CC BY
88
ВЕСТНИК 11/2013
МГСУ_11/2013
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ
СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ
УДК 624.012.4
М.В. Берлинов, Е.А. Макаренков
ФГБОУВПО «МГСУ»
РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С УЧЕТОМ РЕАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ ДЕЙСТВУЮЩИХ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
В инженерной практике обследования строительных конструкций для определения ресурсов несущей способности широко применяется метод конечных элементов. Рассмотрена методика определения несущей способности железобетонных конструкций, подверженных повреждениям. На основе интегральной оценки напряженно-деформированного состояния приведен метод определения модулей деформации для задания жесткостных характеристик элементам. Описанный метод применим при обследованиях отдельных поврежденных конструкций промышленных и гражданских зданий.
Ключевые слова: обследование несущих конструкций, метод конечных элементов, расчет несущей способности, железобетонные конструкции, жесткость конструкции, матрица жесткости.
При обследовании железобетонных конструкций зданий и сооружений часто бывает необходимо выяснить, как поведет себя та или иная конструкция при приложении к ней дополнительной нагрузки либо при изменении режима нагружения.
В современной инженерной практике для расчета как сооружений, так и отдельных конструкций в основном применяется метод конечных элементов (МКЭ). При расчете здания или сооружения в целом создается расчетная схема с довольно укрупненным шагом разбивки на конечные элементы. Однако когда возникает необходимость выяснить запас прочности отдельной конкретной конструкции, разумнее будет смоделировать ее отдельно, например из объемных конечных элементов.
Естественно, что для задания характеристик элементов, из которых будет смоделирована конструкция, необходимо произвести обследование этой конструкции, определить степень ее износа, наличие коррозии, а также учесть какой режим нагружения будет испытывать конструкция впоследствии. Рассмотрим теоретические основы для проведения подобных изысканий при проведении обследования конструкций.
Одно из направлений конечноэлементного моделирования работы железобетона с трещинами связано с работами [1, 2], в которых предлагается обобщение традиционной теории В.И. Мурашева [3] на случай сложного напряженного состояния. Железобетон с трещинами моделируется физически нелинейным анизотропным материалом, представляющим собой распределенную по объ-
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС
_мвви
ему арматуру, ожесточенную за счет остаточных связей ее с бетоном на участке между трещинами. Достоинством подхода является возможность учета сложного, неортогонального армирования, а также таких явлений, как нагельный эффект в арматуре, сил зацепления в трещине, ослабление бетонных сечений каналами арматуры, сдвиг берегов трещин и т.д. [4].
На рис. 1. приведен железобетонный элемент в виде единичного куба в прямоугольных декартовых координатах ^, совпадающих с осями главных напряжений в бетоне, с трещиной по одной из граней.
Рис. 1. Напряжения в арматуре в трещине [4]
В [4] определяются компоненты тензора напряжений по граням этого элемента. По площадкам-трещинам усилия воспринимаются в основном арматурой и лишь частично, в начальный момент, остаточными связями зацепления в бетоне. В арматурных стержнях в сечении с трещиной возникают нормальные с0 и касательные т02, т0з напряжения, которые достигают в этих сечениях максимальных значений. Эти напряжения связаны со средними на участке между трещинами-деформациями в осях п = (1, 2, 3) следующим образом [4]:
с 5 = -Б 5 ; Т 5 2 = -У 5 2 ; т 5 3 = -У 5 3 , (1)
где у 5 — коэффициент В.И. Мурашева, учитывающий влияние растянутого на участке между трещинами бетона на работу арматуры 5-го направления, опре
деляется из выражения: у^ = 1 - ю—— , где ю « 0,7 — коэффициент полноты
а ^ ^
эпюры растягивающих напряжений в бетоне между трещинами, с 5 = с51; пт5 — коэффициент, учитывающий податливость стержней в бетоне тангенциальным смещением у берегов трещин [2].
С учетом (1) напряжения в арматурной среде 5-го направления в матричной форме будут выглядеть [4—6]:
ВЕСТНИК
МГСУ-
11/2013
I-5 }=
- 5
Т 5 2
Т 5 3
5
V 5
0
ПТ5 0
- 5
У 5 2 У 5 3
= Н 15 },
(2)
где
О,
5
V 5
0 0
1
0
ПТ5
0 1
ПТ5
матрица механических характеристик арма-
туры 5-го направления в собственных осях.
