CC BY
32
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС
_мвви
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ
СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ
УДК 624.075.23
В.П. Агапов, А.В. Васильев*
ФГБОУВПО «МГСУ», *ООО «Родник»
СУПЕРЭЛЕМЕНТ КОЛОННЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ С ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Разработанный авторами на основе трехмерной теории упругости суперэлемент колонны прямоугольного сечения, предназначенный для линейных расчетов, развит применительно к расчету подобных колонн с учетом пластических деформаций. Элемент адаптирован к вычислительному комплексу ПРИНС и в составе этого комплекса может использоваться для физически нелинейного расчета строительных сооружений, содержащих колонны прямоугольного сечения.
Ключевые слова: строительные конструкции, колонны прямоугольного сечения, метод конечных элементов, суперэлементы, физическая нелинейность, теория течения.
Метод конечных элементов (МКЭ), реализуемый в виде программ для ЭВМ, является основным инструментом исследования прочности строительных конструкций на стадии проектирования, возведения и эксплуатации. В практике расчета и проектирования конструкций нашли широкое применение такие программы, как NASTRAN [1], ANSYS [2], ADINA [3], ЛИРА [4] и др. Во всех этих программах используется набор конечных элементов, позволяющих рассчитывать одномерные, двухмерные и трехмерные конструкции, а также всевозможные комбинированные системы. При этом стержни (колонны, ригели и т.п.) трактуются как одномерные элементы, характеристики которых приводятся к узлам, лежащим на оси этих элементов. Традиционный подход к получению этих характеристик основан на использовании формул сопротивления материалов (например, [5]). Такой подход позволил создать эффективные алгоритмы для решения линейных задач статики, динамики и устойчивости стержневых конструкций, поэтому он применяется практически во всех программах МКЭ. Но он не лишен и недостатков, которые заключаются в следующем:
1) при расчете комбинированных систем возникает некорректная (в точке) передача усилий со стержней на плиты, оболочки и массивные элементы конструкций;
2) становится невозможным учет депланации сечений при расчете стержней некруглого сечения;
3) учет деформации поперечного сдвига является приближенным;
4) учет искривления оси и поворота сечений при решении геометрически нелинейных задач и учет пластических деформаций связан со значительными математическими трудностями;
ВЕСТНИК с(оп,-
5/2013
5) исключается возможность учета сложного напряженного состояния, возникающего в опорных сечениях стержней.
Поэтому в программах, реализующих нелинейные расчеты (NASTRAN, ANSYS, ADINA и др.), применяется подход, разработанный первоначально для массивных конструкций и основанный на использовании одних и тех же функций формы для описания как геометрии, так и поля перемещений элемента [6, 7].
Функции формы задаются для точек, лежащих на оси стержня. Они выражают координаты и перемещения всех точек оси через узловые величины. Координаты и перемещения остальных точек находят с использованием гипотезы плоских сечений. Характеристики стержня получают с использованием соотношений трехмерной теории упругости и пластичности, но в конечном итоге приводят к узлам, лежащим на оси. С точки зрения пользователя построенный описанным выше способом элемент является одномерным. Однако введение функций формы и использование трехмерной теории позволяет учесть искривление оси и повороты сечений и использовать такие элементы в нелинейных расчетах. Тем не менее, остальные недостатки, присущие одноосной модели, сохраняются.
Таким образом, развитие методик нелинейного расчета стержней и стержневых систем в конечно-элементной форме по-прежнему является актуальной задачей. Альтернативой могло бы стать непосредственное моделирование стержней совокупностью объемных элементов, но это привело бы к существенному увеличению числа степеней свободы конструкции. Поэтому авторами разработан специальный суперэлемент [8], в котором балка моделируется объемными элементами с произвольной разбивкой по длине и по сечению, но на стадии формирования характеристик элемента промежуточные узлы исключаются. В результате все характеристики суперэлемента приводятся к узлам, лежащим в концевых сечениях. Это позволяет устранить все недостатки, присущие одномерной модели.
Суперэлемент, описанный в [8] и реализованный в вычислительном комплексе ПРИНС, предназначался для расчета линейно деформируемых систем. В данной работе этот элемент модернизирован с целью использования его в расчетах физически нелинейных конструкций.
