Аналитический метод расчёта цилиндрических резинокордных оболочек Текст научной статьи по специальности «Физика»

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

ш

3. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М. : Физ-матлит, 1994. 442 с.

4. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тел потоком идеальной несжимаемой жидкости. М. : Наука, 1978. 352 с.

5. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел / С.М. Белоцерковский и др. М. : Наука, 1998. 232 с.

6. Аэродинамика боевых летательных аппаратов и гидравлика их систем / под ред. М.И. Ништа. М. : Изд-во ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1994. 570 с.

7. Прикладная аэродинамика : учеб. пособие для втузов / под ред. Н.Ф. Краснова. М. : Высш. шк., 1974. 735 с.

8. Airliners.net [Electronic resource] : site. URL: http://www.airliners.net/. (access date: 14.04.2008).

9. Мельников А.П. Основы теоретической аэродинамики. Л. : Изд-во Ленингр. Краснозн. воен.-возд. инженер. ак-ии, 1953. 823 с.

10. Даниленко Н.В., Пахомов С.В. Применение метода дискретных вихрей для исследования стационарных течений в телах с протоком : метод. пособие. Иркутск : Изд-во ИВВАИУ, 1988. 135 с.

УДК 539.3

Корнеев Сергей Александрович,

д. т. н., профессор, зав. каф. сопротивления материалов, Омский государственный технический университет (ОмГТУ), тел. (3812) 65-98-36, e-mail: korneyev@omgtu.ru

Трибельский Михаил Иосифович, младший научный сотрудник НИЧ ОмГТУ, тел. (3812) 65-20-26, e-mail: sopromat@omgtu.ru

Пеньков Иван Александрович,

ассистент каф. сопротивления материалов ОмГТУ, тел. (3812) 65-20-26, e-mail: sopromat@omgtu.ru

Корнеев Владимир Сергеевич, к. т. н., доцент кафедры основ теории механики и автоматического управления ОмГТУ,

тел. (3812) 62-90-92, e-mail: Korneyev-Vladimir@yandex.ru

АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЁТА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ РЕЗИНОКОРДНЫХ ОБОЛОЧЕК

S. A. Korneyev, M. I. Tribelskiy, I. A. Penkov, V. S. Korneyev

ANALYTICAL METHOD FOR ANALYSIS OF CYLINDRICAL RUBBER-CORD SHELLS

Аннотация. Предложен приближённый аналитический метод расчёта напряжённо-деформированного состояния цилиндрических резинокордных оболочек, основанный на нетрадиционном подходе к линеаризации системы нелинейных уравнений теории сетчатых оболочек с растяжимыми нитями. Замкнутая система линеаризованных дифференциальных уравнений содержит на одно уравнение больше, чем исходная система нелинейных дифференциальных уравнений, что позволяет внести поправки более высокого порядка точности в аналитическое решение, получаемое в первом приближении по избыточному внутреннему давлению. Благодаря этому удаётся расширить диапазон изменения давлений, в котором обеспечивается лучшее согласование приближённых аналитических зависимостей с результатами численного решения нелинейной задачи в точной постановке. Проведено сравнение с экспериментальными данными по давлению разрушения. Расчётное значение давления, при котором происходит разрушение резинокордного патрубка с закреплёнными торцами, укладывается в доверительный интервал разброса результатов опыта.

Ключевые слова: резинокордные оболочки, растяжимость корда, метод линеаризации, аналитическое решение, напряжённо-деформированное состояние, давление разрушения.

Abstract. Approximate analytical method for stress-strain state analysis of cylindrical rubber-cord shells, based on unconventional approach to linearization of nonlinear equations of the theory of cellular shells with tensile threads, was proposed. The closed-loop system of the linearized differential equations contains one equation more than the original system of nonlinear differential equations that allows to amend higher order of accuracy in the analytical solution obtained in the first approximation on the excessive internal pressure. Because of this it is possible to dilate a gamut of a modification of pressures in which the best negotiation of the approximate analytical dependences with effects of the numerical solution of a non-linear problem in exact statement is ensured. Matching with experimental data on pression of fracture is conducted. The pression design value at which there is a fracture of the rubber-cord pipe with fixed butt ends is settled in a confidence interval of straggling of effects of experience.

