CC BY
27
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES
2017. No. 3-1
УДК 519.2 DOI 10.23683/0321-3005-2017-3-1-4-7
РАСЧЁТ СПРАВЕДЛИВОЙ ЦЕНЫ ДЛЯ ДИФФУЗИОННОЙ МОДЕЛИ СО СТОХАСТИЧЕСКОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКОЙ*
© 2017г. М.С. Беляева1, Н.В. Данилова1
1 Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
CALCULATION OF FAIR PRICE FOR DIFFUSIVE MODEL WITH THE STOCHASTIC INTEREST RATE
M.S. Belyaeva1, N.V. Danilova1
1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
Беляева Мария Сергеевна - магистр, кафедра высшей математики и исследования операций, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Во-ровича, Южный федеральный университет, ул. Миль-чакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: mashka. taganrog-@mail. ru
Данилова Наталья Викторовна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики и исследования операций, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Во-ровича, Южный федеральный университет, ул. Миль-чакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: danilova198686@mail. ru
Maria S. Belyaeva - Master, Department of High Mathematics and Operations Research, Vorovich Institute of Mathematics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: mashka. taganrog-@mail. ru
Natalia V. Danilova - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of High Mathematics and Operations Research, Vorovich Institute of Mathematics and Computer Sciences, Southern Federal University, Mil-chakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: danilova198686@mail. ru
Предметом исследования статьи является модель (B,S)-pbmKa, описывающая динамику процентных ставок в форме стохастического дифференциального уравнения диффузионного типа. Целью данной статьи является нахождение справедливой цены для рассматриваемой модели. Определение справедливой цены финансовых инструментов является важным вопросом в исследовании финансовых рынков. В мировой практике получение формул, позволяющих проводить расчет справедливой цены для конкретных моделей финансовых рынков, оценивается очень высоко. Принцип определения стоимости традиционно разрабатывается на примере опциона. Рассматривается европейский тип опциона, который характеризуется тем, что исполняется точно в финальный момент времени. Приведено несколько алгоритмов расчета справедливой цены в случае опциона колл. Исследуется полный и безарбитражный рынок. В связи с этим рассчитывается не интервал цен, а одно значение справедливой цены. Вначале описывается алгоритм, который предполагает нахождение процесса плотности и применение преобразования Гирсанова. Также предложены две различные реализации метода Монте-Карло. Первая реализация основана на симуляции траекторий и применяется для расчёта математического ожидания, другая - для расчёта интеграла. Приведены численные эксперименты расчета справедливой цены и произведено сравнение полученных результатов.
Ключевые слова: модель (B,S)-рынка, европейский опцион колл, справедливая цена, процесс плотности, преобразование Гирсанова, метод Монте-Карло.
The object of the research is the model of the (B,S)-market. The interest rate in this model is presented in the form of stochastic differential equation of diffusion type. The purpose of this article is finding of the fair price for this model. Calculation of the fair price offinancial instruments is a very important issue in a research of the financial markets. In the world practice
* Работа поддержана грантом РНФ № 17-19-01038.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 3-1
the obtaining offormulas allowing to carry out the calculation of the fair price for the definite models of the financial markets is highly evaluated. The principle of determination of the fair price is traditionally developed on the example of the option. The European type of the option is considered. Several algorithms of calculation of the fair price are given. In the beginning the algorithm supposes the density process and the Girsanov transform. Two different Monte Carlo algorithms are supposed. The first realization is applied to calculation of expectation value, and another - to calculation of integral. Numerical experiments of calculation of the fair price are given and comparison of the received results is made.
Keywords: (B,S)-market model, European call option, fair price, density process, Girsanov transform, Monte Carlo method.
Расчёт справедливой цены
Рассматривается модификация известной модели Блэка - Шоулса, отличие которой от модели Блэка - Шоулса заключается в том, что процентная
Для решения задач будем применять преобразо-
ставка не является постоянной (диффузионная мо- вание Гирсанова [5], которое позволяет перейти от
дель). В [1-3] приводятся подобные модели.
Рассмотрена задача расчёта справедливой цены европейского опциона колл. Один из способов расчёта основан на применении преобразования Гирса-нова и нахождении процесса плотности. В качестве второго способа рассматривается метод Монте-Карло, который применяется для расчёта как математического ожидания, так и интеграла. Приводятся численный пример расчёта и сравнение результатов.
