CC BY
1
Yolshin Viktor Vladimirovich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Irkutsk, Irkutsk National Research Technical University,
Larionova Elena Yurievna, doctor of chemical sciences, docent, [email protected], Russia, Irkutsk, East Siberian Institute of the Ministry of Internal Affairs of Russia,
Lazarev Mark Sergeevich, postgraduate, mark lazarev [email protected], Russia, Irkutsk, Irkutsk National Research Technical University
УДК 62-51
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-12-23-24
РАСЧЁТ СРЕДСТВАМИ MATLAB ОПТИМАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЙ ДЛЯ ДВИГАТЕЛЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Н.Н. Макаров, Е.В. Плыкина, С.А. Руднев
Рассмотрена методика формирования оптимального по быстродействию закона управления следящим электроприводом, основанная на методе сечений поверхности переключений, сочетающая высокую точность и низкую параметрическую чувствительность. Приведен скрипт, осуществляющий расчет сечений. Рассмотрена оптимизация шага сечения и реализация закона управления. Результаты моделирования демонстрируют высокое качество управления и перспективность применения закона управления для следящих систем схожих структур.
Ключевые слова: следящий привод, скользящий режим, оптимальное управление.
Введение. Рассматривается формирование закона управления следящим электроприводом методами теории оптимального управления [1]. Оптимальный по быстродействию закон управления не только обеспечивает максимально быстрое затухание собственных движений (переходного процесса) в системе, но и позволяет обеспечить высокую, в известных пределах идеальную точность слежения за входными сигналами [2].
Оптимальное по быстродействию управление оказывается релейным, то есть управляющее воздействие принимает только два крайних значения из допустимого диапазона. Конкретное значение определяется положением изображающей точки модели системы относительно некоторой гладкой односвязной поверхности, которую принято называть поверхностью переключений. Таким образом, оптимальная система оказывается системой с переменной структурой, и в ней возникает скользящий режим движения. Именно скользящий режим и является основным для процесса слежения.
Известно, что скользящий режим обеспечивает не только высокую точность слежения, но и низкую чувствительность, а при некоторых условиях даже полную инвариантность к параметрам следящей системы [2].
Использование оптимального управления, однако, наталкивается на две трудности: собственно расчёт поверхности переключений и её техническая реализация. Аналитическое выражение для поверхности переключения, даже в том случае, когда его удаётся получить, достаточно сложно и его реализация аналоговыми средствами затруднено. Численное же построение такой поверхности может быть выполнено достаточно просто. Для этого может быть использован метод «попятного движения», предложенный А.А. Фельдбаумом [3].
В настоящее время с развитием информационных технологий данный способ регулирования становится все более распространенным, поскольку он позволяет построить надежные, высокоточные и робастные системы управления. Однако для эффективной реализации закона управления с помощью микроконтроллера очевидно преимущество аналитического задания поверхности скольжения, что является нетривиальной задачей для систем уже третьего порядка.
В настоящей статье рассмотрен один метод аппроксимации поверхности скольжения и приводится программа для расчета ее параметров и коэффициентов средствами современных информационных технологий.
Вычисление поверхности переключений. Решение поставленной задачи можно разбить на два этапа. Первый этап включает в себя решение задачи синтеза оптимального управления, т.е. требуется найти оптимальное управление, которое должно задаваться в виде функции текущих координат системы и входного воздействия. Второй этап связан с реализацией оптимального регулятора. В частности, здесь необходимо получить удовлетворительную аппроксимацию поверхности переключения.
Применение метода сечений для аппроксимации поверхности переключений систем третьего порядка позволяет получить представление этой поверхности, достаточно точное и в то же время достаточное простое для реализации, как цифровой, так и аналоговой. Он направлен на использование в системах, не обязательно линейных, третьего порядка. Важно только, чтобы управляющий сигнал входил в уравнения движения линейно.
Пусть динамика системы описывается векторным дифференциальным уравнением.
