CC BY
19УДК 539.3:62-567.5
й01: 10.25206/2588-0373-2019-3-2-15-24
ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕЗИНОКОРДНОЙ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
В. С. Корнеев, В. В. Шалай
Омский государственный технический университет, Россия, 644050, г. Омск, пр. Мира, 11
Проведена процедура линеаризации ранее построенной математической модели резинокордной оболочки вращения с упругодеформируемыми нитями корда при симметричном нагружении внутренним избыточным давлением и осевой силой. Проанализированы характерные особенности линеаризованной математической модели, особое внимание обращено на правильный выбор ненагруженной отсчётной конфигурации, имеющей место не при нулевом избыточном давлении, а при избыточном давлении, стремящемся к нулю. Отмечено, что наибольший практический интерес линеаризованная математическая модель представляет для аналитического расчёта и проектирования резинокордных патрубков и пневматических амортизаторов рукавного типа с оптимальными рабочими характеристиками.
Ключевые слова: резинокордная оболочка вращения, математическая модель, линеаризация, ненагруженная конфигурация.
I ■
л
О
IS
IB
il
OS g о E н T x
>О z А
■ К > О
i О
О
< К
O О
Введение
В системах виброзащиты и виброизоляции широко используются пневматические элементы с резинокордными оболочками [1—3], а также резино-гидравлические виброопоры [4]. Конструктивные схемы пневматических элементов и виброопор весьма разнообразны, у большинства из них резинокордные оболочки выполнены в виде оболочек вращения.
Резинокордная оболочка вращения в нена-груженном состоянии имеет по оси длину 10, а меридиан её срединной поверхности описывается (в цилиндрической системе координат) уравнениями г0(^0), z0(y (рис. 1а). Здесь — криволинейная координата произвольной точки меридиана М0(г0, z0), равная длине соответствующей дуги меридиана в отсчётной конфигурации (до нагружения). После нагружения (внутренним избыточным давлением ри и осевой силой Р) срединная поверхность оболочки принимает форму некоторой поверхности вращения с меридианом г(^), z(^) и длиной I вдоль оси (рис. 1б). Здесь ^ — криволинейная координата произвольной точки меридиана М(г, z), равная длине соответствующей дуги меридиана в актуальной конфигурации (после нагружения). Благодаря осевой симметрии каждая материальная точка в меридианном сечении срединной поверхности оболочки переходит из начального положения М0 с координатами г0 и z0 в конечное положение М с координатами г и z, не выходя за пределы данного меридианного сечения (рис. 1).
Напряжённо-деформированное состояние ре-зинокордной оболочки вращения описывается полной системой уравнений, полученной в [5] и состоящей из четырёх обыкновенных дифференциальных уравнений
dT1 =Х T2 - T1 d^o 1 *
Рис. 1. Срединная поверхность оболочки вращения:
а — до нагружения (отсчётная конфигурация); б — после нагружения (актуальная конфигурация) Fig. 1. The median surface of rotation shell: a — before loading (reference configuration); b — after loading (actual configuration)
dz ,
dr .
— = ^1ПФ1 ,
d^o
= -Х1к1
(2)
(3)
(4)
slnф1
(1)
с соответствующими граничными условиями крепления резинокордной оболочки к металлической арматуре, выражений для кривизны меридиана к1 и кривизны параллели к2:
Ри - К2Т2
Т
008 ф1
(5)
зависимостей
= -,
1да = — 1да0
(6)
определяющих кратность удлинения параллели Х2 и величину угла наклона нитей корда к меридиану а и определяющих соотношений
= 2кЕЫо + 2ЛДр , (7)
Я1Я2
Т = 2
80 Я к Я2
Г2 = 2^+ 2,оХр ,
°0 Як Я1 Я1Я2
(8)
связывающих погонные (на единицу длины) меридианное усилие Г, и тангенциальное (окружное) усилие Г2 с кратностями удлинения меридиана и параллели Х2. Функции
оЯ1 оЯ3
^2 (Я1> Я 2 ) - Я2 "--(Я1Я 2 ) 1
5Я 2
Я3 -(Я1Я2 ) 1
Я,-(Х.Я, )-1
(9)
(10)
описывают упругие напряжения в резине через упругий потенциал Ф(Х1, Х2, Х3) с учётом условия несжимаемости Х2 Х3 = 1 (Х3 = Л/Л0 — кратность изменения толщины стенки). Здесь ф1 — угол между касательной к меридиану и осью вращения оболочки; ри — внутреннее избыточное давление в оболочке; Рк(Хк) — силовая характеристика нити корда, отражающая зависимость усилия Р от кратности удлинения нити корда
Як - -^Я^соб^0 + Я22Бт2а0,
(11)
к — число слоёв нитей корда одного направления,
хр = 1
Хк
4 ^
(12)
между нитями корда и начальный угол наклона нитей корда к меридиану — параметрическими зависимостями 50 = §0(^0), а0 = а0(^0) соответственно, которые устанавливаются путём прямых измерений специальным образом подготовленных образцов резинокордной оболочки, либо теоретически, исходя из технологии изготовления ре-зинокордной оболочки [5].
