Расчёт энергетического спектра сложных низкоразмерных гетероструктур в присутствии электрического поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАСЧЁТ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА СЛОЖНЫХ НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ГЕТЕРОСТРУКТУР

В ПРИСУТСТВИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

12 1 12 12 Хонина С.Н. ’, Болотовский С.Г. , Харитонов С.И. ’, Казанский Н.Л. ’

'Институт систем обработки изображений РАН,

2Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва

(национальный исследовательский университет)

Аннотация

Разработан и программно реализован алгоритм решения стационарного уравнения Шрё-дингера для сложного кусочно-постоянного потенциала при наличии электрического поля. Алгоритм основан на последовательной сшивке решений в виде функций Эйри на границах зон без повышения ранга матрицы более двух, что позволяет получить характеристическое уравнение в удобной для поиска корней форме.

Разработанный алгоритм позволяет получать корректные решения при значениях приложенного электрического поля, превышающих величину основного энергетического уровня, т.е. в условиях, когда не применим метод возмущений.

Ключевые слова: низкоразмерные гетероструктуры, уравнение Шрёдингера, энергетический спектр, функции Эйри.

Введение

Исследования в области разработай высокопроизводительных вычислительных систем, средств связи и обработай информации привели к появлению нового подхода в создании элементной базы электроники [1-6]. В рамках этого подхода носителем информации выступает амплитуда электронной волновой функции в данной области квантовой системы. Прикладывая внешнее электрическое поле, меняющее энергетический спектр, можно вызывать контролируемую передислокацию электронной плотности в системе, соответствующую преобразованию информации по заданному закону.

В качестве физической основы для реализации приборов с управляемой передислокацией электронной плотности могут быть использованы структуры, образованные набором туннельно-связанных квантовых ям.

В многоямной квантовой структуре распределение амплитуды волновой функции определяется, по сути, интерференцией квантовых состояний различных квантовых ям, поэтому перераспределение электронной плотности под действием внешнего электрического поля может носить сложный, немонотонный характер. При этом соответствующий немонотонный характер будет носить и изменение физических характеристик системы, что открывает широкие возможности для разработки различных квантовых приборов.

Для создания электронных приборов необходимо научиться целенаправленно управлять энергетическим спектром носителей заряда с помощью различных внешних воздействий. Наиболее часто для управления используют электрические поля. Расчёт энергетического спектра такой системы можно выполнять с использованием стационарного уравнения Шрёдингера с заданной структурой потенциала и приложенным постоянным электрическим полем.

В случае кусочно-постоянной формы потенциала такая задача может быть решена на основе пред-

ставления волновых функций в виде суперпозиции функций Эйри. Для простых типов гетероструктур, описываемых одним или двумя уровнями потенциала, можно получить аналитическое решение [1,2], однако для сложной формы потенциала задача становится очень трудоёмкой [2]. Как правило, эта проблема решается с помощью метода возмущений [7], но он применим лишь для небольших значений приложенного электрического ПОЛЯ.

Таким образом, актуальной является задача разработки и реализации численного метода расчёта энергетического спектра для сложного профиля потенциала при наличии электрического поля.

В данной работе описывается алгоритм решения соответствующего стационарного уравнения Шрёдингера. Алгоритм основан на последовательной сшивке решений на границах зон без повышения ранга матрицы более двух, что позволяет легко реализовать процедуру поиска корней характеристического уравнения.

Проведено сравнение разработанного алгоритма с методом возмущений.

1. Алгоритм решения уравнения Шрёдингера

на основе метода последовательной сшивки

Рассмотрим одномерную гетероструктуру, соответствующую системе однородных слоёв полупроводников (границы слоёв перпендикулярны оси Ох) в присутствии электрического поля. Если поле напряжённости Т*1 направлено параллельно оси х, то потенциальная энергия будет иметь вид:

и(х) = ЧРк + 1/р, (1)

где д - абсолютная величина заряда электрона, и -значение кусочно-постоянного потенциала на отрезке хе [хр_„хр], хр - координаты границ слоёв.

В этом случае уравнение Шрёдингера имеет вид:

~2т + №Х + ир)¥(х) = ,

(2)

где тр — эффективная масса, \|/(х) - волновая функция частицы.

Обозначим

00

00

и=ЬрЪ[х-ср)-.