Расчет физически нелинейных конструкций с помощью ВК ПРИНС основан на теории течения и ведется шагово-итерационным способом [1] по уравнению KNL Au = AP, (1)
где K — полная нелинейная матрица жесткости, связывающая приращения узловых сил и перемещений; Au и AP — приращения узловых перемещений и узловых сил конечно-элементной модели соответственно.
Ввиду того, что матрица K зависит от полных значений напряжений в элементах конструкции, а, следовательно, и от полных значений перемещений, уравнение (1) может быть решено лишь приближенно. Запишем это уравнение в виде KNL Au = (k 0 +AK )Au = ap, (2)
где K0 — матрица жесткости, вычисляемая в начале шага нагружения с использованием физических уравнений теории течения. Если обозначить через Ki матрицу жесткости, вычисляемую при тех же предпосылках в конце шага нагружения, то приближенно матрицу KNL можно вычислить как полусумму матриц Kо и Ki.
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве
VESTNIK
JVIGSU
Уравнение (2) решается итерационным способом:
К0Ли = ЛР - Щ, (3)
где I — номер итерации.
Использование линеаризованных уравнений на шаге нагружения приводит к нарушению условий равновесия. Поэтому в конце каждого шага нагружения вычисляется вектор узловых сил, статически эквивалентный полным значениям внутренних напряжений, находится вектор невязки как разность между полным вектором внешней нагрузки Р и вектором Ра, и решение корректируется с учетом этой невязки.
Матрица жесткости К для отдельного объемного конечного элемента, входящего в состав суперэлемента, находится по формуле [1]
К = | В TCBdV,
V
где В — матрица, связывающая компоненты деформаций элемента с компонентами узловых перемещений; С — матрица, связывающая компоненты напряжений с компонентами деформаций.
Вектор узловых нагрузок конечного элемента находится из соотношения:
/ = -{ NTpdV,
V
где N — матрица функций формы, выражающая перемещения внутренних точек конечных элементов с узловыми перемещениями; р — вектор, составленный из компонентов распределенной нагрузки.
Методика вычисления геометрической матрицы В хорошо известна (например, [2]).
Физическая матрица С строится следующим образом. На первом шаге нагружения и на первой итерации материал считается изотропным и линейным. Матрица С при этом содержит коэффициенты обобщенного закона Гука и имеет следующий вид:
Е (1 -v)
(1 + v)(l - 2v)
1
1 — V 1 — V 1
1-v 1
О
О
О
0 0 0
0 0 0
- 2v 0 0
2 (1 -
симметрично
1 - 2v
2 (1 -v)
1 - 2у
2 (1 -V)
На последующих шагах зависимость между приращениями напряжений и деформаций при использовании теории течения выражается с помощью упруго-пластической матрицы С [1—3], определяемой из выражения:
ВЕСТНИК
МГСУ-
5/2013
[Сер ] =
[С ]-[С ]{°}
{а}[С ]
Н' + {а} [С]{а}
где вектор {а} состоит из производных от функции течения по компонентам напряжений, а параметр Н' является касательным модулем кривой напряжение — приращение пластической деформации в одномерном случае.
В данной работе рассматривается произвольный изотропный материал, для которого применим критерий текучести Губера — Мизеса [2]. Функция течения записывается так:
Р =
2(- )2+
1/2
-<5Т = 0.
2У - у, 2К у * )2 + 2 -°х )2 + 3Т2У + ^ + 3Т
Узловой эквивалент внутренних сил находится по формуле
{Р} = -[[В]Т {а}Л.
г
Описанный выше конечный элемент реализован в ВК ПРИНС.
Для проверки работоспособности разработанного элемента рассчитан консольный стержень, нагруженный сосредоточенными силами на свободном конце (рис.). Стержень имеет сечение 0,5*0,5 м, длину I = 5,0 м и выполнен из изотропного материала, имеющего модуль упругости Е = 3,25 107 кПа и коэффициент Пуассона V = 0,2. Суммарная нагрузка составляет 40 кН. В качестве модели деформирования принималась диаграмма Прандт-ля с пределом текучести 17000 кПа. Нагрузка прикладывалась по шагам вплоть до разрушения. При этом множитель нагрузки на первом шаге принимался равным 1, а на всех последующих шагах — 0,1. Момент разрушения фиксировался по началу расхождения итерационного процесса и появлению больших перемещений. Рассматривались два варианте заделки нижнего конца: жесткая и скользящая.