Описание модели. Постановка задачи
Рассматриваемая модель имеет вид [4]
ff
м-
W
St = So exp Bt = B0exP (rt)
rt = r0 exp
а
.2\
\
(( 2\ У
а- — 2
w
t + oWt
t+yWt
где ц,а,а> 0,/> 0 - константы; (^ - ви-
неровский процесс.
Задачи продавца и покупателя соответственно в случае самофинансируемого портфеля имеют вид
о
min X,
У
X
v b j
f V \
= ytd
v bt j
XT ^ fr
max X 0
У
fX±
v bt j
= ytd
iSI}
v bt j
(1)
Xr - fr
где t e [0,T ], (Xt )/e[or] - капитал портфеля; (yt )ie[0 T] - число единиц акций;
fT = fT (ST ) = max (ST - K,0) - финансовое обязательство опциона call; К - контрактная цена.
= I
d
мартингальной меры Р к исходной мере Р. Вводим процесс плотности Zt : 2о = 1,2, = ехр (а,Х + Ь(Ж(), Г е [0, Т]. Коэффициенты а( и Ъ{ находятся из условий:
1. EZ, = 1. 2. E
StZt
V B J
So
Bo
Из первого условия
Ь2
а = --
2
из (2) и второго условия
(2)
1 + » 1 I
4int
ff
exp
м-
а
лЛ
л
w
t + ах
exp
——t + btx
\
V
2
f
exp
roexp
ff 2\ У
а - — 2
VV j
ЛЛ
t + yx
JJ
x exp
(_x!^
2t
V J
dx = 1.
(3)
Решения задач (1) в силу полноты (Б,8)-рынка
совпадают и имеют вид
/
C = X0 = E
fr {st ) 1 = еГ fr (sT)
v br j
v br
-ZT
(4)
Математическое ожидание:
E
fr (st )
v br ff
ZT
S0 exp
м-
а
_2\
VV
T + ах
Л Л ' b2 ^
-—T + bTx
,2 ,
V J
- K
exp
_J_J
(
B0 exp
r0 exp
2
У
а--
2
VV J
T + jx
J J
p(x)dx,
d = — а
In
fK\ (
v s0 j
а2
vm-t j
v j
T
2
x
2
X
d
и
2
+ X
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 3-1
1 Г JC2 ^
где P(x) = JexP x
2T
v у
Для нахождения математического ожидания до- плотность рас- статочно найти Ът из уравнения (3).
Итак, получаем следующую формулу для вы-пределения винеровского процесса, Жт ~ N(0,Т) . числения справедливой цены:
^ 2Л Л Л ( ,2 V
1
С - 1 J y/lÜT d
S0 exp
T + ax
w
— K
exp
У У
' Ъ2Т ——T + Ътх
v 2 T У
fr
B0 exp r0 exp
V
Метод Монте-Карло
2
а —
T + ух
V V
УУ
exp
r xL ^
v "2Tу
dx.
(5)
В силу правила трёх сигм [7] формулу (5) мож-В статье будут рассмотрены два варианта при- но переписать в виде С = [ g(л)йХ .
таття и1Лтг\гго \У|Лттта к шлттл »
менения метода Монте-Карло.
Первый основан на симуляции траекторий и чис-
Рассмотрим случайную величину u, равномерно
^d,3%/Т. Тогда g(u) также будет случайной величиной, причём её математическое ожидание
ленного расчёта математического ожидания, второй - распределённую на отрезке интегрирования на численном расчёте интеграла в формуле (5).
Алгоритм первого варианта метода Монте-Карло [6].
1. Отрезок [0, Т] разбиваем на N частей с ша-Т
гом к = —. Дискретизацию процессов В, г
можно записать в виде
(( 2 Л
3,/T
Eg(u)- J g(x)^(x)dr, где ф) -
d
плотность рас-
пределения случайной величины u, равная 1
Sn - S0 exp
a
vv
h + o4~hsn
Зл/T — d
на отрезке
d ,3jT ~ . Таким образом,
ff
rn - r0 exp
,2 Л
а —-
У
h + y4hen
w
искомый интеграл представим в виде J g(x)dx = (зл/г - dEg(u ). Но математическое
Вп = В0ехр(гп), где еп ~ N(0,1), п = 1,...,N. ожидание случайной величины g(u) легко оценить,
2. Проводим L экспериментов. Тогда значение смоделировав эту случайную величину и посчитав справедливой цены европейского опциона вычис- выборочное среднее.
