CC BY
65
УДК 519.2
Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2005, вып. 2
Г. А. Скоробогатов
ПОЛНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: ЗАДАЧА О СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЯХ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ
1. Полная квантовая механика: нелинейные поправки к уравнению Шре-дингера. Полная квантовая механика (ПКМ), построенная в работах [1—6], является метатеорией для стандартной квантовой механики (СКМ) [7, 8]. При этом для нерелятивистской частицы субквантовое кинетическое уравнение (СКУ) в линейном приближении по субквантовым переменным порождает субквантовое транспортное уравнение (СТУ) [1], которое в двухмоментном пределе дает два уравнения «гидродинамического представления» Маделунга [9], полностью эквивалентных паре сопряженных уравнений Шредингера. Последние суть линейные дифференциальные уравнения (ДУ), а потому СКМ в целом оказывается линейной теорией в гильбертовом пространстве амплитуд вероятности.
СТУ появляется из СКУ в линейном приближении по субквантовым переменным, но в фазовом пространстве (р,т) оно является нелинейным интегродифференциальным уравнением для плотности вероятности Р(р,г, <):
+ ^ V хр (Р, х, г) = (V хи (х)) V рр (Р, х, о + ог т
+ ^(р- <р» vжp(р,X,<) - ^сV,<р»р(р,X,*), (1)
в котором т - масса нерелятивистской частицы и введено обозначение для моментов
М-™*- /Р(р,х,№р-
Например, для трех младших моментов имеем:
ю(х,<) = У Р(р,х,*)<Рр, (2)
В (2)-(4)
т
Интегродифференциальное СТУ (1) для р(\, х, t) эквивалентно бесконечной цепочке зацепляющихся обыкновенных ДУ для моментов:
Г. А. Скоробогатов, 2005
dw ~dt
+ div (w ■ (v)) = 0,
O&L + (V) V, (V) = -1VXU (X) + ¿V, [w (<V2) - (V)2)] , ЯТ 9 1
^ + (v) VxT=-~ (v) V.tf (x) + -yx [«; «v3> - (v) T)] ,
(5)
(6) (7)
d(v3)
dt
+ (V) V, (V3) = -1 (v2)VxU(x) + ^У, [и; «V4) - (V) (V3),)] (8)
и т. д.
В двухмоментном пределе ограничиваются двумя первыми уравнениями вышеприведенной цепочки, но для этого в уравнении (б) второй момент (V2) должен быть аппроксимирован алгебраической функцией от двух предыдущих моментов:
(9)
где Н = /г/27г - постоянная Планка. 1
Подстановка (9) в (6) превращает (5) и (6) в замкнутую пару уравнений Маделунга
dw л. ( „ S .
dA + ±(V 5)2__—
dt 2mv T ' 4m2 w 2 V w
которая после перехода к новым переменным
1 (Vrw
+ U(w) = 0,
(10)
превращается [1] в пару сопряженных уравнений Шредингера
—ih
dt
2m
(12)
где пока С = 0. Преобразование (11) обеспечивает взаимно однозначное соответствие между парами уравнений (10) и (12).
Любое уточнение аппроксимации (9) и тем более переход к 3-моментному приближению (5)—(7), 4-моментному приближению (5)-(8) и т. д. приводят к обобщению уравнений (10) и появлению нелинейных поправок £ в уравнениях (12) и даже к невозможности эквивалентно представить (5)-(7) или (5)-(8) двумя уравнениями для ф и гр*. В предыдущей работе [10] нами был найден общий вид нелинейных поправок С к уравнениям (12), совместимых с СТУ (1):
оо
С = (С^\Ф\п + ^ \ФП + V2 (СП2\ФП + V3, (Ст\Ф\п) + ...)• (13)
п=1
Здесь СП] - действительные числа.
