CC BY
41
УДК 621.315.592
А.В. ЛУГОВОЙ, А.С. ПРИТЧИН
УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛЕГИРУЮЩЕЙ ПРИМЕСИ В ПРОЦЕССЕ ВЫРАЩИВАНИЯ СЛИТКОВ КРЕМНИЯ.
Анализируется внедрение легирующей примеси в слиток при изменяющейся со временем скорости роста слитка. Усовершенствуется модель легирования слитка кремния. Предлагается уточненное аналитическое выражение для расчета легирующего профиля, которое может использоваться по диапазону типичных параметров роста слитка диаметром 150 - 300 мм.
1. Введение
Легирование является основным технологическим процессом получения полупроводников заданного типа проводимости, заданного удельного сопротивления и заданной концентрации носителей заряда. Его осуществляют в процессе либо выращивания полупроводников из расплава, либо изготовления структур из газовой фазы. Если распределение лигатуры в случае легирования из газовой фазы определяется сравнительно просто, то при легировании из расплава на процесс влияет множество факторов, которые сложно поддаются учету.
В результате этого распределение лигатуры по длине слитка имеет определённую неравномерность. Это приводит к необходимости выполнения операции отторцовывания, суть которой заключается в обрезке слитка с обеих сторон таким образом, чтобы на всей оставшейся длине параметры, определяемые легированием (например, удельное сопротивление), находились в границах заданных значений.
Наибольее влияет на распределение легирующей примеси (лигатуры) температура расплава и параметры выращивания, например, частота вращения тигля и скорость выращивания. Под влиянием системы регулирования диаметра слитка скорость выращивания изменяется со временем. Эти колебания вызывают неоднородное распределение лигатуры в слитке.
Влияние скорости выращивания на распределение примеси в слитке было в работе [1] (так называемая модель БПС). Недостатком данной модели является то, что учитывает только устойчивое состояние, и ее применение возможно только при постоянной скорости роста. Распространение лигатуры в пределах расплава зависит от его гидродинамического течения (потока расплава). Этот поток происходит из-за совместного воздействия вращения слитка и его роста. В модели БПС осевой компонент потока жидкости аппроксимируется по выражению, которое описывает поток на границе слиток/расплав. В результате авторы работы [1] получили аналитическую формулу для расчета эффективного коэффициента распределения лигатуры.
Однако когда скорость роста слитка в процессе выращивания изменяется, необходимо рассматривать всю систему уравнений Навье-Стокса с временной зависимостью для потока в расплаве.
Чтобы определить распределение лигатуры в процессе выращивания слитка с учетом возмущающих факторов, вызванных вращиением слитка и тигля, необходимо усовершенствовать модель БПС. В результате можно получить математический аппарат для более точного определения оптимальных параметров технологического процесса выращивания, приводящих к равномерному распределению лигатуры по длине и диаметру слитка и, как следствие, уменьшению потерь при операции отторцовки.
Целью работы является усовершенствование модели распределения лигатуры по длине слитка кремния, которая в отличие от существующих должна учитывать влияние колебания скорости выращивания и повышать точность расчета профиля распределения лигатуры.
24
2. Материал и результаты исследований
В модели БПС граница слиток/расплав рассматривается как плоский бесконечный диск, вращающийся на полубесконечном расплаве. Для представления нижней части тигля вводится стационарный диск, параллельный вращающемуся диску. Тогда расплав будет ограничен по глубине, но бесконечен по ширине. В работах [2,3] был выполенен численный расчет относительно потока с временной зависимостью в конечном тигле.
Рассмотрим уравнения Навье-Стокса, уравнение непрерывности и уравнение диффузии:
du 1 2
— + u -Vu = —Vp + vV u
dt p
V-u = 0,
— + u-VC = DV 2C, dt
где u - скорость потока в расплаве; p / p - отношение давления к плотности; v - кинематическая вязкость; C - концентрация примеси; и D - коэффициент диффузии примеси; V -оператор набла.