Запись матрицы механических характеристик арматуры 5-го направления в местной системе координат для любой схемы трещин в общем виде дана в
[4-6]:
000 000 000
5 0 0 0 (1 -53)— 0 0
V 5
"51 0 0 52 00
0 0 0
0 0 53 0
0 0
(1 -51
0
0
(1 -52)-
(3)
Значения операторов 5г (г = 1, 2, 3) зависят от схемы трещин (рис. 2). Для схемы 1: 51 = 1, 52 = 5з = 0 ; для схемы 2: 51 =52 = 1, 53 = 0; для схемы 3: 51 =52 =53 = 1.
Ь ' %2
Рис. 2. Схемы образования трещин
Искомая матрица для арматуры 5-го направления [О5 ] в общей системе координат х, у, г может быть получена по формуле [4, 5]
0
0
п
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС
_мвви
[ D ] = [ m ] Ds [ m ]
iT
(4)
где [т ] — матрица направляющих косинусов для арматурной среды 5-го направления.
Очевидно, что матрица механических характеристик железобетона будет являться суммой матриц механических характеристик бетона и арматуры каждого 5-го направления:
[П]=[ПЬ ]+Е[й ], (5)
где [йь ] и [й5 ] — соответственно матрица механических характеристик бетона и армирующей среды.
При образовании трещин по схеме 1 бетон по площадкам, параллельным трещинам, т.е. в направлениях и (см. рис. 2), остается сплошным изотропным материалом, однако, работающим в условиях плоского напряженного состояния, поскольку по площадкам с трещинами в направлении ^ он считается выключенным из работы, его жесткость в этом направлении учитывается за счет увеличения жесткости арматуры коэффициентом у5 . Если трещины образуются по схеме 2, то бетон в направлении ^3 в [4] принимается работающим при одноосном напряженном состоянии и с^ и Сь2 принимаются равными нулю. При работе по схеме 3 принимается [йь ] = 0 .
Как известно, связь между напряжениями и деформациями для бетона нелинейна и имеет вид [7]
{с}=[й ММ, (6)
где й({в}) — нелинейная матрица механических характеристик материала,
которая имеет вид [й ] = {с1. Причем [й ] — матрица механических характери-
{в}
стик материала, которая равна [4—6, 8]
[D ]= -v) D (1 + v)(l - 2 v)
1 v
v
v
1-v v
1-v 1-v 1 V v
1-v 1-v 0 0
1-v 1
0 0
0 0 0
0 0 0
1 - 2v 2(1 -v) 0
0
0 0 0 0
1 - 2 v 2(1 -v) 0
0 0 0 0 0
1 - 2v 2(1 -v)
(7)
где Е — модуль упругости материала; V — коэффициент Пуассона. Модуль упругости для бетона предлагается определять на основании интегральной оценки напряженно-деформированного состояния конструкции.
Чтобы выяснить запас прочности конструкции, очевидно необходимо знать ее полные деформации. Имеющиеся деформации и повреждения опре-
ВЕСТНИК
МГСУ-
11/2013
деляются из результатов обследования конструкций, после чего на основании этих данных обратным методом можно вычислить необходимый параметр. В [9] для определения полных деформаций поврежденного коррозией сечения железобетонной конструкции, испытывающей динамические нагружения, с учетом влияния режима нагружения, функции возраста бетона, а также интенсивности коррозионного повреждения в сечении элемента приводится аналитическая запись для вычисления полных деформаций в виде выражения
a(Zо, t )
&(t, to )-s y ((, to ) + SM-
EM (Z0,t,t0 )
■i Si
П
g(Z0, t ) nR (cc)R(да)
d-Kв (ю,p,H)C* (t,x)dT.