X = A ■ X + b ■ u, |u| < U, (1)
где x - вектор состояния, u - управление.
Надо сказать, что такую форму имеют модели большинства следящих приводов. Если матрица такой системы имеет только действительные собственные числа, то справедлива теорема о числе переключений [1], согласно которой оптимальное по быстродействию управление релейно и имеет не более двух переключений. Поскольку реально фазовое пространство таких систем ограничено, утверждение упомянутой теоремы можно считать справедливым и при невыполнении условий на собственные числа матрицы. Таким образом, первой задачей оказывается получение поверхности переключений, то есть многообразия фазовых точек, в которых управляющий сигнал меняет знак.
Расчёт сечений поверхности переключений. Будем искать множества точек, лежащих на поверхности переключений и принадлежащих некоторой плоскости, пересекающей эту поверхности. Выбрав достаточно много таких плоскостей и достаточно много точек на сечении каждой плоскостью, мы получим достаточно богатый набор точек для аппроксимации поверхности. Такой подход, названный методом сечений, описан в [2].
Предлагаемую методику проиллюстрируем на примере следящей системы на базе электропривода постоянного тока ЭДМ-20. Будем использовать следующую математическую модель вида Ошибка! Источник ссылки не найден.:
' 0 1/K 0 ^ f 0 1
A = 0 ~ktr / Jpr C / J m pr , b = 0
,0 -Ce / L -R / L j ,1/L j
(2)
где xi - угол поворота нагрузки, [рад] (выходная координата), x2 - скорость вращения вала двигателя [рад/с], x3 - ток в якорной обмотке двигателя, [А], u - управляющее напряжение, подаваемое на якорную обмотку [В], K - коэффициент передачи механического редуктора, R, L - сопротивление и индуктивность якорной обмотки [Ом, Генри], Jpr, kpr - приведённые к валу двигателя момент инерции и коэффициент вязкого трения [Н*м*с2, Н*м*с/рад].
Пусть поверхность переключений описывается равенством: xj = &( x) и управление задаётся формулой:
u = U • sign(ст(x)- xj) (1)
Типичная траектория оптимального процесса перевода системы их произвольного начального состояния в положение равновесия x = (0; 0; 0) имеет управление вида:
U, t е(0, t1),
u (t )=1-U, t e(t1, t2), [U.t e (t2 = t3)■
где первый участок лежит в открытом ядре фазового пространства, второй и третий располагаются на поверхности переключений, причём там имеет место скользящий режим движения. За секущую плоскость удобнее всего принять плоскость x2 = Sc , где Sc - некоторая константа. Для того чтобы построить конкретное сечение поверхности переключений надо среди всех траекторий, соответствующих управлению (2) найти точки, где Х2 = Sc.
На рис. 1 приведена Simulink-схема, с помощью которой можно находить точки искомых сечений. На ней моделируются оптимальные процессы в обратном времени т = ^3 — t. Такие процессы описываются системой дифференциальных уравнений:
т(t) = —A •x(T) — b •u(т), x (0) = (0;0;0).
Процесс, реализуемые этой схемой, останавливается, когда координата x2 меняет знак.
Объест управления
ГП—> f=* LLr^ y=c
Управление
•в
Пэоверка. что координата Х2 пересекла г
Г^ювврга, 470 TDK не слмшгаш эегу ■
Нздвль 1::погьзувт:я сфнгттом : ) г-" в катаром ждется параметры блоков
В медали пслн-втс; интегрирошнив в обратном времени с управлением U1 да времвня tl, после чега управпениЕ меняет знак» интегрнрованив ндрт до тех пар, пока жачвкив г времен-ab1 Х2 дс:~игнет з-эчв-ия Sc. ГЪследнее значение ! осрд!гнат вспращавтся в рабочве лространство iWct; space) под именем XX и ойраЬагтьиается Б сьрилте.