(3)

Е~и

ГДЄС'=^“

к=

^тРдР

Тогда волновая функция от аргумента и будет удовлетворять уравнению Эйри:

(4)

Решение (4) имеет следующий вид на каждом интервале [8]:

V,(МД*)) = АрА1{ир(х)) + ВрВ1{ир{х)), (5)

где ир(х) = Ьруз(х-ср), хе [хр_„хр]; Лг(х), 5/(х)

— функции Эйри первого и второго рода соответственно.

Накладывая условия сшивки для волновых функций и их производных, делённых на массу, на границах между различными интервалами (границами слоёв), получим следующие уравнения для коэффициентов в решении (5):

ААйип „) + ВШ(и„ „) =

р V Р'Р I р \ Р'Р I

= Ар+Л(ир+1р)+вр+]т(ир+]р),

(6)

^-[АрАі'(ирр) + врвґ(ирір)] = пр

= -^-[АР^Аі'{иР+іР) + вр*ві'{ир*,р)] >

где ир1=ьруз{х,-ср).

Отметим, что разрешённые значения энергии Е входят в (6) неявно через аргументы функций Эйри в (5). Далее рассмотрим получение характеристического уравнения (уравнение для Е) на простом примере бесконечной квантовой ямы и в случае потенциала общего вида в квантовой яме.

2. Треугольная бесконечная потенциальная яма

Модель треугольной бесконечной ямы используется, например, при описании поверхностного квантования [1,2]. Потенциал треугольной бесконечной ямы описывается выражением (рис. 1):

[°°, хе[-°°,х0],

\Ро + дРх, хе [х0,°°].

Граничные условия соответствуют равенству нулю волновой функции (5) на левой границе ямы (при х = х0 и при х —> °°). Из этого следует, что 50=0, и тогда

¥о(мЮ) = Ла'(м(хо)) = °> (8)

Щх) =

(7)

где и(х0) =

Е~и0

2т0дР

у Ь2 у

1/3

Рис. 1. Энергетический спектр в треугольной бесконечной потенциальной яме

Нормировка константы А0 в (8) производится из условия равенства единице интеграла от квадрата модуля волновой функции.

Условие (8) выполняется при и(х0) = ап, где ап -корни функции Эйри. Таким образом, разрешённые значения энергии имеют вид:

Е_ =

' 2т{$Р' -1/3"

ХЪ~ап- 1 Х )

чР+и0.

(9)

Полагая х0 = 0 и используя аппроксимацию для корней функции Эйри [8]

(10)

получим приближённую оценку для энергетического спектра треугольной бесконечной ямы в явном виде (учтён также знак заряда электрона):

( п71 1/3

1 1

—^л(и-0,25)

+и0.

(П)

Далее проведём сравнение энергетического спектра в прямоугольной яме конечной ширины в отсутствие и при наличии электрического ПОЛЯ.

3. Бесконечная прямоугольная потенциальная яма

Для ямы шириной 2Ь потенциал описывается выражением (рис. 2):

°°, хе [-°°,-£],

£/(х) = <и0 + хе [-Ь,Ц, (12)

°°, хе [£,°°].

Рис. 2. Прямоугольная бесконечная потенциальная яма в отсутствие (а) и при наличии (б) электрического поля

Для классической прямоугольной бесконечной квантовой ямы шириной 2Ь известно решение:

\|/„(х) = 8т(а„(х + £)), (13)

2т.

где ап=і -гг(Е„-ио) >

Е. =

2тп

-+ип.

(14)

При небольших значениях приложенного электрического поля можно получить приближённое решение методом возмущений [7].

3.1. Решение уравнения Шуёдингеуа методом возмущений

Рассмотрим теорию возмущений для невырожденных состояний. Запишем стационарное уравнение Шрёдингера (2) в виде:

Н[ф„(х)] = £>„(х), (15)

где оператор Н имеет вид:

Н = Н0+\¥, (16)

— оператор возмущения, а Н0 — невозмущённый

оператор, собственные функции и собственные значения которого определяются уравнениями (13), (14):

Н0[¥„(х)] = £>„(х). (17)

Разложим искомую собственную функцию возмущённого оператора по собственным функциям невозмущённого оператора:

ф„«(18)

Подставляя (18) в (15), получим: 1<^[¥и(х)] =

(19)

= Тс:{Еп-Е°а)уа(х).

