О методике изложения вопроса «Квантование энергии частицы» на лекциях по физике во втузе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.145, 378.147

О МЕТОДИКЕ ИЗЛОЖЕНИЯ ВОПРОСА «КВАНТОВАНИЕ ЭНЕРГИИ ЧАСТИЦЫ» НА ЛЕКЦИЯХ ПО ФИЗИКЕ ВО ВТУЗЕ

И. И. Гончар1, С. Н. Крохин1, М. В. Чушнякова2

1Омский государственный университет путей сообщения, г. Омск, Россия 2Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия

Информация о статье

Дата поступления 03.03.2017

Дата принятия в печать 04.04.2017

Дата онлайн-размещения 15.07.2017

Ключевые слова

Преподавание во втузе, квантовые свойства частицы, уровни энергии

Аннотация. Предложена методика получения формул для уровней энергии квантовой частицы в потенциальных ямах различной формы без решения уравнения Шрё-дингера. Данная методика позволяет избежать решения дифференциальных уравнений и может быть применена при изучении курса квантовой физики в технических вузах. Обсуждаются традиционные формы потенциальной ямы (гармонический осциллятор, бесконечная прямоугольная яма, атом водорода), а также потенциальная яма в виде степенной функции с произвольным показателем. Результаты сравниваются с известными точными значениями.

ON PRESENTATION METHODOLOGY OF MATERIAL "PARTICLE ENERGY QUANTIZATION" ON LECTURES FOR STUDYING PHYSICS AT TECHNICAL UNIVERSITIES

I. I. Gontchar1, S. N. Krokhin1, M. V. Chushnyakova2

1Omsk State Transport University, Omsk, Russia 2Omsk State Technical University, Omsk, Russia

Article info

Received 03.03.2017

Accepted 04.04.2017

Available online 15.07.2017

Abstract. New method for deriving the equations of quantum particle energy levels in the potential wells of different forms without Schrödinger equation solution is proposed within present article. This method allows to avoid the solution of differential equations and might be applied during the quantum mechanics course studying in technical universities. The traditional forms of the potential energy well (harmonic oscillator, infinite rectangular well, hydrogen atom) and the polynomial potential well with arbitrary exponent are discussed. The results are compared with the known exact values.

Keywords

Teaching in technical university, quantum properties of particle, energy levels

Поиски новых способов изложения традиционных физических вопросов продиктованы, с одной стороны, методичным сокращением из года в год числа часов, отводимых во втузе на физику, а с другой - недостаточным вниманием к качественной стороне дела в большинстве учебников [1-3].

Вопрос о поведении квантовой частицы в потенциальной яме традиционно рассматривается с помощью дифференциального уравнения Шрёдин-гера. Его решение для свободной частицы и ча-

стицы, находящейся в прямоугольной потенциальной яме, несложное. Однако в двух других случаях, которые обычно рассматриваются в учебниках (гармонический осциллятор и водородоподобный ион), получение конечных результатов требует больших усилий и чаще всего их приводят без вывода. В итоге студенты должны уяснить, что энергия свободной частицы может быть любой, а у частицы, находящейся в потенциальной яме, энергия квантуется. При этом значения главного квантового числа для

■ ISSN 1812-3996

гармонического осциллятора почему-то начинаются с нуля, а для двух других случаев - с единицы.

Однако, на наш взгляд, важнее получить не столько точное решение уравнения Шрёдингера (это довольно сложно), сколько установить зависимость энергии частицы Wn от квантового числа п и проанализировать влияние формы потенциальной ямы на вид энергетического спектра. Кроме того, хотелось бы иметь единую «точку отсчета» для главного квантового числа.

Зависимость Wn(n) можно получить в квазиклассическом приближении [4], воспользовавшись правилом квантования Бора - Зоммерфельда:

1 Ь

- J p (x)dx

= n\n + -I, n = 0,1,2,..., (1)

где р(х) = ^2т\Ж — и(х)] - импульс частицы массой т, и(х) - потенциальная энергия частицы, а и Ь - точки поворота, для которых р(а) = р(Ь) = 0.

Конечно, вычисление интеграла проще решения дифференциального уравнения, но не намного, особенно для водородоподобного иона. Вдобавок недостаток времени приводит к тому, что и уравнение Шрёдингера, и правило квантования Бора - Зоммерфельда оказываются идейно не связанными с предыдущим материалом, «падают с неба».

Нам представляется, что зависимость энергии уровня от его номера можно получить на лекции быстрее и легче следующим способом, который к тому же тесно связан с одной из ключевых тем курса - «Стоячие волны».

