CC BY
58
задачи о колебаниях под действием произвольной периодической нагрузки с помощью рядов Фурье целесообразно для выявления условий резонанса. Этот способ вычислений реализован программно в современных виброанализаторах. Так подвергнув быстрому преобразованию Фурье временную реализацию представленную на рис. 7, получим частотный спектр (рис. 9), на котором видна первая гармоника на частоте возмущающей силы 25,7 Гц (выше мы определили её как =26 Гц) и все гармоники высшего порядка, а так же значение амплитуды вынуждающей силы. Для определения частоты собственных колебаний и логарифмического декремента исследуемой конструкции к ней прикладываем ударную нагрузку, что вызывает затухающие колебания (рис. 10 и 11). После обработки полученной волны определяем частоту и период собственных колебаний. При определении периода колебаний первые полуволны не принимаем во внимание, так как на них оказывают влияние различные переходные процессы. Остальная часть волны подчиняется общей закономерности, и по ней можно определить период колебания. На рис. 10, период собственных колебаний механизма соответствующий его наиболее жесткому состоянию, равен Г=0,1/24=0,00416 с, где 0,1 с — отрезок времени, соответствующий двадцати четырем волнам, а собственная частота: /=1/Т=1/0,00416= =240 Гц. Аналогично вычисляем собственную частоту для положения наименьшей жесткости (рис. 12) Г=0,1/7=0,0142 с, /=1/0,0142=70 Гц.
Более точно определить значение собственной частоты и амплитуды можно, подвергнув БПФ временной реализации, представленной на рис. 11, в результате получим частотный спектр (рис. 12) с ярко выраженным всплеском на резонансной частоте 67,97 Гц (выше мы определили её как =70 Гц) и значением амплитуды.
По амплитудно-частотным характеристикам определяют резонансные частоты /рез и соответствующие
логарифмические декременты колебаний 8=п-А// /рез=0,1, где А/ — ширина резонансного пика на уровне 1/^2 от его наибольшего значения. Таким образом, определен диапазон изменения собственных частот 70 — 240 Гц и логарифмический декремент затухания.
Выводы:
Выявленные собственные частоты колебаний позволяют решить вопрос об эксплуатационных возможностях в конкретных условиях, поскольку для различных положений подвижной платформы они различны, а также оценить возможность работы механизма под теми или иными нагрузками с учетом резонансных явлений.
Библиографический список
1. Шамутдинов, А. Х. Исследование классификации многоповодковых механизмов параллельной кинематики / А. Х. Шамутдинов // Омский научный вестник. — 2011. — № 2(100). — С. 85-90.
2. Гаврилов, В. А. Классификация механизмов для технологических машин с параллельной кинематикой / В. А. Гаврилов,
А. Г. Кольцов, А. Х. Шамутдинов // СТИН. — 2005. — № 9. — С. 28 — 31.
КОЛЬЦОВ Александр Г ерманович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Металлорежущие станки и инструменты».
Адрес для переписки: [email protected] ШАМУТДИНОВ Айдар Харисович, старший преподаватель кафедры «Гидромеханика и транспортные машины».
Адрес для переписки: [email protected]
Статья поступила в редакцию 19.12.2011 г.
© А. Г. Кольцов, А. Х. Шамутдинов
УДК 5393 С. А. КОРНЕЕВ
М. И. ТРИБЕЛЬСКИЙ
Омский государственный технический университет
РАСЧЕТНАЯ МОДЕЛЬ СЕТЧАТОЙ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ ДЛЯ РЕЗИНОКОРДНОГО ПАТРУБКА
Построена математическая модель сетчатых оболочек вращения с растяжимыми нитями. Проведен численный расчет основных механических характеристик резинокордного патрубка для соединения трубопроводов. Дана сравнительная оценка с результатами, получаемыми в предположении о нерастяжимости нитей корда. Ключевые слова: резинокордный патрубок, математическая модель, сетчатые оболочки вращения.
