CC BY
82
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ
СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ
УДК 624.075.23 + 624.04:517.9
В.П. Агапов, А.В. Васильев*
ФГБОУВПО «МГСУ», *ООО «Родник»
УЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ ПРИ РАСЧЕТЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОЛОНН ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Описана методика учета геометрической нелинейности при расчете железобетонных колонн методом конечных элементов. Применена суперэлементная технология формирования матричных характеристик железобетонной колонны, при этом для моделирования бетона использованы шестигранные объемные элементы, а для моделирования арматуры — двухузловые стержневые элементы, работающие на растяжение и сжатие. Два типа элементов соединяются между собой в узлах конечно-элементной сетки, что обеспечивает совместную работу бетона и арматуры. Разработанный суперэлемент адаптирован к вычислительному комплексу ПРИНС и в составе этого комплекса может использоваться для геометрически нелинейного расчета строительных сооружений, содержащих железобетонные колонны прямоугольного сечения.
Ключевые слова: строительные конструкции, железобетонные колонны, прямоугольное сечение, метод конечных элементов, суперэлементы, геометрическая нелинейность.
Железобетонные конструкции находят широкое применение в строительстве, поэтому разработке методики расчета таких конструкций уделялось и уделяется большое внимание. В силу специфики бетона, который деформируется линейно лишь при сравнительно небольших напряжениях и к тому же неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, большая часть научных исследований посвящалась изучению закономерностей деформирования бетона и железобетона при малых перемещениях. В этой области достигнуты значительные успехи [1—9]. Что же касается учета геометрической нелинейности в расчетах железобетонных конструкций и их элементов, то этой теме посвящено гораздо меньшее количество работ, и в силу этого методики расчета железобетонных конструкций при больших перемещениях оказались менее развиты [10—12]. В частности, это касается железобетонных колонн прямоугольного сечения. Данная статья преследует цель устранить этот недостаток.
Предлагаемая методика основана на использовании метода конечных элементов в сочетании с суперэлементной технологией формирования характеристик колонны. Ранее эта технология уже была использована авторами при моделировании колонн прямоугольного сечения, выполненных из однородного материала [13]. При этом колонна моделировалась объемными элементами с произвольной разбивкой по длине и сечению, как показано на рис. 1, но на
ВЕСТНИК
МГСУ-
4/2014
Рис. 1. Суперэлемент колонны из однородного материала
стадии формирования характеристик элемента промежуточные узлы исключались. В результате все характеристики суперэлемента приводились к узлам, лежащим в концевых сечениях. Это позволяло устранить недостатки, присущие одномерной модели.
В данной работе предложенная ранее технология использована для построения суперэлемента железобетонной колонны прямоугольного сечения, показанного на рис. 2 и предназначенного для выполнения геометрически нелинейных расчетов. При этом используются два типа конечных элементов: восьми-узловые элементы сплошной среды для моделирования бетона и двухузловые стержневые элементы, работающие на растяжение и сжатие, для моделирования арматуры. Элементы соединяются межу собой в узлах конечно-элементной сетки, что обеспечивает совместную работу бетона и арматуры.
Элемент адаптирован к вычислительному комплексу ПРИНС [14]. Принятая в этом комплексе методика статического расчета геометрически нелинейных конструкций подробно описана в [14], а реализация этой методики применительно к расчету колонн, выполненных из однородного материала и составленных из объемных элементов в [15].
Адаптация нового конечного элемента к ВК ПРИНС требует разработки методики, алгоритма и программ вычисления матрицы жесткости [К], матрицы начальных напряжений [К,] и вектора невязки {Я}, определяемого как разность между вектором узловых нагрузок и статическим эквивалентом внутренних напряжений.
Для суперэлемента железобетонной колонны прямоугольного сечения эта задача решается следующим образом.
Колонна разбивается на шестигранные объемные элементы и двухузловые стержневые элементы, как показано на рис. 2. Для каждого элемента находятся матрицы жесткости [К] и начальных напряжений [К|, определяемые формулами:
к = |втсвс1У, кст = | отзос1У, (1)
V V
где [5] — геометрическая матрица, связывающая компоненты деформаций с узловыми перемещениями; [С] — физическая матрица, связывающая компоненты напряжений с компонентами деформаций; [С] — матрица, связывающая компоненты углов поворота с узловыми перемещениями; [5] — матрица, со-
Рис. 2. Суперэлемент железобетонной колонны
ставленная из компонентов напряжений [7]. Для стержневого элемента матрица начальных напряжений имеет вид [14] "0 0 0 0 0 0
W-7
1 0 0 -1 0
0 1 0 0 -1
-1 0 0 0 0
0 -1 0 -1 -1
где N — продольная сила в стержне; Ь — его длина.