Полная система уравнений (1 — 12), описывающая упругое деформирование резинокордной оболочки, является нелинейной. По этой причине возможно только численное решение соответствующей краевой задачи. С другой стороны, при поиске численного решения нелинейной задачи необходимо располагать «хорошим» начальным приближением, достаточно близким к искомому решению для того, чтобы обеспечить сходимость численного алгоритма и сократить время проведения численных расчётов. Поэтому первый шаг в исследовании нелинейных систем состоит, как правило, в построении приближённой линейной модели, получаемой линеаризацией исходных уравнений. Если в дополнение к этому удаётся получить аналитическое решение линеаризованных уравнений1, то тогда можно проверить адекватность линейной математической модели и уточнить область её применимости.
Помимо этого, приближённое аналитическое решение линеаризованной задачи позволяет, во-первых, быстро и эффективно проводить предварительный анализ работы пневматического элемента в составе той или иной системы виброзащиты и виброизоляции и, во-вторых, ставить и решать задачи оптимального проектирования, связанные с подбором рациональных конструктивных параметров резинокордной оболочки, оценивать её поведение во всём диапазоне изменения конструктивных параметров и, как минимум, делать качественное заключение о целесообразности того или иного технического решения.
В этой связи настоящая статья посвящена выводу линеаризованных уравнений математической модели резинокордной оболочки вращения (1 — 12) и анализу характерных особенностей.
Теория
Поскольку вся нагрузка, приложенная к ре-зинокордной оболочке, воспринимается практически одними нитями корда, при построении линейной математической модели, ограниченной малыми упругими деформациями, можно пренебречь вкладом резины. В этом случае после отбрасывания последнего члена в правой части (7), (8) получаются упрощённые определяющие соотношения, используемые в безмоментной теории сетчатых оболочек вращения [7 — 17]:
= 2кР1У
Т - 2
80 Як Я 2
объёмные доли резины и нитей корда соответственно в (несжимаемом) резинокордном композите, — диаметр нити корда в ненагруженном состоянии, Л0 и Л — полутолщина стенки резинокордной оболочки до и после нагружения. Геометрическая форма оболочки в ненагруженном состоянии описывается параметрическими зависимостями -0 = г0(у, z0 = я0(у, а начальный шаг
Г2 - 2
к Рк(Як) к
80 Як Я1
(13)
(14)
Если (14) разделить на (13), придём к общеизвестному соотношению между погонными усилиями вдоль меридиана и параллели при симметричном нагружении оболочки:
к
2
Г
-
0
0-
T2 / T1 = tg2 a.
(15)
dz0 (Ço )
dÇo
d>0 fo ) д sl
d^o
cos [Ф°° (Ço )]-к & )],
Ä = -KO (Ço ),
dÇo
^Ц- = Х^т[ф0(40) + Дф1]- sin[p0(40)],
Введём следующие представления для геометрических переменных:
r = Г0(У + U ,
z = z0(^0) + uz ,
Ф1 = Ф0 (4о ) + Дф1, (16)
где ur , uz — радиальное и осевое перемещения точек срединной поверхности оболочки при переходе из отсчётной в актуальную конфигурацию соответственно, Дф — приращение угла наклона меридиана к оси вращения оболочки при указанном переходе (рис. 1). В качестве от-счётной конфигурации возьмём конфигурацию, в которой нет смещения торцов оболочки из её среднего положения (S = l —10 = 0), нити корда не напряжены, а погонные усилия T1 = T2 = 0. Последнее имеет место, если внутреннее избыточное давление равно нулю (pu = 0).
Будем исходить из предположения, что первичные переменные T1, ur, uz, Дф непрерывным образом зависят от избыточного давления p и что
lim T1 = 0,
p, ^ 0
lim ur = 0,
p, ^ 0
lim uz = 0,
p, ^0
lim Аф1 = 0. (17)
p, ^0
Полагаем также, что внутреннее избыточное давление ри достаточно мало для того, чтобы можно было пренебречь любыми членами в исходных нелинейных уравнениях, кроме тех, которые линейным образом зависят от величин ри, Т1, иг, и, ДФ1 и их производных по независимой переменной .
Преобразуем систему дифференциальных уравнений (1—4) с учётом замены первичных переменных (16), соотношения (15) и вытекающих из (2 — 4) равенств
= 4iKi -ко (4о )].