Рис. 1. Модель нахождения одной точки поверхности переключений
В обратном времени система оказывается неустойчивой, и координаты могут возрастать неограниченно, чего в прямом времени в реальных процессах произойти не может. Поэтому в модели рис. 1 предусмотрено ещё одно условие завершения процесса, превышение током некоторого разумного значения. Кроме того, модель возвращает в рабочее пространство ещё одну переменную, ОК, которая сигнализирует о том, что рассчитанная точка корректна и может быть использована далее для аппроксимации поверхности переключений.
Ниже приведен листинг программы (Matlab-скрипта), реализующий расчет точек сечений:
clear
Param;
clear cga
% Рассчитываются сечения поверхности переключения
% плоскостями X2=const и соответствующие таблицы сохраняются в %текстовые файлы. % Расчёт ведётся методом «попятного движения» А.А. Фельдбаума. % Модель привода имеет вид
% X' = A*X+b*u, Параметры задаются в файле 'Param.m' %X1max %Граница выходной координаты
%Tm максимальное время интегрирования до переключения в обратном времени %n количество точек на сечении %hc шаг уровня сечений s1='X1max Граница выходной координаты';
s2='Tm Максимум времени до переключения в обратном времени'; s3= 'n Количество точек на сечении'; s4='hc Шаг уровня сечений'; s5= 'm Количество сечений'; % Диалоговый ввод параметров вычислений
par = inputdlg({s1,s2,s3 ^4^5},'Параметры расчёта сечений',1,{'1.5' '0.001' '40' '0.005' '5'}); X1max = str2num(par{1}); Tm = str2num(par{2}); n = str2num(par{3}); hc = str2num(par{4}); m = str2num(par{5});
C=eye(3); %Выходом считаем полный фазовый вектор hold on
h=Tm/n; % Шаг момента переключения в обратном времени t2=[0.00005: h: Tm+h]; %Массив моментов переключения %% Перебираются моменты первого переключения управления %% в обратном времени for Kx=0:m, %Номера сечений clear('X'); %X=zeros(1,3);
Sc = -Kx*hc; %Уровень сечения KK=1; %Номер точки на сечении при U1=Umax; %% Вычисление точек сечения заданного уровня %% заданного уровня координаты X2 U1=Umax; for k=1:n, % t1=t2(n-k+1); % текущий момент переключения sim('Optim3p'); % модель интегрироуется до достижения уровня % проверка, что время интегрирования не превышено и уровень Х2 % достигнут
if OK, X(KK,:)=XX'; KK= KK+1; end% Запоминается полученная точка end
% Расчёт повторяется для другого знака начального управления U1= -Umax; for k=1:n, t1=t2(k); sim('Optim3p');
if OK, X(KK,:)=XX'; KK= KK+1; end end
%% Полученные точки сечения сортируются по возрастанию Х3 clear Xout;
Xout=sortrows(X,3); % Полученный массив сортируется по переменной X3
s=strcat('X',num2str(Kx),'.txt'); %Формируется имя файла
delete(s);
save( s, 'Xout','-ascii'); % Сохранение сечения в текстовый файл plot(Xout(:,3),Xout(:,1)); %рисуется график полученного сечения end
Результатом работы приведённого скрипта будут текстовые файлы, каждый из которых содержит таблицу рассчитанных координат одного сечения. На рис. 2 приведены графики посчитанных сечений. Можно заметить, что формы всех сечений очень похожи, и можно считать, что они могут быть получены сдвигом одного сечения по горизонтали и вертикали.
Графики ссчсннй поверхности псрсключ?ннй шкхкотаиж Х2=сои&г O.W|-
ом1-
-ISO -87.S -2S 37.5 100 1«.S 22S JW.i 3S0
Рис. 2. Графики сечений поверхности переключений 25
Для технической реализации рассчитанной поверхности переключений удобно от табличного представления перейти к аналитической. Для этого методом наименьших квадратов аппроксимировали нулевое сечение, соответствующее Бе = 0, и использовать его с учётом сдвигов. Нулевое сечение очень хорошо аппроксимировано многочленом третьего порядка:
Х1 (х3 ) = С1' х3 + С3 ' х3
смотри рис. 3, а далее использовать сдвиги, пропорциональные координате Х2. То есть аппроксимационная формула поверхности переключений приобретает вид:
"( Х ) = (4)
а(х) = С1 '(х3 + а' х2) + С3' (х3 +а ' х2)3 + /' х2.