Итак, бросаем L точек, равномерно распределённых на ^d,3л/Т", и для каждой точки и/ вычисляем значение g(ui). Затем считаем выборочное 1
ляется по формуле
1 ¿/fckj
С - Хп
L-1 BlN
(6)
где SN,BN - знатен™ стоимости акции и банков- среднее: - £ g(u,). В итоге получаем оценку ин-
ского счёта в /-м эксперименте.
Второй вариант метода Монте-Карло [6]. Обозначим через g(x) подынтегральную функцию в формуле (5).
g (x)-VSTх
S0 exp
ff 2 A a
№--
2
vv
T + ax
\ \
— K
у_у
exp
( bT
^
— — T + bTx 2 T
v
f
B0 exp
roexp
2
у
а--
2
w
T + yx
уУ
: exp
< x2^
2T
v у
¿1=1
теграла и значение для справедливой цены
С = 3Jg(x)dx « 3T-d±g{ut). (7)
Сравнение результатов
Рассмотрим пример. Начальные данные: S0=1, 50=1, r0=0,04, K=1, ,«=0,05, о=0,3, у=0,1, «=0,2, T=1, ¿=1000.
С помощью Maple 13 находим справедливую цену различными методами, т.е. вычисляем ее по формулам (5), (6) и (7) (таблица). Параметр Ьт в формуле (5) находим, запрограммировав метод Симпсона.
d
2
d
X
X
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. Сравнение результатов / Comparison of results
N (число разбиений отрезка [о,Г ]) Формула С
(5) (6) (7)
1 0,1442921003 0,1336086680 0,1417733891
3 0,1221249003
5 0,1100013272
6 0,1071259835
Легко убедиться, что справедливая цена, посчитанная по формулам (5) и (7), совпадает до сотых, т.е. до копеек, если переводить в денежную систему. А справедливая цена, посчитанная по формуле (6), совпадает со справедливой ценой других методов до десятых.
Литература
1. Chan K.C., Karolyi G.A., Longstaff F.A., Sanders A.B. An empirical comparison of alternative models of the short-term interest rate // The J. of Finance. 1992. № 3. P. 1209-1227.
2. Merton R.C. Theory of rational option pricing // The Bell J. of Economics and Management Science. 1973. Vol. 4, № 1. P. 141-183.
3. Nowman K.B. Gaussian Estimation of Single-Factor Continuous Time Models of The Term of Interest Rates // The J. of Finance. 1997. № 4. P. 1695-1706.
4. Stradi B.A. Term structure of interest rates // Rev. Mate. Teor. Aplic. 2005. № 12. P. 129-138.
NATURAL SCIENCE. 2017. No. 3-1
5. Джекел П. Применение методов Монте-Карло в финансах. М. : Интернет-трейдинг, 2004. 256 с.
6. Ширяев А.Н. Вероятность. М. : МЦНМО, 2011. 552 с.
7. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1 : Факты, модели. М. : ФАЗИС, 2004. 512 с.
References
1. Chan K.C., Karolyi G.A., Longstaff F.A., Sanders A.B. An empirical comparison of alternative models of the short-term interest rate. The J. of Finance. 1992, No. 3, pp. 1209-1227.
2. Merton R.C. Theory of rational option pricing. The Bell J. of Economics and Management Science. 1973, vol. 4, No. 1, pp. 141-183.
3. Nowman K.B. Gaussian Estimation of Single-Factor Continuous Time Models of the Term of Interest Rates. The J. of Finance. 1997, No. 4, pp. 1695-1706.
4. Stradi B.A. Term structure of interest rates. Rev. Mate. Teor. Aplic. 2005, No. 12, pp. 129-138.
5. Dzhekel P. Primenenie metodov Monte-Karlo v finansakh [Application of Monte Carlo methods in finance]. Moscow: Internet-treiding, 2004, 256 p.
6. Shiryaev A.N. Veroyatnost' [Probability]. Moscow: MTsNMO, 2011, 552 p.
7. Shiryaev A.N. Osnovy stokhasticheskoi finansovoi matematiki [Fundamentals of stochastic financial mathematics]. T. 1 : Fakty, modeli [Vol. 1. Facts and models]. Moscow: FAZIS, 2004, 512 p.
Поступила в редакцию /Received_20 апреля 2017 г. /April 20, 2017