Введение
В ООО «НПП «Сибрезинотехника» выпускаются резинокордные компенсационные патрубки (РКП) разных типоразмеров [1]. Они служат для компенсации монтажных, температурных и рабочих смещений
соединяемых трубопроводов, снижения уровня вибрации и шума. РКП отличаются простотой конструкции, надежностью и долговечностью в эксплуатации, могут использоваться в водопроводно-канализационных хозяйствах, а также в химической, горнорудной, металлургической и целлюлозно-бумажной промыш-
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012
Рис. 1. Форма оболочки вращения: а) до нагружения; б) после нагружения
ленности. РКП не имеют трущихся и изнашивающихся деталей, не подвержены коррозии и отложениям на поверхностях, контактирующих с жидкостью. Так как длина РКП каждого типоразмера соответствует длине стандартной задвижки, они могут устанавливаться вместо задвижек на период их ремонта. При установке дополнительного пережимающего устройства РКП могут использоваться и в качестве задвижек [2]. Данное техническое решение защищено патентом РФ [3].
Традиционные методики расчёта резинотехнических изделий, представляющих собой резинокордные оболочки вращения (пневматические шины, пневматические амортизаторы, муфты и т.п.), основываются на наиболее полно разработанной теории мягких сетчатых оболочек с нерастяжимыми нитями [4, 5]. Расчётная схема безмоментной теории сетчатых оболочек имеет большое прикладное значение для изделий из резинокорда, так как резина обладает существенно меньшей жёсткостью, чем нити корда. Поэтому с достаточной точностью можно считать, что вся нагрузка воспринимается только нитями корда. Резиновые слои (внутренний и внешний) обеспечивают только герметичность оболочки и её защиту от механических повреждений, а резиновые прослойки между перекрещивающимися слоями нитей обрезиненного корда играют роль идеальных внутренних связей, силы реакций которых не совершают работы при деформировании оболочки, но сохраняют неизменность точек контакта в местах пересечения нитей разных слоёв корда.
Основной деталью РКП является резинокордный упругий элемент, армированный высокопрочным капроновым кордом, допускающим относительное удлинение при разрыве до 30 %. Поэтому для оптимизации конструкции и повышения точности прочностных расчётов РКП необходимо учитывать растяжимость нитей кордовой ткани.
Целью данной статьи является построение математической модели сетчатых оболочек вращения с растяжимыми нитями, численный расчёт основных механических характеристик РКП одного типоразмера и их сравнительная оценка с результатами, получаемыми в предположении о нерастяжимости нитей корда.
1. Математическая модель сетчатой оболочки вращения
Рассмотрим оболочку вращения, которая в нена-груженном состоянии представляет собой цилиндр радиуса г0 и длины 10 (рис. 1а). После нагружения избыточным внутренним давлением р оболочка принимает форму некоторой поверхности вращения переменного радиуса г(г) и длины 1 (рис. 1б). При этом благодаря осевой симметрии произвольно взятая материальная точка в меридианном сечении обо-
лочки переходит из начального положения М0 с координатами г0 и z0 в конечное положение М с координатами г и z, не выходя за пределы данного меридианного сечения оболочки (рис. 1).
1.1. Уравнения равновесия
Предварительно отметим, что направляющие орты ег, еф и ех, еу цилиндрической и декартовой систем координат соответственно связаны между собой следующими соотношениями (рис. 2):
ег = С°8ф е^ + 8ІПф еу , еф = —8ІПф е^ + СОвф еу . (1)
Поэтому
de
ф = -(сОБф + 8Шф еу ) = -ег . (2)
dф
Орт касательной ет и орт нормали п к меридиану равны (рис. 3а)
ет = С°фш ег + 8ІПфш ег,
П = — 8Шфш е2 + С°8фш ег ,
(3)
где фт — угол между касательной к меридиану и осью вращения оболочки, определяемый формулой (рис. 3б)
ідфт =
dr (г) dz
Отсюда с учётом (1) имеем
^ (й1ПФтег - СОФтег ) = ф П .
дг dz dz
Далее понадобится равенство (рис. 3б)
dz
dsm =
(4)
(5)
(6)
для элементарной длины меридиана, а также равенства (рис. 3в)
г
^т = Рт Ифт I = -Ртфт , — = СОЭфт , (7)
Pt
определяющие радиус кривизны меридиана рт и радиус кривизны нормального конического сечения оболочки р(. Знак минус в первом равенстве (7) отражает тот факт, что для выпуклой кривой меридиана зависимость Фт(г) является убывающей функций и поэтому |dфm| = dфm. Фактически это результат соглашения, по которому радиус кривизны выпуклой плоской кривой полагается положительным, а радиус кривизны вогнутой плоской кривой — отрицательным.
