Расчёт распределения примесей после нескольких проходов зоны Текст научной статьи по специальности «Математика»

42. Степанов Н. Ф. Квантовая механика и квантовая физика.

- М.: Мир,2001. - 519 с.

43. Накамото К. ИК-спектры и спектры КР неорганических и

координационых соединений / Пер. с англ.- М.: Мир. 1991,- 536 с.

44. Воронцов Б. С., Накоскин А.Н., Ваганова ПЛ. Методичес-

кие аспекты квантовохимического моделирования аминокислотных комплексов кальция //Вестник КГУ. -Серия «Естественные науки». - 2011. - Вып. 4, №2(21).

- С. 120-123.

45. Барановский В.И. Квантовая механика и квантовая

химия. - М.: Издательский центр «Академия», 2008. -384 с.

УДК 538.9

В.И. Бочегов, A.C. Парахин

Курганский государственный университет

РАСЧЁТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИМЕСЕЙ ПОСЛЕ НЕСКОЛЬКИХ ПРОХОДОВ ЗОНЫ

Аннотация

В статье приводится расчёт распределения примесей в слитке материала после прохода по слитку расплавленной зоны.

Ключевые слова: расплавленная зона, коэффициент сегрегации, расчёт концентрации примесей.

V.I. Bochegov, A.S. Parahin Kurgan state university

CALCULATION OF IMPURITY DISTRIBUTION AFTER SEVERAL PASSES OF THE ZONE

Annotation

In article calculation of impurity distribution in an ingot of a material after pass on an ingot of the fused zone is resulted

Keywords: the fused zone, segregation factor, calculation of concentration of impurity

1. Введение

Висмут является перспективным материалом для использования в низкотемпературных термоэлектрических преобразователях энергии. Однако его термоэлектрические свойства существенно зависят от содержащихся в нём примесей. Одни примеси улучшают его свойства, другие ухудшают. Но неконтролируемые примеси, как правило, приводят к понижению термоэлектрической добротности материалов на основе висмута. Именно по этому проблема очистки висмута становится актуальной при решении задачи оптимизации термоэлектрических свойств материалов на основе висмута.

Данная статья посвящена проблеме зонной очи-

стке висмута. Метод зонной очистки материалов впервые предложил Пфан [1]. Этот метод основан на том, что концентрация примесей в твёрдой и жидкой фазах материала, находящихся в равновесии, благодаря сегрегации, не одинаковая. Коэффициентом сегрегации называют отношение

к = с5/с1. (1)

где - концентрация примесей в жидкости, эта

величина может быть функцией координат, с5 - концентрация примесей в твёрдой фазе, эта величина также может быть функцией координат. Кроме того,

введём следующие обозначения: - концентрацию примесей в твёрдой фазе на предыдущем этапе чистки, / -ширина расплавленной зоны, -длина всего

слитка, $ ~ площадь поперечного сечения слитка.

Распределение примесей после прохода зоны определяется дифференциальным уравнением вида [1]:

с1сК ксК ксАх + 1)

—- + —- = ——--. (2)

сЬс I I

Однако оно справедливо только для части слитка без его конца величиной, равной ширине расплавленной зоны. Если же расплавленная зона подошла к концу слитка, её ширина начинает уменьшаться, а кристаллизация становится нормальной. Для нормальной кристаллизации справедливо следующее уравнение

Зс

= сх(1-к)/(10-х). (3)

ах

Это уравнение позволяет рассчитать концентрацию примесей в конце слитка на расстоянии ширины расплавленной зоны от его конца.

2. Расчёт концентрации примесей в стержне бесконечной длины

Для расчёта концентрации примесей после очередного прохода зоны нужно решить уравнение (2). Это уравнение есть линейное дифференциальное уравнение первого порядка, которое решается путём замены искомой функции двумя функциями [2]. В результате общим решением уравнения (2) будет функция:

кх ^^ , ^ кх кх

с8(х) = е 1 —-е'йЬс + ^е 1 . (4)

Если расплавленная зона намного меньше длины всего слитка, слиток можно считать бесконечно длинным. В этом случае можно не учитывать часть слитка в его конце, в котором материал кристаллизуется нормально.