В той же работе [10] были найдены в ряду (13) два первых коэффициента Спо путем отыскания солитонных решений соответствующих уравнений (12) и сравнения их с параметрами движения нерелятивистской частицы массы т. Оказалось, что в одномерном случае верхнее уравнение (12) с двумя первыми нелинейными поправками имеет вид
(1 + (1,7039 • а~1)го\ФМ\2) ФМ = 0, (14)
где с - скорость света в вакууме, а - постоянная тонкой структуры, г о - классический радиус электрона.
Интересно, что волновое уравнение с кубично-квинтальной нелинейностью было предложено В. Л. Гинзбургом [11] для объяснения явления сверхпроводимости. Правда, позднее было доказано [12],. что именно с момента сверхпроводящего фазового перехода его уравнение оказывается неприменимым к электрону в металле. Но для нас важно то, что, независимо от проблемы создания ПКМ, в связи с теорией сверхпроводимости кубично-квинталъное уравнение Шредингера-Гинзбурга оказалось хорошо изученным с математической точки зрения [13, 14].
2. Нерелятивйстская частица в прямоугольной яме. Рассмотрим задачу о стационарных состояниях нерелятивистской частицы массы т, находящейся в одномерной прямоугольной яме шириной а с бесконечно высокими стенками. Пусть движение частицы подчиняется уравнению (12) с единственной кубичной нелинейностью, т. е. кубичному уравнению Шредингера-Гинзбурга (14). Последнее в стационарном случае приобретает вид
в котором /с2 ~ 2тЕ/Н2 , Ас = Ь/тс - комптоновская длина волны частицы. Требуется решить задачу на собственные значения уравнения (16) с граничными Условиями
ф(0)=гР(а)=0. (17)
Введем безразмерные величины
£ = кх, <Ж) = (2 • б1/4/ку/к) Ф(х), (18)
в результате чего уравнение (16) максимально упрощается:
(Рф(х) 4л/бтс. ..о ,, ч 2 тЕ ... -^Г + —\Ф№\ Ф(х) + = 0,
где Е - энергия стационарного уровня.
Запишем (15) в более симметричной форме
^ + + = где <¿>(0) = (р(ах) = 0. (19)
Поскольку волновая функция стационарного состояния действительна, то |</?|2 = <р2 и в (19) можно понизить [15] порядок производной:
, 14. „2 _2
-ц) -Г =0, (20)
где т] - знамение производной йф/с!^ в точке £ = 0.
В уравнении (20) переменные могут быть разделены, что с учетом (17) дает
/
ч>
йг
у/2 г)2 - 2х2 - г4 у/2
и
В (21) подынтегральное выражение можно преобразовать:
(21)
/ , * (22) о у! (у/т+2г? + 1 + г2) (V1 + 2т?2 - 1 - г2) У1
а интеграл (22) сводится [16] к неполному эллиптическому интегралу 1-го рода в нормальной форме Лежандра:
Р (агеэт —= ^ ,—=, \1\ (г ~ -И = ? = + 2т?2.
С учетом условия на правой границе (см. (19)) из (23) получаем (■
^(агсзтО,^ (х-!)) =2(п + 1)К (1-]))
(23)
(24)
где п = 0, 1, 2, 3,... и К - полный эллиптический интеграл в нормальной форме [17]. Из (24) следует, что величина к имеет дискретный ряд значений или, если вернуться к энергии е,
2(п + 1)2Я2К2 (1-1 /у/ТТЩ}
еп =-Ч¥ . -(25)
та VI + 2г?2
Если от (18) вернуться к размерным величинам, то для п-го уровня энергии имеем
2 • б1/4 61/4Й2 - = = 0) = ^¡Ы* - 0). (26)
Из (26) видно, что в пределе Ас оо, т.е. когда нелинейная поправка в. (16) исчезает, имеет место т? 0 и д = у/1 + 2г}2 ->• 1. Так как К(0) = тг/2 (см. [17]), то в пределе Ас —> оо формула (25) сводится к уже известному в СКМ [18] выражению для уровней энергии частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме с шириной а:
е: =
(п + 1)2ТГ2Я2 2 та2
(27)
Для отношения (25) и (27) получаем
Б
е1
п2^/1 + 2г}2
(28)
При Ас —> оо это отношение равно единице, так что принцип соответствия выполняется. А при конечных значениях Ас отношение (28) не равно единице, что означает наличие симбатного сдвига всех уровней энергии, получающихся из нелинейного уравнения (15), по сравнению с величиной (27), вытекающей из линейной СКМ.
