Распад многоэлектронных квазистационарных состояний в квантовых точках Текст научной статьи по специальности «Физика»

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ

УДК 538.915

РАСПАД МНОГОЭЛЕКТРОННЫХ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ В КВАНТОВЫХ ТОЧКАХ

© 2010 г. С.М. Кашин1, А.М. Сатанин1, 2

1 Научно-исследовательский физико-технический институт Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского 2Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

smkashin@gmail. сот

Поступила в редакцию 13.05.2010

Исследован распад многоэлектронных состояний в квантовых точках, соединенных проводником с омическим резервуаром. Аналитически и численно изучена динамика квантового состояния в проводнике и на квантовой точке в зависимости от её заполнения электронами. Показано, что при распаде электронных состояний в многоканальной системе наблюдается интерференция между соседними резонансами и осцилляции плотности вероятности электрона в контакте. Предложена методика наблюдения динамики распадающихся состояний методами сканирующей микроскопии.

Ключевые слова: квантовая точка, кулоновская блокада, распад состояния, многоканальное туннелирование.

Введение

Теория распада квазистационарных состояний в потенциальной яме была построена Га-мовым в 1928 году [1]. Годом позже Гюрни и Кондон [2] получили аналогичные результаты. В работах [1, 2] показано, что в потенциальной яме, отделенной от области неограниченного движения высоким барьером, могут существовать квазистационарные состояния частицы, которые медленно затухают во времени. Если рассматривать рассеяние частиц на таком потенциале, то волновая функция сильно возрастает во внутренней области, когда их энергия приближается к энергии резонансного состояния. Будучи продолженной в комплексную плоскость энергий волновая функция ква-зистационарного состояния имеет полюс, причем реальная часть комплексной энергии связана с положением уровня в яме, а мнимая часть определяет ширину уровня или время распада. Хотя теория, развитая в [1, 2], позволила объяснить радиоактивный распад ядер, она столкнулась с серьезными трудностями, поскольку волновая функция квазистационар-ного состояния в обычном смысле не является нормированной. Решение данной проблемы

получено Друкаревым в работе [3], где данная проблема рассматривалась путем решения нестационарного уравнения Шредингера. В этой работе исследована временная зависимость волновой функции, первоначально локализованной внутри ямы, и изучен выход частицы из сферически-симметричной ямы в различные моменты времени. Согласно сценарию Друкарева, существует два характерных времени, определяющих поведение волновой функции: на первом временном интервале частица быстро выходит из ямы, а далее возникает суперпозиция долгоживущего состояния в яме и уходящего волнового пакета. Обзор теории распада квазистационарных состояний дан в [4], а современному развитию теории посвящены многочисленные публикации (см. [5-8]).

Отметим, что при обсуждении закона радиоактивного распада речь идет об ансамбле ядер, а теория Гамова описывает долю не распавшихся ядер данного ансамбля. Иными словами, наблюдение проводится над макроскопическим объектом. В последнее время стало возможным исследовать квантовые эффекты на индивидуальных объектах, таких как квантовые ямы, квантовые точки, микрорезонато-

ры, сверхпроводящие джозефсонофские контуры и т.д. Например, в работах [9-11] продемонстрировано, что с помощью сканирующей микроскопии можно наблюдать распределение электронной плотности и управлять волновой функцией, локализованной на квантовой точке (КТ). Это означает возможность экспериментального манипулирования квантовыми состояниями и наблюдения распада квантовых состояний индивидуальных объектов, а также наблюдение динамики распадающегося состояния. Поскольку на КТ могут существовать многоэлектронные состояния, то возникает новая проблема распада состояний взаимодействующих электронов.

В данной работе впервые изучен распад многоэлектронных состояний на КТ в условиях кулоновской блокады. Результаты работы обобщают подход Друкарева на случай многоэлектронных систем, когда начальное состояние локализовано на КТ и может покидать ее по многим каналам, которые можно реализовать, если соединить КТ с резервуаром, омическим проводником. В работе аналитически и численно изучена динамика квантового состояния в проводнике и в КТ в зависимости от её заполнения электронами. Исследовано временное поведение волновой функции вне квантовой точки от числа заполнения КТ электронами. Предложена методика наблюдения динамики распадающихся состояний методами сканирующей микроскопии, что позволит извлечь дополнительную информацию о структуре спектра элементарных возбуждений на КТ и времени жизни этих состояний.