Перед первым проходом обычно примесь распределена равномерно с некоторой средней концентрацией сзг, так что для первого прохода

сДх + /) = сзг есть постоянная величина, её мож-

но вынести за знак интеграла в (4). После отыскания получившегося интеграла и упрощения выражения найдём:

кх

ся(х) = сяг+А]е~- ®

Константа А^ находится из начальных условий.

Когда из расплавленной зоны только начинает зарождаться кристалл, концентрация примеси в жидкой фазе не успевает существенно измениться по отношению к концентрации в твёрдой фазе, т.е. концентрация в

жидкой фазе равна С8Г , поэтому концентрация примесей в начале слитка в твёрдой фазе должна быть равна

с8(0) = ксзг. (6)

Это и есть начальные условия. Подставим в них (5)

Сз(°) = Сяг+А1 = кс»- (7)

Откуда и находим константу

А1=(к-1)сзг. (8)

С такой константой уравнение(5) приобретает вид

кх

(9)

= С,Г + (к-1)с,ге 1 ■

Для второго прохода распределение согласно (4) и с учётом (9) будет иметь вид:

кх 1

Найдя из начальных условий константу, для второго прохода найдём распределение примеси:

с.Лх) = с*г+ке --у1—* +

к(х+1) кх

кх

кх

(11)

Как видно из (5) и (11), решение уравнения (2) для п- го прохода может быть представлено следующим образом (нумерация проходов начинается с нуля):

кх

п-1

с,(х) = с„+е

(12)

1=0

В этой формуле верхним индексом у коэффициентов многочлена мы обозначили номер прохода. В таком случае на предыдущем проходе распределение примесей должно описываться функцией

кх

п—2

сДх) = с,г+е ^А^х1.

(13)

1=0

п-2

И

(14)

т=1-1

В данной формуле индекс \ меняется от 1 и до

п — 1, и значит, нулевой коэффициент этим равенством не определяется. Он находится из начальных условий и равен:

(

1

1

\

Подставив (12) и (13) в уравнение (2), придём к равенствудвух многочленов. Из этого равенства находим рекуррентную формулу для расчёта коэффициентов многочленов в формуле (12):

Из формулы (14) в частных случаях вытекают формулы для коэффициентов в формулах (9) и (11).

Построим графики распределения примесей по слитку, пользуясь формулой (12). Эти графики представлены на рис. 1 для

к = 0.5, / = 1.25 • 1СГ2 м,10 =25-Ю'2 м.

На рис. 2 представлены графики распределения примеси для

к = 2.0, / = 5.0- 1СГ2 л/, /0 = 25 • 10 2 м.

Рис.1. Распределение примеси в полубесконечном стержне для 20-ти проходов

Рис. 2. Распределение примесей для коэффициента сегрегации, большего единицы

Как видно из рис. 2, эффекта очистки в полубесконечном стержне от примесей с коэффициентом сегрегации больше единицы не наблюдается.

Аналитическое решение задачи распределения примесей после нескольких проходов зоны было найдено Лордом. Однако оно представляется в виде трой-

ной суммы и очень неудобно в практическом применении. Милликен преобразовал решение Лорда, как указано в книге Пфанна, к выражениям с двойной суммой или даже одинарной, но выражение от этого существенно не упростилось. Милликеном же предложена ещё одна форма записи через бесконечный ряд, но применение этой формулы возможно лишь при малых значениях коэффициента сегрегации, чтоб ряд достаточно быстро сходился. Решение, полученное в данной работе, представляет функцию распределения примеси с помощью многочлена, что иногда бывает удобнее в вычислениях.