Keywords: rubber-cord shells, expandability of cord, linearization method, analytical solution, stress-stain state, fracture pressure.

Введение

Резинокордные оболочки (РКО) широко используются на практике в разных отраслях промышленности. Для уточнённого расчёта механических характеристик РКО в [1] предложена математическая модель сетчатых оболочек вращения, учитывающая растяжимость нитей корда. Так как данная модель нелинейная, то доступным является лишь численное решение, которое требует больших затрат машинного времени, особенно при решении вопросов оптимального проектирования РКО. В связи с этим встаёт задача получения приближённого аналитического решения, которое в явном виде и с приемлемой для практики точностью описывало бы напряжённо-деформированное состояние РКО в широком диапазоне изменения внутреннего избыточного давления. Чтобы достичь поставленной цели, в настоящей статье предлагается нетрадиционный подход к линеаризации исходной системы нелинейных уравнений (по давлению) с последующим внесением поправок более высокого порядка точности, которые обеспечивают лучшее согласование приближённых аналитических зависимостей с результатами численного решения в точной постановке. Исследование ограничено практически важным случаем цилиндрических резинокордных оболочек, применяющихся в качестве резинокордных компенсационных патрубков, пульпопроводов, напорных эластичных трубопроводов [2, 3].

1. Математическая модель оболочки

В ненагруженном состоянии оболочка представляет собой цилиндр радиуса ro и длины lo (рис. 1, а), а после нагружения избыточным внутренним давлением p - некоторую поверхность

вращения переменного радиуса r и длины l (рис. 1, б). Для данного случая математическая модель РКО, основанная на безмоментной теории сетчатых оболочек с растяжимыми нитями, включает в себя следующие уравнения [1]:

du„ Л ч cosa .

Sin Ф m ,

dzo du.

= (1 + e)

cosa

0

= (1 + e)

cosa

cosa

COsP „

0

dzo

^=-(i+s)^osaK

dz0 cosa0

^ =

С + p(ro + ur )'

2(ro + ur )cosф m

p - созфт tg2 a,

m rri o '

Tm Г0 + Ur

к P(e)

hn 1 + e

sin2a 0 = Tm tga,

1 + u-

= (1 + e)

sina

(3)

(4)

sina

o

Т = тт 1в2а . (5)

Здесь, как и в [1], иг, ^ - радиальное и осевое перемещения точек срединной поверхности оболочки; фт - угол между касательной к меридиану

и осью г (рис. 1, б); а0, а - угол наклона нитей корда к меридиану до и после нагружения соответственно (рис. 1); кт - кривизна меридиана; Тт , Tt - удельные (на единицу длины) меридианное и тангенциальное усилия; к - число слоёв корда одного направления; к0 - шаг нитей корда (до нагружения); С - постоянная интегрирования в соответствующем уравнении равновесия оболочки (см. [1]). Зависимость усилия в нити корда Р от её относительного удлинения 8 описывается силовой характеристикой Р(8). Координата г0 характеризует положение точек поверхности оболочки в её ненагруженном состоянии (рис. 1, а).

O

Mo (ro > zo )

а)

- шш

zo

lo 4*ao

M (r, z )..... <P

O

(1)

Рис. 1. Форма цилиндрической оболочки: а - до нагружения; б - после нагружения

(2)

<

r

o

r

z

m

r

m

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

2. Линеаризация системы уравнений

Полагаем, что внутреннее избыточное давление р достаточно мало, чтобы можно было пренебречь любыми членами в уравнениях (1)-(5), кроме тех, которые линейным образом зависят от величин р , Тт, фт, иг, иг, Ла = а-а0 , е и их производных по независимой переменной . На основании данного предположения линеаризацией силовой характеристики Р(е) и уравнений (1), (2), (4), (5) последовательно получаем Р = Ее,

du

dzo du,

dzo

dФm

■ = Ф и

=- tg2 a0Aa + s,

(6)

(7)

dz

T_ =

= -к,.