(20) (21)
Для замыкания системы дифференциальных уравнений (18 — 21) следует добавить определяющие соотношения (13), (15), выражения (5) для кривизны меридиана и параллели, преобразованные выражения для кратностей удлинения меридиана и параллели
. cosa
Л1 = -Лж ,
cosa0 sina
"2 . "ж
sina0
^2 = Г. Г0
(22)
эквивалентные выражениям (6), (11), а также выражение
X = 1 + е
(23)
связывающее кратность Хк и относительное удлинение ек нитей корда. Для точного описания силовой характеристикой нитей корда достаточно ограничиться квадратичной зависимостью
Рк = аВк + Ъв1 (24)
1. Линеаризация математической модели
Исходя из (16) и представления
а = а0(У + Дa,
в линейном приближении имеем
Бтф1 ^ втф0 + совф0Аф1, совф1 ^ еовф0 - Бтф0Аф1,
(25)
sina s sina0 + cosa0Аа,
cosa s cosa0 - sina0Aa,
(26)
tga s tga0 +
Aa
0 +-2-
cos a
tg a s tg a0 +
2 2tga0Aa
02
cos a„
1 ~ 1 r r
r 2 '
0 '0
(27)
О
IS IB
OS
0 о E н T x >0 z А
■ К > О
is
1 о
О
< К
O О
где Kj — кривизна меридиана в отсчётной конфигурации. Получим
d^o r0 (^0 ) + U
= Vosk (4o) + ДфЛ- cosfa(4o)], (19)
С учётом (16), (23), (26) линеаризованные уравнения (22) принимают вид
Xj s 1 + sK - tga0Aa, X2 s 1 + sK + ctga0Aa,
s 1 + .
(28)
0
17
r,
Последние два уравнения (28) отражают связь между приращением угла наклона нитей корда Да, их относительным удлинением ек и радиальным смешением и :
(
Аа =
(29)
Далее линеаризуем уравнения (15), (24):
Т2 = т;tg2a0,
Т1 = 2ек — ео82а0. 8„
Подставляя (34) в (33), приходим к выражению
0 2 СОБф?
к = < - А + tg2ao —и +
Го2
+ 1д2а0 ^ Аф1 - СО^ Да. (36)
г0 со82а0 г0
Перейдём к дифференциальному уравнению (18). Благодаря (25), (27), (28) получаем линеаризованное уравнение
(30)
На основании (23), (28), (30) для линеаризованного соотношения (13) имеем
2 ^ ^0 - 1)7,.
(37)
(31)
Разделяя переменные в (37), интегрированием находим
Г&0) ^ 71(0)ехр{|81п(^ [1д2а0&)- }, (38)
10 Г0 Йо)
Соотношение (31) позволяет выразить относительное удлинение нитей корда через меридианное усилие:
где Т1(0) — значение меридианного усилия при =0 (в точке крепления оболочки к металлической арматуре). Если ввести обозначение
Зот;
2аксо$ а.
(32) Рт (4о) = ехрЛ*^^ [1д2а0&) -
I о го (^о )
Обратимся теперь к выражениям (5) для кривизны меридиана и параллели. С помощью (25), (27) сначала находим
выражение (38) можно переписать в компактном виде:
т^0 ) = тРг (40). (39)
0 0 -0 СОБф. СОБф. Б1Пф, , К2 =-—--иГ--^ Аф1.
После этого с учётом (15), (27) получаем
С другой стороны, согласно (34) Ри
Т =
(40)
к0 + со^ч - а
к, = ь - 1дЧС°=ф- + 1д2«0^ и +
Г,
2 б1П (Ро Д 21да0 СОБ фо
+ tg ао-АР1
Аа.
соб а„ г
Ри = к? + СС^^ - Л ,
Т1 Г0
11т А - 0.
Ри ^0
или в линейном приближении (по поправке к кривизне меридиана А)
(33)
Т =■
Ри
РиА
к0 + ^дЧ '
-■ (41)
При ри = 0 кривизна к= = к0(^0). В силу данного факта из (33) имеем
Пш к1 = Пш ^ - с°8?01д2ао = к0
р, ^0 р, ^0 Т1 г0
11ш Ри = ко + СО^д2а0. р. Т г
Следовательно, по определению предела [18]
к0 + ^дЧ
Согласно (35), поправка А является бесконечно малой величиной по избыточному давлению Ри = 0. Поэтому в первом приближении (по Ри) из (41) имеем
т;(4„ ) =
Ри
°'= к„ (4„) + tg2a„ (4„)
г„ (4„)
На основании (42) можно записать
Ри
(42)
7,(0) =
(34)
к0 (0) + 1дЧ (0)'
го (0)
Поэтому приближённые зависимости (39), (42) совместимы друг с другом в том случае, если
где А — некоторая величина первого порядка малости:
(35)
Рт (4с
к0 (0) + 1д2ас (0)
--. (43)
к0 (4с) + ^^ 1д2ас (4с) Г0 (40 )
Г
- К
к
ЧГ0
рк = аеК
=
Г
0
0
0
г.
0
г
г,
0
0
2
г
г
0
г
0
или
Подстановка выражения (42) в (32) определяет зависимость относительного удлинения нитей корда в первом приближении по давлению:
SoP„
2akcos a.
к0 + C0^tg2ao
Л ■
А = К0 + tg2ao - P
dA _ _d_
d^o _ d^o
C? + ^ tg2ao
E^ËIl
T2 d^o
d
d^o
o
0 + ^ tg2a?
+
+ K {tg^-l) s.n (ф? +Дф1 ) = T1 ro + u
d
d??
o
0 + ^ tg2a?
+ X 1
o
o cos ф, 2 \
к 0 +-— tg2ao - A
r
Л
(tg2a - l)
sin (ф o + Дф j ).