3. Распределение примеси в стержне конечной длины после двух проходов зоны

Для выражения (12), как можно проверить, не выполняется условие нормировки, т.е. интеграл по всему слитку от функции распределения примеси не даёт полную величину примеси. Это объясняется тем, что в конце слитка данная формула уже не справедлива, поскольку в конце слитка процессы кристаллизации протекают в виде нормальной кристаллизации и подчиняются уравнению (3). Решением этого уравнения с учётом граничных условий является функция:

(

С( х) =

к (10-I) 1

1 + (к - 1)е

С

(10_Х ) к-1

( 1 '

. (16)

I

1В С ;*ю

"16 /

14 /

12 /

"10"

8

6.---

4 чо- 4

2 2 4 3 8 " 0 1 2 1 4 ' 6 " 8 ; 0 2 л 2 2

Рис. 3. Распределение примеси после первого прохода

График распределения примеси вдоль слитка конечной длины после первого прохода показан на рис. 3.

Перед отысканием функции распределения примесей после второго прохода заметим, что роль функции распределения примесей на предыдущем проходе играет функция (12). Однако это справедливо только в области от 0 до 10 - 21. Это обусловлено тем, что

как только выполнится условие х = 10 - 21, передний

фронт расплавленной зоны войдёт в область, где роль функции распределения примесей на предыдущем этапе играет уже функция (16).

Для х < 10 - 21 функцией распределения примесей снова будет функция (12). Предположим теперь,

что 10 - 21 < х < 10 -1. Подставим функцию (16) в формулу (4)

кх __

с, (х) = е "т I к 1(1 + (к - 1)е" )

к

I

к(1„-1) \

с„

I

кх

кх

- — - - к (

• е 1 dx + Б~.е 1 = е 1 —

21 1

к (1,-1) 1 (1 + (к - 1)е 1 )

к-1 кх

• |1 - х -1 1 е кх

(17)

/

е1 dx + Б21е 1

В данном выражении константу мы обозначили через Б21, чтоб отличать её от ранее введённых констант А(п).

Вычислив встречающийся тут интеграл, найдём функцию распределения примеси по слитку после второго прохода зоны по слитку:

к(1ц -1-х) к С

с,(х) = -е 1 -к

- к (г,, -г) 1 1 + (к - 1)е 1 V )

с.

5 1 Г к ^1 (1, - х - 1)к+1

1 V-1)

к + 1

кх

+ Б21е^

(18)

Постоянную интегрирования находим из граничных условий:

к Ос-21)

-к

(к - 1)С е ~ Б2\ = С„е 1 + к (1, - 21) +

+ (к - 1С (2 - е ) -

Г к (1, -1) 1

- к 1 + (к - 1)е 1 с,

V )

(-к)1

(19)

1=с

1!(к +1)

"18-С *10 1

/

"16 /

14 (

12 /

"10"

8

6

3-- чо- 4

2 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 2

Рис. 4. Распределение примеси после второго прохода зоны

Для промежутка 10 -1 < х > 10 кристаллизация

материала снова носит характер нормальной кристаллизации, а функция распределения примеси имеет вид

к-1

с

кх

(16), где константа в этой функции может быть найдена из граничных условий непрерывного сшивания

функций (16) и (17) при х = 10 -1:

к(10-Г)

д =/

1 -к

В21е

(20)

По результатам расчёта построен график распределения примеси после второго прохода на рис.4.

4. Распределение примесей в стержне конечной длины после нескольких проходов

Используя тот же метод, что и в предыдущем параграфе, можно найти, что для третьего прохода распределение примеси по слитку будет характеризоваться уже 4-мя функциями в соответствии с количеством областей, на которые разбивается весь слиток. Самую левую область будем считать нулевой, следующую за ней - первой и т.д., как показано на рис. 5. Для нулевой зоны функция распределения определяется распределением примеси в нулевой зоне на предыдущем проходе. Поэтому для неё справедливы формулы (12) с найденными коэффициентами (14) и (15).