(8)
В этом выражении начальный мгновенный модуль упругости можно использовать применительно к выражению (7), с той целью, чтобы отразить в конечноэлементном расчете реальную физику поведения материала. Аналитическое выражение для модуля упругости возьмем из [9]:
1 * -+ ^П (?)КВ (ю,р,Н)С (,т)
EM (Z0 j tj to )-E-■
1 + n
и
(Z0, t )
(9)
В выражениях (8)—(9) еу (t, to) — упругая часть деформаций; — функция нелинейности мгновенных деформаций при поврежденном корро-
а(г о, г)
зией сечении Sм = 1 + Пм
nR (°o)r (да)
; Em (Z0, t, t0 ) — модуль
мгно-
венных деформаций поврежденного элемента; — функция нелинейности деформаций виброползучести поврежденного коррозией сечения; Пя (да) —
коэффициент, определяемый по выражению п(да) =
1
1 + dKB E (t0 )
[9]; —
функция возраста деформации ползучести; Кв (ю,р,Н) — коэффициент виброползучести, определяемый из значений напряжений, возникающих в сечении элемента при нагрузке и разгрузке динамическим нагружением за один цикл воздействия, по выражению
2п
сВ
to +-
to +-
Kв (с
> 'o ) =
to +
Итш ^ , ts д s ?mm de , tr д r *,
dt I Sn — C dx - I —dt I Sn — C dx
dt дт J dt J дт
n to to to
to +-
2n
(10)
to + —
de
' de
д
—dt ISu— C dx- f — dt ISu— C dT dt дт dt дт
to + —
i
0
t
t
ш
ш
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве VESTNIK
_MGSU
где C (t, т) — значение простой ползучести в зависимости от возраста конструкции, для которой определяются деформации, для относительно старого ( 2S < т < 360 сут) и старого ( т > 36О сут) бетонов, по выражениям, приведенным, например, в [9, 10]; знаки ^ и ^ в выражении (10) означают соответственно нагрузку и разгрузку.
Таким образом, с помощью интегральных выражений, основанных на достаточно большом опыте применения и статистических данных результатов экспериментов, можно выяснить реальную физику поведения конструкции, в т.ч. поврежденной коррозией, либо испытывающей новый режим нагружения в связи с изменением назначения здания, и применить данные о реальном, не идеализированном, напряженно-деформированном состоянии в инженерных расчетах с применением современных программных комплексов, основанных на МКЭ. Хотя интегральные выражения и представляют достаточную сложность для расчета, их применение обосновано, особенно в тех случаях, когда необходимо дать оценку работоспособности и пригодности к эксплуатации конструкций зданий первого класса ответственности.
Библиографический список
1. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона. М. i Стройиздат, 1996. 416 с.
2. Карпенко Н.И. Теория деформирования железобетона с трещинами. М. i Стройиздат, 1976. 205 с.
3. Мурашев В.И. Трещиностойкость, жесткость и прочность железобетона. М. i Машстройиздат, 1958. 268 с.
4. Клованич С.Ф., Безушко Д.И. Метод конечных элементов в нелинейных расчетах пространственных железобетонных конструкций. Одесса i Изд-во ОМНУ, 2009.
5. Клованич С.Ф., Балан Т.А. Вариант теории пластичности железобетона с учетом трещинообразования // Приближенные и численные методы решения краевых задач. Математические исследования. Кишинев i ШТИИНЦА, 1988. Вып. 101. С. 10—18.
6. Singiresu S. Rao. The Finite Element Method in Engineering. Fourth edition. Publisher Elsevier Science & Technology Books. Miami. May 2004.
7. Filip C. Filippou. Finite element analysis of reinforced concrete structures under monotonic loads // Structural Engineering, Mechanics and Materials. Department of Civil Engineering. University of California, Berkeley. Report No. UCB/SEMM-90/14. Nov. 1990.
8. Larry J. Segerlind. Applied finite element analysis. Second edition. John Wiley & Sons, Inc. New York, 1937.
9. Бондаренко В.М., Бондаренко С.В. Инженерные методы нелинейной теории железобетона. М. i Стройиздат, 1982. 287 с.
10. Прокопович И.Е., Улицкий И.И. О теориях ползучести бетонов // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1963. № 10. С. 13—34.
Поступила в редакцию в августе 2013 г.
Об авторах: Берлинов Михаил Васильевич — доктор технических наук, профессор кафедры реконструкции и ремонта объектов ЖКК, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected];
Макаренков Егор Александрович — аспирант кафедры реконструкции и ремонта объектов ЖКК, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].
ВЕСТНИК 11/2013
МГСУ_11/2013
Для цитирования: Берлинов М.В., Макаренков Е.А. Расчет железобетонных конструкций методом конечных элементов с учетом реального описания действующих физических процессов // Вестник МГСУ. 2013. № 11. С. 26—33.
M.V. Berlinov, E.A. Makarenkov
THE FINITE ELEMENT METHOD ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURES WITH ACCOUNT FOR THE REAL DESCRIPTION OF THE ACTIVE
PHYSICAL PROCESSES
It is well known, that buildings and their bearing structures are subject to ageing, including corrosion, deterioration, etc. When faults in bearing structure are detected, disposal-at-failure maintenance should be made. But before that, it is necessary to assess the rate of deterioration.