Линеаризуя данное уравнение, с помощью (25), (27-29), (44) получим
dA _ _d_
d^ _ d^o
( o ч\
к0 + ^tg^
v
r
o
0 + cos ф°
1
к, +-
^g2ao
V
o
cos Ф0 X-Дф, +
ro
( o
0 cos ф, 2
к0 +-— tg2a 0
r
v
0
/
(44)
'^ - tg4 + 1
cos2a
0
sin ф0
—
1n
/
0
Замечание. После нахождения зависимости А(^0) выражение (41) можно использовать как приближение второго порядка (по давлению ри) для меридианного усилия Т1(^0). Более высокую точность обеспечивает прямое применение выражения (40). Подробное изложение вопроса о порядке внесения поправок в приближённые зависимости первого порядка требует отдельного исследования, выходящего за рамки настоящей статьи.
Чтобы получить дифференциальное уравнение для поправки А(^0), перепишем выражение (34) в виде2
Отсюда со ссылкой на пределы (17), (35) следует, что
(45)
/
X tg_a<Lli slnф0 + 80Pu r0 2akcos2a0
2
tg4a0 - -1
cos a0 у
x sln^ -(tg2a0 - 1)^ A +
dA d iim-=-
( 0 A
о cos ф, 2 к0 +-tg2a0
r
f
0 cos ф 2
"W„ 2
tga 0 1 sin ф° = 0. (46)
tg a 0
В результате приходим к искомому дифференциальному уравнению
dA
S0 Pu
sin / 2 л sin Ф0
d^0 2akcos aQ rQ
/, 2 л sinф. д ■-(tg2ao - 1)-ÏL A +
q cos ф. 2 kq +-^ tg2ao
V 'q
(
+
(tg2aQ - l)С0^фО Дф. + r
Возьмём от (45) производную по и учтём дифференциальное уравнение (18) совместно с (34); придём к следующей цепочке равенств:
о cos ф. 2 kq +-^ tgX
v
sin ф1
4, U ■
(47)
Сопутствующее равенство (46) определяет дифференциальную связь между геометрическими характеристиками меридиана срединной поверхности оболочки и углом расположения нитей корда в отсчётной конфигурации. Равенство (46) в обязательном порядке должно выполняться, чтобы существовали пределы (17), (35).
Аналогичным образом линеаризуются уравнения (19), (20). Исходя из (25), (28), имеем
du.
SpPu (tgX +1)
cos ф,
^ 2akcos2a0 ко + co^ tg2a0
0. . 2 cos ф. - sin ф, Дф, - tg a0-- ur
(48)
dur
s,Pu (tg2ao +,)sin
ф,
d^0 2akcOs2a0 к. + ^ tg2a0
0 2 sin ф, + cos ф° Дф, - tg a0-- ur.
(49)
Точно так же для уравнения (21) с помощью (36) получаем
¿Аф,
8oPu
2akcos а.
o cos ф, 2 к0 +-^ tg2ao
к0(tg2ao + 1)+ 2 tg2«o COSф0
cos a„ r
+ A
tg ao ^ mo
sin ф,Аф, +
о о M s
о С
I ■
■ О IS IBS
ü
OS о О E s T x >0 z А
■ К > О
äs
i о
О
V <"> К
о О
0 cos ф, 2
к0 +-— tg2a0
(tg2a0 - l)x
tg2ao
o cos ф1
ч +
r
-1
Щ. (50)
X
X
Вк =
o
+
+
r,
0
0
r
0
+
r
o
r
0
0
0
+
r
o
r
o
+
r
0
X
r
0
X
ro + u
+
r,
0
r
0
+
+
X
X
X
o
+
X
r
0
0
o
2
+
+
cos a
r
0
o
o
Таким образом, замкнутая система линеаризованных уравнений состоит из четырёх дифференциальных уравнений (47 — 50), служащих для определения неизвестных функций А(^0), и.Д0) , иг(^0) , Дф1(^0) по заданным граничным условиям. Так, например, для оболочки с неизменными точками крепления к металлической арматуре (рис. 1) граничные условия можно представить в следующем виде:
u-l * =0 =
^Ео = 0 = 0
Ur Е-Е = 0
'So So
U*lЕо-Е0 = 5 '
(51)
(52)
где 40 — криволинейная координата той точки меридиана, в которой закреплена оболочка справа (рис. 1); S = I — 10 относительное смещение торцов оболочки (рис. 1). В случае если резино-кордная оболочка обладает плоскостью симметрии z0 = 10 / 2 в ненагруженном состоянии (рис. 1), то граничные условия (52) можно заменить эквивалентными граничными условиями
£
Г £ = £K 'So So
= o,
S/ 2,
130
120
110
100
90
80
70
60
т з мм
Ко
/
щ
.-1
ч>
Z, мм
10
20
30
которые более удобны при интегрировании системы уравнений (47 — 50). Здесь 4К - 40/2 — криволинейная координата точки меридиана, расположенной на экваторе оболочки посередине её длины (рис. 1).