Суммированием матриц, полученных для отдельных элементов, находятся матрицы жесткости для отдельных слоев колонны (см. рис. 1, а) и по методике, описанной в [13], осуществляется послойное редуцирование (исключение степеней свободы для узлов, лежащих на границе между слоями). В результате этого матрица жесткости колонны приводится к узлам, лежащим на ее торцах.
Узловой эквивалент внутренних напряжений для каждого элемента находится по формуле
)=-М м^ (2)
V
где {о} — вектор, составленный из компонентов напряжений.
Интегралы, входящие в формулы (1) и (2), находятся численным способом с использованием нормализованных координат.
Формирование матричных характеристик железобетонной колонны в целом происходит так же, как и в случае колонны из однородного материала [15].
Для проверки работоспособности разработанного элемента рассчитана отдельно стоящая защемленная понизу железобетонная колонна, нагруженная на свободном конце равномерно распределенной нагрузкой, вызывающей сжатие и задаваемой в виде ц = к ■ 7187,5 КПа, и сосредоточенными поперечными силами, равнодействующая которых р = к ■ 0,4 кН, где k — параметр нагрузки. Нагрузка прикладывалась по шагам вплоть до разрушения. Момент разрушения фиксировался по началу расхождения итерационного процесса и появлению больших перемещений.
Высота колонны принималась равной 4 м, размер стороны поперечного сечения равнялся 40 см. Колонна имела 12 арматурных стержней, площадью сечения 3 см2 каждый. Расположение арматурных стержней показано на рис. 3. Материалы имели следующие характеристики: модуль упругости бетона Еб = 3,25 107 КПа, модуль упругости арматуры Еа = 2 108 КПа, коэффициент Пуассона бетона V = 0,2.
Результаты расчета представлены в виде деформированного состояния колонны при различных значениях параметра нагрузки к (рис. 4) и диаграммы равновесных состояний (рис. 5). Наиболее значительный рост перемещений в колонне наблюдался при изменении параметра нагрузки от 9 до 9,7. При параметре нагрузки к = 9,8
lieTOH
Арматура
Рис. 3. Сечение колонны
ВЕСТНИК
МГСУ-
4/2014
итерационный процесс расходился. Это соответствует критической нагрузке д = 70438 КПа. Теоретическое значение критической нагрузки для колонны при принятых размерах и характеристиках материала составляет 72125 КПа. Расхождение найденной по программе ПРИНС критической нагрузки с теоретическим значением составляет 2,34 %, что свидетельствует о достаточно высокой достоверности предложенной методики учета геометрической нелинейности железобетонной колонны прямоугольного сечения и ее реализации в программе ПРИНС.
а б в г
Рис. 4. Деформации колонны при различных значениях параметра нагрузки к:
а — 1; б — 5; в — 9,6; г — 9,7
Л 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.J 0.« 0.5 0.55 0.0 0.05 0.7 0.Т5 0.8 0.85
Перемещение, M
модуль 1 узеп 58 - перемещение по оси у
Рис. 5. Кривая равновесных состояний
Таким образом, предложенный элемент обеспечивает приемлемую точность результатов геометрически нелинейных расчетов и позволяет избавиться от недостатков, присущих традиционному подходу.
Отметим, что тестирование методики учета геометрической нелинейности проводилось авторами в предположении идеальной упругости бетона и арматуры. В реальности разрушение железобетонных колонн может происходить как вследствие потери устойчивости, так и вследствие развития пластических деформаций в бетоне и арматуре и появления трещин в бетоне. Однако этот вопрос является предметом отдельного исследования.
Библиографический список
1. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона. М. : Стройиздат, 1974. 316 с.
2. Яшин А.В. Критерии прочности и деформирования бетона при простом нагру-жении для различных видов напряженного состояния // Расчет и проектирование железобетонных конструкций / под ред. А.А. Гвоздева. М. : 1977. С. 48—57.
3. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона. М, Стройиздат, 1996. 396 с.
4. Chen W.F. Plastirity in Reinforced Concrete. J.Ross Publishing, 2007. 463 p.
5. Gedolin L., Deipoli S. Finite element studies of shear-critical R/C beams // ASCE Journal of the Engineering Mechanics Division. June, 1977. Vol. 103. N EM3. Pp. 395—410.
6. Ngo D., Scordelis A.C. Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Beams // J. Am. Conc. Inst. 1967. Vol. 64. Pp. 152—163.