Совместно равенства (б), (7) приводят к выражениям
Ф
dz
(8)
pdsmdstn + Tmds^e'm - Tmdstem + + T'ds' e' - T ds e = 0.
(9)
Здесь Тт — удельное (на единицу длины) меридианное усилие, Tt — удельное тангенциальное (окружное) усилие. Принимая во внимание, что
< = dsm, Ий' = г (г + Их )Иф , = г (г )Иф ,
Т = Т,
уравнение (9) можно представить в виде
pdsm^n + (Tmre
+ Ttdsm (l
re і - T re
m m \z+dz m mlz
)dф +
e — e
mV ФІФ+d9 ФІф
)=0
или, в соответствии с правилами дифференцирования и выражением (б),
——— ndфdz + — (Tmrem )dzdф + cosфm dz
deф
dфdz = 0.
После сокращения на dфdz приходим к векторному уравнению равновесия
BL- п + ЩЛ em + Tmr ^ +
de,„
гоэф
dz cosфm dф
= 0
где кт=1/рт — кривизна меридиана, к(=1/р( — кривизна нормального конического сечения оболочки.
Выделим бесконечно малый элемент оболочки, заключённый между двумя меридианными сечениями j = const и двумя поперечными сечениями z=const (рис. 4). Для его равновесия необходимо, чтобы сумма всех приложенных сил была равна нулю:
Если дополнительно учесть формулы (2) и (б), будем иметь
pr
+ Tmr
Ф
dz
n+
d(Tmr) (
dz
-er = 0
(lO)
Умножим уравнение (10) на орт ег скалярно и учтём (3). В результате после простых преобразований с использованием (4) получим уравнение равновесия в проекции на ось вращения оболочки
dr d
- pr Т" + Т" ^^Фm ) = 0 . dz dz
(ll)
В случае, когда давление р неизменно по длине оболочки, уравнение (11) имеет общий интеграл
2Tm (z)r(z)гоэфт (z) - pr2(z) = С ,
(l2)
где С — постоянная интегрирования.
Уравнение (12) можно получить иначе. Рассмотрев равновесие одной из частей рассечённой оболочки, например, левой части (рис. 5), будем иметь в проекции на ось вращения оболочки
2кг(г)Тт(г)соэфт(г) - кг2(г)р(г) =
= 2кг(0)Тт (0)со8фт(0) - кг2(0)р(0).
k
m
kt =
+
Ф er
/
/ ey
e x і x
/
Ч..
Рис. 2. Направляющие орты цилиндрической и декартовой систем координат
Рис. 3. Геометрические параметры оболочки вращения: а) орты касательной и нормали к меридиану; б) угол наклона касательной к меридиану; в) радиусы кривизны меридианного и нормального конического сечений оболочки
Tm (z)
Рис. 4. Равновесие бесконечно малого элемента оболочки Рис. 5. Равновесие отсечённой части оболочки вращения
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №1 (107) 2012 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
103
МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012
Рис. 6. Одинарный слой корда
Рис. 7. Представительный элемент сетчатой оболочки вращения: а) до нагружения; б) после нагружения
а
е
Следовательно, постоянная С равна разности осевой распорной силы
п а = п*а* , па = п*а* ,
11тит 11тит' ЛІіиі лЧиі '
(16)
Яг = 2РГ(0)Тт (0)СО8фт (0)
(13)
и равнодействующей силы давления Р0 = рг2(0)р(0), делённой на число р.
Умножим скалярно уравнение (10) на орт нормали п и учтём (3), (8). В результате получим уравнение равновесия
Тт кт + Т к = Р , (14)
представляющее собой известное уравнение Лапласа.
1.2. Определяющие соотношения
Число нитей в одинарном слое корда шириной а равно №=а/Ь., если только a>>h, где h — шаг нитей (рис. 6). Поэтому число нитей на единицу длины наклонного отрезка 1=АВ определяется выражением
п, ° N/1 = біпР/h,
(15)
где, соответственно, на основании рис. 7 и формулы (15)
пфт = вта0/Л0, пт = Бта/Л (17)
— число нитей на единицу длины меридиана до и после нагружения,
* -
= Соєа 0^0
а/ h
(18)
где Р — острый угол между отрезком 1 и нитями корда (рис. 6).
