Оценка погрешности физических измерений на основе среднеабсолютного Текст научной статьи по специальности «Математика»

Для этого интеграл, входящий в формулу (4), находят численно методом трапеций.

Распределение примесей после 4-х проходов, рассчитанное по интегральному методу, представлено на рис. 8.

Рис. 8. Распределение примесей после 4-х проходов, рассчитанное интегральным численным методом

Этот рисунок практически не отличается от рис. 7. Однако интегральный метод в отличие от метода Рун-ге-Кутта не использует операции вычитания близких чисел и поэтому является более устойчивым.

На основании полученных результатов можно сделать вывод, что для числа проходов зоны более двадцати распределение примеси становится практически предельным. Авторами проведена очистка висмута в двадцать проходов зоны. На основании измеренных кинетических параметров полученного вещества эффективность такой очистки соответствует расчетной.

6. Заключение

В работе рассмотрен способ очистки материалов методом зонной перекристаллизации. Представлен, как аналитический, так и численный метод расчёта функции распределения примесей после нескольких проходов зоны.

Список литературы

1. В. Пфанн. Зонная плавка. - М.: Мир, 1970. - 367 с.

2. Коровкин П. П. Математический анализ. - М.: Просвеще-

ние, 1974. - 463 с.

3. A.C. Парахин. Решение физических задач на ЭВМ: Учебное

пособие. - Курган, 2000. - 71 с.

УДК 53.088

1В.М. Грабов, 2А.С. Парахин 1 Российский государственный педагогический университет им. А.И. Гэрцена, г. Санкт-Петербург

2Курганский государственный университет

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ НА ОСНОВЕ СРЕДНЕАБСОЛЮТНОГО

Аннотация

В работе рассматривается новый метод оценки погрешности измерений на основе среднеабсо-лютного

Ключевые слова: закон Стьюдента, оценка погрешностей, среднеабсолютное отклонение

1V.M. Grabov, 2A.S. Parahin

1PRussian state pedagogical university of A.I.Herzen 2 Kurgan state university,

ESTIMATION OF THE PHYSICAL MEASUREMENTS ERROR ON THE BASIS OF AVERAGABSOLUT

Annotation

In work the new method of an measurements error estimation on a basis averageabsolut is considered

Keywords: the law of Student, an estimation of errors, an averageabsolut deviation

Введение

Традиционно для оценки случайных погрешностей физических измерений используют среднеквадратичное отклонение, определённое из нескольких измерений и умноженное на коэффициент Стьюдента, который зависит от так называемой доверительной вероятности и количества измерений величины. В данной работе предлагается оценивать погрешность измерений путём определения среднеабсолютного отклонения с умножением его на соответствующие множители, аналогичные коэффициентам Стьюдента. При этом считается, что исследуемая величина, как случайная, распределена по нормальному закону или закону Гаусса [1]

(.х-а)2

р(х) = —=е 1(у2 , (1)

сглУ2л"

где х представляет собой то или иное значение случайной величины; /?(х) - плотность вероятности события, что случайная величина примет значение х; а - математическое ожидание случайной величины; сг - среднеквадратичное отклонение случайной ве-

личины от своего математического ожидания или стандартная ошибка. Таким образом, измерение ставит задачу определить математическое ожидание случайной величины и стандартную ошибку. Однако в процессе измерения получить истинное значение величины (её математического ожидания), как и её среднеквадратичного отклонения невозможно, поэтому пользуются некоторыми оценками этих величин. Если выполнено одно измерение, то можно оценить математическое ожидание измеряемой величины, но невозможно оценить её погрешность. Для оценки погрешности необходимо выполнить как минимум два измерения величины. Тогда оценкой самой величины может служить среднее арифметическое результатов измерения

х =

I

(2)

а оценкой погрешности - среднее арифметическое модулей отклонения измеренной величины от среднего значения этой величины, т.е. среднеабсо-лютное отклонение

с„ =

| ЭС I

(3)

В общем случае для п измерений эти формулы приобретают вид:

х =

(4)

п

Л\Хг~Х\

с„ =

(5)

п

1. Смещённость оценок стандартной ошибки

Проверим оценку (5) на состоятельность и несмещённость. Несмещённость ошибки (5) означает, что её математическое ожидание должно быть равно стандартной ошибке, т.е.