При жесткой заделке в опорном сечении возникает сложное напряженное состояние: в растянутой зоне — всестороннее растяжение, в сжатой зоне — всестороннее сжатие. При скользящей заделке разрешаются боковые перемещения, поэтому напряженное состояние в опорной зоне является одноосным. Так как при всестороннем растяжении или сжатии пластические деформации возникают позже, чем при осевой деформации, то можно было ожидать, что в первом случае предельная нагрузка окажется несколько выше, чем во втором. Расчеты по программе ПРИНС подтвердили это предположение. При жесткой заделке предельная нагрузка составила 116 кН, а при скользящей — 100 кН. Расхождение между двумя этими значениями составляет 16 %, что свидетельствует о значительном влиянии сложного напряженного состояния в основании стержня на предельное значение нагрузки. Учет этого явления является одним из преимуществ предложенного подхода.
Разбивка на элементы и нагру-жение суперэлемента
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС
_мвви
Оба полученных результата соответствуют теоретическому значению, вычисленному по формуле [9] Рпред = Мпред/1, где Мпред =aTbh2 /4 — предельное значение изгибающего момента.
При принятых характеристиках материала и размерах сечения Мпред = 531,25 кН м и Рпред = 106,25 кН.
Таким образом, предложенный элемент обеспечивает приемлемую точность результатов физически нелинейных расчетов и позволяет избавиться от недостатков, присущих традиционному подходу.
Библиографический список
1. NASTRAN theoretical manual. NASA, Washington, 1972.
2. Басов К.А. ANSYS. Справочник пользователя. М. : ДМК-Пресс, 2005. 637 с.
3. Bathe K.J. and Wiener P.M. On Elastic-Plastic Analysis of I-Beams in Bending and Torsion. Computers and Structures, Vol. 17, pp. 711—718, 1983.
4. ЛИРА 9.2. Примеры расчета и проектирования. Ч. 1. / М.С. Барабаш, Ю.В. Ген-зерский, Д.В. Марченко и др. Киев : ФАКТ, 2005. 84 с.
5. Филин А. П. Матрицы в статике стержневых систем. М.-Л. : Изд-во литературы по строительству. 1966. 438 с.
6. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. Sixth edition. McGraw-Hill, 2005. 631 p.
7. Bathe K.J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, Inc., 1996. 1037 p.
8. Агапов В.П. Исследование прочности пространственных конструкций в линейной и нелинейной постановках с использованием вычислительного комплекса «ПРИНС» // Пространственные конструкции зданий и сооружений (исследование, расчет, проектирование, применение) : сб. ст. / под ред. В.В. Шугаева и др. М., 2008. Вып. 11. С. 57—67.
9. Агапов В.П., Васильев А.В. Моделирование колонн прямоугольного сечения объемными элементами с использованием суперэлементной технологии // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2012. № 4. С. 48—54.
10. Ржаницын А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов. М. : Гос. изд-во литературы по строительству и архитектуре, 1954. 288 с.
Поступила в редакцию в марте 2013 г.
О б а в т о р а х: Агапов Владимир Павлович — доктор технических наук, профессор кафедры прикладной механики и математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (495) 583-47-52, [email protected];
Васильев Алексей Викторович — инженер-конструктор, ООО «Родник», 170000, г. Тверь, ул. Коминтерна, д. 22, 8(482) 276-10-04, [email protected].
Для цитирования: Агапов В.П., Васильев А.В. Суперэлемент колонны прямоугольного поперечного сечения с физической нелинейностью // Вестник МГСУ. 2013. № 5. С. 29—34.