Подставляя (26) в (25), после элементарных преобразований находим
еп =
2(п + 1)2П2К2 (1 -1/9))
та*
/о\ 1/2
'-У
Л4!„и _ л^
^ Ас(п + 1)4К4 (^/±(1-1/*))
В частности, для основного состояния из (29) следует
. (29)
ео =
2Я2К2 (/|(1-1/9))
та4
\
ЗА 1/2 а4 (ф'о(х = О))2 2) АсК4 (^¿(1 -1/в))
(30)
Из (30) видно, что нулевой уровень энергии имеет действительные значения только при условии
Ас > \/ 2
а4 Ш* = О))5
К4 (^г^рттЩ
(31)
Если в (31) достигается равенство, то Ео = 0, а при нарушении неравенства (31) основное состояние исчезает и нижним уровнем энергии оказывается е\. Если неравенство (31) выполнено, то в (30) и тем более в (29) под знаком интеграла оказывается положительная величина: все уровни сдвинуты вниз, но ни один из них не исчез.
В линейной СКМ [18] для прямоугольной ямы с шириной а установлено соотношение
<Ц йх
= л/2-
х—0
П + 1 О5/*"'
(32)
Используя (32) в качестве первого приближения для значения т?, получим из (31)
л/бтг2а
Ас >
л/б7г2 а
К4
(
И
1-1 +
(Х7Г
-1/2>
Ас
= 2,05а.
(33)
Из (33) следует, что нулевой уровень энергии не исчезает, только если комптоновская длина волны частицы в уравнении (15) не меньше удвоенной ширины бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы.
3. Линейный осциллятор в нелинейной квантовой механике. Рассмотрим нерелятивистскую частицу массы т в одномерной параболической потенциальной яме, чему соответствует функция Гамильтона
V2 ти2х2
н=£+— (34)
В этом случае вместо (15) имеем следующее стационарное кубичное уравнение Шредингера-Гинзбурга:
<р1р(х) 4у/&тс.., Ч|2 ,, ч (2тЕ т2и2 Л . „ .„_.
+ ^ + {~п2---¥~х ) ^х) = 0 (35)
с граничными условиями гр(-оо) = ^(+оо) = 0. В уравнении (35) можно понизить [15] порядок производной:
+ + = (за,
—оо
где Ас и к имеют тот же смысл, что и в уравнении (16), иг; = (¿/ф/йх)х=-00. В отличие от (25), получилось интегродифференциальное уравнение (36), в котором не удается разделить переменные, если ш ф 0. Поэтому для получения информации об уровнях энергии осциллятора, подчиняющегося нелинейному уравнению (35), воспользуемся результатами п. 2.
В рамках СКМ решение задачи на собственные значения оператора Шредингера для гамильтоновой функции (34) приводит [18] к уровням энергии 4
Еп=(п+^Ьи (п = 0,1,2,...). (37)
Как изменятся эти уровни, если вместо оператора Шредингера использовать кубичный оператор Шредингера-Гинзбурга?
На основании результатов п. 2 можно ожидать, что при больших значениях п характер расположения уровней Еп кубичного уравнения (35) не изменится, хотя все уровни симбатно сдвинутся. Естественно, величина сдвига уменьшается до нуля при Ас —со.