М

( п ^

1=1_

п

= а

(6)

ны. Так что можно считать

М(аа)=М\х1-х\. (8)

В последней формуле под знаком абсолютной величины добавим математическое ожидание самой случайной величины и вычтем, чтобы ничего не изменилось. Тогда (8) можно представить следующим образом

Мх, -х\=М

Хг~а)

х1 - а - -

п

(9)

Заменим случайные величины их отклонением от математического ожидания, тогда их распределение будет выглядеть несколько проще

р(х) = -

1

гл/2~к

2а1

(10)

В то же время отклонение каждой из них от среднего арифметического не изменится, как видно из (9). Его можно преобразовать следующим образом

М х, -х = М

хх-

1=1

п

= М

х, — —

п

или

Мх, -х=М

Ух.

(п- 1)Х, £ '

(п-1)

М

п

(11)

п-1

.(12)

В последней скобке второе слагаемое представляет собой среднее арифметическое из п — 1 случайных величин. Если каждая из них распределена по нормальному закону (10), то их среднее арифметическое распределено по закону [1]

п-1

р(у) = —

(■п-1)у2 2а1

(13)

Для отыскания математического ожидания сред-неабсолютного отклонения преобразуем последнее:

п

|х; - х |

М(аа) -= -Ум|х,. -х| = — иМ|х1 -х| ■ (?)

п п ,=1 п

Это обусловлено тем, что в силу независимости испытаний случайной величины математические ожидания отклонения любой из них от их общего среднего будут одни и те же и будут равны математическому ожиданию, например, для первой случайной величи-

сг л/2тг

Здесь для простоты обозначений среднее арифметическое из п — \ случайных величин обозначено

чрез у , а х1 мы будем обозначать просто х. При

этом, поскольку в среднее арифметическое не входит первая случайная величина, её распределение не зависит от распределения среднего арифметического и наоборот. Так что математическое ожидание (12) можно найти, пользуясь совместным распределением двух независимых случайных величин (10) и (13).

2 СО СО

М|х, — х| =-- Г Г|х — у\е

' 2жт2 '

2а1

дхйу. (14)

Разобьём этот интеграл на два интеграла в соответствии с областями интегрирования. Первая область - это область, где х > у , вторая - х < у .

М х, - х =

п-1

2ЛСТ1

х2+(п-\)у2

{{(х-у)е 2ст2 скср+ Ц(у-х)е

2 а"2

сЬсс!у

.(15)

/1 = \\хе

х +(п-1)у

дхйу

(16)

х>у

со (п-\)у 2 а2

X 00 (п-1)у

е 2ст2 хс1х = сг2 |е 2ст2 е

у

2а2

Ф.(17)

(18)

м^-

2(11-1).

- =МХ; -х =Л1—--сг ■

И V П7Г

(19)

аа О =

П7Г

¿=1

Л"

¿=1

(20)

и = п-

п

2>,-

а

2

У=1

--2>г «¡=1

Каждый из этих интегралов в свою очередь разобьём на два в соответствии с подынтегральными функциями. Так, первый интеграл будет иметь вид

Этот интеграл мы найдём повторным интегрированием

Преобразовав подынтегральную функцию, полу-

чим

•> V п V п

—со ' *

Здесь мы воспользовались известным значением интеграла Пуассона [2,3].