Так как слиток выращивается из расплава, поток течёт через границу слиток/расплав. Это означает, что границу нужно моделировать как пористый диск. Рост слитка может быть представлен универсальным всасыванием, применимым к пористому диску. Поток течёт в расплаве между стационарным и вращающимся диском, через который происходит всасывание. На границе тангенциальное движение жидкости такое же как в диске. Если слиток вытягивают из расплава с определенной скоростью роста, то позиция границы не меняется. Осевой поток через границу будет иметь такое-же значение, как скорость роста слитка f. В нижней части тигля все компоненты скорости потока исчезают.
Во время роста компоненты перераспределяются между жидкой и твердой фазой из-за эффекта сегрегации. Лигатура отталкивается от расплавленной стороны границы расплав/ слиток. Она рассеивается назад в расплав, устанавливая градиент концентрации примеси. Предположим, что концентрация в твердой фазе CS пропорциональна концентрации в расплаве на границе расплав/слиток. Введем константу пропорциональности в качестве равновесного коэффициента распределения k0 . Концентрация на границе расплав/слиток определяется выражением:
(1 - k0)Cf + DCz = 0, z = 0 , (4)
где Cz обозначает производную C относительно оси z для цилиндрической системы координат с Cz =0 на границе. В нижней части тигля концентрация CL является постоянной. Тогда эффективный коэффициент распределения, который представляет отношение концентрации лигатуры в твердой фазе и в жидкости, на растоянии от границы можно записать в виде:
ke = Cs/Cl . (5)
Предположим, что первоначально жидкость и диски находятся в покое и что концентрация примеси однородна и равна CL по всему расплаву. С началом вращения диска его угловая скорость увеличивается до значения ю и затем остается постоянной. В этом случае рост слитка можно рассматривать как всасывание, происходящее через пористый вращающийся диск.
С учетом того, что скорость потока в расплаве u и концентрация примеси C берутся осесимметричными, можно сделать предположение [4] о том, что осевая скорость w радиально независима, является функцией z и t. Следовательно, радиальные и азимутальные скорости u и и могут быть записаны как радиус г, умноженный на функции z и t. Таким образом, можно сделать вывод, что концентрация лигатуры в расплаве также является радиально независимой. В этом случае вся система частичных дифференциальных уравнений, граничных и начальных условий может быть уменьшена до системы, включающей
(1)
(2)
(3)
25
только независимые переменные z и t, что позволяет выполнить численное решение системы нелинейных уравнений второго порядка.
Записав уравнение сохранения энергии в безразмерной форме, можно видеть, что в него вошли два безразмерных значения: число Рейнольдса (которое является критерием
2
подобия течения вязкой жидкости) R = rod / v и число Шмидта (которое является критерием подобия для течений жидкости, где наблюдаются одновременно как переносы вещества (лигатура), так и вязкие эффекты) Sc = v / D . Здесь ro - угловая скорость слитка, d -расстояние между границей и нижней частью тигля, v - кинематическая вязкость расплава, D - коэффициент диффузии лигатуры. В качестве граничных условий возмем безразмерный равновесный коэффициент распределения k0 и безразмерный параметр всасывания а, который связан со скоростью роста слитка f выражением:
a = fro-1/2v-1/2. (6)
В этом случае предлагаемая авторами усовершенствованная модель будет отличаться от аналогичных, например от модели, предлагаемой в работе [1], тем, что:
- модель остается зависимой от времени;
- модель более качественно описывает распределения лигатуры вследствие учета влияния нижней части тигля;
- устраняется много приближений динамики жидкости.