Постановка задачи

В качестве физической реализации будем иметь ввиду КТ («квантовый остров»), которая реализуется в 2DEG с планарными управляющими электродами. Пусть КТ соединена с омическим проводником, как это изображено на рис. 1. Предполагается, что на КТ имеется конечное число уровней (N) с энергиями e¡ (i -номер уровня), а в равновесии с проводником M из них заняты электронами. При этом положение уровней на КТ зависит от приложенного напряжения U, а ее соединение с проводником определяется матричными элементами V¡ [12]. Распространение электронов в проводнике описывается в рамках приближения сильной связи и характеризуется вероятностью перескока между узлами ¥0.

Рис. 1. Схема КТ с управляющими электродами и омическим проводником (контактом), в котором с помощью зонда осуществляется диагностика квантового состояния

Гамильтониан системы имеет вид:

0 Z(a

Н Vo Z(am+1am + amam+l]+

2

2C

N

Л

2

У d+ d

V i=1

(1)

N

+Z(eU + ei

i=1 i=1

где использованы следующие обозначения:

NN

У(еи + SiУ+ d¡ + £ (Vi a+ d¡ + Vi ai d+),

+

da

d.

оператор рождения электрона на узле m ,

і оператор рождения электрона на КТ в состоянии і , C - эффективная емкость КТ. Здесь первое слагаемое описывает движение электронов, второе и третье - электроны на КТ, а последнее - перескоки электронов с КТ на проводник и обратно.

Ввиду того, что оператор чисел частиц коммутирует с гамильтонианом (1), состояния с различным числом частиц M являются ортогональными и могут быть описаны независимыми

Y(M)(і)). Пусть на изолированной

функциями

КТ в состоянии равновесия при заданном напряжении и находится один электрон. Волновую функцию точки, связанной с проводником, можно представить в виде:

т (1)(о) = X Ат (0а+| 0) + Хв (04+| 0, (2)

т^О /=1

где Ат - амплитуда вероятности нахождения электрона на т-ом узле проводника, Б1 амплитуда вероятности нахождения электрона на I -м уровне КТ. Аналогично для двух электронов волновую функцию можно представить в виде:

^2)» = zz Ami «wi o;

m^0i=1

+z ib j (od+d+i o). i=1j =1

N

+

m

+

+

Амплитуды Ат г- зависят от номера узла т, а

также от номера уровня I на КТ, тогда как В1 у

определяют двухэлектронное заполнение КТ и зависят от номеров уровней I и у. Отметим,

что амплитуды Ат г- и В у антисимметричны относительно перемены индексов.

Будем полагать, что в начальный момент времени путем изменения приложенного потенциала и на КТ сформировано определенное число электронов, то есть создано состояние

Т(м)(0п, которое затем будет эволюциониро-

(4)

вать согласно уравнению Шредингера

. d i— dt

Y(M)(t)) = H Y(M)(t)).

,(M)(

д

l—~Am — — Vg (Am_1 + Am +1 ), m ^ 0,1, dt

д

N

— A1 — — Vg A2 — X Vl Bi

dt

(5)

i—1

d i— n

-Ali — ^lAi — VgA2,i — V2XVjBi

j—1

i,j’

(6)

Am (t) — X C(k )e lE(k)t(m) 1

(7)

где фк (m) — e~lkm + S(k)elkm - полный набор функций, определяемых решением стационарной задачи; E(k) ——2Vg cos k;

S (k)——,

-2lk

g(k)— V0e‘k Л g (k )— Vge—Й

g(k)—X

Vl

—j 2Vg cos k — e,-

(8)

(9)

ния,

В случае одноэлектронного заполнения КТ из (2) и (4) можно получить систему уравнений для амплитуд Ат и В1:

Выражение (8) определяет матрицу рассея-I, а коэффициенты разложения С (к) в (7) определяются начальными условиями. Из (8) и (9) следует, что если на КТ имеется один разрешенный уровень, то матрица 5 имеет один полюс в плоскости к, поэтому распад состояния на КТ будет идти в соответствии со сценарием работы [3]. Таким же образом будет идти распад, если уровней много, но расстояние между ними превышает их ширины.

d * i - B, — EiBi + V* A1 , dt

где введено обозначение Е1 = е2/(2С) + еф + ег-. Этот случай представляет собой одноэлектронную систему с многоуровневой КТ.