Выделим представительный элемент сетчатой оболочки вращения, содержащей несколько прорезиненных слоёв корда двух направлений, каждое из которых в ненагруженном состоянии образует одинаковый угол а0 с меридианом оболочки вращения (рис. 7а). В меридианном направлении (вдоль орта ет) выделенный элемент оболочки имеет размер ат , а в тангенциальном направлении (вдоль орта еф) — размер а? . Указанные размеры, с одной стороны, должны быть достаточно малы, чтобы после приложения нагрузок напряжённо-деформированное состояние элемента оболочки можно было считать однородным. С другой стороны, размеры ат , а должны быть достаточно велики, чтобы число нитей корда в элементе оболочки было большим.
После деформации (нагружения) представительный элемент оболочки изменит свои размеры, но сохранит форму прямоугольника (рис. 7б). В меридианном направлении (вдоль орта ет) размер элемента оболочки станет равным ат, а в тангенциальном направлении (вдоль орта е ф) — а(. При этом шаг между нитями и их угол наклона к меридиану примут значения Л, а соответственно взамен первоначальных значений Л0, а0. Благодаря малости размеров представительного элемента оболочки его можно считать плоским (до и после нагружения) с точностью до величин второго порядка малости.
Поскольку при деформировании представительного элемента оболочки число нитей каждого слоя корда остаётся неизменным, можно записать
— число нитей на единицу длины параллели (т.е. в тангенциальном направлении) до и после нагружения.
Благодаря симметрии геометрии оболочки и внешней нагрузки, а также в силу однородности напряжённо-деформированного состояния в пределах представительного элемента оболочки усилия в нитях корда каждого слоя будут одинаковыми (рис. 7б): Р'=Р''=Р. Предполагая, что вся нагрузка воспринимается только нитями корда, а резиновые слои и прослойки играют роль внутренних связей между нитями и обеспечивают герметичность оболочки, можно записать следующие соотношения (рис. 7б):
Тта( = 2РсоБап1а1к, Т(ат = 2РБтаптатк , (19)
где к — число слоёв корда одного направления. Соотношения (19) с учётом (16) — (18) можно представить в виде
Т = 2_^РСОБасОБа0 Т = 2кР вшазша0 (20)
т Л 0 ^ ' Л0 1т '
где 1 т = ат/афт , = а{/аф — кратности удлинений
в меридианном и тангенциальном направлении соответственно.
Выделим одну из нитей, положение которой на рис. 7 до нагружения определяется размерами Ь'т , Ь, а после нагружения — размерами Ьт, Ь(. До нагружения длина данной нити равна (рис. 7а)
Ь*
Ь*
Біпа0
С°Ба0
а после нагружения
1 =
(21)
(22)
Біпа С°Ба
Ввиду однородности напряжённо-деформированного состояния в пределах представительного элемента оболочки справедливы равенства 1 т = Ь^Ь^ , 1 = Ь(/Ь . Отсюда на основании (21), (22) имеем
10 =
Ь
Ь
. .. , сОБа Бта
1т =(1 + £)---------- , 1, =(1 + £^------- , (23)
сОБа0 81па0
г , Б1па
— = (1 +£)--------
г0 Б1па0
(38)
где е = (1—10)/10 — относительное удлинение нити.
Подставив в (20) выражения (23), окончательно находим
Тт = Т^да , Т, = Т 1да, (24)
где
кР Т =-----------Б1п2а0
(25)
При заданной силовой характеристике деформирования нитей корда Р(е) данная система 10 уравнений содержит 10 неизвестных величин: Тт, Т,, Т, г, х, фт, кт, к,, е, а. Чтобы преобразовать её к виду, удобному для проведения практических расчётов, можно воспользоваться методом пространственного описания Эйлера или методом материального описания Лагранжа.
