с ними допустимы. Например, оператор логарифмирования не может быть применен к именованным количествам (числа, величины), как не могут быть именованными (точнее сказать, размерными) показатели степени, аргументы тригонометрических функ-
ций и др. Не имеет смысла сравнивать (равно; больше ; меньше) разноименные количества в той или иной предметной области. Математика дала дефиниции операциям только над абстрактными числами и величинами.
Возвращаясь к недоумению Суппеса и Зине-са [3], упомянутому выше, на их вопрос о «большей осмысленности» операций деления и умножения можно дать следующей ответ: через операции деления и умножения разноименных величин предметной области, во-первых, даны дефиниции других величин, поэтому они и более осмысленны; с помощью этих операций установлены количественные связи между величинами, отображающими свойства объектов реального мира, другими словами, установлены физические законы природы. Вот примеры: скорость движения определяют как производную от
- 117
радиус-вектора (V = —),иными словами, какот-аг
ношение (операция деления) бесконечно малого приращения радиус-вектора и бесконечно малого приращения времени; второй закон Нью-
Р т
тона (и; = —); массовый расход топлива (% =—);
т '
плотность однородного вещества (р = —) и т. п.
О формальной верификации математических моделей
Введение Ж. Фурье понятия «размерность» (в монографии «Аналитическая теория тепла», 1822 г.) оказалось весьма плодотворным. Разработанная позже методология анализа размерностей в уравнениях математических моделей физики дает возможность, прежде всего, выявлять бессмысленные с точки зрения предметной области математические выражения, т. е. проводить формальную верификацию уравнений модели (содержательную верификацию проводят, как известно, сопоставлением с эмпирическими данными).
Анализ размерностей дает также возможность определять вид функциональных связей между величинами [5]. На его основе, как известно, разработан метод подобия.
В практике математического моделирования в технических науках и в физике формальная верификация (анализ размерностей) давно пре-
вратилась в рутинную процедуру, о которой и говорят-то лишь на учебных занятиях. Это стало возможным благодаря достигнутым договоренностям относительно единиц измерений и систем единиц измерений физических и технических величин. Ведь само понятие «размерность величины» имеет смысл в той или иной системе единиц измерений и неразрывно связано с ее основными единицами.
Однако, например, в экономико-математическом моделировании методология анализа размерностей не получила должного распространения, несмотря на осознание важности ее для экономической теории [2]. Монографию [6], рекомендованную к переводу на русский язык еще в 1970 году [7], не найти в библиотеках России, хотя бы и на английском языке, даже в 2011 году.
Парадокс размерности
В практике математического моделирования, оперируя с именованными и размерными величинами предметной области, нередко записывают математические выражения, содержащие операторы, которые не определены математической наукой в отношении размерных величин.
Например, оператор логарифмирования записывают в решении дифференциального уравнения вида
с¡у = Аус!х, (1)
которое используют рассматривая радиоактивный распад ядер, поглощение света в толще вещества, разряд конденсатора и др. В этих случаях абстрактные величины в формуле (1) становятся именованными и размерными. Причем каждая из них может быть представлена разными именованными числами в зависимости от выбранных единиц измерения и иметь разные размерности в зависимости от выбора системы единиц измерения.
Например, в случае радиоактивного распада: у — это число ядер в системе, х — время. Тогда в соответствии с уравнением (1) коэффициент Л имеет размерность (с1шг4), обратную размерности времени, т. е. в системе СИ сНтЛ = Т~х.
В случае поглощения света: V — это интенсивность света, х — координата, выраженная в единицах длины (м, см или др.). Коэффициент А в этом случае имеет размерность, обратную размерности длины (X), т. е. в системе СИ сНтЛ = 1~х •
Математическое выражение для решения уравнения (1), как известно, имеет вид
1п у = Ах + С, (2)
где С — произвольная константа.
Для определения константы интегрирования необходимы дополнительные сведения об объекте моделирования в виде так называемых начальных (или граничных) условий. Их, как известно, подставляют в решение (2).
В предметной области при такой подстановке возникает естественный вопрос. В каких единицах следует использовать численные значения величин?
Действительно, найти, например, 1п(28) или 1п(2800) нетрудно. При этом очевидно получим, что 1п(28) < 1п(2800). Но как найти 1п(28 м) или 1п(2800 см)? Неужели 1п(28 м) ф 1п(2800 см)? Ведь 28 м = 2800 см.
Ответов на подобные вопросы не существует. Логарифмирование размерных величин, как и другие математические операции с ними, не предмет математических исследований, записывать 1п(28 м) или 1п(2800 см) математически некорректно.