т

Умножаем скалярно уравнение (19) на \|/;(х) и, с учётом ортогональности, получим:

X сп ІV/ (*) =

го

= с‘п(Еп-Е?),/ = 1,2,3,....

(20)

Воспользуемся предположением о малости оператора возмущения, тогда энергетические уровни и волновые функции возмущённого оператора будут близки к невозмущённым. Будем искать решение в виде поправок до второго порядка малости:

\еп~еі+еі+еі,

і ф„« - 'і'.и+ІО.м+ЕСГ’2^М- (21)

т*п т*п

Из уравнений (20), (21) можно получить следующие выражения для поправок [7]:

^=]Ул(*^[\|/„ (*)](!*,

т*п

тД | мС (х) ^ [\|/„ (х)] (1х

с" " К-^:) ’

С2 = {^К М(*)]<!*- С^|х хК-^Г-

3.2. Метод возмущений для прямоугольной бесконечной потенииалъной ямы с приложенным электрическим полем В рассматриваемом случае:

Н°=-Т-ТТ+с/о> * =

2т0 ах

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

В качестве невозмущённых решений используем (13) и (14). Тогда значения энергии для уравнения (2) вычисляются из выражения:

42 \2

- + ил + Е1 + Е\

Е~ I™

2Ь ) 2т,,

где Е\ = ^| вт2(ап(х + Ь))хйх = цРЬ .

(27)

(28)

е1 =

= { зіп(ал(х+ і))зіп(ат(х+ і))хсіх- (29)

-сп/Е]}

При этом волновые функции определяются следующим образом:

ф„(х) = 8ІП (х + Х)^^(£„-С/0)

+ЕС'V. (*)+ЪС'V* (*) >

т*п т*п

где

(30)

С."д =

А,

^ |8Іп(ат(х+Х))8Іп(ал(х + Х))х(Ьс (31)

[К-К) ’

Ст’2 =

ь

ЧрИ,сп 18Іп(ат(х+і))зіп(а;(х+і))хсіх-с;’'^

[К-К)

(32)

В первом порядке приближения все разрешённые уровни энергии в бесконечной яме смещаются на одинаковую величину дРЬ , а во втором порядке приближения зазор между дном квантовой ямы и основным состоянием будет уменьшаться пропорционально квадрату напряжённости электрического поля (смотри, например [1,2]).

Метод возмущений можно применять, пока максимальное значение изменения потенциала на краю ямы под действием электрического поля не станет соизмеримым с величиной энергии состояния [1,2]. Если значения приложенного электрического ПОЛЯ становятся большими, то нужно использовать алгоритм прямой сшивки, описанный в разделе 1.

3.3. Метод сшивки для прямоугольной бесконечной потенииальной ямы с приложенным электрическим полем

Граничные условия определяются из равенства нулю волновой функции (5) на границах ямы:

¥о (м-£) = АоАі [и-ь) + ВоЩи-г.) = °>

¥о К) = ААі{иь) + воЩиь) = °>

(33)

где

( 1 Е-и 0

к ЧР )

Г Е-иЛ г,

др ) \

г2 тадР^3

у

*

Таким образом, получаем однородное уравнение

Ж(и_ь) Ві[и_ь) Аі[иь) Ві(иь)

Ч

Л

= 0,

V V ь/ V Ь/у

которое имеет нетривиальное решение, если детерминант равен нулю:

М(и_ь) Яг (и,) - Аг(и,) Яг(и_,) = 0 . (34)

Это уравнение определяет собственные значения Еп.

Коэффициент В0 выражается через А0 с использованием одного из двух уравнений в (33):

А1{и_ь) л А1{иь)

К Г

а значение коэффициента Ад определяется из условия нормировки волновых функций.

Сравним решения, полученные двумя различными методами.

3.4. Сравнение результатов расчёта двумя методами

В расчётах использовались следующие параметры: т0 = 0,\те, те = 9,10938188х10~31кг - масса электрона, Й = 1,054571726(47)х10~34 Дж с - постоянная Планка, потенциал С/ и энергия Е используются в электрон-вольтах (1эВ = 1,602176487(40)х10"19 Дж ), электрическое поле задавалось в приведённых величинах. В данном случае £/0 = 0, ширина ямы 2Ь = 2 нм .

В табл. 1 приведены значения трёх первых разрешённых состояний энергии для прямоугольной бесконечной ямы в отсутствие электрического поля, а также при слабом и «сильном» (т.е. когда напряжённость поля превышает значение основного энергетического уровня) электрическом поле.