7. Kotsovos M.D. Effect of Stress Path on the Behaviour of Concrete under Triaxial Stress States // J. Am. Conc. Inst. Vol. 76. № 2. Рр. 213—223.
8. Nam C.H., Salmon C.G. Finite Element Analysis of Concrete Beams // ASCE J. Struct. Engng. Div. Vol. 100. No. ST12. Pp. 2419—2432.
9. Willam K.J., Warnke E.P. (1975). Constitutive models for the triaxial behavior of concrete. Proceedings of the International Assoc. for Bridge and Structural Engineering. Vol. 19. Pp. 1—30.
10. Hinton E., Owen D.R.J. Finite element software for plates and shells. Pineridge Press, Swansea, U.K. 1984.
11. Беглов А.Д., Санжаровский Р.С. Теория расчета железобетонных конструкций на прочность и устойчивость. Современные нормы и Евростандарты. СПб. ; М. : Изд-во АСВ, 2006. 221 с.
12. Маилян Д.Р., Мурадян В.А. К методике расчета железобетонных внецентрен-но сжатых колонн [Электронный ресурс] // Инженерный вестник Дона. 2012. № 4 (часть 2). Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1333.
13. Агапов В.П., Васильев А.В. Моделирование колонн прямоугольного сечения объемными элементами с использованием суперэлементной технологии // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2012. № 4. С. 48—53.
14. Агапов В.П. Исследование прочности пространственных конструкций в линейной и нелинейной постановках с использованием вычислительного комплекса «ПРИНС» // Пространственные конструкции зданий и сооружений (исследование, расчет, проектирование, применение) : сб. ст. / под ред. В.В. Шугаева и др. М., 2008. Вып. 11. С. 57—67.
15. Агапов В.П., Васильев А.В. Суперэлемент колонны прямоугольного сечения с геометрической нелинейностью // Вестник МГСУ 2013. № 6. С. 50—56.
Поступила в редакцию в феврале 2014 г.
ВЕСТНИК л/чплл
4/2014
Об авторах: Агапов Владимир Павлович — доктор технических наук, профессор кафедры прикладной механики и математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(495)583-47-52, agapovpb@mail.ru;
Васильев Алексей Викторович — инженер-конструктор, ООО «Родник», 170000, г. Тверь, ул. Коминтерна, д. 22, 8(482)2-761-004, dropt@rambler.ru.
Для цитирования: Агапов В.П., Васильев А.В. Учет геометрической нелинейности при расчете железобетонных колонн прямоугольного сечения методом конечных элементов // Вестник МГСУ 2014. № 4. С. 37—43.
V.P. Agapov, A.V. Vasil'ev
ACCOUNT FOR GEOMETRICAL NONLINEARITY IN THE ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE COLUMNS OF RECTANGULAR SECTION BY FINITE ELEMENT METHOD
The superelement of a column of rectangular section made of homogeneous material and intended for linear analysis, developed by authors earlier on the basis of the three-dimensional theory of elasticity, is updated with reference to static analysis of reinforced concrete columns with account for geometrical nonlinearity. In order to get the superelement the column is divided on sections and longwise into eight-node solid finite elements modelling the concrete and two nodes rod elements modelling reinforcement. The elements are ^nnected with one another in the nodes of finite element mesh that provides joint operation of concrete and reinforcement. The internal nodes of the obtained finite element mesh are excluded at the stage of stiffness matrix and load vector of a column calculation. Formulas for calculation of linearized stiffness matrix of a superelement and a vector of the nodal forces statically equivalent to internal stresses are received. The element is adjusted to the computer program PRINS, and can be used for geometrically nonlinear analysis of complex structures containing reinforced concrete columns of rectangular section. Separately standing reinforced concrete column was calculated on longitudinal-transverse bending for the verification of the received superelement. The critical load was determined according to the results of calculation. The determined critical force value corresponds to the theoretical value. Thus, the proposed method of accounting for the geometric nonlinearity in the analysis of reinforced concrete columns can be recommended for practical use.
Key words: building structures, reinforced concrete columns, rectangular cross section, finite element method, superelements, geometrical nonlinearity.
References
1. Geniev G.A., Kissyuk V.N., Tyupin G.A. Teoriya plastichnosti betona i zhelezobetona [Plasticity Theory of Concrete and Reinforced Concrete]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1974, 316 p.