ом 001 о
-002 -ОСИ
-:оо -loo o too дю
хо«
- lEuiqmiic
.....Аппро^счищпя
Рис. 3. Результат аппроксимации нулевого сечения методом наименьших квадратов
Численные значения коэффициентов сдвига а, ¡5 также рассчитываются методом наименьших квадратов. На рис. 4 приведена схема моделирования системы с законом управления (2), (4) в системе Simulink.
Моделирование оптимального по быстродействию регулятора, реализованного методом сечений.
Блок управления
Рис. 4. Б'тшПпк - схема автономного привода
На рис. 5 приведены результаты моделирования процесса перевода системы из произвольного начального состояния в положение равновесия, в чём, собственно, и состоит задача оптимального управления. Первый и второй графики - выходная координата и угловая скорость вала двигателя. Третий график - отклонение от поверхности переключений (вход релейного элемента). Где-то при t = 0,07 с изображающая точка в фазовом пространстве попадает на поверхность переключений, и дальше движение проходит уже в скользящем режиме. Поскольку поверхность переключений вычислена приближённо, процесс не вполне оптимален, однако качественный характер оптимального процесса сохранён, и цель управления достигается.
Представляет интерес также рассмотреть использование построенного закона управления в рыжие слежения за входным сигналом. Для этого вместо вектора состояния х на вход регулятора будем подавать вектор ошибок, координатами которого будет собственно ошибка, её производная, а вместо сигнала, соответствующего Х3 (ток), будет подаваться просто ноль. Это связано с тем, что формировать входной сигнал, соответствующий потребному току, потребовало бы формирования второй производной входного сигнала. На рис. 6 приведены результаты такого моделирования при гармоническом входном сигнале. На первом графике - выходной сигнал системы, на втором -сигнал ошибки, то есть разности между входным и выходным сигналом, на третьем - соответствующий моделируемому процессу токе. В системе возникает переходный процесс, который быстро (0,6 с) заканчивается и не имеет перерегулирования. Затем происходит практически идеальное слежение, амплитуда ошибки не нигде превышает микрорадиана. Слежение происходит в скользящем режиме, при этом ток, хотя и имеет колебательный характер, достигает, однако, не слишком больших значений.
Можно сделать вывод, что использование оптимального управления при создании следящих систем на базе электропривода позволяет обеспечить высокое качество слежения. Нельзя, однако, не упомянуть и о существенных недостатках применения скользящего режима. Они связаны с колебательным характером управляющего напряжения при максимальной амплитуде, что приводит к непроизводительным потерям энергии, снижению коэф-
фициента полезного действия, возникновению вибраций и ускорению износа компонентов системы. Этих недостатков можно избежать практически без потери качества регулирования при использовании цифрового управления и так называемого цифрового скользящего режима [4]. При этом, по-прежнему, требуется вычисление оптимальной поверхности переключений, которое описано в настоящей статье.
1 .................I.................. ...................Г...................!....................!"".................1...............г|-Яд» Г
у
У \ 1 Г 1 1
О 0 1 02 03 0.4 05 0.6 07 08 09 1
Рис. 5. Результаты моделирования
Р
Рис. 6. Моделирование процесса слежения
Заключение. В статье описан метод расчёта оптимальной поверхности переключений для модели электропривода третьего порядка и приведены инструменты, позволяющие осуществлять такой расчёт для любой следящей системы, допускающей описание приведённой структуры. Надо заметить, что практически любая следящая система, независимо от типа исполнительного привода, может быть описана приведённой моделью, что делает представленный инструментарий достаточно универсальным.