Основой усовершенствованной модели является моделирование потока расплава с лигатурой как потока, который возникает из-за вращающегося диска (зона кристаллизации) и через который происходит всасывание. Ранее предлагаемые модели [2,3] использовали суммирование потоков, что не совсем корректно. Кроме того, вместо представления осевой скорости алгебраическим приближением, что может быть допустимо только около границы тигля, решаются уравнения Навье-Стокса в цифровой форме, это позволяет получить решение по всей области.
Если рассматривать поток, на который влияет диск, вращающийся на полубесконечном носителе, то этот поток заставляет жидкость оттягиваться к диску (граница слиток/ расплав) от тела жидкой фазы и затем выбрасывается наружу центробежной силой. В основном изменение состаяния расплава происходит в пределах тонкого пограничного слоя зоны кристаллизации в районе вращающегося слитка. Объем расплава не вращается, а медленно перемещается к кристаллу.
Ситуация более усложняется при введении второго диска для представления нижней части тигля. Тонкие пограничные слои существуют около обоих дисков. Около слитка и в этом случае присутствует центробежный отток. Около нижней части тигля формируется сложный поток, который относится к входящему скручиванию. Остаток от потока, в базовой области, очень близок к остатку в твердом теле. Он вращается и перемещается к вращающемуся слитку, таким образом обеспечивая перемещение расплава к слитку.
Скорость вращения roc увеличивается с увеличением параметра всасывания а (или скорости роста слитка f), когда a = 0, roc (0) = 0.313 ro , где ro - угловая скорость слитка.
В том случае, если число Рейнольдса достаточно велико, что типично для расплава кремния, толщина гидродинамического пограничного слоя становится пропорционалной
R-1/ 2 . Таким образом, для данной вязкости v и расстояния d, пограничные гидродинамические слои пропорциональны ro-12 . С увеличением параметра всасывания толщина слоев изменяется.
Определяющие уравнения для концентрации лигатуры C в расплаве кремния включают четыре безразмерных коэффициента:
- равновесный коэффициент распределения k0 ;
- число Рейнольдса R;
- число Шмидта Sc;
- параметр всасывания а.
26
Рассмотрим влияние этих коэффициентов на эффективный коэффициент распределения k c . Представим нормализованное расстояние z = z / d от границы слиток/расплав и пусть
C(z) будет концентрацией лигатуры в расплаве при постоянной скорости выращивания слитка. Нормализованная функция концентрации может быть записана в виде:
D(z) = (ОД - Cl )/(C(0) - Cl ), (7)
откуда с учетом (4) и (5) можно записать:
ke = k0 /(k0 + (1-k0)e Л), (8)
где
A = -ln[1 + aScR1/2/Dz(0)] . (9)
Можно видеть, что функция D(z) зависит от R, Sc и a, но не от k0 . Таким образом,
анализируя выражение (8), можно определить аналитическую зависимость ke от k0 . Как было записано выше, толщина гидродинамических пограничных слоев пропорциональна
R-1/2 в том случае, если R является большим. Таким образом, можно утверждать, что ke не зависит от R.
В работе [1] показано, что ke зависит от величины B 1/ 3, которая в свою очередь
-1/2 -1/3
пропорциональна fro . В то же время B 3 эквивалентно aSc
2/3
, что является числовой
константой, которая намного больше, чем единица [2,5].
Для оценки адекватоности усовершенствованной модели был выполнен расчет значения
A и выполнено сравнение с результатами, приведенными в [2]. Полученные результаты представлены на рис. 1.
A
Рис. 1.
Можно видеть, что кривые, отображающие зависимость при Sc = 40 и 60, имеют незначительные различия. Типичные значения для числа Шмидта известны не очень
хорошо, но могут быть несколько ниже, чем A . Также A вычислена как функция aSc
для Sc = 20. В этом случае кривая для A находится немного выше другой; несоответствие
27
2 / з
увеличивается для более высоких значений aSc . При Sc = 10 отклонение увеличивается с уменьшением Sc.