Несмотря на это, как известно, такая практика распространена. «Забывают» о существовании единиц измерения величин, «забывают» о размерностях этих единиц и без каких либо на то оснований «отбрасывают» наименования величин, проводя преобразования и вычисления. Полученному результату также без каких либо обоснований вновь приписывают отброшенные атрибуты. Удивительно, но полученный таким образом результат адекватно отображает моделируемую реальность. Совершаются две математически не обоснованные операции, если не сказать, две ошибки, а результат получается правильным. Эту ситуацию можно называть «парадокс размерности».
Подобная ситуация возникает и в отношении константы интегрирования другого дифференциального уравнения:
йу = А—, (3)
х
решение которого, как известно, имеет вид
у = Л1п(х) + С. (4)
Если же не «забывать», что объекты математических исследований — это абстрактные ве-
личины и числа, то записывать логарифм именованной величины математически не корректно. Значит, и в предметной области записывать решение дифференциального уравнения в форме (2) или (4) математически некорректно.
К некорректным математическим операциям с размерными величинами относятся также и другие. Это: сложение (вычитание) величин разной размерности; возведение в степень, если показатель степени величина размерная; тригонометрические функции размерного аргумента.
А вот операции умножения и деления величин разной размерности ктаковым не относятся, о чем уже говорилось выше.
Отметим, что в любой системе единиц измерения плоский угол — безразмерная величина, т.к. количественно он определяется отношением длины дуги окружности с центром в его вершине к радиусу этой окружности. Единицами же измерения угла могут быть и полный угол, и развернутый угол, и прямой угол, и 1/360 часть полного угла (угловой градус), и 1/100 часть полного угла (артиллерийский градус), и 1/2я часть полного угла (радиан) и др. Безразмерным является и пространственный угол.
Размерность констант интегрирования
Следует отметить, что в предметной области постоянная интегрирования С тоже имеет размерность, что вполне естественно. Причем тождественные математические преобразования приводят к изменению ее размерности. В этом нетрудно убедиться на следующем примере.
Ориентируясь на правую часть выражения (2), можно сказать, что С — величина безразмерная, то есть
сНтС = 1. (5)
Это следует из того, что в выражении (2) сИтС= = сНт(Лх), а любая величина и ее приращение имеют одинаковую размерность (сНт(х) = = сИт(йбс). В соответствии с исходным дифференциальным уравнением (1) сИт(Лс) = сНпГ'^а'х). Следовательно, сНт(Лх) = 1, а значит и сНтС= 1.
Если же провести тождественные математические преобразования и в силу произвольности постоянной интегрирования в выражении (2) вместо безразмерной величины С взять другую безразмерную величину — А такую, что
1пЯ = С, (6)
то вместо уравнения (2) получим
Ы^- = Ас. (7)
D
В этом выражении, как и всегда, под оператором логарифмирования должна стоять безразмерная величина, поэтому dimZ) = dimv. При этом в предметной области величина v — не безразмерная (dim v Ф1). Следовательно, dimi) ^ 1, что не совпадает с выражением (5). Это означает, что при тождественных математических преобразованиях изменилась размерность константы интегрирования.
Возникает новый вопрос. Можно ли подобные преобразования с размерными величинами считать тождественными? Но ведь ихчасто проводят и получают адекватные результаты. Снова парадокс размерности.
Как избежать математических некорректностей
Избежать некорректных записей математических выражений с именованными величинами, например таких, как в выражениях (2) и (4), нетрудно, если воспользоваться математически допустимой произвольностью константы интегрирования. Так, если в выражении (2) константу С представить как (lnD), то приходим к другому виду решения уравнения (1):
у = /)ехр(Лх). (8)
Здесь некорректные операции с размерными величинами уже отсутствуют. Показатель степени (Ах) — величина безразмерная, а произведение размерной величины D на безразмерную экспоненту математически корректно.
Аналогично, если в выражении (4) константу С представить как (—Ah\D), то можно записать выражение
v = Ala—. ■ D
(9)
О целесообразности корректной записи выражений с размерными величинами
С прагматической точки зрения о парадоксе размерностей и размерностях констант интегрирования можно было бы и не говорить, поскольку результаты моделирования получаются адекватными реальности.
Однако обратим внимание на важное обстоятельство, касающееся интерпретации констант интегрирования дифференциальных уравнений с размерными величинами.
Нетрудно заметить, что вид математического выражения, представляющего собою это решение, если оно математически корректно в отношении размерных величин, облегчает интерпретацию появившихся в процессе интегрирования констант.
Убедимся в этом на нескольких примерах.
1. Рассмотрим простейшую модель колебательного движения тела массой т под действием возвращающей силы Р - -кх. Соответствующее дифференциальное уравнение, как известно, имеет вид
d у к
+—у = 0.