Аналогично уравнения для Ат г- и В1 у получаются с использованием (3) и (4):

i д Am,i EiAm,i V0(Am—1,i + Am+1,i)’ m ^ 0,11

dt

. d

V2i dtBij — JiEjBj + (v A1, j — V* A,i).

где Еу = 4е2/(2С)+ 2еф + ег- + еу. Таким же образом можно получить уравнения для любого заполнения КТ.

Распад одноэлектронного квазистационарного состояния

В случае одноэлектронного заполнения выражение для амплитуды в проводнике находится из уравнений (5):

m

Рис. 2. Зависимость плотности вероятности

Рт (¿1 )= \Ат (¿1 ) 2( ^ 10-3 ’) от номера узла контакта в момент времени ¿1 = 500 в двух случаях: (а) расстояние между уровнями на КТ Де >> V

и (б)

Де» Vi

На рис. 2а представлена полученная численно из решения системы (5) плотность вероятности электрона в проводнике в случае, когда расстояние между уровнями энергии на КТ Де = 0.5 >> V} = V = 0.05 (здесь и далее энергия измеряется в единицах Vo), другие параметры системы взяты равными: е2/2С = 0.3, еи =-1.0,

k

а на КТ полагалось существование трех (N = 3 ) уровней. В этом случае поведение плотности вероятности (рис. 2а), качественно совпадает с решениями, полученными в [3].

Если же расстояние между уровнями будет меньше их ширины, то следует ожидать отклонения динамики распада от предсказанного в [3]. На рис. 2б представлен волновой фронт в момент времени ¿1 = 500 при Де = = 0.05 .

Отличие профиля волнового пакета от рис. 2а объясняется интерференцией близких резонансных состояний на КТ.

Распад двухэлектронного квазистационарного состояния

В случае двухэлектронного заполнения решения (6) для амплитуды электрона в проводнике (при этом второй находится на КТ), имеет вид

Ат.у (0 = X Су (к)е-Еу (к)(фк,у (т) , (10)

к

где фк, у (т) - решение соответствующей стационарной задачи (в области проводника), которое можно записать в виде

Фк у (т) = ауе~1кт + Ъуе1кт . Амплитуды падающих волн ау и отраженных Ьу связаны матрицей рассеяния Ь1 = Х 5у (к)ау-, которая нахо-

у

дится подобно одноэлектронному случаю. Поскольку явное выражение Б ¡у (к) достаточно громоздко, мы укажем только на следствия, ко-

т

I

Рис. 3. Зависимость плотности вероятности электронов Рт (г) (х10 3 ) от номера узла контакта т в фиксированные моменты времени ^ = 350, ¿2 = 500 и ¿3 = 650 (а) и от времени г на узле т = 800 (б)

торые вытекают из численного анализа. Полюса матрицы рассеяния определяются затравочными уровнями в квантовой точке и ее связью с проводником. Кроме того, согласно (10), она «перемешивает» состояния различных каналов рассеяния и приводит к интерференции распадающихся состояний.