Наиболее нетривиальные метаморфозы произойдут с нулевым уровнем Ео = (1/2) Ни. В случае прямоугольной ямы шириной а появление в волновом уравнении (15) кубичного члена приводит, согласно (30), к понижению уровня Ео, которое тем более значительно, чем короче комптоновская дл^на Ас- При этом последняя должна быть больше предельного значения (31), а в противном случае уровень Ео оказывается мнимым, т.е. исчезает. В случае же гамильтоновой функции (34) ситуация коренным образом меняется: по мере уменьшения длины Ас уровень Ео понижается, но в меньшей мере, чем в случае прямоугольной потенциальной ямы. Действительно, параболическую потенциальную яму, соответствующую (34), можно представить ступенчатой последовательностью прямоугольных ям с уменьшающейся шириной а. Поэтому при понижении уровня Е0 вследствие возрастания Ас уровень оказывается в другой потенциальной яме с меньшей шириной, что, в свою очередь, как видно из форму-
лы (30), ослабит понижение уровня Ео. В результате при Ас —0 основной уровень энергии, соответствующий уравнению (35), стремится к нулю, но никогда не становится мнимым:
■Ео
\Ьь) при Ас оо О при Ас —» 0.
(38)
4. Следствия для квантовой электродинамики. Рассмотрим свободное электромагнитное поле, находящееся в замкнутом объеме У, обладающим формой параллелепипеда со сторонами А, В я С. Тогда векторный потенциал А можно разложить в ряд Фурье:
А = ^Аке*г,
(39)
где компоненты вектора к пробегают значения
кх = 2 тгпх/А, ку = 2-кПу/В, к2 = 2тх п2/С, Пх,Пу,Пг - целые числа. Энергия поля равна [19]
(40)
Здесь поляризация о принимает два значения, а частоты со^ характеризуют временную зависимость амплитуд поля:
А'ко- = -гаъАкст, А^ = гшкАко-.
"Уравнения (41) вытекают из волнового уравнения для А.
От (41) можно перейти к действительным каноническим переменным
(41)
Акст =
7г с
т/ , <Зко- Н--Рк<т еко
V \
17ТС
Ако- = У ТГ 0ъ<г--Рь<г еЪ<т
V
К**)
где екст - единичный вектор по направлению поляризации волны. При этом в новых переменных (42) энергия (40) принимает следующую форму [20]:
(43)
Если (43) рассматривать как функцию Гамильтона, то канонические уравнения Гамильтона дадут уравнения поля
Рке = 0к<7 = Pk.tr•
(44)
Последние являются линейными уравнениями независимых гармонических осцилляторов. В результате временную эволюцию электромагнитного поля в замкнутой полости
удается представить как эволюцию набора независимых линейных осцилляторов, характеризуемых нормальными координатами (теорема Джинса о разложении поля на осцилляторы).
После того как классическому полю сопоставлен эквивалентный набор гармонических осцилляторов, переходят к процедуре его квантования. Для этого для каждой нормальной координаты вместо классических уравнений движения (44) записывают уравнение Шредингера
, (ур-
й01о + К
+ * Ф = 0, (45)
где к2 = РЦ П2.
Решение задачи на собственные значения уравнения (45) приводит к соотношению (37) для каждой нормальной координаты. Тогда энергию всего электромагнитного поля в полости V можно записать как [20]
Е = V Иыьг [п.1г „ -I- — ^ .
^ "V 2 у
к, а
При этом энергия основного (невозбужденного) состояния поля равна
Е(0)=^>о,к„ = ^ЙМс (46)
к,о- к, а
Величина (46) бесконечна, ибо индексы к = (пх, пу ,п2) пробегают счетное множество значений. Это одна из «расходимостей», к которым приводит «отсутствие полной логической замкнутости существующей теории» {20, с. 24]. До настоящих дней эту трудность «преодолевают» путем-простого вычеркивания [20] энергии нулевых колебаний.
В квантовой теории [21] взаимодействующих полей возникают и иные расходимости и бесконечности, которые устраняют е помощью «перенормировок», «обрезаний» и других процедур, свидетельствующих, мягко говоря, все о том же «отсутствии полной логической замкнутости существующей теории» [20, с. 24].