Обсуждение результатов
Исходная нелинейная математическая модель (1 — 12) обладает одной характерной особенностью. Дело в том, что геометрия меридиана оболочки «по чертежу», имеющая место после изготовления при нулевом избыточном давлении Ри = 0, может существенно отличаться от геометрии меридиана при стремлении избыточного давления к нулевому пределу ри ^ 0. Так, например, «по чертежу» полумеридиан резинокордной оболочки баллонного типа состоит из прямолинейного участка А0В0 и четверти окружности В0К0 (рис. 2). В точке крепления А0 при начальном значении ф1 = 90 ° приращение угла наклона меридиана к оси вращения составляет Дф1 = = 16,0 ° при избыточном давлении ри = 10-4 бар (или 10 Па) (рис. 2). Поэтому если в качестве от-счётной конфигурации берётся конфигурация3 при ри = 0 (положение 1 меридиана на рис. 2), то тогда не будут выполняться предельные равенства (17), которые лежат в основе процедуры линеаризации. В частности, не будут удовлетворяться равенства (43), (46), которым должна соответствовать «правильная» геометрия меридиана оболочки в отсчётной конфигурации. Указанные требования выполняются только в том случае, если в качестве отсчётной конфигурации взять предельную конфигурацию, имеющую место
Рис. 2. Меридиан срединной поверхности РКО модели Н-50 при S = 0: 1 — избыточное давление pu = 0; 2 — избыточное давление pu = 10 Па; А0 — точка крепления оболочки к металлической арматуре; B0 — точка перехода от прямой линии к окружности (pu = 0); K0 — точка экватора (pu = 0) Fig. 2. The meridian of the middle surface of the RKO model N-50 at S = 0: 1 — overpressure pu = 0; 2 — overpressure pu = 10 Па; A0 — point of attachment of the casing to metal fittings; B0 — transition point from a straight line to a circle (pu = 0); K0 — equator point (pu = 0)
при ри ^ 0 (положение 2 меридиана на рис. 2). Недостатком данной конфигурации является то, что она наперёд неизвестна, соответствующие геометрические характеристики меридиана приходится предварительно оценивать, используя численные методы: рассчитывать на ПЭВМ и аппроксимировать результаты так, чтобы выполнялись равенства (43), (46).
Несовпадение конфигураций оболочки при ри = 0 и ри^0 является следствием того, что исходная математическая модель (1 — 12) базируется на безмоментной теории резинокордных оболочек. При учёте сопротивления изгибным деформациям данная особенность не возникает. Однако в последнем случае математическая модель сильно усложняется, что не совсем оправданно, так как для пневматических элементов практическое значение имеет поведение резинокордной оболочки при достаточно больших давлениях (1 бар и выше), для которых приближения безмо-ментной теории вполне достаточно [7 — 17].
Обоих отмеченных особенностей лишён случай, когда меридиан оболочки в ненагруженном состоянии является прямой линией. Данный слу-
u
чай соответствует резинокордной оболочке, которая в технической литературе называется ре-зинокордным патрубком [19, 20]. Резинокордные патрубки применяются не только для соединения трубопроводов, но и в качестве так называемых пневматических амортизаторов рукавного типа [14], рукавных амортизаторов растяжения [21] в системах виброзащиты и виброизоляции.
Заключение
Линеаризованные уравнения (47 — 50) представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Вследствие переменности коэффициентов получить общее аналитическое решение не представляется возможным, кроме частного случая, когда коэффициенты являются постоянными величинами [22 — 24].
Более существенной является другая характерная особенность рассматриваемой краевой задачи, проиллюстрированная на примере ре-зинокордной оболочки баллонного типа (рис. 2). Прямолинейный участок меридиана А0В0 под действием ненулевого (даже бесконечно малого) избыточного давления должен значительно искривиться, чтобы стало возможным достижение соответствующего положения равновесия. Поэтому геометрия меридиана при ри = 0 сильно отличается от геометрии меридиана при стремлении избыточного давления к нулевому пределу ри ^ 0.
Обеих отмеченных особенностей лишён частный случай, когда меридиан оболочки в нена-груженном состоянии является прямой линией. В технических приложениях данные оболочки используются в качестве резинокордных патрубков для соединения трубопроводов [19, 20], в системах виброзащиты и виброизоляции — как пневматические амортизаторы рукавного типа [14] или рукавные амортизаторы растяжения [21]. В последующем исследовании будет показано, что для перечисленных резинотехнических изделий можно получить аналитическое решение линеаризованной математической модели, которое представляет практический интерес для проектирования резинокордных оболочек вращения с оптимальными рабочими характеристиками.
Примечания
1 Как отмечал Н. Е. Жуковский, «задача учёного составлять такие уравнения, которые можно интегрировать» [6].
2 С логической точки зрения запись (45) является определением величины А.
3 Обратим внимание, что в отсчётной конфигурации смещение торцов оболочки отсутствует: 5 =1 —10 =0 (рис. 1).