1.3. Геометрические уравнения
2.1. Пространственный (эйлеров) метод описания
Выделим бесконечно малый элемент меридиана. До нагружения он имеет длину Их0, а после нагружения согласно (6) — длину И вт=И х/сОБфт (рис. 3б). Поэтому кратность удлинений по меридиану оболочки определится равенством
1 Их
(26)
ИХ0 сОфт ИХ0
Благодаря осевой симметрии кратность удлинений в тангенциальном направлении будет равна (рис. 1)
При пространственном методе описания деформирования сетчатой оболочки вращения в качестве независимой переменной берётся пространственная координата х, характеризующая положение произвольного поперечного сечения оболочки в её нагруженном состоянии (в так называемой актуальной конфигурации оболочки, представленной на рис. 1 б). Применительно к рассматриваемой задаче по уравнениям (34), (35), (37) основными зависимыми переменными являются величины г, фт, х0, для которых путём интегрирования системы трёх обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
1, =
2кг г
(27)
На основании (23) выражения (26), (27) можно преобразовать к виду
Иг . сОБа г . Б1па ,00ч
--- = (1 + е)-сОБфт , — = (1 + е) —--------(28)
Их,
сОБа0
Б1па0
2ТтгсОБфт - рг2 = С ,
ТтКт + Т= р ,
кР
Т =--------Б1п2а0,
Л0 1 + е 0
Тт = Тс;да ,
Т, = Т 1да,
Иг
— = ;дфт , Иг
Ифт Кт
Иг сОБфт
к = сОБф т
Их . сОБа
— = (1 + е)----------сОБфт ,
Их0 сОБа0
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
Иг
— = ;дфт Иг
Иф
т ___
Их
к т
ИХ0
сОБф т 1
(39)
сОБа0
2. Полная система уравнений
Выпишем полную (замкнутую) систему уравнений, описывающую поведение сетчатых оболочек вращения по построенной математической модели. В качестве таковых можно взять уравнения равновесия (12), (14), определяющие соотношения (24), (25) и геометрические уравнения (4), (8), (27), (28):
Их (1 + е)сОБфт сОБа
определяются функциональные зависимости г(х), фт(х), х0(х). Остальные величины системы (29) — (38) относятся к вспомогательным зависимым переменным. Они выражаются через основные зависимые переменные посредством алгебраических и/или тригонометрических уравнений. Сначала по формуле (29) находится удельное меридианное усилие
2
Т =
С + рг2
2гс°фт
(40)
Затем на основании уравнений (31), (32), (38) находятся значения относительного удлинения нитей корда е(х) и угол наклона нитей к меридиану а(х) как решение системы двух нелинейных уравнений
к Р(е)
--------Б1п2а0 = Тт ;да,
г Б1па
- = (1 + е)---------
г0 Б1па0
(41)
После этого с помощью формул (32), (33) определяется тангенциальное усилие
Т = Тт ;д а,
(42)
а с помощью формул (30), (36), (42) находится кривизна меридиана оболочки
Кт = р - ;д2а.
(43)
Значения трёх постоянных интегрирования системы ОДУ (39) и константы С находятся по четырём граничным условиям (силовым и кинематическим),
Л0 1 + е
2кг0 г0
г
0
г
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №1 (107) 2012
задаваемым на торцах оболочки (по два условия на каждом торце).
Замечание. В предельном случае, когда нити корда полагаются нерастяжимыми (є = 0), система ОДУ (39) принимает вид
<3г
— = *дф т, <3г
фт
dz
dz0
С°Эф т
1 С°Ба0
(44)
dz С°Бфт С°Ба
а система уравнений (41) распадается на два независимых уравнения
Р=
К
ІБІп2а,
-Тт*да
Біпа Біпа0
(45)
dz . С°Ба
— = (1 + е)-----------С°Бфт.
dz0 С°Ба0
(46)
dг
^0
ф
^0
dz
dz0
С°Ба С°Ба 0
_ БІПфт,
С°Ба 0
(47)
- С°Эфт.
3. Результаты численного решения и их сравнительный анализ
В качестве примера рассмотрим резинокордный патрубок для соединения трубопроводов (рис. 8), которому соответствуют следующие геометрические параметры сетчатой оболочки: 10 = Ь — А = = 218 мм, г0 = Ву/2 + 8/2 = 55 мм, а0 = 54,5°. Число слоёв нитей корда одного направления равно двум: к = 2, а рабочее давление — р =1 МПа.