Пусть квантовая частица находится в финитной области пространства - одномерной потенциальной яме вида

U(x) = U0 I x / b |у,

(2)

где U, b и у-некоторые постоянные. Тогда, например, значение у = 0 соответствует свободной частице (U(x) = U = const), у = 2 - параболической

яме U (x) = m©2|x|2/2 (гармонический осциллятор), у = да - прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме (БГОПЯ) ширины 2b. Частице, которая движется в потенциальной яме (совершает финитное движение), соответствует стоячая волна де Бройля. Условие образования стоячей волны в резонаторе размера a можно записать в виде

a = (n + s)A/2, n = 0,1,2... (3)

В этой формуле е - безразмерная постоянная порядка единицы, которая зависит от условий на стенках резонатора. Ее можно определить только при точном решении уравнения Шрёдингера.

В случае БГОПЯ от энергии частицы зависит только длина волны, а ширина ямы а при изменении энергии не меняется. Тогда использование формулы для де-бройлевской длины волны р = 2яЬ(А и формулы (3) с е = 1 приводит к точному результату: л2Ь2(п +1)2

W =-

(4)

2та2

В общем случае и ширина ямы, и длина волны зависят от энергии частицы. Исходя из классических соображений в точках остановки, когда х = ±а/2, потенциальная энергия становится равна полной:

U ±- = W = U

(5)

Эта формула позволяет выразить энергию частицы через ширину ямы.

При движении частицы внутри ямы длина де-бройлевской волны изменяется. Однако для средних значений представляется разумным написать

< Wk > =

(2л-й)2

(6)

2т < X >2

Разумеется, в этом случае под X в формуле (3) надо понимать < X >. Как известно, при движении частицы в поле (2) средние значения кинетической и потенциальной энергии связаны теоремой вири-ала [5, § 10]:

2 < Wк > = у< и >. (7)

Используя закон сохранения энергии и формулы (6), (7), получаем

2 + у{2пП)2 w у 2mA2

(8)

Выражаем теперь длину волны через энергию из формулы (8), а ширину ямы - из формулы (5) и подставляем их в условие квантования (3). После элементарных преобразований приходим к нашему основному результату:

W =

(п + S^ttH 2b{2m)in

2у 2+у

и2+г U 0

2 + у\2+у

у

(9)

у

у

ISSN 1812-3996 "

При _=>сю и а = 1 формула (9) переходит в точную формулу (4) с a = 2Ь. При _ = 2 и б= 1/2 формула (9) принимает вид

(П + У2)ЖПТ т1Пг^1/2

Ж. = ' п~'ти¥( 2) 2Ь (2т )1/2 0 ^ '

(10)

Теперь надо принять во внимание, что для гармонического осциллятора

и

ь2

та

Тогда (10) превращается в

7Г

(11)

(12)

Таким образом, для уровней энергии гармонического осциллятора получается не просто правильная зависимость от главного квантового числа: множитель л2-3/2 в формуле (12) отличается от единицы на 10 %.

Приближенное выражение (9) для уровней энергии совпадает с точностью до множителя

С'=\ 2^ ^

1(1 - У_Т 4

-2_

2+_

с решением, полученным из правила квантования Бора - Зоммерфельда (1).

Передавая зависимость энергии уровня от его номера для случаев, традиционно обсуждаемых в учебниках (гармонический осциллятор и БГОПЯ), формула (10) позволяет получить аналогичные результаты и для других случаев, например для заряженной частицы, находящейся в однородном электрическим или гравитационном поле и(х) = а\ х|, направленном вдоль движения. Подобное электрическое поле можно было бы создать с помощью системы, состоящей из трех параллельных плоских электродов, два из которых (крайние) находятся под одинаковым потенциалом, а третий, выполненный в виде сетки, - под меньшим потенциалом. Энергия заряженной частицы, находящейся в таком поле, должна квантоваться по закону, близкому к

Ж X (П + £-)2/3 .

Не так давно в литературе появились данные об уровнях энергии нейтрона в поле силы тяжести [6]. Они экспериментально получены при отражении ультрахолодных нейтронов от горизонтальной плоскости в поле силы тяжести Земли. Такая потенциальная яма лишь приближенно соответствует нашему потенциалу (2), так как с одной стороны она

ограничена стенкой бесконечной крутизны. Считая _ = 1, и / Ь = mg и £= 1, мы получили для уровней энергии результаты, которые в таблице сравниваются со значениями, приведенными в работе [6].

Сравнение уровней энергии для нейтрона в поле силы тяжести, взятых из статьи [6] и полученных в данной работе

п Ж из работы [6], Ж из данной работы,

пэВ пэВ

0 1,4 1,2

1 2,5 1,9

2 3,3 2,4

3 4,1 3,0

С нашей точки зрения, согласие с экспериментом получается на удивление хорошим, принимая во внимание простоту нашего подхода.