Аналогично находим остальные интегралы. В результате математическое ожидание среднеабсолютно-го отклонения можно найти по формуле

Эта величина подобна случайной величине, введённой Стьюдентом [1], только с использованием не среднеквадратичного отклонения, а среднеабсолют-ного отклонения. Подобно распределению Стьюден-та, распределение данной величины позволит найти точную оценку доверительного интервала среднего арифметического нескольких значений случайной величины по заданной доверительной вероятности. А

именно, если р(и) плотность вероятности для случайной величины (21), то вероятность попадания её в

интервал от до ^ равна

ь

Р = |р(и)йи (22)

А значит, можно оценить отклонение среднего арифметического от математического ожидания случайной величины

1 "

п ¿=1

а

I

у=1

1

п

ъ

¿=1

(23)

п

Из этой формулы видно, что оценка (5) действительно смещена. Но эту оценку можно исправить, если изменить формулу (5), а именно

Таким образом, для нахождения оценки (23) необходимо знать дифференциальную функцию распределения величины (21). В общем случае это распределение найти непросто, поэтому найдём его для

п = 2 и п = 3-

Для п = 2 случайная величина (21) имеет вид

х2 + х2

-а

и = 2

20-1) п V 2 7(и-1)и

В этом случае математическое ожидание этой величины будет равно среднеквадратичному отклонению.

Подобная формула приведена в [4]. Однако в ней нет множителя д/л"/ 2 > величина которого близка к 1.

2. Использование среднеабсолютного отклонения для определения ошибки измерений

Как было показано в предыдущем пункте, сред-неабсолютное отклонение (5) является смещённой оценкой среднеквадратичного отклонения. Несмотря на это, его можно использовать для определения погрешности измерений. Для этого введём в рассмотрение новую случайную величину

I

I

(24)

и =

Преобразовав это выражение, получим

I 2а

х1 х2 + х2 х1

2 2

= 2-,

х1 х2 + х2

I 2а

х1 х2

(25)

Снова добавив в знаменателе под знаком модуля математическое ожидание и вычтя его, перейдём к другим случайным величинам, математическое ожидание которых равно нулю. А именно

х = х1 - а, у = х2 - а, то гд а

u =

x + y

X - у (26)

Для отыскания дифференциальной функции распределения воспользуемся способом предварительного определения интегральной функции распределения [1], т.е. найдём вероятность того, что случайная величина (26) примет значение меньше, чем и:

F (u) =

1

2па

Я'

dxdy

х+y

Iх-y|

(27)

a + b a - b

x =-, y = ■

(29)

2 2 ■ Якобиан такой системы функций равен - 0.5 , и значит, система функций линейно независима.

При такой замене случайная величина (26) изменится следующим образом

а

u=

b ■

(30)

Подставив замену в (27), получим 1

F (u) = -

2па

Я

Ч l(a+b )2+(a-b )21 1

24 L 2 2 J- dadb 2

. (31)

В показателе экспоненты раскроем скобки и приведём подобные

F(U) = - 4 2

4пг

Ч Я<

12(a2+b2)

4 ч2

dadb

(32)

Данный интеграл найдём повторным интегрированием

F(u) =--Ц- f е^44 f

4псг J J

b2 u\b\ a2

dadb

(33)

Продифференцируем этот интеграл по u как по параметру, как следует из (30)

a = ubi .

1 ад

P(u) = F'(u) = -"-2 f

4пч J

е 4"2е л"2

(34)

(35)

Этот интеграл разбиваем на два интеграла

P(u) = 2 4псг

i 0 Ч!'

44 е 44 bdb -

4па

1 ад

Ч ад<

(36)

Эти интегралы находятся легко, вместе они дают 1

P(u) =

(37)

п(1 + u2) ■

Это и есть дифференциальная функция распределения случайной величины (26). Она совпадает с распределением Стьюдента для n = 2. Этот результат естественен, т.к. при n = 2 случайные величины Стьюдента и (26) совпадают.

Найдём интеграл от (37) в пределах от - tp до + tp

Для отыскания этого интеграла сделаем замену переменных

х + у = а, х - у = Ь , (28)

которой соответствует обратная замена

•в

в=!

du

п(1 + u ) п

= — arctg(u)| -в = — arctg(tn)

в п

в. (38)

Так определяется вероятность того, что случайная величина (26) попадает в интервал от - tp до

+ tp . В частности отсюда следует, что доверительный интервал, равный 1, соответствует доверительной вероятности 0.5. Это значит, что с такой вероятностью средние значения экспериментальной величины, распределённой по нормальному закону, не будут отличаться от математического ожидания по модулю больше, чем на величину, найденную из эксперимента по формуле (5) при п = 2.