C + pro2 2r

— Ess in2a 0 = Tm tga 0 К

u

1 +—- = 1 + s + ctga0Aa,

(8)

(9)

(10)

Т = Тт а 0 ,

где Е — модуль растяжения. При выводе (7)—(10) были учтены тригонометрические соотношения

^ПФт =Фт , СОЗфт = 1 ,

Б1па = Б1па0 + ео8^0Ла, еоэа = еоа^0 - 81па0Ла,

tga = tgao +

Aa

j , 2tg aAa tg2a = tg2ao + —

cos a

"0 1 2 ' ^ ^ 5 <-*<o

COS «0 cos a o

а также тот факт, что кривизна кт и постоянная интегрирования C являются величинами первого порядка малости, поскольку они обращаются в нуль при p ^ 0 согласно рис. 1 и формуле (2).

При линеаризации выражения (3) для кривизны меридиана кт отношение p/Tm имеет неопределённость вида 0/0 при p ^ 0. Чтобы раскрыть указанную неопределённость, возьмём предел выражения (3). Будем иметь

lim к = lim — -

p^o ' Следовательно,

p^o T

= o.

p = tg2ao _A

T„ rn '

(11)

где A - некоторая величина первого порядка малости: lim A = 0 . На основании (11) из (3) находим

p^Ö

к.

= -A--

2tgao к , tg2ao

-Aa + -

-u.

(12)

Чтобы отыскать уравнение для поправки A продифференцируем (11) по zo:

dA _ p dTm

dz o Tmdz o

(13)

В (13) отношение (dTm|dz0)/Тт при р ^ 0 также имеет неопределённость вида 0/0, для раскрытия которой продифференцируем по z0 выражение (2) и учтём (1); после линеаризации получим

1 dTm _ tg2ao - 1

T„ dzn

rn

Ф m

(14)

oo

Совместно (13), (14), (11) приводят к дифференциальному уравнению

dA dz

tg2 a o (tg2 a o -1)

r

Ф m

(15)

oo

Выразим из (11) меридианное усилие Tm : p

T_ =

tg2 a o,

>o - A

(16)

решим уравнения (9) относительно s и Aa :

s=o,. , Aa = ^ ^ - tg a 0 s. (17)

2Ek cos a0 r0

Так как поправка A имеет первый порядок малости, на основании (16), (17), (6), (10) получаем в первом приближении следующие выражения:

Р

t■ =-

tg a o/ ro

s =

К ro p

2Ek sin2 ar

P =

, Tt = ro p , К ro p

Л tg a o

Aa =-- u -■

2k sin2 ac

К ro

(18) (19) , (20)

г0 Ек sin2a0 В частности, сравнив (8) с первым выражением

(18), находим значение постоянной С :

С = рг00(2ctg2а0 -1).

Подставляя в (7) первые приближения (12),

(19), (20) для кт , е, Ла , совместно с (15) придём к замкнутой системе линеаризованных уравнений

2

2

r cos a0

r

o

<

r

o

r

o

(и

& 0

0

■ = ф»

tg2 а 0

иг +

Я0Г0 (1 + а0 )

2Eksin а

Р>

= А +

tg2а '

ео82 а

6А _ tg2а0 а0 -1)

-1

0

К

иг -

Екео8 ап

ф»

й 2фт п2т п

— 2--Л Фт = 0 =

аг 2

где

Л = Т3

2а0

Располагая решением (25), по второму уравнению (21) находим осевое перемещение

иг =- 1С [ск(Лг0 )-1]+С^к(Лг0 )1 + (26)

Л\ I 1

(21)

+

%а0 с

Лг 2 г

tg2 а 0 +1

— К0 Г0 Р

г0 + С4 .