Вернемся к формуле (9). Оценка интервала между соседними энергетическими уровнями частицы дает

дЖ 2_ , ч_-2

-П X-— ( П + £)_+2 .

дп -111 '

_ + 2

(13)

Отсюда можно сделать следующие выводы. У свободной частицы (_ = 0) энергия не квантуется: дЖ/дп = 0. Энергетический спектр гармонического осциллятора (_ = 2) является эквидистантным. Для _ > 2 с ростом п уровни располагаются всё реже, а для _ < 2 они сгущаются с ростом п.

Применимость подобного рода соображений для _< 0 и и < 0 (а это - бесконечно глубокие потенциальные ямы различной формы) не очевидна. При _ = -2 показатели степеней в формуле (9) обращаются в бесконечность. На самом деле зависимость Ж(п) имеет в этом случае вообще не степенной, а экспоненциальный вид [4]. Попытаемся, однако, применить формулу (9) к атому водорода - гиперболической яме и(х) = -кее2 / |х|. В этом случае

и0ь=к/

_ = -1. Подстановка в формулу (9) дает 1 [

Ж =--

(п + е)

-т

л

%

(14)

В точном выражении для энергии ионизации стоит 0,5 вместо 8/ л2 « 0,8 в фигурной скобке этой формулы. Интересно, что формула (9) автоматически привела к отрицательным энергиям уровней за счет последнего множителя.

Вестник Омского университета 2017. № 2(84). С. 41-44

-ISSN 1812-3996

Подведем итоги. Применяя основную идею квантовой механики, которая состоит в том, что каждой частице соответствует волновой вероятностный процесс, мы получили общую формулу (9) для уровней энергии в потенциале (2). Для этого использовалось условие образования стоячих волн (3), связь де-бройлевской длины волны с кинетической энергией (6) и теорема вириала (7). Общая формула (9) дает точный результат для БГОПЯ, а для атома водорода и гармонического осциллятора приводит к ре-

зультатам, которые отличаются от точного безразмерным множителем, близким к единице. Для нейтрона, падающего в гравитационном поле Земли, получен результат, который отличается от точного на 30 %.

Простота и быстрота получения конечного результата (9) дает возможность большую часть времени посвятить его анализу. Это делает, на наш взгляд, такой подход при работе со студентами, обучающимися по программам подготовки бакалавров техники, предпочтительным.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Савельев И. В. Курс общей физики : учеб. пособие : в 3 т. СПб. : Лань, 2005-2008.

2. Трофимова Т. И. Курс физики. 18-е изд. М. : Академия, 2004. 560 с.

3. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов / под ред. А. К. Лебедева. 8-е изд., перераб. и испр. М. : Оникс, 2006. 1056 с.

4. Галицкий В. М., Карнаков Б. М., Коган В. И. Задачи по квантовой механике : учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. М. : Наука, 1992. 880 с.

5. Ландау Л., Лифшиц Е. Теоретическая физика. Механика. М. : Физматлит, 2004. 224 с.

6. Nesvizhevsky V. V. et al. Quantum states of neutrons in the Earth's gravitational field // Nature. 2002. Vol. 415. P. 297-299.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Гончар Игорь Иванович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики и химии, Омский государственный университет путей сообщения, 644046, Россия, г. Омск, пр. Маркса, 35; e-mail: [email protected].

Крохин Сергей Николаевич - кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой физики и химии, Омский государственный университет путей сообщения, 644046, Россия, г. Омск, пр. Маркса, 35; e-mail: [email protected].

Чушнякова Мария Владимировна - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры физики, Омский государственный технический университет, 644050, Россия, г. Омск, пр. Мира, 11; e-mail: [email protected].

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Gontchar Igor Ivanovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Professor of the Chair of Physics and Chemistry, Omsk State Transport University, 35, pr. Marksa, Omsk, 644046, Russia; e-mail: [email protected].

Krokhin SergeiNikolaevich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Head of the Chair of Physics and Chemistry, Omsk State Transport University, 35, pr. Marksa, Omsk, 644046, Russia; e-mail: KrokhinSN@ omgups.ru.

Chushnyakova Maria Vladimirovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Teacher of the Chair of Physics, Omsk State Technical University, 11, pr. Mira, Omsk, 644050, Russia; e-mail: maria. [email protected]

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Гончар И. И., Крохин С. Н., Чушнякова М. В. О методике изложения вопроса «Квантование энергии частицы» на лекциях по физике во втузе // Вестн. Ом. ун-та. 2017. № 2(84). С. 41-44.

FOR CITATIONS

Gontchar I.I., Krokhin S.N., Chushnyakova M.V. On presentation methodology of material "Particle energy quantization" on lectures for studying physics at technical universities. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2017, no. 2(84), pp. 41-44. (in Russian).