2. Yashin A.V. Kriterii prochnosti i deformirovaniya betona pri prostom nagruzhenii dlya razlichnykh vidov napryazhennogo sostoyaniya [Strength and Strain Criteria of Concrete at Simple Loading for Various Kinds of the Stress State]. Raschet i proektirovanie zhelezobeton-nykh konstruktsiy [Analysis and Design of Reinforced Concrete Structures]. Moscow, 1977, pp. 48—57.
3. Karpenko N.I. Obshchie modeli mekhaniki zhelezobetona [General Models of Reinforced Concrete Mechanics]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1996, 396 p.
4. Chen W.F. Plasticity in Reinforced Concrete. J. Ross Publishing, 2007. 463 p.
5. Gedolin L., Deipoli S. Finite Element Studies of Shear-critical R/C Beams. ASCE Journal of the Engineering Mechanics Division. 1977, vol. 103, no. 3, pp. 395—410.
6. Ngo D., Scordelis A.C. Finite Element Analysis of Reinforced Concrete. J. Am. Conc. Inst., 1967, vol. 64, pp. 152—163.
7. Kotsovos M.D. Effect of Stress Path on the Behaviour of Concrete under Triaxial Stress States. J. Am. Conc. Inst., vol. 76, no. 2, pp. 213—223.
8. Nam C.H., Salmon C.G. Finite Element Analysis of Concrete Beams. ASCE J. Struct. Engng. Div. Vol. 100, no. ST12, pp. 2419—2432.
9. Willam, K.J., Warnke E.P. (1975). Constitutive Models for the Triaxial Behavior of Concrete. Proceedings of the International Assoc. for Bridge and Structural Engineering. Vol. 19, pp. 1—30.
10. Hinton E., Owen D.R.J. Finite Element Software for Plates and Shells. Pineridge Press, Swansea, U.K., 1984, 403 pp.
11. Beglov A.D., Sanzharovskiy R.S. Teoriya rascheta zhelezobetonnykh konstruktsiy na prochnost' i ustoychivost'. Sovremennye normy i Evrostandarty [The Theory of Strength and Buckling Analysis of the Reinforced Concrete Structures. Modern Norms and Eurostandards]. Saint Petersburg, Moscow, ASV Publ., 2006, 221 p.
12. Mailyan D.R., Muradyan V.A. K metodike rascheta zhelezobetonnykh vnetsentrenno szhatykh kolonn [The Method of Calculating Eccentrically Compressed Reinforced Concrete Columns]. Inzhenernyy vestnik Dona [The Engineering Bulletin of Don]. 2012, no. 4 (part 2). Available at: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1333.
13. Agapov V.P., Vasil'ev A.V. Modelirovanie kolonn pryamougol'nogo secheniya ob"emnymi elementami s ispol'zovaniem superelementnoy tekhnologii [Modeling Columns of Rectangular Cross-section with Superelement Technology]. Stroitel'naya mekhanika inzhen-ernykh konstruktsiy i sooruzheniy [Structural Mechanics of Engineering Buildings and Structures]. 2012, no. 4, pp. 48—53.
14. Agapov V.P. Issledovanie prochnosti prostranstvennykh konstruktsiy v lineynoy i nelineynoy postanovkakh s ispol'zovaniem vychislitel'nogo kompleksa «PRINS» [Strength Analysis of Three-dimensional Structures with Computer Program PRINS]. Prostranstvennye konstruktsii zdaniy i sooruzheniy (issledovanie, raschet, proektirovanie, primenenie): sbornik statey [Three-dimensional Structures of Buildings (Investigation, Calculation, Design, Application): Collection of Articles]. Moscow, 2008, no. 11, pp. 57—67.
15. Agapov V.P., Vasil'ev A.V. Superelement kolonny pryamougol'nogo secheniya s geo-metricheskoy nelineynost'yu [Superelement of the Rectangular Cross Section Column Having Physical Nonlinearity]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 6, pp. 50—56.
About the authors: Agapov Vladimir Pavlovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Applied Mechanics and Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoye shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (495) 583-47-52; agapovpb@mail.ru;
Vasil'ev Aleksey Viktorovich — design engineer, limited liability company "Rodnik", 22 Kominterna str., Tver, 170000, Russian Federation; +7 (482) 2-761-004; dropt@rambler.ru.
For citation: Agapov V.P., Vasil'ev A.V. Uchet geometricheskoy nelineynosti pri raschete zhelezobetonnykh kolonn pryamougol'nogo secheniya metodom konechnykh elementov [Account for Geometrical Nonlinearity in the Analysis of Reinforced Concrete Columns of Rectangular Section by Finite Element Method]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 4, pp. 37—43.