Из (38) можно найти величину доверительного интервала

tp = tg (в-).

2'

(39)

В табл. 1 приведены расчётные данные величины доверительного интервала для некоторых доверительных вероятностей.

Таблица 1

Длины доверительных интервалов для величины(26) при различных доверительных вероятностях

в 0.7 0.8 0.9 0.95

te 1.963 3.078 6.314 12.71

3. Расчёт дифференциальной функции распределения для случайной величины (21)

при п=3

Найдём теперь плотность вероятности случайной величины (21), если п = 3 . Для этого снова воспользуемся формулой интегральной функции распределения только уже для трёх случайных величин. Для трёх случайных величин выражение (21) примет вид

u = 3

3

3

.(40)

Упростим это выражение

х2 + y 2

2

2a

в

е

b

a

b

b2 u2b2

22 u b

b

- a

3

u b

b

+

+

x

x„ -

x-

2

3

2

2

и = 3т

- За

2х1 - ■ х2 х3 + 2 х2 х1 х3 + 2 х3 х1 х2 .(41) Перейдём опять к новым переменным х = х1 - а, у = х2 - а, z = х3 - а . (42)

Тогда

и = 3

Х + у + z

2х - у - z| +12у - х - z| +12z - х - у\ ' (43)

Интегральная функция распределения для такой величины будет выглядеть следующим образом

Р (и) =

1

(2п)3/2а3

ш

dxdydz (44)

f ( х, у, z ,)<и

х + у + z = а 2 х - у - z = Ь 2 у - х - z = с

(45)

Обратная замена

а + Ь

х = -

у = -

3

а + с

z = -

3

а - Ь - с 3

(46)

Р (и) =

1

9(2п)3/2ст3

Ш

е 1 3 3 3 ёаёЬёс

.(47)

f (а,Ь,с,)<и

Выражение (43) преобразуется в выражение

и = 3т

Ь + с + Ь + с\'

(48)

Р (и ) =

1

Ь +с +Ьс а ^2

9(2П)3/2^3 f(а,Ь,с,)<и

Преобразуем этот интеграл путём повторного интегрирования

Ь2+с2 +Ьс {а(Ь,с,и) а2

\\\е~ 9ет2 е 6ет2 с1ас1Ьс1с.

(49)

Р (и) =

1

9(2п)3/2ст3

Л <

| е 6^2 ёа

ёЬёс

(50)

деления

р(и) = Р'(м) =

г)3/2^3 Л'

Ь +с +Ьс а

да

3/2 3 и е 9ст2 е ёЬёс /г„ч 9(2п) ст М ди . (51)

Выразим параметр а из (48)

(IЬ| + |с| + |Ь + с| )и

а =

3

(52)

и подставим в (51)

р(и) = Р '(и) =

Ь2 +с2 +Ьс

\\ е 9ет2 е~~

1

9(2п)3/2ст3

Ь + с + Ь + с .(53)

——и—1-ёЬёс

3

где в виде функции f ( х, у, z) обозначена правая часть выражения (43). Для отыскания этого интеграла вновь сделаем замену переменных

Вычислив этот интеграл, найдём

946

р(и) =

п(9 + 8и 2)Ъ + 2и2 '

(54)

Найдём снова интеграл от этого выражения в пределах от - до + .

•р

в-в

946ёг

и

п(9 + 8и 2)л/3 + 2и2

= — аг^ п

(

43

Sin

2

Л"

3 гр v ^ 3 у

(55)

Якобиан этой системы функций также отличен от нуля и равен 1/9. Так что (44) можно записать так

Если 1р= 1, то в = 0.669 . Это значит, что с такой вероятностью средние значения экспериментальной величины, распределённой по нормальному закону, не будут отличаться от математического ожидания по модулю больше, чем на величину, найденную

из эксперимента по формуле (5) при п = 3.

Выразим отсюда длину доверительного интервала

Зtg

Рп

В выражении (47) за функцию f (а, Ь, с) теперь мы приняли правую часть выражения (48).