В РКП данного типоразмера применяется ткань кордовая капроновая 23 КНТС-Д [6], на 10 см которой приходится 94 нити по основе. Поэтому начальный шаг между нитями Л0= 1,064 мм. Усилие и относительное удлинение нити при разрыве имеют значения Р =230 Н, е =0,27. Силовая характе-
разр ' разр ' 1
ристика нитей корда аппроксимировалась уравнением регрессии
Р = ае + Ье
(48)
По первому уравнению (45) определяется усилие в нитях корда, а по второму — зависимость угла а(г) в нагруженном состоянии оболочки. Остальные соотношения (40), (42), (43) остаются неизменными. В этом частном случае система уравнений для сетчатой оболочки вращения, нагруженной внутренним давлением, допускает аналитическое решение в квадратурах, методика получения которого приводится в [4, 5]. Закон расположения нитей, описываемый вторым уравнением (45), относится к так называемой «шинной геометрии» нитей.
2.2. Материальный (лагранжев) метод описания
При материальном методе описания деформирования сетчатой оболочки вращения в качестве независимой переменной берётся материальная координата х0, характеризующая положение произвольного поперечного сечения оболочки в её нена-груженном состоянии (в так называемой отсчётной конфигурации оболочки, представленной на рис. 1а). Используя правило дифференцирования сложной функции И//Их =(И//Их0)(Их0/Их), систему ОДУ (39) можно преобразовать к виду
dr . С°Ба .
— = (1 + Є)------------БІПф т
dZo С°Ба0
dф т х С°Ба
= -(1 + е)к т -------,
dz0 С°Ба0
Значения материальных параметров а = 303,2 Н, Ь = 2,031.103 Н определялись методом наименьших квадратов по данным [6]. Так как линейный и квадратичный члены в (48) сопоставимы между собой по величине (рис. 9), силовая характеристика является существенно нелинейной.
Полагая торцы оболочки закреплёнными жёстко, приходим к граничным условиям вида (рис. 1)
=0 = г0, А, =0 = 0, г\г =, = г0, =, = 10
—0 0 ^ 1,0. — 0 ^1,0 — ,0 0 ^ 1,0 — ,0 0
(49)
Из соображений симметрии последние два граничных условия удобно заменить эквивалентными условиями
фт
= 0 А.
, = 1^/2
= 1,12.
(50)
В данном случае основными зависимыми переменными являются величины г, фт, х. Путём интегрирования системы ОДУ (46) определяются функциональные зависимости г(х0), фт(х0), х(х0). Вспомогательные зависимые переменные и порядок их определения остаются прежними.
Для нерастяжимых нитей корда (е = 0) система ОДУ (46) принимает вид
Для решения системы дифференциальных уравнений (46) и (47), имеющих место при материальном способе описания процесса деформирования оболочки, применялся численный метод Рунге-Кутты с фиксированным шагом, реализованный в компьютерном математическом пакете МаШСАЭ. При этом были получены следующие результаты.
Под действием избыточного внутреннего давления оболочка с растяжимыми нитями принимает бочкообразную форму, а с нерастяжимыми нитями — форма остаётся неизменной (рис. 10). Об этом свидетельствуют также графики для радиальных и осевых перемещений (рис. 11, 12)
щ = г - гo, щ = х - х0,
а также график распределения угла наклона касательной к меридиану (рис. 13).
По длине оболочки с нерастяжимыми нитями угол а наклона нитей корда к меридиану остаётся равным первоначальному углу а0, тогда как для оболочки с растяжимыми нитями угол а, будучи меньше а0 у торцов, монотонно возрастает, становясь больше а0 (рис. 14).