(Ю)
dtí т
Результат его интегрирования можно предста вить в двух вариантах:
и
V = С, cos. —f + С2 sin J—f Mm V т
у = Dl sin
—t + B2 m
(H)
(12)
в котором также некорректные операции с размерными величинами отсутствуют, если dimx = = dimZ). В этом случае-оператор логарифмирова-
х
ния применен к безразмерному отношению
Таким образом, соответствующим выбором константы интегрирования можно избежать некорректных выражений в решениях дифференциал ьных уравнений.
в каждом из которых по две произвольные константы интегрирования: константы С1 и С2 в выражении (11) и константы Dx и D2 в выражении (12). Оба эти выражения математически корректны в отношении размерных величин, если dime, = dim v, dimC2 = dim v, dimD = dim v, a dimD2 = 1. С помощью математически тождественных преобразований от одного вида нетрудно перейти к другому.
Однако, интерпретация констант интегрирования в выражениях (11) и (12) разная. Так, если в выражении (11) С{ и С2 — это амплитуды гармонических составляющих сложного колебания, то в формуле (12) константа D{ — это ам-
плитуда простого гармонического колебания, а В2 — его начальная фаза. На этом примере видно, что выбор формы записи решения дифференциального уравнения позволяет тже расширить понятийный аппарат в отношении объекта моделирования. В данном примере появилась возможность говорить о фазе и начальной фазе колебаний, чего не было в исходном дифференциальном уравнении (10).
Следует заметить, что для интерпретации констант интегрирования ни в одном, ни в другом случае нам не потребовались ни граничные, ни начальные условия. Достаточно было лишь математических свойств полученных выражений.
2. Рассмотрим решение уравнения (1). Если в этом качестве использовать выражение (8), то исходя из свойств экспоненциальной функции
(ехр(0) = 1) нетрудно видеть, что О = >'|х._0, т. е. это
значение функции при нулевом значении аргумента. Сдвиг начала отсчета аргумента (например, при использовании шкалы интервалов для измерения х) на величину а (то есть замена х = х + а) приведет лишь к изменению предэкс-поненциальногомножителя/)в ехр(а) раз. При этом смысл Б сохраняется.
Если же в качестве решения использовать математически некорректное в отношении размерных величин выражение (2), то по поводу смысла константы интегрирования С сказать нечего.
На этом примере видно, что корректная в отношении размерностей запись математических выражений дает возможность интерпретировать константу интегрирования, основываясь только на свойствах функции и не касаясь граничных или начальных условий рассматриваемой задачи, не имея эмпирической информации об объекте моделирования.
3. С решением уравнения (3) ситуация аналогичная. Если решение использовать в виде выражения (9), то нетрудно интерпретировать константу интегрирования на основе свойств логарифмической функции — при переходе аргумента через значение, равное единице, изменяется знак функции. Причем изменение масштаба аргумента (замена х = Ьх) приводит только к увеличению численного значения функции, выраженного в единицах А Это увеличе-
ние на 1п Ь не изменяет смысл константы С как значение аргумента, при котором происходит изменение знака функции. В свою очередь измерение знака можно связывать с качественными изменениями переменных в интересующей системе.
Здесь, как и в предыдущих случаях, при интерпретации использованы только математические свойства функций.
При использовании в качестве решения уравнения (3) математически некорректного в отношении размерных величин выражения (4) по поводу смысла константы интегрирования сказать нечего.
Приведенные примеры дают основание высказать следующее утверждение, относящееся к математическим моделям с дифференциальными уравнениями:
Если решение дифференциального уравнения модели записано математически корректно в отношении размерных величин, то даже при невозможности определить константу интегрирования (отсутствуют начальные или граничные условия) сохраняется возможность интерпретировать ее на основе математических свойств полученной функции. Ее математические свойства «подсказывают» интерпретацию появившихся в процессе решения констант, которые в этой ситуации приобретают статус новых параметров модели, не содержащихся в исходной дифференциальной модели{!). Это в свою очередь расширяет понятийный аппарат, относящийся к объекту моделирования, и открывает новую перспективу для исследований.
Пример продуктивного использования анализа размерностей
На достоинства и целесообразность корректной записи математических выражений с именованными и размерными величинами мы обратили внимание при поиске уравнения связи между интенсивностью ощущений индивида (полезностью ¿7), вызванных потреблением благ, и количествами этих благ (х;). Это уравнение в экономической теории принято называть, как известно, уравнением кардиналистской (количественной) полезности.