I) ]\(к + ])(к + ] + \)

(21)

кх

кх

ке '

+ —^—В21хе 1 +В31е 1

Для второй аналогично находим

к(10-1-х)

с(х) = --02е '

кх

(22)

способ расчёта распределения примесей по слитку после п -го прохода. Обозначим 5 - номер области в слитке. Эта переменная меняется от о до п. Для нулевой зоны справедлива снова формула (12) с найденными коэффициентами (14) и (15). Для 0 <5 <п распределение примеси находится по формуле

-я к(10-(п-б-)1-х)

е

I

(/0 -21-х)

к+]+п-$+1

]\(к + ])(к + ] + \)...к + ] + П-8 + \

+ е

кх ( ^ ^

(24)

I

V I J

В„

(х + О-1)/)" т\

Наконец, для последней области

с,(х) = П„(10-х)

к-1

(25)

Для каждого 5 константу находят из гра-ничныхусловий

(/0 - (и - 5 +1)1) = (10 - (п - 3 +1)1). (26)

Константу £)и находят из граничного условия

сп^1(10-1)=Оп(1Г1 ■ (27)

Графики функций распределения для 4 -х проходов представлены на рис. 6. Ширина расплавленной зоны составляла 3.5 см. при длине слитка 25 см.

Рис. 5. Расположение областей слитка

Для первой области, пользуясь формулой (4), найдём распределение

/■ 7 \2 к(Ю-21-х)

с(х) = д(--|

"Г кV (10-21 -х)к+]+1

--

Х*10

8 10 12 14 16 18 20 22 24

Рис. 6. Распределение примеси после 4-х проходов зоны

Количество областей в слитке определяется соотношением длины слитка и ширины расплавленной зоны:

мХ и Ак • ./)

И, наконец, для третьей зоны

с,(х) = £>3(/0. (23)

Пользуясь этими формулами, можно обобщить

(28)

При выводе указанных выше формул предполагалось, что нулевая область слитка, где распределение находится по формуле (12), присутствует. Именно эта область и задавала первоначальное значение концентрации примеси. Таким образом, эти формулы спра-

ведливы только при условии, что

П < N = ], (29)

т.е. число проходов зоны не должно быть больше числа областей в слитке.

5. Численное решение уравнений распределения примеси по слитку после нескольких проходов зоны

Полученные в предыдущих параграфах формулы расчёта распределения примеси после зонной очистки позволяют рассчитать значение концентрации примесей аналитически для случая, когда количество проходов не больше максимального количества областей в слитке. Эти формулы можно обобщить наслучай любого числа проходов. Однако формулы расчёта настолько усложняются, что использовать их становится затруднительно. Поэтому вместо аналитического расчёта разумнее использовать численный расчёт. Возможны несколько способов численного расчёта. Первый - разностный метод. Суть его состоит в замене производных в уравнении (2) конечными разностями. Самым точным из такого типа методов является метод Рунге-Кутта. Разбиваем длину всего слитка на

п промежутков точками х0,х1,х2,...хп, обозначаем

значение концентрации в этихточкахследующим образом:

С0'СПС2т"Сп '

На первом проходе

С0 = С,г ■

(30)

(31)

Уравнение (2) представляется в следующем виде:

ёс!1 кс!1 (х + /) кс!1 (х) дх

(32)

/ /

Для отыскания значений концентрации используется четыре шага. На первом шаге рассчитывается параметр

к1 =у(сД*г + 0-сДхг))/г,

(33)

) = сЛхг) + (к1+к4)1б + (к2+кз)13- (38) На каждом последующем проходе начальное значение функции определяется уже с использованием распределения на предыдущем проходе. Для этого находится интеграл

к 1

с(0) = у |с(х)й6с

(39)

Этот интеграл находится численно. Но поскольку метод Рунге-Кутта имеет 4-й порядок точности, чтобы не снижать этот порядок, интеграл (39) находится методом Симпсона }= + ^ (40)

где т -число разбиений, приходящихся на ширину расплавленной зоны. Это число должно быть чётным, поэтому общее число разбиений п нужно выбирать с учётом этого обстоятельства.

Решение уравнения (3) допускает простое аналитическое решение, поэтому в области х > 10 -1 значения концентрации примесей на каждом проходе можно вычислять по функции (16), определяя константу из граничных условий на границе х = 10 -1.