V.P. Agapov, A.V. Vasil'ev
SUPERELEMENT OF A COLUMN HAVING A RECTANGULAR CROSS SECTION AND CHARACTERIZED BY PHYSICAL NONLINEARITY
The authors provide their summarized nonlinear analysis of the beam structure using the finite element method. Weaknesses of traditional approaches to the analysis of rectangular section columns using one-dimensional finite elements are identified.
ВЕСТНИК с(оп,-
5/2013
They cause mistakes in the transfer of forces in specific points and invariability of sizes and types of cross sections of rods in the course of their deformation. The approach to the analysis of rectangular section columns is proposed. The new approach originates from the three-dimensional theory supplemented by the superelement technology. The column is divided into sections and finite elements. The analysis of physically nonlinear structures is executed using the PRINS software. The flow theory is used to identify the characteristics of finite elements. Huber-Mises plasticity criterion is applied. The console beam loaded by concentrated forces on the free end is calculated to verify the element. The limiting load value identified by PRINS software complies with the theoretical values derived using the theory of limit equilibrium.
Key words: building structures, rectangular cross section columns, finite element method, superelements, physical nonlinearity, flow theory.
References
1. NASTRAN Theoretical Manual. NASA, Washington, 1972.
2. Basov ANSYS. Spravochnik pol'zovatelya [ANSYS. User Manual]. Moscow, DMK-Press Publ., 2005, 637 p.
3. Bathe K.J., P.M. Wiener. On Elastic-plastic Analysis of I-Beams in Bending and Torsion. Computers and Structures. 1983, vol. 17, pp. 711—718.
4. Barabash M.S., Genzerskiy Yu.V., Marchenko D.V. LIRA 9.2. Primery rascheta i proektirovaniya. Ch. 1 [LIRA 9.2. Examples of Analysis and Design. Part 1]. Kiev, FAKT Publ., 2005, 84 p.
5. Filin A.P. Matritsy v statike sterzhnevykh system [Matrixes in the Statics of a Bar System]. Moscow-Leningrad, Izd-vo literatury po stroitel'stvu publ., 1966, 438 p.
6. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. McGraw-Hill, 2005, 631 p.
7. Bathe K.J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, Inc., 1996, 1037 p.
8. Agapov V.P. Issledovanie prochnosti prostranstvennykh konstruktsiy v lineynoy i nelineynoy postanovkakh s ispol'zovaniem vychislitel'nogo kompleksa «PRINS» [Study of Linear and Non-linear Strength of 3D Structures Using PRINS Software]. Prostranstvennye konstruktsii zdaniy i sooruzheniy (issledovanie, raschet, proektirovanie, primenenie) [3D Constructions of Buildings and Structures (study, analysis, design, application)]. Collection of works, edited by Shugaev V.V. Moscow, 2008, no. 11, pp. 57—67.
9. Agapov V. P., Vasil'evA.V. Modelirovanie kolonn pryamougol'nogo secheniya ob"emnymi elementami s ispol'zovaniem superelementnoy tekhnologii [Modeling of Rectangular Section Columns Using 3D Elements Backed by Theory of Superelements]. Stroitel'naya mekhanika inzhenernykh konstruktsiy i sooruzheniy [Structural Mechanics of Engineering Constructions and Structures]. 2012., no. 4, pp. 48—54.
10. Rzhanitsyn A.R. Raschet sooruzheniy s uchetom plasticheskikh svoystv materialov [Analysis of Structures with Account for Plastic Properties of Materials]. Moscow, Gos. izd-vo literatury po stroitel'stvu i arkhitekture publ., 1954, 288 p.
About the authors: Agapov Vladimir Pavlovich — Doctor of Technical Sciences, Professor departmet of applied mechanics and mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (495) 583-47-52; [email protected];
Vasil'ev Aleksey Viktorovich — structural engineer, Rodnik Limited Liability Company, 22 Kominterna St., 170000, Tver, Russian Federation; [email protected]; +7 (482) 276-10-04.
For citation: Agapov V.P., Vasil'ev A.V. Superelement kolonny pryamougol'nogo poperechnogo secheniya s fizicheskoy nelineynost'yu [Superelement of a Column Having a Rectangular Cross Section and Characterized by Physical Nonlinearity]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 5, pp. 29—34.