^0 Г02

Замечание. Как правило, после линеаризации получается система из стольких же уравнений, сколько имеет исходная нелинейная система. Особенность линеаризованной системы (21) состоит в том, что она содержит на одно уравнение больше, чем нелинейная система (1). Только при наличии дополнительного уравнения (15) для поправки А система (21) становится полной (замкнутой). Однако если для раскрытия неопределённости в уравнении (13) использовать вместо точного уравнения равновесия (2) линеаризованное уравнение (8), по которому аТт¡йг^ = 0, то взамен (15) из (13) получилось бы уравнение йА/йг^ = 0, в правой части которого нет члена первого порядка малости, как в (15). В последнем случае, когда йАйг0 = 0, система (21) содержала бы столько же дифференциальных уравнений, сколько уравнений в исходной системе (1). При этом, правда, при последующем рассмотрении не удалось бы внести поправок более высокого порядка точности, о которых идёт речь ниже в п. 4.

3. Интегрирование линеаризованных дифференциальных уравнений

Продифференцируем по г0 третье уравнение (21) и подставим в полученный результат первое и последнее уравнения (21). После преобразований получим уравнение

2ЕЫт ас

Чтобы найти выражение для поправки А, подставим (24) в последнее уравнение (21) и проинтегрируем полученный результат по г0. Будем иметь

А = А +

щ2 а0 (-я2 а0 -1)

Л2

С^Я(Лг0)+С2[сфг0)-Ш .(27)

Чтобы определить постоянную интегрирования А, подставим (27), (24), (25) в третье уравнение (21) и потребуем его тождественного удовлетворения. Получим

А0 =

Я0 Р

Ексо,^ а.

■ + ХС2 - «V

Г

2

Л

— 1

V со*2а0

С3. (28)

Совместно (27), (28) приводят к зависимости

А = -

К0 Р

Ексои^а,

- + ЛС2 -

-ё а0 (

2

— 1

V со^а0 у

С +

+ «2а0Ч-1))+С2[ск(Лг0)-1]} . (29)

Четыре постоянные интегрирования С , С , С, С, входящие в формулы (22)-(26), (29), определяются из граничных условий (кинематических и силовых), задаваемых на торцах оболочки (по два условия на каждом из торцов). Так, например, для оболочки с жёстко закреплёнными торцами граничные условия имеют вид (рис. 1) и1 = 0 , и1 = 0, и1 = 0 , и1 = 0 . (30)

г - —о ' г\7 —п ' т\7 -1 ' г 7 -/ V /

1 г0 =0 1 г0 =0 1 г0 =10 1 г0 ='0

Подставив (25), (26) в (30), находим

(22)

(23)

С, =-С2-й|4|01, Сз = С4 = 0,

С2 =

3

кк р

(31)

аксо8АаГ

2-Я Я^\-Л1п

Общее решение (22) имеет вид

Фт = С1сй(^?0 ) + С^к(Лг0 ). (24)

Радиальное перемещение определится подстановкой (24) в первое уравнение (21) и последующим интегрированием по :

С С

иг = С КЯг0)+[ск(Лг0)-1]+С3. (25) Л Л

4. Повышение порядка точности ряда аналитических зависимостей

По формулам первого приближения (18), (19) меридианное усилие Тт, тангенциальное усилие Т, усилие в нитях корда Р и их относительное удлинение 8 постоянны по длине оболочки (не зависят от г0). Данный результат не согласуется с результатами численного решения исходной

г

0

0

2

2

г

0

2

г

0

2

г

0

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

нелинейной системы уравнений (1)-(5), полученными ранее в [1]. Поэтому для повышения точности указанных расчётных формул необходимо внести надлежащие уточнения.

Прежде всего, обратимся к формуле (16), по которой меридианное усилие

го Р

Т_ = -

а о - КА

(32)

является функцией давления р и координаты в соответствии с (29). Тогда для тангенциального усилия можно будет воспользоваться точным выражением (5) в сочетании с приближённой зависимостью (20), по которой угол наклона нитей корда к меридиану а = а0 +Да равен

^ а о

а = а0 +■

-иг -

К го

Ек 8ю2 а,

-Р.