Список источников
1.Акопян Р. А. Пневматическое подрессоривание автотранспортных средств (вопросы теории и практики). В 2 ч. Львов: Вища школа. Изд-во при Львов. ун-те, 1979. Ч. 1. 218 с.
2. Певзнер Я. М., Горелик А. М. Пневматические и гидропневматические подвески. М.: Машгиз, 1963. 319 с.
3. Равкин Г. О. Пневматическая подвеска автомобиля. М.: Машгиз, 1962. 289 с.
4. Гордеев Б. А., Ерофеев В. И., Синев А. В. [и др.]. Системы виброзащиты с использованием инерционности и диссипации реологических сред. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 176 с. ISBN 5-9221-0561-2.
5. Корнеев В. С., Шалай В. В. Математическая модель резинокордной оболочки вращения для пневматических амортизаторов // Омский научный вестник. Сер. Авиаци-онно-ракетное и энергетическое машиностроение. 2019. Т. 3, № 1. С. 22-41. DOI: 10.25206/2588-0373-2019-3-1-22-41.
6. Новожилов В. В., Черных К. Ф., Михайловский Е. И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 655 с. ISBN 5-7325-0127-4.
7. Бидерман В. Л. Расчеты резиновых и резинокорд-ных деталей // Расчеты на прочность в машиностроении. В 3 т. Т. 2. Некоторые задачи прикладной теории упругости. Расчеты за пределами упругости. Расчеты на ползучесть / под ред. С. Д. Пономарева [и др.]. М.: Машгиз, 1958. С. 487-591.
8. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1977. 488 с.
9. Бидерман В. Л., Гуслицер Р. Л., Захаров С. П. [и др.]. Автомобильные шины (конструкция, расчёт, испытание, эксплуатация). М.: Госхимиздат, 1963. 383 с.
10. Frank F., Hofferberth W. Mechanics of the Pneumatic Tire // Rubber Chemistry and Technology. 1967. Vol. 40, Issue 1. P. 271-322. DOI: 10.5254/1.3539045.
11. Clark S. K. Mechanics of Pneumatic Tires: monograph. Washington D. C.: U. S. Department of Transportation, National Highway Traffic Safety Administration, 1981. 853 p.
12. Gent A. N., Walter J. D. The Pneumatic Tire. U. S. Department of Transportation, National Highway Traffic Safety Administration, Washington D. C., 2006. 701 p.
13. Koutny F. Geometry and Mechanics of Pneumatic Tires. CZE: Zlin, 2007. 139 p.
14. Трибельский И. А., Шалай В. В., Зубарев А. В. [и др.]. Расчётно-экспериментальные методы проектирования сложных резинокордных конструкций: моногр. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2011. 238 с. ISBN 978-5-8149-1077-6.
15. Корнеев С. А., Трибельский М. И. Расчётная модель сетчатой оболочки вращения для резинокордного патрубка // Омский научный вестник. 2012. № 1 (107). С. 101-109.
16. Корнеев С. А., Соколовский З. Н., Русских Г. С., Корнеев В. С., Трибельский М. И. Учёт влияния растяжимости нитей корда на расчётные параметры резинокорд-ных оболочек // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 3 (35). С. 69-76.
17. Корнеев С. А., Трибельский М. И., Пеньков И. А., Корнеев В. С. Аналитический метод расчёта цилиндрических резинокордных оболочек // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2014. № 2 (42). С. 71-77.
18. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. М.: Наука, 1970. Т. 1. 608 с.
19. Патрубки // ФГУП «ФНПЦ «Прогресс». URL: http://www.progress-omsk.ru/constructor.php?act = group1 (дата обращения: 15.04.2019).
20. Резинокордные компенсационные патрубки // ООО НПП «Сибрезинотехника». URL: http://srti.ru/ Katalog/?id = 35 (дата обращения: 15.04.2019).
21. Русских Г. С., Онуфриенко А. В., Глазкова Е. Ю. Расчет резинокордного амортизатора растяжения // Омский научный вестник. 2015. № 3 (143). С. 90-94.
22. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.
23. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970. 332 с.
I ■
л
О
IS 1> N1
OS о О E н T х >0 z А
■ К > О
äs
i о
О
< К
O О
24. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. 232 с.
AuthorlD (РИНЦ): 9913 ORCID: 0000-0003-0635-4849
КОРНЕЕВ Владимир Сергеевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Основы теории механики и автоматического управления». SPIN-код: 5866-0890 AuthorlD (РИНЦ): 566718 ORCID: 0000-0003-1694-1190 AuthorlD (SCOPUS): 57190977806 Адрес для переписки: 79045840307@ya.ru ШАЛАИ Виктор Владимирович, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой «Нефтегазовое дело, стандартизация и метрология», президент ОмГТУ. SPIN-код: 2322-6820
AuthorID (SCOPUS) AuthorID (SCOPUS) AuthorID (SCOPUS)
35792469000 56755298300 57190972363
й^еагЛегГО: Р-8233-2015
Адрес для переписки: shalay@omgtu.ru
Для цитирования
Корнеев В. С., Шалай В. В. Линеаризованная математическая модель резинокордной оболочки вращения // Омский научный вестник. Сер. Авиационно-ракетное и энергетическое машиностроение. 2019. Т. 3, № 2. С. 15 — 24. Б01: 10.25206/2588-0373-2019-3-2-15-24.