Список литературы
1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. 391 с.
2. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления / В.А. Иванов, Н.В. Фалдин. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. 336 с.
3. Фельдбаум А.А. Оптимальные процессы в системах автоматического управления // Автоматика и телемеханика, 1953, №6. С. 712-728.
4. Makarov N.N., Rudnev S.A., Plykina E.V. Implementation of Digital Sliding Mode in Sampling Servosystem Control //2020 2nd International Conference on Control Systems, Mathematical Modeling, Automation and Energy Efficiency (SUMMA), Lipetsk, 2020. P. 566-569. DOI: 10.1109/SUMMA50634.2020.9280761.
Макаров Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Плыкина Екатерина Викторовна, инженер, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Руднев Сергей Александрович, д-р техн. наук, профессор, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
CALCULATION BY MATLAB OF THE OPTIMAL SWITCHING SURFACE FOR A DC MOTOR N.N. Makarov, E.V. Plykina, S.A. Rudnev
The method for forming an optimal speed control law for a servo electric drive is considered, based on the method of switching surface sections, combining high accuracy and low parametric sensitivity. A script is provided that calculates sections. The optimization of the section step and the implementation of the control law are considered. The simulation results demonstrate the high quality of control and the promise of applying the control law for servo systems of similar structures.
Key words: servo drive, sliding mode, optimal control.
Makarov Nikolay Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Plykina Ekaterina Viktorovna, engineer, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Rudnev Sergey Alexandrovich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State University
УДК 629
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-12-28-29
ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПРОМЫШЛЕННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ И ИХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ
С.Л. Горобченко, Д.А. Ковалёв, С.А. Войнаш, И.В. Наседкин, Г.К. Парфенопуло
В статье представлен обзор интеллектуальных систем промышленной безопасности и их функциональные возможности. Рассмотрены интеллектуальные средства автоматизации. Интеллектуальные датчики безопасности и их системы продемонстрированы на примере интеллектуальных датчиков и реле безопасности компании SICK, Световые завесы показаны с демонстрацией современных подходов к их функционалу. При рассмотрении защитных лазерных сканеров подробно рассмотрена реализация их функционала в современных принципах их работы. Интеллектуальные камеры безопасности рассмотрены на основе конструкций компании SICK. Также рассмотрены датчики расстояния, программируемый контроллер безопасности и системы безопасности, объединяющая все устройства безопасности в одно целое. Отмечено, что роль систем безопасности возрастает одновременно с ростом автоматизации процессов, где еще участвует человек. Для этих целей наибольшее развитие получает использование интеллектуальных технологий, создающих идеальную основу для надежного и эффективного управления технологическими процессами и обеспечивающего защиту людей от несчастных случаев на производстве.
Ключевые слова: промышленная безопасность, системы безопасности, интеллектуальные системы, интеллектуальные средства автоматизации, интеллектуальные датчики безопасности, реле безопасности, световые завесы, защитные лазерные сканеры, интеллектуальные камеры безопасности, датчики расстояния, программируемый контроллер безопасности.
Системы промышленной безопасности служат для обеспечения безопасной и надежной работы оборудования на производстве, а также для безопасного производства работ, выполняемым персоналом. Развитие промышленной автоматизации со временем создало предпосылки для решений безопасности на предприятиях, в которых комплексно применяются различные автоматизированные линии и установки. Одно из основных условий для полноценной работы всей системы предприятия или локальных линий - это комплекс мер по совмещению всех производственных средств автоматизации со средствами промышленной безопасности. Это можно осуществить в том случае, если одно устройство способно управлять всеми элементами АСУТП.
Такие задачи выполняют многофункциональные контроллеры. ПЛК представляют собой устройство, предназначенное для сбора, преобразования, обработки, хранения информации и выработки команд управления [1]. С помощью открытых стандартов обмена данными, в частности Ethernet, контроллеры получают доступ к парамет-
28