Подробнее о проблеме получения количественного уравнения полезности сказано в нашей работе [8]. В ней дано психофизическое
обоснование дифференциальному уравнению полезности (аналогичное выражению (3)). Граничных условий для определения константы интегрирования взять было негде, так как психофизика, психологическая наука пока еще не предложили метода количественной оценки ощущений удовлетворения по шкале отношений. Воспользовавшись математической произвольностью константы интегрирования, она была представлена в нетрадиционной для чистой математики форме, отвечающей требованиям корректной записи математического выражения с именованными величинами (решение записали в виде, аналогичном выражению (9)).
В результате впервые в теории потребительского спроса было получено двухпараметриче-ское кардиналистское уравнение полезности
и = ^Лп^. (13)
/=1 хо;
Оно содержит два параметра — /с;. и х0/, один из которых (х0/) как раз и является константой интегрирования, имеющей ясный психофизический смысл. Она представляет собой количественный уровень потребления блага, при котором ощущения удовлетворения и раздражения сменяют друг друга. Этот уровень в работах [8] и [11] назван уровнем нейтрального потребления.
Вместо заключения
По нашему опыту, обсуждения (и не только в СПбГПУ) отдельных фрагментов данной работы с представителями физико-технических,
математических и гуманитарных знаний показали, что для первых анализ размерностей в уравнениях математической модели — рабочий инструмент. Студенты и аспиранты владеют им в достаточной мере. Математики относятся к анализу размерностей с безразличием, полагая, что их задача — научить студентов технике выполнения математических операций, естественно, с абстрактными математическими величинами. По их мнению, «ответственность» за корректное использование математического аппарата лежит на пользователях предметных областей знания. И это, безусловно, так. Гуманитарии старшего поколения вспоминают, что об этом говорили при изучении физики, а для выпускников школ, студентов и аспирантов гуманитарных направлений анализ размерностей оказался неведомой областью знаний. И это есть результат «урезания» естественнонаучной составляющей в программе вузовской подготовки, о чем сказано в начале данной работы.
Полагаем, что обсуждаемые в статье вопросы должны найти место в программах подготовки выпускников системы высшего профессионального образования, в первую очередь — гуманитарных направлений, использующих математический аппарат. Для технических направлений сказанное в данной статье тоже может представлять интерес, но не более чем академический (например, то, где речь идет о парадоксе размерности).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект N° 11-06-00319-а, «Математические модели поведения агентов рыночных отношений»).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Allais, М. La science economique d'aiijourd'hui et les faits [Текст] / M. Allais // Reviie des Deux Mondes.— juin 1990,— P. 54—74. (Перевод: Алле Морис. Современная экономическая наука и факты,- THESIS.- 1994. Вып. 4.)
2. Раяцкас Р.Л. Количественный анализ в экономике |Текст| / P.J1. Раяцкас, М.К. Плакунов // М.: Наука, 1987,- 392 с.
3. Суппес П. Основы теории измерений [Текст] / П. Суппес, Дж. Зинес // Психологические измерения,— М., Мир, 1967,— 196 с.
4. Campball N.R. An account of the principles of measurement and calculation [Текст] / N.R. Campball.— London: Longmans, Green & Co, 1928,— 290 p; Cam-
pball, N.R. Physics. The elements [Текст] / N.R. Campball.— Cambridge: University press, 1920,— 565 p.
5. Сена, Л.А. Единицы физических величин и их размерности |Текст| / Л.А. Сена,— М.: Наука, 1988,- 431с.
6. De Jong, F.J. Dimensional Analysis for Economists [Текст] / F.J. De Jong.— Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1967,— 220 p.
7. Гладышевский, А.И. Размерностный анализ для экономистов. [Текст] / А.И. Егадышевский Ф. Й. Де Йонг // Экономика и математические методы,- 1970. Т. VI. № 3,- С. 477-480.
8. Дмитриев, А.Г. Теория потребительского спроса: психофизическое обоснование дифференциаль-
ного уравнения кард и нал и стс кой полезности; интерпретация решения [Текст] / А.Г. Дмитриев, Т.А. Козелецкая, Е.А. Герман // Журнал экономической теории,— Екатеринбург: Изд-во Института экономики УрО РАН, 2011.— М> 1. С. 45-53.
9. Чертов, А.Г. Физические величины (терминология, определения, обозначения, размерности, единицы) [Текст]: Справ, пособие / А.Г. Чер-
тов,— М., Высш. шк., 1990,— 335 с.
10. Кнорринг, В.Г. Развитие репрезентативной теории измерений [Текст] / В.Г. Кнорринг // Измерения, контроль, автоматизация. 1980. N° 11 — 12 (33-34).- С. 3-9.
11. Козелецкая, Т.А. Модели экономического поведения индивида [Текст]: Дисс. ... канд. экон. наук / Т.А. Козелецкая,— СПб, 2005,— 159 с.