Статья поступила в редакцию 23.04.2019 г. © В. С. Корнеев, В. В. Шалай
Э "> = >
т
UDC 539.3:62-567.5
DOI: 10.25206/2588-0373-2019-3-2-15-24
LINEARIZED MATHEMATICAL MODEL OF RUBBER-CORD SHELL OF ROTATION
V. S. Korneyev, V. V. Shalay
Omsk State Technical University, Russia, Omsk, Mira Ave., 11, 644050
The procedure of linearization of the previously constructed mathematical model of a rubber-cord shell of rotation with elastically deformable cord threads under symmetric loading with internal excessive pressure and axial force is performed. The characteristic specialty of the linearized mathematical model is analyzed, special attention is paid to the correct choice of the unloaded reference configuration, which takes place not at zero excess pressure, but at excess pressure tending to zero. It is noted that the linearized mathematical model is of the greatest practical interest for analytical calculation and design of rubber-cord branch pipes and pneumatic sleeve-type shock absorbers with optimal performance characteristics.
Keywords: rubber-cord shell of rotation, mathematical model, linearization, unloaded configuration.
O
IIS 1> N1
OS g o E h T x >0 z A > O
1 o
O
< K
O o
References
1. Akopyan R. A. Pnevmaticheskoye podressorivaniye avto-transportnykh sredstv (voprosy teorii i praktiki) [Pneumatic suspension of vehicles (theory and practice questions)]. In 2 parts. Lviv: Vishcha shkola Publ. Izdatel'stvo pri L'vovskom universitete Publ., 1979. Part 1. 218 p. (In Russ.).
2. Pevzner Ya. M., Gorelik A. M. Pnevmaticheskiye i gidro-pnevmaticheskiye podveski [Pneumatic and hydropneumatic suspensions]. Moscow: Mashgiz Publ., 1963. 319 p. (In Russ.).
3. Ravkin G. O. Pnevmaticheskaya podveska avtomobilya [Air suspension car]. Moscow: Mashgiz Publ., 1962. 289 p. (In Russ.).
4. Gordeyev B. A., Erofeyev V. I., Sinev A. V. [et al.]. Sistemy vibrozashchity s ispol'zovaniyem inertsionnosti i dis-sipatsii reologicheskikh sred [Vibration protection systems using inertia and dissipation of rheological media]. Moscow: FIZMATLIT Publ., 2004. 176 p. ISBN 5-9221-0561-2. (In Russ.).
5. Korneyev V. S., Shalay V. V. Matematicheskaya model' rezinokordnoy obolochki vrashcheniya dlya pnevmaticheskikh amortizatorov [Mathematical model of the rubber-cord shell of rotation for pneumatic dampers] // Omskiy nauchnyy vestnik. Ser. Aviatsionno-raketnoye i energeticheskoye ma-shinostroyeniye. Omsk Scientific Bulletin. Series Aviation-Rocket and Power Engineering. 2019. Vol. 3, no. 1. P. 22 — 41. DOI: 10.25206/2588-0373-2019-3-1-22-41. (In Russ.).
6. Novozhilov V. V., Chernykh K. F., Mikhaylovskiy E. I. Lineynaya teoriya tonkikh obolochek [The linear theory of thin shells]. Leningrad: Politekhnika Publ., 1991. 655 p. ISBN 5-7325-0127-4. (In Russ.).
7. Biderman V. L. Raschety rezinovykh i rezinokordnykh detaley [Calculations of rubber and rubber-cord parts] // Raschety na prochnost' v mashinostroyenii. V 3 t. T. 2. Nekotoryye zadachi prikladnoy teorii uprugosti. Raschety za predelami uprugosti. Raschety na polzuchest' [Strength calculations in mechanical engineering. In 3 parts. Part 2. Some problems of the applied theory of elasticity. Calculations beyond elasticity. Calculations for creep] / Eds. S. D. Ponomarev [et al.]. Moscow: Mashgiz Publ., 1958. P. 487-591. (In Russ.).
8. Biderman V. L. Mekhanika tonkostennykh konstruk-tsiy [Mechanics of thin-walled structures]. Moscow: Mashi-nostroyeniye Publ., 1977. 488 p. (In Russ.).
9. Biderman V. L., Guslitser R. L., Zakharov S. P. [et al.]. Avtomobil'nyye shiny (konstruktsiya, raschet, ispytaniye, ek-spluatatsiya) [Car tires (design, calculation, test, exploitation)]. Moscow: Goskhimizdat Publ., 1963. 383 p. (In Russ.).
10. Frank F., Hofferberth W. Mechanics of the Pneumatic Tire // Rubber Chemistry and Technology. 1967. Vol. 40, Issue 1. P. 271-322. DOI: 10.5254/1.3539045. (In Engl.).
11. Clark S. K. Mechanics of Pneumatic Tires: monograph. Washington D. C.: U. S. Department of Transportation, National Highway Traffic Safety Administration, 1981. 853 p. (In Engl.).