Распределение удельных усилий (меридианного и тангенциального) по длине оболочки с нерастяжимыми нитями является равномерным, а у оболочки с растяжимыми нитями — монотонно возрастающим от торцов к середине оболочки (рис. 15, 16). Тоже самое касается и величины усилий в нитях корда (рис. 17). Однако разница между наибольшим усилием в растяжимых нитях и усилием в нерастяжимых
г
0
0.04
-0.04
1
\
-0.08
-0.04 0
0.04
0.08
Рис. 8. Резинокордный патрубок для соединения трубопроводов
Рис. 10. Форма оболочки при рабочем давлении р=1 МПа:
1 — при учёте растяжимости нитей;
2 — без учёта растяжимости нитей
0
Рис. 9. Силовая характеристика нитей корда: 1 — по уравнению регрессии (48);
• — экспериментальные точки;
2 — линейная составляющая ає;
3 — квадратичная составляющая Ьє2
Рис. 11. Распределение радиальных перемещений (р=1 МПа):
1 — при учёте растяжимости нитей;
2 — без учёта растяжимости нитей
0
0.1
0.2
0.3
0.4
20/10
Рис. 12. Распределение осевых перемещений (р=1 МПа):
1 — при учёте растяжимости нитей;
2 — без учёта растяжимости нитей
0.1
0.2
0.3
0.4
20/10
Рис. 14. Изменение угла наклона нитей корда к меридиану (р=1 МПа):
1 — при учёте растяжимости нитей;
2 — без учёта растяжимости нитей
0
Рис. 13. Изменение угла наклона касательной Рис. 15. Изменение удельного меридианного усилия
к меридиану (р=1 МПа): (р=1 МПа):
1 — при учёте растяжимости нитей; 1 — при учёте растяжимости нитей;
2 — без учёта растяжимости нитей 2 — без учёта растяжимости нитей
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012
108
Рис. 16. Изменение удельного тангенциального усилия (р=1 МПа):
1 — при учёте растяжимости нитей;
2 — без учёта растяжимости нитей
Рис. 17. Изменение усилия в нитях корда по длине оболочки (р=1 МПа):
1 — при учёте растяжимости нитей;
2 — без учёта растяжимости нитей
0 5 10 р, МПа
Рис. 18. Зависимость наибольшего и наименьшего значений усилия в нитях корда от избыточного давления в оболочке:
1 — при учёте растяжимости нитей;
2 — без учёта растяжимости нитей
0 3 6 9 р, МПа
Рис. 19. Зависимость осевого распирающего усилия (13) от избыточного давления в оболочке: а — в рабочем диапазоне давлений; б — вплоть до разрушения;
1 — при учёте растяжимости нитей;
2 — без учёта растяжимости нитей
0 2 4 6 8 р, МПа
Рис. 20. Зависимость от давления угла наклона касательной к меридиану торцов оболочки с растяжимыми нитями
нитях при рабочем давлении р =1 МПа невелика — примерно 3,7 %. Разница между наименьшим усилием в растяжимых нитях и усилием в нерастяжимых нитях более существенна — около 31,6 %. С ростом давления в оболочке указанные отличия нарастают (рис. 18). Разрушающее давление рразР, при котором наибольшее усилие в нитях корда достигает предельного значения Р =230 Н, для оболочки с нерастя-
разр ' г
жимыми нитями равно 10,4 МПа, а для оболочки с растяжимыми нитями — 8,1 МПа. Тем самым, предположение о нерастяжимости нитей корда приводит к завышению на 29,4 %.
Для нерастяжимых нитей завышенным является также значение осевой распирающей силы Лг, с которой оболочка стремится сблизить соединяемые трубопроводы (рис. 19). Так при рабочем давлении р=1 МПа в случае нерастяжимых нитей Яг = = 9,67 кН, тогда как в случае растяжимых нитей — =7,56 кН (превышение на 27,9 %). Соответственно,
в момент разрушения Лг= 100,8 кН в случае нерастяжимых нитей и Лг=12,26 кН в случае растяжимых нитей (превышение в 8,22 раза). Примечательным также является обстоятельство, что с ростом давления у оболочки с нерастяжимыми нитями распирающая сила увеличивается практически по линейному закону, в то время как у оболочки с растяжимыми нитями распирающая сила сначала возрастает до максимального значения Я = 17,74 кН, а затем убывает (рис. 19б). По формуле (13) максимум зависимости от р вызван ростом угла наклона касательной ф^ к меридиану у торцов оболочки с растяжимыми нитями (рис. 20).
Замечание. Полученные результаты численного решения, относящиеся к случаю нерастяжимых нитей, позволяют «угадать» аналитическое решение полной системы уравнений (47), (40), (42), (43):
Г = Г0 ■ Ф™ = 0 ■ 2 = 20 . (51)
Действительно, (51) удовлетворяет граничным условиям (49), (50). Подстановка (51) в (47) обращает первые два дифференциальных уравнения в тождества, поскольку в рассматриваемом случае кривизна меридиана равна нулю: кт = 0. Из третьего уравнения (47) следует, что по длине оболочки а = а0, что полностью согласуется со вторым уравнением (45). После этого из формул (43) и (42) находятся удельные усилия (меридианное и тангенциальное)
т = _А_
а<
-Р . Т = ГоР ,
а из первой формулы (45) получается выражение для усилия в нитях корда
р=
-—-----Р
Авт2а^да0
Наконец, с помощью (13) определяется значение осевой распирающей силы
р = 2рГ02 Р . 2 Р .