Как видно из табл. 1, в присутствии сильного электрического поля метод возмущений приводит к некорректным результатам. Результаты, полученные методом сшивки, показывают уширение запрещённых зон между энергетическими уровнями с ростом значения приложенного поля, причём наличие сильного электрического поля приводит к уменьшению зазора между дном квантовой ямы и основным энергетическим состоянием.

На рис. 3 показаны первые три волновые функции, полученные в отсутствие электрического поля, а также при слабом и сильном электрическом поле, рассчитанные методом сшивки. Согласно рис. 3, вероятность нахождения электрона в яме с ростом электрического поля перестаёт быть симметричной и смещается к одной из границ ямы.

4. Бесконечная прямоугольная яма с кусочно-линейным потенциалом общего вида

В общем случае потенциал в бесконечной потенциальной яме в присутствии электрического поля описывается выражением:

°°, хе [-оо,-Х],

1/0 + дРх, хе[-£,х0],

Щх) =

ир+дРх,хє[хр_1,хр], иы + дРх, хє

°°, ХЄ [£,°°].

(35)

Таблица 1. Энергетический спектр (первые 3 значения) для прямоугольной ямы

Отсутствие поля Поле дР = 0,1 Поле дР = 2

Метод возмущений Метод сшивки Метод возмущений Метод сшивки

Е, 0,938357 1,037995 0,939758 2,755581 0,761992

е2 3,753428 3,853667 3,761011 5,810891 3,809982

Е3 8,445214 8,545637 8,462048 10,576528 8,494495

/ 4

о

\ . ч \ ч \ V \\ \ч \Чу // / / /1 / / ( 11 / \

О 0,5 х, нм б)-1,0 -0,5 0 0,5 х, нм в)-1,0

Рис. 3. Волновые функции для бесконечной ямы (в отсутствие поля - пунктирная линия, при ^ = 0,1 - точечная линия, при ^ = 2 - сплошная линия) для п = 1 (а), п=2 (б) и п = 3 (в)

0,5 х,нм

В крайних зонах должны выполняться условия равенства нулю волновой функции (5) на границах ямы:

А0Аі(и_,) + В0Ві(и_І) = 0,

А„Аі(иг) + „²(иг) = 0, а во внутренних зонах — условия сшивки (6): Аі(иР'Р) Ві{ирр)

Аі'{ир>р) Ві'{ир.р)

(36)

т„

т„

ҐАЛ

Аі{ир*ір) Ві{ир*ір) Аі'{ир+Кр) ВІ'{ир+Кр)

'VI тр+1

где аргументы ир1, и_,, и, определены в (3).

Коэффициенты в последней зоне (последнем слое) можно выразить через А0 и В0 в виде:

р+і

УВр*Ч

ґ А Л Лм

\Вк;

кво;

(37)

0р =

где

Аі{ир^р) ВІіиР+КР)

Аі'{VI,,) Ві'{VI,,)

т

>+1

т

■Р+1

(38)

МиР,Р) МиР,Р)

АЛир,р) ш'{ир,р)

т„ т„

р р

Таким образом, для коэффициентов А0, В0, Аы, Вы имеем 4 уравнения (36), (37). Данные уравнения образуют однородную систему линейных уравнений. Условие равенства нулю определителя этой системы даёт характеристическое уравнение для определения собственных значений Е.

Алгоритм (36)-(38) последовательной сшивки решений на границах зон с использованием матрицы второго ранга позволяет получить характеристическое уравнение в удобной форме.

Численная реализация алгоритма (36)-(38) обеспечивает простое решение стационарного уравнения Шрёдингера (2) со сложным потенциалом (35). Од-

нако при этом необходимо использовать «экспоненциальную арифметику» (арифметика над числами, представленными в виде а ехр(й), а и Ъ — параметры числа). Без применения этой арифметики программная реализация работает некорректно при малых значениях электрического поля дР<0,5.

На рис. 4 показан потенциал сложной формы в отсутствие и при наличии электрического поля. В табл. 2 приведены соответствующие значения энергетического спектра для такого потенциала, а на рис. 5 — распределения волновых функций.

Результаты расчёта показывают, что форма потенциала и вариации внешнего электрического поля позволяют существенно менять энергетический спектр и распределение вероятности нахождения частицы в определённой области гетероструктуры.