В выражении (47) преобразуем показатель экспоненты

tР=■

2 - 6tg

2 Рп

(56)

6

Снова составим табл. 2 значения некоторых доверительных интервалов.

Таблица 2

Длины доверительных интервалов для величины (43) при различных доверительных вероятностях

р 0.7 0.8 0.9 0.95

tР 1.090 1.484 2.298 3.388

и найдём дифференциальную функцию распре-

х2 + у2 + г 2

2 _. 2

2

Р

1

и

6

4. Экспериментальная проверка

Для проверки выводов, сделанных в предыдущих пунктах, смоделируем случайную величину, распределённую по нормальному закону с заданными математическим ожиданием и среднеквадратичным отклонением [7]. При этом, чтобы найти математическое ожидание среднеабсолютного отклонения, усредним его по достаточно большому количеству выборок. В эксперименте количество таких выборок было равно 125000. Проверим сначала смещённость оценки сред-неабсолютным отклонением и возможность её исправления. Результаты эксперимента сведены в табл. 3.

Как видно из таблицы, для двух измерений отношение среднеквадратичного отклонения к среднеаб-солютному равно 1.772 при точном значении этого

отношения „УП = 1.7724 . По мере увеличения числа измерений среднеабсолютное отклонение несколько возрастает и отношение к нему среднеквадратичного уменьшается, стремясь к точному л/пЛ2 = 1.253. Таким образом, среднеабсолют-

ное отклонение, рассчитанное по формуле (5), действительно смещено и при увеличении количества измерений не стремится к стандартной ошибке.

Рассчитаем теперь среднеабсолютное отклонение по формуле (20). Результаты в табл. 4.

Отношение среднеквадратичного отклонения к I

Как видно из табл.4, величина, рассчитанная по формуле (20), почти точно совпадает со стандартной ошибкой при всех п, что говорит о её состоятельности и несмещённости.

Найдём теперь доверительные интервалы для средних значений измеряемой величины и сравним их со среднеабсолютным отклонением.

Для этого по заданной доверительной вероятности экспериментально будем находить интервал, частота попадания среднего значения величины в котором совпадает с этой вероятностью.

По результатам вычислений составим несколько таблиц.

Как видно из табл. 5,6,7, значение отношения доверительного интервала к среднеабсолютному отклонению не зависит от параметров исходного закона распределения и может служить универсальной оценкой этого отношения.

Приведём таблицы для других доверительных вероятностей (табл.8).

Сравнивая результаты этих таблиц с данными

табл. 1 и 2 для п = 2 и п = 3, можно заметить, что совпадение экспериментальных и теоретических данных весьма неплохое, что говорит о правильности формул (37) и (54).

Таблица 3

днеабсолютному, рассчитанному по формуле (5)

п 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 зга 0.056 0.065 0.069 0.071 0.073 0.074 0.075 0.075 0.076 0.076 0.076 ta 1.772 1.534 1.447 1.401 1.372 1.353 1.339 1.328 1.320 1.314 1.308

Таблица 4

Отношение среднеквадратичного отклонения к средне абсолютному, рассчитанному по формуле (20)

п 2 3 А 5 6 7 8 9 1011 12 зга 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 ta 1.000 0.999 1.000 1.000 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999

Таблица 5

Отношение величины доверительного интервала к средне абсолютному отклонению для доверительной вероятности 0.7 и

среднеквадратичного отклонения случайной величины, равного 0.1

п 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 ерэ 1.959 1.089 0.838 0.705 0.620 0.557 0.513 0.478 0.447 0.423 0.403

Таблица 6

Отношение величины доверительного интервала к среднеабсолютному отклонению для доверительной вероятности 0.7 и

среднеквадратичного отклонения случайной величины, равного 1.0

п 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 ерэ 1.959 1.089 0.838 0.705 0.620 0.557 0.513 0.478 0.447 0.423 0.403

Таблица 7

Отношение величины доверительного интервала к среднеабсолютному отклонению для доверительной вероятности 0.7 и