ПКМ [1-6], претендующая на полную логическую замкнутость, должна указать радикальный путь устранения расходимостей существующей теории квантованных полей. Согласно ПКМ, коренной причиной возникновения вышеуказанных расходимостей является линейность волновых уравнений СКМ. Действительно, заменим линейное уравнение (45) минимально нелинейным волновым уравнением типа (35):
(Рф{Я\с) 2л/ба^с + 7гс
\Ф\2Ф(Як.) + - = 0- (47)
Для фотона длина волны А^ = 2-кс/ш^ играет роль комптоновской длины. А потому из результата (38) следует, что соответствующие уравнению (47) уровни нулевых колебаний обладают свойством
Е / Л™ малъсс шк, /48ч
0,к [ 0 для больших и неограниченных с^.
В силу (48) сумма (46) всегда конечна!
Таким образом, наличие разного рода расходимостей в современной теории квантованных полей является наиболее убедительным доказательством неполноты [22] СКМ и необходимости перехода от линейных и марковских (в гильбертовом пространстве) уравнений СКМ к нелинейным и немарковским уравнениям ПКМ [1-6].
Summary
Skorobogatov G. A. Complete quantum mechanics: eigenvalue problem for non-relativistic particle in rectangular potential.
The cubic Schroedinger-Ginzburg equation is the simplest non-linear equation in the frame of complete quantum mechanics. We derive the eigenvalues for this equation in the case of non-relativistic particle in rectangular as well as parabolic potential In the latter case the ground-state energy tends to zero alongside with the particle Compton wave length tends to zero. This effect will cause the elimination the ultraviolet divergence in QED.
Литература
1. Скоробогатов Г. A. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1999. Вып. 4 (J№ 25). С. 66-78. 2. Скоробогатов Г. А., Свертилов С. И. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2000. Вьш. 4 (№ 28). С- 13-34. 3. Skorobogatov G. А. // Intern. J. Quant. Chem. 2002. Vol. 88, N 6. P. 614-623. 4. Skorobogatov G. A., Svertilov S. I. // Intern. J. Theor. Phys., Group Theory, Nonlinear optics. 2002. Vol. 8, N 4. P. 367-397. 5. Скоробогатов Г. A., Свертилов С. И. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2001. Вып. 4 28). С. 50-65. 6. Скоробогатов Г. А. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2003. Вып. 1 (№ 4). С. 66-78. 7. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики / Пер. с англ.; Под ред. В. А. Фока. М., 1960. 8. Фок В. А. Начала квантовой механики. М., 1976. 9. Madelung Е. // Zs. fur Physik. 1926. Bd 40, N 3/4. S. 322-326. 10. Скоробогатов Г. А., Свертилов С. И. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2005. Вып. 1. С. 27-41. 11. Гинзбург В. Л. и Успехи физ. наук. 1997. Т. 167, № 4. С. 429-454. 12. Gulian А. М., Zharkov G. F. Non-equilibrium electrons and phonons in superconductors. New York, 1999. 13. Ахмедиев H. H., Анкевич А. Солитоны / Пер, с англ.; Под ред. Н. В. Островской. М., 2003. 14. Van Saarlos W., Hohenberg P. С. // Physica (D). 1992. Vol. 56. P. 303-367. 15. Камке Э. К. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Пер. с нем. С. В. Фомина. М., 1961. 16. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М., 1981. 17. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции / Пер. с нем.; Под ред. Л. И. Седова. М., 1968. 18. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М., 1963. 19. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М., 1962. 20. Берестецкий В. В., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Релятивистская квантовая теория. Ч. I. М., 1968. 21. Фейнман Р. Квантовая электродинамика /Пер. с англ. А. А. Рухадзе. М., 1964. 22. Эйнштейн А., Подольский В., Розен Н. // Успехи физ. наук. 1936. Т. 16. С. 436-440.
Статья поступила в редакцию 10 сентября 2004 г.