Эе

0

а) -6

-3

нм

Рис. 4. Потенциал сложной формы в отсутствие электрического поля (а), а также при его наличии qF = 0,1 (б)

Таблица 2. Энергетический спектр (первые 9 значений) для сложного рельефа

Отсутствие ПОЛЯ Поле <2^ = 0,1 Поле 4^ = 1 Эв

К -2,741001 -2,000144 -1,577124 -0,900418 -0,355715 0,305344 0,660222 1,210436 1,492179 -2,602847 -1,883931 -1,733931 -0,851777 -0,422565 0,493440 0,833417 1,425745 1,979392 -3,705108 -3,295242 -2,376165 -1,857336 -1,647189 -0,779213 -0,338370 0,357965 0,942955

щ(х)

0,5

а) -6 -3 0 3 х, нм

Ых)

0,5

О

б) -б -3 0 3 х, нм

ЧАх)

0,4

0,2

в) -6 -3 0 3 х, нм

Рис. 5. Волновые функции для сложного рельефа (в отсутствие поля - пунктирная линия, при qF = 0,1 -сплошная линия, при ^ = 1 - точечная линия) для п = 1 (а), п=2 (б) и п = 4 (в)

Заключение

Разработан и программно реализован алгоритм решения стационарного уравнения Шрёдингера для сложного кусочно-постоянного потенциала при наличии электрического поля. Алгоритм основан на последовательной сшивке решений в виде функций Эйри на границах зон без повышения ранга матрицы более двух, что позволяет получить характеристическое уравнение в удобной для поиска корней форме.

Численно показано, что разработанный алгоритм позволяет получать корректные решения при значениях приложенного электрического поля, превышающих величину основного энергетического уровня, т.е. в условиях, когда не применим метод возмущений.

Результаты расчёта со сложным распределением потенциала показывают, что форма потенциала и величина внешнего электрического поля позволяют существенно менять энергетический спектр и вероятность нахождения частицы в той или иной части гетероструктуры.

Благодарности

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 10-07-00109-а, 10-07-00438-а, 11-07-00153-а, гранта Президента РФ поддержки ведущих научных школ НШ-4128.2012.9, а также государственных контрактов 07.514.11.4060, 07.514.11.4055.

Литература

1. Наноэлектроника. Ч. 1: Введение в наноэлектронику; под ред акад. А.А. Орликовского - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. - 720 с.

2. Драгунов, B.IL Основы наноэлектроники: учеб. пособие / В.П. Драгунов, И.Г. Неизвестный, В.А. Гридчин. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. - 332 с.

3. Горбацевич, А.А. Квантовые приборы на основе эффекта передислокации волновых функций в гетероструктурах / А.А. Горбацевич, В.В. Капаев, Ю.В. Копаев, В.Я. Кремлёв // Микроэлектроника. - 1994. - Т. 23, Вып. 5. - С. 17-26.

4. Горбацевич, АА. Управляемая эволюция электронных состояний в наноструктурах / А.А. Г орбацевич, В.В. Капаев, Ю.В. Копаев // ЖЭТФ. - 1995. - Т. 107, Вып. 4.-С. 1320-1349.

5. Лазаренко, О.Л. Энергетический спектр неидеальной квантовой ямы в электрическом поле / О.Л. Лазаренко,

A.Н. Пихтин // Физика и техника полупроводников. — 1998. - Т. 32, № 9. - С. 1108-1113.

6. Ким, Ч.С. Резонансное туннелирование и нелинейный ток в гетеробарьерах со сложным законом дисперсии носителей / Ч.С. Ким, А.М. Сатанин, В.Б. Штенберг // Физика и техника полупроводников. — 2002. — Т. 36, Вып. 5.-С. 569-575.

7. Левич, В.Г. Курс теоретической физики. Том 2. Квантовая механика. Квантовая статистка и физическая кинетика: учеб. пособие / В.Г. Левич, Ю.А. Вдовин,

B.А. Мямлин. - М.: Наука. 1971. - 936 с.

8. Handbook of Mathematical Functions / ed. by. M. Abra-movitz, I.A. Stegun.- National Bureau of Standards, Applied Math. Series, 1965.

9. Casaubon, J.I. Variation Principle for a Linear Potential / J.I. Casaubon, J.P. Cosentino, A.H. Buep // Turk. J. Phys. -2007.-Vol. 31.-P. 117-121.