(33)

оо В результате приходим к приближённому аналитическому выражению

Т =■

го Р ^ а а о - гоА

(34)

Приближения (32), (34) имеют более высокий порядок точности, чем (18).

Первое уравнение (4) и закон Гука (6) приводят к равенству

81П2а о = Тт ,

Ко 1 + 8

из которого получается следующее выражение для усилия в нитях корда:

ЕКоТт ^а

Р =-

Екз1п2 ао - КоТт а

Альтернативой (35) служит формула

(35)

Р = •

Ко Р

кзю2 аг

а с

■ +

(а-а о )

го (а

бш2 а

а о ) + го А +

а с

+ -

Ко го2 Р

Екз1п2 а0 ас

(36)

Рт = аГСШ

С сЬ (Лг0) + С2 (Лг0)

1 -

tg2ао

Лк

■ [С зЬ (Лг0) + С2 сЬ (Лг0)] -

(37)

Лк

С 2 -

^Сз КогоР

2Екз1п а

являющаяся квадратичным приближением (35)

при разложении в ряд Тейлора по давлению Р .

Согласно рис. 1, б,

ёг ёг/ёго ёи / ёг о tg р = — = ——1 =-^—о—.

т ёг ёг/ ёг0 1 + ёи2 /ёг0

Вычисляя производные выражений (25), (26), получим следующую формулу (37), которая служит альтернативой ранее полученной формуле (24):

'0 '0 ^А^ЮШ

5. Погрешность аналитических формул

Чтобы оценить погрешность приближённого аналитического решения, сопоставим его с численным решением исходной нелинейной системы уравнений (1)-(5). В качестве примера возьмём сетчатую оболочку, соответствующую резино-кордному патрубку (РКП) с условным проходом О = 80 мм [2]. При изготовлении патрубка данного типоразмера используется ткань кордовая 23 КНТС-Д [4], у которой шаг между нитями К = 1,064 мм, усилие при разрыве Рв = 230 Н, модуль растяжения Е = 467,6 Н (при 8 < 0,1). Число слоёв нитей корда одного направления к = 2. Геометрические параметры оболочки, определяемые согласно [1, 2], имеют значения: го = 45 мм, 1о = 198 мм, ао = 54,5°.

Торцы оболочки жёстко закреплены. Поэтому в аналитических зависимостях постоянные интегрирования имеют значения (31). Порядок численных расчётов подробно описан в [1]. В частности, распорная сила, с которой резинокордный патрубок взаимодействует с соединяемыми трубопроводами, определяется формулой [1]

= 2™-ТтС°Рт\^ =о . (38)

Наглядное представление о степени расхождения между результатами аналитического и численного решения дают графики распределения параметров напряжённо-деформированного состояния оболочки (рис. 2-8), которые с учётом симметрии строились лишь на половине длины оболочки при рабочем давлении Р = 1 МПа.

и , мм

-чи • анал юленное] итически )ешение; й расчёт п то (25)

а) 2о/ 1о

0.1 0.2 0.3 0.4

Рис. 2. Радиальные перемещения

К

о

о

0

1.0

0.5

пг, мм -чи • анал сленное р итически )ешение; й расчёт п то (26)

б)

0.1

0.2

0.3

04 2,11,

Рис. 3. Осевые перемещения

10

5

0

58

56

54

52 50

22 20

18 16

50

45

40

35 30

, гра д

— численное решение; • аналитический расчёт по (24)

2о110

0.1 0.2 0.3 0.4

Рис. 4. Угол наклона касательной к меридиану

а ,град

— чис • анали ;ленное р тический ешение; расчёт п ю (33)

2о/10

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Рис. 5. Угол наклона нитей корда к меридиану

Тт, кН

— чис • анали шенное р ггический ешение; расчёт п ю (32) - 2о/10

0.1 0.2 0.3 0.4

Рис. 6. Меридианное усилие

Т, кН

— чис • анали ленное р( тический зшение; расчёт п о (34)

2о/10

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Рис. 7. Удельное тангенциальное усилие

рРв

— чис • анали ленное р тический гшение; расчёт п ю (35)

20)110

0.08

0.07 0.06

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Рис. 8. Усилие в нитях корда

Максимальная погрешность для радиуса оболочки посередине её длины составила 0,95 %. Численные значения погрешности определения силовых параметров сведены в табл. 1.