12. Gent A. N., Walter J. D. The Pneumatic Tire. U. S. Department of Transportation, National Highway Traffic Safety Administration, Washington D. C., 2006. 701 p. (In Engl.).
13. Koutny F. Geometry and Mechanics of Pneumatic Tires. CZE: Zlin, 2007. 139 p. (In Engl.).
14. Tribel'skiy I. A., Shalay V. V., Zubarev A. V. [et al.]. Raschetno-eksperimental'nyye metody proyektirovaniya slo-zhnykh rezinokordnykh konstruktsiy [Computational-experimental methods for designing complex rubber-cord constructions]. Omsk: OmSTU Publ., 2011. 238 p. ISBN 978-58149-1077-6. (In Russ.).
15. Korneyev S. A., Tribelskiy M. I. Raschetnaya model' setchatoy obolochki vrashcheniya dlya rezinokordnogo pat-rubka [The computational model of rotation lattice shells for rubber-cord branch pipe] // Omskiy nauchnyy vestnik. Omsk Scientific Bulletin. 2012. No. 1 (107). P. 101-109. (In Russ.).
16. Korneyev S. A., Sokolovskiy Z. N., Russkikh G. S., Korneyev V. S. Tribelskiy M. I. Uchet vliyaniya rastyazhimosti nitey korda na raschetnyye parametry rezinokordnykh obolochek [The Influence of Cord's Stretch on Designed Parameters of Rubber-Cord Shells] // Sovremennyye tekh-nologii. Sistemnyy analiz. Modelirovaniye. Modern Technologies. System Analysis. Modeling. 2012. No. 3 (35). P. 69-76. (In Russ.).
17. Korneyev S. A., Tribelskiy M. I., Penkov I. A., Kor-neyev V. S. Analiticheskiy metod rascheta tsilindricheskikh rezinokordnykh obolochek [Analytical Method for Analysis of Cylindrical Rubber-Cord Shells] // Sovremennyye tekhno-logii. Sistemnyy analiz. Modelirovaniye. Modern Technologies. System Analysis. Modeling. 2014. No. 2 (42). P. 71-77. (In Russ.).
18. Fikhtengol'ts G. M. Kurs differentsial'nogo i integra-l'nogo ischisleniya [Course of differential and integral
calculus]. In 3 vols. Moscow: Nauka Publ., 1970. Vol. 1. 608 p. (In Russ.).
19. Patrubki [Nozzles]. URL: http://www.progress-omsk.ru/ constructor.php?act = group1 (accessed: 15.04.2019). (In Russ.).
20. Rezinokordnye kompensacionnye patrubki [Rubber-cord compensation nozzles]. URL: http://srti.ru/Katalog/?id = 35 (accessed: 15.04.2019). (In Russ.).
21. Russkih G. S., Onufrienko A. V., Glazkova E. Yu. Raschet rezinokordnogo amortizatora rastyazheniya [Calculation of rubber-cord stretching damper] // Omskiy nauchnyy vestnik. Omsk Scientific Bulletin. 2015. Vol. 3 (143). P. 90-94. (In Russ.).
22. Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differen-cial'nym uravneniyam [Handbook of ordinary differential equations]. Moscow: Nauka Publ., 1976. 576 p. (In Russ.).
23. Pontryagin L. S. Obyknovennye differencial'nye ura-vneniya [Ordinary differential equations]. Moscow: Nauka Publ., 1970. 332 p. (In Russ.).
24. Tihonov A. N., Vasil'eva A. B., Sveshnikov A. G. Differencial'nye uravneniya [Differential equations]. Moscow: Nauka Publ., 1980. 232 p. (In Russ.).
SPIN-code: 5866-0890
AuthorlD (RSCI): 566718
ORCID: 0000-0003-1694-1190
AuthorlD (SCOPUS): 57190977806
Address for correspondence: 79045840307@ya.ru
SHALAY Viktor Vladimirovich, Doctor of Technical
Sciences, Professor, Head of Transport, Oil and
Gas Storage, Standardization and Certification
Department, President of OmSTU.
SPIN-code: 2322-6820
AuthorlD (RSCI): 9913
ORCID: 0000-0003-0635-4849
AuthorlD (SCOPUS): AuthorlD (SCOPUS): AuthorlD (SCOPUS):
KORNEYEV Vladimir Sergeyevich, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of Fundamentals of the Theory of Mechanics and Automatic Control Department.
): 35792469000 ): 56755298300 ): 57190972363 ResearcherID: P-8233-2015
Address for correspondence: shalay@omgtu.ru For citations
Korneyev V. S., Shalay V. V. Linearized mathematical model of rubber-cord shell of rotation // Omsk Scientific Bulletin. Series Aviation-Rocket and Power Engineering. 2019. Vol. 3, no. 2. P. 15-24. DOI: 10.25206/2588-0373-20193-2-15-24.
Received 23 April 2019. © V. S. Korneyev, V. V. Shalay
I Ï
f3
3 "> = >
Ü