References

1. Nanoelectronics. Ch. 1: Introduction in nanoelectronics / ed. by A.A. Orlikovsky. - Moscow: Publishing house of MGTU of N.A. Bauman, 2009. - 720 p. - (In Russian).

2. Dragunov, V.P. Nanoelectronics fundamentals: school-book / V.P. Dragunov, I.G. Neizvestnyi, V.A. Gridchin. - Novosibirsk: NGTU Publisher, 2000. - 332 p. - (In Russian).

3. Gorbatsevich, A A Quantum devices on the basis of effect of a re-deployment of wave functions in heterostructures / A.A. Gorbatsevich, V.V. Kapaev, J.V. Kopaev, V.J. Krem-lyov // Microelectronics. - 1994. - V. 23, N 5. - P. 17-26. -(In Russian).

4. Gorbatsevich, A.A. Controlled evolution of electronic conditions in nanostructures / A.A. Gorbatsevich, V.V. Kapaev, J.V Kopaev // JETP. - 1995. - V. 107, N4. -P. 1320-1349. - (In Russian).

5. Lazarenko, O.L. Power spectrum of a nonideal quantum hole in electric field / O.L. Lazarenko, A.N. Pihtin // Physics and techniques of semiconductors. - 1998. - V. 32, N 9. - P. 1108-1113. - (In Russian).

6. Kim, Ch.S. Resonant tunneling and a nonlinear current in heterobarriers with the complex law of carriers dispersion / Ch.S. Kim, A.M. Satanin, V.B. Shtenberg // Physics and techniques of semiconductors. - 2002. - V. 36, N 5. -P. 569-575. - (In Russian).

7. Levich, V.G. Course of the theoretical physics. Vol. 2. The quantum mechanics. The quantum statistics and physical kinetics: school-book / V.G. Levich, Ju.A. Vdovin, V.A. Mjam-lin. - Moscow: "Science" Publisher. - 936 p. - (In Russian).

8. Handbook of Mathematical Functions / ed. by. M. Abra-movitz, I.A. Stegun- National Bureau of Standards, Applied Math. Series, 1965.

9. Casaubon, J.I. Variation Principle for a Linear Potential / J.I. Casaubon, J.P. Cosentino, A.H. Buep // Turk. J. Phys. -2007.-Vol. 31.-P. 117-121.

CALCULATION OF THE POWER SPECTRUM OF COMPLEX LOW-DIMENSIONAL HETEROSTRUCTURES IN THE PRESENCE OF ELECTRIC FIELD

S.N. Khonina!’2, S.G. Volotovsky1, S.I. Kharitonov1’2, N.L. Kazanskiy1’2

1 Image Processing Systems Institute of the RAS,

2Samara State Aerospace University (National Research University)

Abstract

Solution algorithm for stationary Schrodinger equation with complex piecewise constant potential in the presence of electric field is realized. The algorithm is based on consecutive matching solutions in the form of Airy functions in adjacent zones without increase of matrix rank more than two, that allows to receive the characteristic equation in a form convenient for searching roots. The developed algorithm provides correct solution in the case when applied electric field exceeding value of the basic power level, i.e. in conditions when we will not apply the perturbation method.

Key words: low-dimensional heterostructures, Schrodinger equation, power spectrum, Airy junctions.

Сведения об авторах

Сведения об авторе Хонина Светлана Николаевна - см. стр. 26 этого номера.

Болотовский Сергей Геннадьевич, 1959 года рождения, в 1984 году окончил Куйбышевский авиационный институт имени академика С.П. Королёва (КуАИ) по специальности «Прикладная математика», работает ведущим программистом в Учреждении Российской академии наук Институт систем обработки изображений РАН. Область научных интересов: разработка программного обеспечения расчёта и моделирования работы элементов дифракционной оптики.

E-mail: sv(a)smr.ru.

Sergey Gennadjevich Volotovsky (b. 1959) graduated from Kuibyshev Aviation Institute named after academician S.P. Korolyov (KuAI) on a specialty “Applied mathematics”, works as the leading programmer in the Image Processing Systems Institute of the RAS. Research interests: software design, modeling of systems with diffractive optical elements.

Сведения об авторах Харитонов Сергей Иванович и Казанский Николай Львович - см. стр. 13 этого номера.

Поступиш в редакцию 20 февраля 2012 г.