В результате апроксимации данных получено следующее аналитическое выражение:
-_ 1.86aSc2/3 1 + 0.13aSc2/3
aSc
2/3
_ fa-1/2D-2/3v1/6
(10)
Данное выражение приближает расчетные значения для А в пределах 0.8 % при Sc = 20
и 0 < a, aSc < 1.0. Приближение может также использоваться для других типичных значений Sc с небольшой потерей точности.
Как известно, концентрация примеси распределяется практически равномерно, за исключением очень близкой зоны к границе слиток/расплав. Получающийся на границе слой хорошо располагается в пределах гидродинамического пограничного слоя из-за потока в расплаве.
С точки зрения вычисленной функции D(z), концентрацию можно определить как:
C(z)/CL _ 1 + D(z)[(C(0)/Cl)-1] _ 1 + D(z){1/[k0 + (1 -k0)e А]-1}. (11)
Как было показано выше, вблизи границы D(z) пропорционально R-1/2 в том случае, если R имеет большие значения. Следовательно, можно утверждать, что локальный профиль концентрации примеси независим от d. Обозначим безразмерное расстояние до
границы - z _ z(v / ю)1/2 . Расчётные значения профиля концентрации C(Z) /CL, показаны на рис. 2 для граничных условий k0 = 0 с Sc = 40 и aSc = 0.1, 0.3, 0.5, и 1.0. Концентрация
2/3
C(0) на границе существенно увеличивается с ростом aSc . Однако при типичных
2/3
скоростях роста слитка, равных 1 мм/мин для слитков диаметром 100 - 150 мм, aSc обычно довольно мало.
C(z)/Cl
Рис. 2.
3. Выводы
1. Усовершенствована математическая модель распределения легирующей примеси в процессе выращивания слитков кремния, которая в отличие от существующих позволяет учитывать влияние на процесс легирования скорости выращивания слитка, что дает возможность уменьшить погрешность аналитических расчетов концентрационного профиля.
28
2. Показано, что когда число Шмидта Sc - и /D достаточно велико (Sc > 40), количество лигатуры, переходящей в слиток (д), зависит от Sc и параметра всасывания а =
__1/2 1/2 2/3
fro v только в комбинации aSc .
3. Получена приблизительная формула для расчета легирующего профиля, которая может использоваться по диапазону типичных параметров роста слитка диаметром 150 -300 мм.
Список литературы: 1. Burton J.A. The Distribution of Solute in Crystals Grown from the Melt / J.A. Burton, R.C. Prim, W.P. Slichter // J. Chem. Phys. 1985. .№21. P. 1987-1991.2. Langlois W.E. Digital Simulation of Flow Patterns in the Czochralski Crystal-Pulling Process/ W.E. Langlois, С .C. Shir. // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 1977. №12. P. 145-152. 3. Langlois W.E. Digital Simulation of Czochralski Bulk Flow in a Parameter Range Appropriate for Liquid Semiconductors / W.E. Langlois // J. Crystal Growth. 1977. .№42. P. 386-399. 4. Von Karman T. Tber laminare und turbulente Reibung / T. von Karman, Z. Angew // Math. Mach. - 1951. - №1. - P. 233-252. 5. LevichB. Physicochemical Hydrodynamics. Prentice-Hall, 1962. 700 p.
Поступила в редколлегию 12.09.2014
Луговой Анатолий Васильевич, канд. техн. наук, профессор кафедры компьютерных и информационных систем КрНУ им. М. Остроградского. Научные интересы: информационные технологии управления. Адрес: Украина, 39600, Кременчуг, ул. Первомайская, 20, тел.: (05366) 30157. Email: alpritchin@ukr.net.
Притчин Алексей Сергеевич, аспирант кафедры компьютерних и информационных систем КрНУ им. М. Остроградського. Научные интересы: информационные технологии управления. Адрес: Украина, 39600, Кременчуг, ул. Первомайская, 20, тел.: (05366) 30157. Email: alpritchin@ukr.net.
29