среднеквадратичного отклонения случайной величины, равного 2.0

п 2 3 А 5 6 7 8 9 1011 12 ере 1.959 1.090 0.838 8.705 0.620 0.557 0.513 0.478 8.447 0.423 0.403

Таблица 8

Отношение величины доверительного интервала к средне абсолютному отклонению для доверительной вероятности 0.8, 0.9, 0.95 и среднеквадратичного отклонения случайной величины, равного 0.1

ере 3.076 1.479 1.104 0.908 0.797 0.709 0.650 0.603 0.565 0.532 0.507

п 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 ере 6.343 2.302 1.583 1.288 1.087 0.962 0.873 0.805 0.751 0.704 0.668

п 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 ерэ 12.647 3.378 2.146 1.673 1.395 1.217 1.093 1.000 0.930 0.871 0.822

5. Сравнение оценки погрешности на основе среднеквадратичного и среднеабсолютного отклонений

Выберем из таблицы нормально распределённой случайной величины, полученной в [7], случайным образом три величины. Их значение представлены в табл. 9.

Таблица 9

Результаты тройного испытания нормально распределённой случайной величины

х 10.001 10.036 9.924

По этой таблице найдём среднее арифметическое и его погрешность по методу Стьюдента и новому методу.

Среднее арифметическое равно 9.987.

Найдём теперь отклонения отдельных испытаний от среднего (табл.10).

Таблица 10

Отклонения отдельных испытаний от среднего

I 1 2 3

х-хср 0.0094 0.0049 -0.0063

Найдём теперь по этой таблице среднеквадратичное отклонение и среднеабсолютное.

Среднеквадратичное равно 0.00504, среднеабсо-лютное равно 0.00686. Найдём теперь доверительный интервал для доверительной вероятности 0.7 по методу Стьюдента и новому методу.

Коэффициент Стьюдента для 3-х измерений и доверительной вероятности 0.7 равен 1.386, так что половина длины доверительного интервала равна 0.00699. Для нового метода коэффициент равен 1.089 и половина длины доверительного интервала равна 0.00747. Вполне удовлетворительно совпадающие результаты.

Рассчитаем теперь доверительные интервалы по 6 испытаниям.

Таблица 11

Результаты шестикратного испытания нормально распределённой случайной величины

Среднее значение испытуемой величины равно 9.986.

Снова найдём отклонения отдельных испытаний от среднего.

Таблица 12

Отклонения отдельных испытаний от среднего для таблицы 8

i 1 2 3 4 5 6

Х-Хср 0.0153 0.0503 -0.0617 -0.0327 0.00533 0.0233

Снова найдём среднеквадратичное и среднеаб-солютное отклонения.

Среднеквадратичное равно 0.0165, среднеабсо-лютное равно 0.0314. Коэффициенты соответственно равны: Стьюдента 1.156 и новый 0.62. Полудлины доверительных интервалов соответственно равны

0.0191.и 0.0195. Совпадение снова удовлетворительное. Однако необходимо заметить, что для большего числа измерений оценки, полученные методом Стьюдента и новым методом, отличаются меньше.

Заключение

Предложенный новый метод оценки погрешности измерений даёт практически те же результаты, что и метод, основанный на распределении Стьюдента, но при этом новый метод намного менее трудоёмкий и использует меньше действий для достижения результата, поэтому выглядит более предпочтительным.

Список литературы

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - Наука, 1969. - 576 с.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интеграль-

ного исчисления.- М.: Наука, 1969.- Т.3. - 655 с.

3. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального

исчисления.- М.: Наука.- 1970. - Т.2. - 671 с.

4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по матема-

тике. - М.: Наука, 1967. - 607 с.

5. Кордемский Б.А. Математика изучает случайности. - М.:

Просвещение, 1975.- 222 с.

6. Иванова В.М. Случайные числа и их применение.- М.:

Финансы и статистика, 1984.- 108 с.

7. Грабов В.М., Парахин А.С. Численное моделирование

законов распределения случайных величин.

-1 1 2 3 А 5 6 х 10.001 10.036 9.921 9.953 9.991 10.009