Т а б л и ц а 1 Погрешность приближённых аналитических зависимостей (р = 1 МПа)

Погрешность*, %

Т т Т Р

у торцов оболочки

1,8 (18,6) 0,07 (186) 0,20 (26,6)

посередине оболочки

Т т Т Р

0,53 (10,7) 0,02 (82,7) 0,49 (3,1)

* Без скобок - по формулам в скобках - по формулам (32), (34), (35).

(18), (19);

Аналитический расчёт распорной силы (38) в широком диапазоне изменения давления показал (рис. 9), что выражение (32) совместно с формулой (37) даёт лучшее совпадение с численным решением, чем совместно с формулой (24).

Я2, кН --- --- 3

•V ч. 1

ч ч ч ч

1 - чис 2 - ана 3 - ана ленное литичес литичес решени кий рас кий рас чёт по ( чёт по ( ч ч ч 24) 37) р 2 ч , МПа

20 10 0 -10 -20

0 2 4 6 8 10

Рис. 9. Зависимость распорной силы от давления

Разрушение оболочки наступает при выполнении условия

Ртах = РВ , (39)

где Ртах - максимальное усилие в нитях корда, которое имеет место посередине длины оболочки при жёстко закреплённых торцах (рис. 8).

0

0

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

При натурных испытаниях трёх образцов ре-зинокордного патрубка экспериментальное значение давления разрушения составило рв = 11,2±0,9 МПа. Разрыв образцов происходил в направлении, перпендикулярном к нитям корда в слоях одного из направлений (рис. 10).

Расчёт Ртах проводился по аналитическим зависимостям (35), (36). Как видно из рис. 11, при больших давлениях предпочтение следует отдать расчётной формуле (36). По данной формуле и условию прочности (39) расчётное значение разрушающего давления рв = 10,5 МПа, что укладывается в доверительный интервал разброса результатов опыта. Погрешность составляет 6,25 %.

Рис. 10. Характер разрушения образцов РКП

0.5

Pmaxl PB 2 f ф

S ✓ > / / / > 1 3

p , МПа

2

4

6

8

10

Рис. 11. Максимальное усилие в нитях корда: ■ численное решение; 2 - аналитический расчёт по (35); 3 - аналитический расчёт по (36)

Заключение

Получено приближённое аналитическое решение системы уравнений безмоментной теории сетчатых цилиндрических оболочек с учётом растяжимости нитей корда, которое с приемлемой для практики точностью описывает напряжённо -деформированное состояние резинокордных патрубков в широком диапазоне изменения внутреннего избыточного давления. Полученные результаты применимы для решения вопросов оптимального проектирования, связанных с выбором конструктивных параметров РКП.

Предложенный метод линеаризации является нетрадиционным (линеаризованных уравнений больше, чем исходных нелинейных уравнений). Разработанный подход к построению приближённого решения с последующим внесением поправок более высокого порядка точности может быть использован для расчёта резинокордных оболочек разной конструкции.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Учёт влияния растяжимости нитей корда на расчётные параметры резинокордных оболочек / С.А. Корнеев и др. // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 3 (35). С. 69-76.

2. Резинокордные компенсационные патрубки, трубопроводы резинотканевые (пульпопроводы) [Электронный ресурс] : проспект / ООО «НПП «Сибрезинотехника». URL: http://www.srti.ru/Katalog/ (Дата обращения: 19.01.2014).

3. Трубопроводы напорные эластичные износостойкие [Электронный ресурс] : проспект / ООО «Гидрокомплект». URL: http://gruntoprovod.ru/production/ (Дата обращения: 19.01.2014).

4. ГОСТ 24221-94. Ткань кордная капроновая. Технические условия. Минск : Межгос. совет по стандартизации, метрологии и сертификации, 1996. 16 с.

1

0

1