^ «0
К сожалению, для растяжимых нитей не удаётся «угадать» точное аналитическое решение рассмотренной задачи. Поэтому в данном случае актуальным является поиск приближённого аналитического решения, обеспечивающего достаточную точность расчётов.
Заключение
С технической точки зрения резинокордные компенсационные патрубки, выпускаемые ООО «НПП “Сибрезинотехника”» (г. Омск), являются перспективными резинотехническими изделиями, так как обладают рядом неоспоримых преимуществ по сравнению с аналогичными изделиями из металла: они обеспечивают компенсацию монтажных, температурных и рабочих смещений соединяемых трубопроводов; способствуют снижению уровня вибрации и шума; при дополнительной установке съёмного пережимающего устройства могут использоваться в качестве задвижек, которые не подвержены коррозии и отложениям на поверхностях, контактирующих с жидкостью. Однако недостаточная степень теоретического и экспериментального исследования прочностных и эксплуатационных характеристик ре-
зинокордного патрубка-задвижки [3] сдерживает его широкое применение в водопроводно-канализационных хозяйствах и разных отраслях промышленности.
В настоящей работе сделан первый шаг по устранению указанного пробела: построена математическая модель резинокордного патрубка на основе теории сетчатых оболочек вращения с растяжимыми нитями.
Проведённый численный расчёт основных механических характеристик одного из резинокордных патрубков и сравнительный анализ результатов решения показывает, что для кордных нитей с большой относительной деформацией при разрыве необходимо учитывать растяжимость нитей корда, особенно при определении давления разрушения и распирающего усилия.
Библиографический список
1. Резинокордные компенсационные патрубки, ООО «Сибрезинотехника», проспект [ Электронный ресурс]. — иИЬ: http://srti.ru/patrubki/ (дата обращения: 18.12.2011).
2. Резинокордные компенсационные патрубки-задвижки», ООО «Сибрезинотехника», проспект [Электронный ресурс]. — иКЬ: http://srti.ru/patrubki-zadvizhki/ (дата обращения:
18.12.2011).
3. Пат. 22827668 Российская Федерация, МПК51 Б16К7/06. Резинокордный компенсационный патрубок-задвижка [Текст] / Трибельский И. А., Афонин В. А., Трибельский М. И., Брей-тер Ю. Л. ; заявитель и патентообладатель И. А. Трибельский. — 2005108266/06 ; заявл. 23.03.2005 ; опубл. 27.08.2006, Бюл. № 24 -6 с.
4. Бидерман, В. Л. Механика тонкостенных конструкций /
В. Л. Бидерман. — М. : Машиностроение, 1977. — 488 с.
5. Расчётно-экспериментальные методы проектирования сложных резинокордных конструкций / И. А. Трибельский [и др.]. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. — 240 с.
6. ГОСТ 24221-94. Ткань кордная капроновая. Технические условия. — Минск : Межгосударственный совет по стандартизации метрологии и сертификации, 1996. — 16 с.
КОРНЕЕВ Сергей Александрович, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой «Сопротивление материалов».
ТРИБЕЛЬСКИЙ Михаил Иосифович, аспирант кафедры « Сопротивление материалов».
Адрес для переписки: [email protected]
Статья поступила в редакцию 19.12.2011 г.
© С. А. Корнеев, М. И. Трибельский
Книжная полка
Корнеев С. А. Техническая теория стержней. Применение обобщенных функций для решения задач сопротивления материалов : учеб. пособие/ С. А. Корнеев ; ОмГТУ. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2011. - 83 ^ - ISBN 978-5-8149-1082-0.
Учебное пособие охватывает один из основных разделов сопротивления материалов — техническую теорию стержней. Сформулированы общие понятия и положения. При выводе основных формул и полной системы уравнений механики стержней учтены тепловые эффекты, влияние динамических факторов. Приведены сведения о свойствах обобщенных функций Дирака и единичной функции Хевисайда, на базе которых строится унифицированный метод решения практических задач.
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