The author suggests to use finite element method for calculation of the safety margin of reinforced concrete bearing structures, because the finite element method is widely used in engineering practice of structural design. In the process of engineering inspection of reinforced concrete structures all defects of the inspected structure should be clearly specified. The article suggests to create the FEM-Model of the inspected structure in view of the fact that this structure is defected. In order to achieve this effect, the stiffness matrix of some finite elements should be changed and the FEM-Model must be created of volumetric finite elements (the article speaks about eight-node parallelepiped elements).
At first the FEM-Model will be created of eight-node parallelepiped elements with standard descriptions for the reinforced concrete; then finite elements in damage area must be changed. On the basis of integral estimation of the mode of deformation, deformation ratio will be calculated, which is essential for the description assignment of the changes in stiffness matrix. The formulation of the deformation ratio includes all the possible defects of structure through indexes, which must be analytically calculated depending on the concrete defect.
The method described in the article is useful in the process of engineering inspection of the reinforced concrete structures. Using this method can sufficiently specify the safety margin of a defected structure and forecast the future operational integrity of this structure under the acting load.
Key words: inspection of load-bearing structures, finite element method, calculation of bearing capacity, reinforced concrete structures, stiffness of a structure, stiffness matrix.
References
1. Karpenko N.I. Obshchie modeli mekhaniki zhelezobetona [General Models of the Reinforced Concretes Mechanics]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1996, 416 p.
2. Karpenko N.I. Teoriya deformirovaniya zhelezobetona s treshchinami [The Theory of Deformation of the Reinforced Concrete with Cracks]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1976, 205 p.
3. Murashev V.I. Treshchinostoykost', zhestkost' i prochnost' zhelezobetona [Crack Strength, Stiffness and Strength of the Reinforced Concrete]. Moscow, Mashstroy-izdat Publ., 1958, 268 p.
4. Klovanich S.F., Bezushko D.I. Metodkonechnykh elementov vnelineynykh raschetakh prostranstvennykh zhelezobetonnykh konstruktsiy [The Finite Element Method for Nonlinear Analysis of Three-dimensional Reinforced Concrete Structures]. Odessa, OMNU Publ., 2009.
5. Klovanich S.F., Balan T.A. Variant teorii plastichnosti zhelezobetona s uchetom tresh-chinoobrazovaniya [The Variant of the PlasticityTheory of the Reinforced Concrete Considering Crack Formation]. Priblizhennye i chislennye metody resheniya kraevykh zadach. Matematicheskie issledovaniya [Approximate and Numerical Methods of the Boundary Problems Solution. Mathematical Analysis]. Kishinev, ShTIINTsA Publ., 1988, no. 101, pp. 10—18.
6. Singiresu S. Rao. The Finite Element Method in Engineering. Fourth edition. Elsevier Science & Technology Books, Miami, 2004.
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС
_мвви
7. Filip C. Filippou. Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Structures under Monotonic Loads. Structural Engineering, Mechanics and Materials. Department of Civil Engineering, University of California, Berkeley, Report No. UCB/SEMM-90/14, 1990.
8. Larry J. Segerlind. Applied Finite Element Analysis. Second edition. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1937.
9. Bondarenko V.M., Bondarenko S.V. Inzhenernye metody nelineynoy teorii zhelezobe-tona [Engineering Methods of the Reinforced Concretes Nonlinear Theory]. Moscow, Stroyiz-dat Publ., 1982, 287 p.
10. Prokopovich I.E., Ulitskiy I.I. O teoriyakh polzuchesti betonov [On the Theories of Concrete Production]. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo i arkhitektura [News of the Institutions of Higher Education. Building and Architecture].1963, no. 10, pp. 13—34.
About the authors: Berlinov Mikhail Vasil'evich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Reconstruction and Repair of Housing and Utility Objects, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected];
Makarenkov Egor Aleksandrovich — postgraduate student, Department of Reconstruction and Repair of Housing and Utility Objects, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].
For citation: Berlinov M.V., Makarenkov E.A. Raschet zhelezobetonnykh kon-struktsiy metodom konechnykh elementov s uchetom real'nogo opisaniya deystvuyush-chikh fizicheskikh protsessov [The Finite Element Method Analysis of Reinforced Concrete Structures with Account for the Real Description of the Active Physical Processes]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 10, pp. 26—33.