Для иллюстрации были выполнены расчеты волновой функции (уравнения (6) решены численно методом Рунге-Кутты 4-го порядка) для

I I

Рис. 4. Представлены парциальные зависимости плотности вероятности электронов Рт (?) (х10 3 ) от времени на одном из узлов проводника (т = 800) в первом (а), во втором (б), в третьем (в) каналах и суммарная плотность вероятности Рт (у) (г)

следующих параметров системы: Vi = V — 0.05,

Ae — ei+1 — s, — 0.2, e2¡2C — 0.3 , eU — —1.0 . При расчетах полагалось, что на КТ имеется N — 3 уровня. На рис. 3 а показана зависимость плот-

N2

ности вероятности Pm(t)—X Am,i(t) от номера

i—1

узла m в проводнике в моменты времени: t1 — 350, t2 — 500 и t3 — 650. В данном случае наблюдаются периодически расположенные минимумы плотности вероятности, которые мы связываем с интерференцией состояний на КТ и в каналах рассеяния. Зависимость профиля плотности вероятности на определенном узле как функция времени изображена на рис. 3б. Как видно, плотность вероятности также осциллирует во времени, что отражает интерференцию пришедших на узел волн.

Отметим, что такая картина должна наблюдаться при экспериментальном сканировании волновой функции электрона в проводнике.

При трех (N=3) уровнях на КТ электрон может туннелировать в один из трех энергетических каналов. На рис. 4 представлены парциальные волновые пакеты в каждом канале: на рис. 4а - первом, рис. 4б - втором, и в третьем канале - на рис. 4в. Зависимость суммарной плотности вероятности на узле m — 800 от времени представлена на рис. 4г. Параметры системы выбраны такими же, как и в предыдущем случае, за исключением расстояния между уровнями, которое взято равным Ae — ei+1 — s, — 0.1. В этом случае интервал по времени между минимумами плотности вероятности увеличился вдвое. Поскольку выполнено соотношение Ae AT — const, это указывает на то, что положение нулей волнового пакета в проводнике связано с интерференцией состояний на КТ.

Выводы

Таким образом, из проведенного исследования вытекает, что если на КТ заполнен один уровень, то его распад проходит по сценарию работы [3]. В случае, когда на точке имеются близкие уровни, волновой фронт распадающихся состояний имеет более сложную структуру, обусловленную интерференцией волн на КТ. В случае распада многоэлектронных состояний структура волнового фронта зависит как от взаимодействия электронов на КТ, так и от интерференции волн в различных каналах. Поскольку волновой фронт несет информацию о состояниях на КТ, то мониторинг волн в проводнике методами сканирующей микроскопии позволит извлечь дополнительную информацию о состояниях на КТ.

Список литературы

1. Gamow G. Z. // Phys. 1928. V. 51. P. 204-212.

2. Gurney R.W., Condon E.U. // Phys. Rev. 1929. V. 33. 127.

3. Друкарев Г.Ф. // ЖЭТФ. 1951. Т. 21. С. 59-68.

4. Fondu L., Glairardi G.C. and Rimini A. // Rep. Prog. Phys. 1978. V. 41.

5. Garcia-Calderon G., Villavicencio J. // Phys. Rev. A. 2006. V. 73. 062115.

6. Martorell J., Muga J.G., Sprung D.W.L. // Phys. Rev. A. 2008. V. 77. 042719.

7. del Campo A. et al. // Phys. Rev. A. 2006. V. 74. 013605.

8. Marchewka A., Granot E. // Phys. Rev. A. 2009. V. 79. 012106.

9. Bleszynski-Jayich A.C. et al. // Phys. Rev. B. 2008. V. 77. 245327.

10. Qian J., Halperin B.I., Heller E.J. // Phys. Rev. B. 2010. V. 81. 125323.

11. Woodside M.T., McEuen P.L. // Science. 2002. V. 296. P. 1098-1101.

12. Xiong Shi-Jie, Xiong Ye. Phys. // Rev. Lett. 1999. V. 83. 1407.

DECAY OF MANY-ELECTRON QUASI-STATIONARY STATES IN QUANTUM DOTS

S.M. Kashin, A.M. Satanin

The decay of many-electron states in quantum dots connected by leads to an Ohmic reservoir is investigated. The dynamics of a quantum state in the lead and the quantum dot as dependent on electron occupation numbers is studied analytically and numerically. It is shown that the interference between the neighboring resonances and the oscillations of the electron density in the lead occur during the decay of many-electron states. A procedure to monitor the decaying state dynamics using scanning tunneling microscopy is proposed.

Keywords: quantum dot, Coulomb blockade, decay of state, many-electron tunneling.