График функций распределения примеси, найденный этим методом, представлен на рис. 7. Ширина расплавленной зоны и длина слитка такие же, как на рис 6.

где И = 10 !п . (34)

На втором шаге рассчитывается второй параметр На третьем шаге-третий

(36)

И на четвёртом - последний

к

к1= у (Хг+1 + 1)~С, (Хг )~кзР. (37)

После этого находится новое значение искомой функции

Х*10

10 12 14 16 18 20 22 24

Рис. 7. Распределение примесей после 4-х проходов, рассчитанное численным методом Рунге-Кутта

Из сравнения этих рисунков можно заключить, что результаты численного расчёта почти не отличаются от результатов аналитического расчёта.

Второй метод расчёта можно назвать интегральным. Он основан на использовании формулы (4), преобразованной следующим образом

сДх) = уе 1 + 1)е 1 с1т + А0е

кх I

■ (41)

Всю длину слитка снова разбивают на п частей и находят значение искомой функции в каждой точке.

Для этого интеграл, входящий в формулу (4), находят численно методом трапеций.

Распределение примесей после 4-х проходов, рассчитанное по интегральному методу, представлено на рис. 8.

Рис. 8. Распределение примесей после 4-х проходов, рассчитанное интегральным численным методом

Этот рисунок практически не отличается от рис. 7. Однако интегральный метод в отличие от метода Рун-ге-Кутта не использует операции вычитания близких чисел и поэтому является более устойчивым.

На основании полученных результатов можно сделать вывод, что для числа проходов зоны более двадцати распределение примеси становится практически предельным. Авторами проведена очистка висмута в двадцать проходов зоны. На основании измеренных кинетических параметров полученного вещества эффективность такой очистки соответствует расчетной.

6. Заключение

В работе рассмотрен способ очистки материалов методом зонной перекристаллизации. Представлен, как аналитический, так и численный метод расчёта функции распределения примесей после нескольких проходов зоны.

Список литературы

1. В. Пфанн. Зонная плавка. - М.: Мир, 1970. - 367 с.

2. Коровкин П. П. Математический анализ. - М.: Просвеще-

ние, 1974. - 463 с.

3. A.C. Парахин. Решение физических задач на ЭВМ: Учебное

пособие. - Курган, 2000. - 71 с.

УДК 53.088

1В.М. Грабов, 2А.С. Парахин 1 Российский государственный педагогический университет им. А.И. Гэрцена, г. Санкт-Петербург

2Курганский государственный университет

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ НА ОСНОВЕ СРЕДНЕАБСОЛЮТНОГО

Аннотация

В работе рассматривается новый метод оценки погрешности измерений на основе среднеабсо-лютного

Ключевые слова: закон Стьюдента, оценка погрешностей, среднеабсолютное отклонение

1V.M. Grabov, 2A.S. Parahin

1PRussian state pedagogical university of A.i.Herzen 2 Kurgan state university,

ESTIMATION OF THE PHYSICAL MEASUREMENTS ERROR ON THE BASIS OF AVERAGABSOLUT

Annotation

In work the new method of an measurements error estimation on a basis averageabsolut is considered

Keywords: the law of Student, an estimation of errors, an averageabsolut deviation

Введение

Традиционно для оценки случайных погрешностей физических измерений используют среднеквадратичное отклонение, определённое из нескольких измерений и умноженное на коэффициент Стьюдента, который зависит от так называемой доверительной вероятности и количества измерений величины. В данной работе предлагается оценивать погрешность измерений путём определения среднеабсолютного отклонения с умножением его на соответствующие множители, аналогичные коэффициентам Стьюдента. При этом считается, что исследуемая величина, как случайная, распределена по нормальному закону или закону Гаусса [1]

(.х-а)2

р(х) = —=е 1(у2 , (1)

сглУ2л"

где х представляет собой то или иное значение случайной величины; /?(х) - плотность вероятности события, что случайная величина примет значение х; а - математическое ожидание случайной величины; сг - среднеквадратичное отклонение случайной ве-